Раздел I. Математика и физика
УДК 372.8 ББК 74.262.21
Н.Е. Ляхова, А.И. Гришина, И.В. Яковенко
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОГРАНИЧЕННОСТИ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Аннотация. В статье представлена методика изучения метода решения «нестандартных» уравнений элементарной математики с использованием ограниченности функций.
Ключевые слова: решение уравнений, использование ограниченности функции.
N.E. Lyakhova, A.I Grishina, I.V. Yakovenko
USE OF LIMITATION OF FUNCTIONS IN THE SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS
Abstract. The paper presents a methodology for studying the method for solving the "nonstandard" equations of elementary mathematics with limited functions. Key words: solution of equations, using a limited function.
Ограниченность функций позволяет решать многие нестандартные уравнения и неравенства, одновременно содержащие разнообразные функции, что не позволяет применить к ним стандартные методы решения задачи определенного типа. На использовании ограниченности функций построены такие методы решения уравнений и неравенств, как метод мини-максов и его следствия. Название метода - метод мини-максов - возможно, спорное, но оно позволяет быстро вспомнить суть метода и служит для ученика опорным знаком. Отметим, что изучение этого метода полезно для выпускника школы как с точки зрения расширения его возможностей по решению «нестандартных» задач, так и с точки зрения формирования навыков исследования функции (в особенности методами элементарной математики). И то и другое важно для подготовки выпускника к ЕГЭ по математике, так как контрольно - измерительные материалы традиционно содержат подобные задания, в то время как в школьных учебниках они представлены явно недостаточно либо не представлены совсем.
Суть метода мини-максов заключается в следующем утверждении.
Утверждение 1. Если на области определения X уравнения
а функция
то данное уравнение равносильно системе
f (*) = а g(*) = а "
Действительно, при указанных условиях равенство
возможно тогда и только тогда, когда функции f (*) и g (*) при одном и том же значении * принимают значение а. При этом число а будет являться для функций f (*) и g (*) соответственно наибольшим и наименьшим значениями на множестве X. Заметим, что в случае, если хотя бы одна из функций f (*) или g (*) на множестве X не принимает значение а, то уравнение
не имеет корней. Но в этом случае система также не имеет решений и, следовательно, равносильность уравнения и системы не нарушается. Поэтому при получении необходимых оценок нет необходимости устанавливать, что а является на множестве X наибольшим значением функции f(*) и наименьшим значением функции g(*) .
Используя утверждение 1 и свойства числовых неравенств, нетрудно доказать еще два утверждения, которые являются следствиями метода мини-максов.
Утверждение 2. Пусть множество X - пересечение областей определения функций f (х) и g (х), и на этом множестве имеют место неравенства
тогда неравенство
f (х) + g (х) > а + Ь,
равносильно уравнению
f (х) + g (х) = а + Ь, которое, в свою очередь, равносильно системе:
/ (х) = а, ё (х) = Ь.
Утверждение 3. Пусть множество X - пересечение областей определения функций f (х) и ё (х), и на этом множестве имеют место неравенства
0 < f (х) < а
ё (х) < Ь, где а > 0 , Ь > 0
тогда неравенство
f (х) ё (х) > а Ь
будет равносильно уравнению
f (х) ё (х) = а Ь, которое, в свою очередь, равносильно системе
/ (х) = а, ё(х) = Ь.
Как видно из формулировок утверждений, для реализации метода мини-максов (или его следствий) необходимо производить оценки функций, входящих в уравнения или неравенства. Фактически оценка функций является основным действием при реализации метода. Поэтому и обучение методу необходимо построить на выработке навыков оценки различных функций. На наш взгляд наиболее актуальными для школьников будут следующие приемы такой оценки.
1. Простейший прием - оценка функции вида f (х) = А ± а(х), где а(х) - некоторая неотрицательная функция.
5. Оценка сложной функции.
Остановимся подробнее на каждом приеме, проиллюстрируем его на примерах и приведем набор тренировочных упражнений для выработки навыков решения уравнений с использованием этого приема.
1. Простейший прием оценки функции. Пусть а(х) - некоторая неотрицательная функция, тогда:
Если f (х) = А + а(х), то f (х) > А;
Если f (х) = А - а(х), то f (х) < А.
Первый прием мы назвали простейшим, так как оценка в этом случае практически очевидна при условии, что ученику известен набор неотрицательных функций: 24х, х2", х~2", ха (гдеаеЩ-), |х|, |х| -х, arccosх, агс^х, ах и др. Кроме того, неотрицательные значения будут принимать сложные функции, являющиеся результатом композиции функций, если последняя функция композиции неотрицательна. Таким образом, список неотрицательных функций можно
обобщить: 2^и(х) , (ы(х))2" , (м(х))-2я,агеео8и(х), агссгёи(х), |и(х)|, |и(х) -и(х) , а"(х), (и(х))а (гдеае к).
Приведем примеры на использование метода мини-максов, при решении которых применяется рассмотренный прием оценки.
Пример 1. Решить уравнение 2 + |х(х -1)| = 2 - ^(х -1)(х + 2) . Решение. Функции
/ (х) = |х(х -1)|, Я (х) = 7 (х -1)(х + 2)
неотрицательны. Следовательно, имеет место следующая оценка левой и правой частей уравнения
2 + | х(х -1)| > 2,
2-у/(х-1)(х + 2) < 2 "
Тогда, согласно утверждению 1, исходное уравнение равносильно системе
Тогда:
Если функция f (u) возрастает на отрезке то имеет место неравенство
f (a) < f (u(x)) < f (b);
Если функция f (u) убывает на отрезке , то имеет место неравенство
f (b) < f (u(x)) < f (a) .
Пример 7. Решить уравнение log2 (x2 - 6x+11) = cos((x - 3) sin x).
Решение. Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене, стоящем под знаком логарифма, получим уравнение
log2 (2+(x - 3)2) = cos((x - 3) sin x). Оценим функции, стоящие в левой и правой частях этого уравнения.
f (x) = log2 (2+(x - 3)2) > 1. Действительно, 2 + (x - 3)2 > 2, функция log2 u возрастает, следовательно,
log2 (2+(x - 3)2) > log2 2 = 1. Функция u2 -монотонновозрастаетна . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы (-1;-1), следовательно, на отрезке [-1;1] функция возрастает. Поэтому свое наименьшее значение принимает при t=-1,у=-1, а наибольшее значение при t=1, у=3. Ответ:E(y)=[-1;3]. =
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке . Решение. Функция y принимает наибольшее значение, если знаменатель дроби принимает наименьшее значение. Рассмотрим знаменатель. Функции возрастающие, следовательно, их сумма – функция возрастающая, значит своё наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, при x=1, т.е. наименьшее значение равно 5. Следовательно, наибольшее значение исходной функции на равно 8. Ответ: 8.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВА ОГРАНИЧЕННОСТИ ФУНКЦИИ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ЕЁ НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ Данная функция принимает наибольшее значение тогда и только тогда, когда наибольшее значение принимает функция, стоящая в показателе степени: Укажите наибольшее целое значение функции Преобразуем её: Так как то наибольшее значение функции равно 4. Следовательно, наибольшее значение исходной функции равно Ответ: Решение.
Применение свойства ограниченности функций к решению уравнений и неравенств МЕТОД МАЖОРАНТ (МЕТОД ОЦЕНКИ) Основная идея метода мажорант состоит в следующем: Пусть мы имеем уравнение f(x)=g(x) и существует такое число М, что для любого х из области определения f(x) и g(x) имеем f(x) M и g(x) M. Тогда уравнение f(x)=g(x) равносильно системе
Решить уравнения
Решить уравнение Решение: Решение: Оценим обе части уравнения. При всех значениях х верны неравенства Следовательно, данное уравнение равносильно системе: При х = 0 второе уравнение обращается в верное равенство, значит, х = 0 корень уравнения. Ответ: х = 0.
Решить уравнение. Решение. Рассмотрим функцию. Найдём координаты вершины параболы. x 0 = 7, y 0 = 25. ветви направлены вверх, следовательно наименьшее значение функции равно 25. Так как f(x) 25, то. Очевидно, 1. Значит исходное уравнение имеет корни при условии, что второе слагаемое равно 1, а первое равно 0. x-7=0, x=7 При x=7 второе слагаемое равно 1. Таким образом x=7 корень уравнения.
Решить уравнение Решение. Корень уравнения легко угадать – это x = 1. Но доказать его единственность из соображений монотонности не удается, потому что ни левая, ни правая части уравнения не являются монотонными функциями. Здесь используется другая идея. Преобразуем уравнение: Наибольшее значение правой части полученного уравнения равно 1 и принимается в точке x = 1. Выражение под логарифмом равно при x > 0. Поэтому левая часть достигает при x = 1 своего наименьшего значения, которое также равно 1. Вывод: равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1, т. е. при x = 1.
0. Поэтому левая часть достигает при x = 1 своего наименьшего значения, которое также равно 1. Вывод: равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1, т. е. при x = 1.">
Проверим справедливость первого равенства, подставив эти корни. При Решите уравнение Решение. Для решения уравнения оценим его части: Поэтому равенство возможно только при условии: Сначала решим второе уравнение: Корни этого уравнения и получаем: (верное равенство). Итак, данное уравнение имеет единственный корень х = 0. Ответ: 0. При х = -1 имеем: (не верное равенство). cos() [-1;1] cos 2 () . сумма единицы и неотрицательного числа.
Решить уравнение. Решение. (сумма двух взаимно обратных чисел). Следовательно, функция Принимает в силу непрерывности все значения из промежутка . Оценим функцию. График – парабола, ветви вверх, наименьшее значение равно 3. значит h(y) принимает наибольшее, равное 3. следовательно исходное уравнение равносильно системе.
(так как:). Решить уравнение Так как -то левая часть уравнения Для правой части (в силу неравенства для суммы двух взаимно обратных чисел) выполнено Поэтому уравнение имеет решения, если и только если одновременно выполнены два условия Решая последнюю систему, получаем принимает значение от 0,5 до 2 Ответ: Решение. Оценим обе части уравнения.
Найдите все значения параметра а при каждом из которых неравенство имеет решение. Оценим обе части неравенства. Для этого преобразуем правую часть неравенства, выделив полный квадрат Квадратичная функция принимает наименьшее значение в вершине, оно равно 4 и достигается при, то есть при а=-6/7. Множество значений левой части неравенства составляет промежуток, следовательно, наибольшее значение равно 4. Значит, неравенство выполняется в случае равенства обоих частей, и только в том случае если а=-6/7. Ответ: а=-6/7..
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения. Решение. Перепишем уравнение в виде При всех значениях х выражение, поэтому. При всех значениях х выражение и. Поэтому. Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему Ответ: х=5/7 при а=-4/9.
Найдите все значения параметра Р при которых уравнение не имеет корней. Используя формулу косинуса двойного угла, преобразуем выражение Уравнение не будет иметь корни, если Р не будет принадлежать области значений левой части уравнения. Рассмотрим функцию f(x)=, оценим её. Так как Поэтому Функция f(x) непрерывна и принимает все свои значения: sinx=0, f(x)=-9, а если sinx=1, то f(x)=17,т.е. E(f)=[-9;17].Исключаем этот отрезок из числовой прямой и получаем ответ. Ответ:
Галаева Екатерина, ученица 11 класса МАОУ СОШ №149 г Нижнего Новгорода
Работа носит одновременно и прикладной и исследовательский характер. Для полноты исследования были рассмотрены следующие вопросы:
– Как отражаются свойства функции при решении уравнений и неравенств?
– Какие уравнения и неравенства решаются через определение свойств области определения, множества значений, инвариантности?
– Каков алгоритм решения?
– Рассмотрены задания с параметром, предлагаемых в материалах КИМ при подготовке к ЕГЭ.
В работе Екатерина исследовала большой круг задач и систематизировал их по внешнему виду.
Скачать:
Предварительный просмотр:
https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Решить неравенство Решение. Функция f (х) = монотонно возрастает на всей числовой прямой, а функция g (x) = монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравенство f (х) > g (x) выполняется, если х >
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств Выполнила работу: Галаева Екатерина МБОУ СОШ №149 Московского района Ученицы 11 «А» класса Научный руководитель: Фадеева И. А. Учитель математики
Основные направления: Изучение свойств функции: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность Узнать основные утверждения, которые наиболее часто используются при решении уравнений, неравенств и систем Решение задач из материалов КИМ для подготовке к ЕГЭ
Монотонность Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. f(x 1) f(x 2) x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2
Утверждение 1. Если функция у = f (x) монотонна, то уравнение f (x) = с имеет не более одного корня. x =2 f(x) = - монотонно убывающая, значит, других решений нет. Ответ: x =2
Утверждение 2. Если функция у = f (x) монотонно возрастает, а функция у = g (x) монотонно убывает, то уравнение f (x) = g (x) имеет не более одного корня. 2 - x = lg (x +11) + 1 g (x) = 2 - x является монотонно убывающей, а функция f (x) = lg (x + 11) + 1 монотонно возрастающей на области определения значит, уравнение f (х) = g (x) имеет не более одного корня. Подбором определяем, что х =-1 . Выше изложенное утверждение обосновывает единственность решения.
а) f (х) ≤ g (x) в том и только в том случае, когда х ϵ (- ∞ ; x 0 ]; б) f (х) ≥ g (x) в том и только в том случае, когда х ϵ [х 0 ; +∞). Наглядный смысл этого утверждения очевиден Утверждение 3. Если функция у = f (х) монотонно возрастает на всей числовой прямой, функция у = g (x) монотонно убывает на всей числовой прямой и f (х 0) = g (x 0), то справедливы следующие утверждения:
Решить неравенство Решение. Функция f (х) = монотонно возрастает на всей числовой прямой, а функция g (x) = монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравенство f (х) > g (x) выполняется, если х > 2. Добавим область определения неравенства. Таким образом, получим систему Ответ: (2; 5).
Утверждение 4. Если функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и f (f (х))=х имеют одно и то же множество корней, независимо от количество вложений. Следствие. Если n - натуральное число, а функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и n раз имеют одно и то же множество корней.
Решить уравнение. Ответ: Решение. П ри x ≥1 правая часть уравнения не меньше 1, а левая часть меньше 1. Следовательно, если уравнение имеет корни, то любой из них меньше 1. При x ≤0 правая часть уравнения неположительная, а левая часть положительна, в силу того что. Таким образом, любой корень данного уравнения принадлежит интервалу (0; 1) Умножив обе части данного уравнения на х, и разделив на x числитель и знаменатель левой части, получим
Откуда = . Обозначив через t , где t 0, получим уравнение = t . Рассмотрим возрастающую на своей области определения функцию f (t)= 1+ . Полученное уравнение можно записать в виде f (f (f (f (t))))= t , и по следствию утверждения 4 оно имеет то же множество решений, что и уравнение f (t)= t , т.е. уравнение 1 + = t , откуда. Единственным положительным корнем этого квадратного относительно уравнение является. Значит, откуда, т.е. , или. Ответ:
Утверждение 1. Если max f (x) = с и min g (x) = с, то уравнение f (x)= g (x) имеет то же множество решений, что и система Ограниченность Максимальное значение левой части равно 1 и минимальное значение правой части 1 , значит, решение уравнения сводиться к системе уравнений: , из второго уравнения находим возможный претендент x=0 , и убеждаемся, что он является решением и первого уравнения. Ответ: x=1 .
Решить уравнение Решение. Так как sin3x≤1 и cos4x≤1, левая часть данного уравнения не превосходит 7. Равной 7 она может быть в том и только том случае, если откуда где k , n ϵ Z . Остается установить, существуют ли такие целые k и n , при которых последняя система имеет решения. Ответ: Z
В задачах с неизвестными x и параметром a под областью определения понимают множество всех упорядоченных пар чисел (x ; a) , каждая из которых такова, что после подстановки соответствующих значений x и a во все входящие в задачу соотношения они будут определены. Пример 1. При каждом значение параметра a решите неравенство Решение. Найдем область определения этого неравенства. Из которых видно, что система Не имеет решений. Значит, область определения неравенства не содержит никаких пар чисел x и a , а поэтому неравенство не имеет решений. Область определения Ответ:
Инвариантность, т.е. неизменность уравнения или неравенства относительно замены переменной каким-либо алгебраическим выражением от этой переменной. Простейшим примером инвариантности является четность: если – четная функция, то уравнение инвариантно относительно замены x и – x , поскольку = 0. Инвариантность
Найти корни уравнения. Решение. Заметим, что пара инварианта относительно замене. Заменив в равенстве, получим. Умножив обе части данного равенства на 2 и вычтя из полученного равенства почленно равенство, находим 3 , откуда. Теперь осталось решить уравнение, откуда Корнями уравнения являются числа. Ответ: .
Найти все значения a , для каждого из которых уравнение имеет более трех различных решений. Решение задач с параметром Свойство монотонности
|x|= положительно X= |x|= Для существования двух корней числитель должен быть положителен. Поэтому При корни первого и второго уравнения совпадают, что не отвечает требованию условия: наличие более трех корней. Ответ: .
Найти все значения a , при каждом из которых уравнение имеет два корня. Преобразуем уравнение к виду И рассмотрим функцию f(x)= определенную и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида y= kt+l . f(x)= При любом раскрытие модуля первого выражения k не превосходит 8, поэтому возрастание и убывание функции f(x) будет зависеть от раскрытия второго модуля. При x f(x) будет убывать, а при x возрастать. То есть, при x=3 функция будет принимать наибольшее значение. Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы f(3) Свойство монотонности
f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Ответ: a
Найти все значения параметра а, при каждом из которых для любого действительного значения х выполнено неравенство Перепишем неравенство в виде, введем новую переменную t = и рассмотрим функцию f (t) = , определенную и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида, где к
Так как, то t ϵ [-1; 1]. В силу монотонного убывания функции у = f (t) достаточно проверить левый край данного отрезка. З. А истинным является Значит, что возможно, только если числа и и v одного знака либо какое-нибудь из них равно нулю. , = () () 0. Разложив квадратные трехчлены на множители, получим неравенство (, из которого находим, что а ϵ (-∞; -1] U {2} U [ 4; +∞). Ответ: (-∞; - 1] U {2} U }
