Для чего применяется метод триангуляции в трубопровод. Геодезические сети. Метод триангуляции. Угловые измерения. В информационных сетях

; 3 — трилатерация .

Метод триангуляции. Принято считать, что метод триангуляции впервые был предложен голландским ученым Снеллиусом в 1614 г. Этот метод широко применяется во всех странах. Сущность метода заключается в следующем. На командных высотах местности закрепляют систему геодезических пунктов, образующих сеть треугольников (рис. 13). В Сеть триангуляции этой сети определяют координаты исходного пункта А, измеряют горизонтальные углы в каждом треугольнике, а также длины b и азимуты а базисных сторон, задающих масштаб и ориентировку сети по азимуту.

Сеть триангуляции может быть построена в виде отдельного ряда треугольников, системы рядов треугольников, а также в виде сплошной сети треугольников. Элементами сети триангуляции могут служить не только треугольники, но и более сложные фигуры: геодезические четырехугольники и центральные системы.

Основными достоинствами метода триангуляции являются его оперативность и возможность использования в разнообразных физико-географических условиях; большое число избыточных измерений в сети, позволяющих непосредственно в поле осуществлять надежный контроль всех измеренных величин; высокая точность определения взаимного положения смежных пунктов в сети, особенно сплошной. Метод триангуляции получил наибольшее распространение при построении государственных геодезических сетей.

Метод полигонометрии . Этот метод известен также давно, однако применение его при создании государственной геодезической сети сдерживалось до недавнего времени.

Полигонометрический ход трудоемкостью линейных измерений, выполняемых ранее с помощью инварных проволок. Начиная примерно с шестидесятых годов текущего столетия, одновременно с внедрением в геодезическое производство точных свето и радиодальномеров, метод полигонометрии получил дальнейшее развитие и стал широко применяться при создании геодезических сетей .

Сущность этого метода состоит в следующем. На местности закрепляют систему геодезических пунктов, образующих вытянутый одиночный ход (рис. 14) или систему пересекающихся ходов, образующих сплошную сеть. Между смежными пунктами хода измеряют длины сторон s,-, а на пунктах — углы поворота р. Азимутальное ориентирование полигонометрического хода осуществляют с помощью азимутов, определяемых или заданных, как правило, на конечных пунктах его, измеряя при этом примычные углы у. Иногда прокладывают полигонометрические ходы между пунктами с заданными координатами геодезической сети более высокого класса точности.

Метод полигонометрии в ряде случаев, например, в заселённой местности, на территории крупных городов и т. п. оказывается более оперативным и более экономичным, чем метод триангуляции. Это обусловлено тем, что в таких условиях на пунктах триангуляции строят более высокие геодезические знаки, чем на пунктах полигонометрии, поскольку в первом случае следует обеспечить прямую видимость между гораздо большим числом пунктов, чем во втором. Постройка,же геодезических знаков является самым дорогостоящим видом работ при создании геодезической сети (в среднем 50-60 % всех затрат).


Метод трилатерации. Данный метод, как и метод триангуляции, предусматривает создание на местности геодезических сетей либо в виде цепочки треугольников, геодезических четырехугольников и центральных систем, либо в виде сплошных сетей треугольников, в которых измеряются не углы, а длины сторон. В трилатерации, как и в триангуляции, для ориентирования сетей на местности должны быть определены азимуты ряда сторон.

По мере развития и повышения точности свето- и радиодальномерной техники измерений расстояний метод трилатерации постепенно приобретает все большее значение, особенно в практике инженерно-геодезических работ.

Геодезические сети. Метод триангуляции. Угловые измерения

Характерной и главной особенностью рассматриваемого периода развития геодезии были геодезические сети . Геодезическая сеть - это совокупность закрепленных на местности точек с определенными координатами . Они создавались в целях: 1) решения главной научной задачи – определение фигуры Земли и ее гравитационного поля ; 2)картографирования страны; 3)решения задач прикладной геодезии. Основным методом построения геодезических сетей стал появившийся в 16в. метод триангуляции , хотя этот метод был известен еще в глубокой древности (греческий математик Фалес использовал его для определения расстояния до корабля). Этот метод заключается в построении на местности треугольников, в которых измерялись углы и одна сторона. Вершины треугольников закрепляли специальными знаками. С начала это были одиночные треугольники , затем стали строить цепочки их и сплошные сети с измерением в них одного или нескольких базисов (сторон) и всех углов . Первое упоминание о методе триангуляции сделал Гемма Фризиус в 1546г. Он при реализации этого метода на большой территории применял прибор планиметр – модифицированную упрощенную астролябию с компасом, которая устанавливалась горизонтально на вертикальную подставку. Этот метод использовал Мартин Вальдземюллер, применив разработанный им в 1513г. прибор полиметрум, которым можно было измерять горизонтальные или вертикальные углы . Это был прототип современноготеодолита . Известный картограф Герард Меркатор (1512-1594), ученик Геммы Фризиуса, был одним из первых применивших метод триангуляции при съемках для получения точных карт территории Голландии в 1540г. Англичанин Кристофер Сакстон в течение 9 лет выполнял съемки Уэльса, в которых использовал триангуляционный метод Фризиуса. В 1596г. Раттикус издал труд по основам триангуляции. Итак, начало применения триангуляционного метода при съемках относится к первой половине 16в., а первым инструментом была приспособленная для этих целей астролябия. Разработкой, применением и совершенствованием метода занимались преимущественно математики, геометры, работавшие в университетах.

В 17в. наступил второй этап в формировании метода триангуляции и реализации его в трех направлениях: 1) как строго научной основы топографических съемок, 2) как средства распространения единой системы координат на территории страны, 3) как главного метода определения формы и размеров Земли. Распространению этого метода в 17в. способствовало внедрение и освоение в геодезии тригонометрии и логарифмов , изобретенных Непером в 1614г.

Вильгельм Шикхарт, на основе своего опыта по созданию опорной геодезической сети для топографической съемки Вюртенберга, в 1629г. опубликовал первый геодезический учебник на немецком языке «Краткое руководство по искусству съемки земель».

Примером всех 3-х направлений являются работы 4-х поколений геодезистов Кассини (Жан, Жак, Цезарь) во Франции, решивших с помощью построения сплошной сети триангуляции три главные задачи – создание точной карты Франции, распространение единой системы координат и получение размера Земли. Голландский математик Виллеброрд Снеллиус (1591-1626) проложил в 1615-1616гг. ряд триангуляции для решения задачи 3-го направления. В России считают Снеллиуса автором этого метода. Француз Жан Пикар (1620-1682) в 1669-1670гг., используя ряд триангуляции определил длину дуги парижского меридиана в один градус, равную 111,212км. (современная величина 111,18км).

Для определения высоты объекта и решения других задач применяли различные комбинации реек, например, описанную Леонардо да Винчи.

Астролябия в эту эпоху стала важнейшим прибором в навигации и геодезии. Для применения в практической геометрии астролябия была реконструирована в горизонтальное положение, в нее встроили компас, изменили и оформление. Круг астролябии имел 360 делений и каждое из них делили еще на 10 частей. Наименьшее деление круга равнялось 6’.

Для измерения углов кроме астролябии применяли квадрат и квадрант. Геометрический квадрат был модифицирован - в него включалась дуга квадранта. Квадранты в этот период были наиболее важными астрономическими инструментами. Их стали строить больших размеров и стационарного и меридианного типов. Европейцы упростили квадрант, встроили в него компас. Квадрант применялся главным образом для измерения вертикальных углов при определении превышений методом тригонометрического нивелирования, а также для определения времени по наблюдениям высот небесных светил. Для повышения точности отсчитывания долей деления на квадранте Педро Нониус (1492-1577) предложил специальное устройство – нониус . В дальнейшем нониус был преобразован П. Верньером в отсчетное устройство (описано в 1631г.) и стало называться верньер. Точность отсчитывания по верньеру возросла на порядок.

При проектировании сетей триангуляции должны соблюдаться требования, приведенные в табл.1

Таблица 1

Показатель Класс
Средняя длина стороны треугольника, км 20-25 7-20 5-8 2-5
Относительная ошибка базисной выходной стороны 1:400000 1:300000 1:200000 1:100000
Примерная относительная ошибка стороны в слабом месте 1:150000 1:200000 1:120000 1:70000
Наименьшее значение угла треугольника, градус 40 20 20 20
Допустимая невязка треугольника, угл. с 3 4 6 6
Средняя квадртическая ошибка угла по невязкам треугольника, угл. с 0,7 1 1,5 2,0
Средняя квадратическая ошибка взаимного положения смежных пунктов, м 0,15 0,06 0,06 0,06

3.1. Расчет количества знаков

При проектировании сети триангуляции 3 и 4 классов необходимо рассчитать количество пунктов отдельного класса.

Требуемая плотность геодезических пунктов при общегосударственном картографировании территории страны зависит от масштаба топографической съемки, методов ее выполнения, а также от методов создания съемочного геодезического обоснования.

Таблица 2

Между длинами сторон треугольников разных классов должны соблюдаться следующие приближенные соотношения:

s 1= s 1 s 2 =0,58s 1 s 3 =0,33s 1 s 4 =0,19s 1 . (1)

Если за исходную принять длину стороны в триангуляции 1 класса, равную в среднем S 1 = 23 км, то по формулам (1) получим следующие длины сторон треугольников в сетях триангуляции 2-4 классов (табл. 3).

Таблица 3

В реальных сетях триангуляции треугольники несколько отступают от равносторонней формы. Однако в среднем для обширной по размерам геодезической сети соотношения (1) длин сторон треугольников должны более или менее точно соблюдаться, в противном случае общее число пунктов в сети может оказаться неоправданно завышенным. Среднее число пунктов разных классов на любой площади Р картографируемой территории можно рассчитать по формулам

где - площадь, обслуживаемая одним пунктом -го класса (i =1,2,3,4).Результаты вычислений следует округлять до целого десятка. В качестве примера по этим формулам определим число пунктов 3-4 классов на площади Р = 200 км 2 при n 1 = 0, n 2 =2 .

Для триангуляции 3 класса:

Для триангуляции 4 класса:

Следовательно, на площади снимаемой территории Р=200 км 2 должны запроектировать 11 пунктов, то есть 2 пункта 2 класса, 2 пункта 3 класса и 7 пунктов 4 класса.

3.2. Построение триангуляционной сети

При разработке графического проекта сети особое внимание следует обращать на выбор местоположения каждого отдельного пункта. Все пункты государственной геодезической сети должны быть расположены на командных вершинах местности. Это необходимо для того, чтобы, во-первых, обеспечить взаимную видимость между смежными пунктами при минимальных высотах геодезических знаков, во-вторых, возможность развития в будущем сети в любом направлении. Длины сторон между смежными пунктами должны соответствовать требованиям инструкции. Во всех случаях геодезические пункты должны находиться в таких местах, где будет обеспечена сохранность их положения в плане и по высоте в течение длительного времени. Поскольку на постройку геодезических знаков расходуется в среднем 50-60 % всех затрат на создание сети, необходимо уделять самое серьезное внимание выбору мест для установки пунктов на местности с целью снижения их высоты.

При проектировании сетей триангуляции разных классов важное значение имеет обеспечение надежной привязки сетей более низкого класса к сетям более высокого класса.

Рис. 1. Схемы привязки геодезических сетей к сторонам (а) и пунктам (б) триангуляции высшего класса

Рис.2. Схемы построения сетей триангуляции

После того как все пункты будут нанесены на карту, их соединяют прямыми линиями. На отдельном листе вычерчивают схему запроектированной сети, на которую выносят названия пунктов, длины сторон в километрах, значения углов в треугольниках с точностью до градуса, высоты земной поверхности с точностью до метра. Углы измеряют транспортиром по топографической карте. Суммы углов в треугольниках должны равняться 180º, а в полюсе центральной системы 360º. Длины сторон измеряются линейкой. Под схемой приводятся условные обозначения исходных сторон, сторон триангуляции и пунктов сети.

3.3. Расчет высот знаков

На пунктах геодезической сети строят геодезические знаки такой высоты, чтобы визирные лучи при угловых и линейных измерениях проходили по каждому направлению на заданной минимальной высоте над препятствием, не касаясь его. Сначала определяют приближенные высоты знаков l 1 ’ и l 2 ’ для каждой пары смежных пунктов, а затем корректируют их и находят окончательные значения высот l 1 и l 2 . Приближенные высоты знаков l 1 ’ и l 2 ’ (рис.3) вычисляют по формулам

где h 1 и h 2 - превышения вершины препятствия в точке С (c учетом высоты леса) над основаниями первого и второго знаков соответственно; а- установленная действующей инструкцией допустимая высота происхождения визирного луча над препятствием; u 1 и u 2 - поправки за кривизну Земли и рефракцию.

Знаки при h 1 и h 2 определяют по знакам разностей

h 1 =H c -H 1 ,

h 2 = H c -H 2 , (5)

где Н с - высота вершины препятствия в точке С; Н 1 и Н 2 - высота земной поверхности в местах установки первого и второго знаков.

Рис.3. Схема определения высоты геодезических знаков

Поправки v за кривизну Земли и рефракцию вычисляют по формуле

где k - коэффициент земной рефракции; R- радиус Земли; s- расстояние от препятствия до соответствующего пункта. При k = 0,13 и R=6371 км формула (6) примет вид

V=0,068s 2 , (7)

где v получают в метрах, a s выражено в километрах.

В том случае, если превышения h 1 и h 2 имеют один и тот же знак, а расстояния s 1 и s 2 существенно разные, высоты знаков l ’ 1 и l ’ 2 , вычисленные по формулам (4), будут значительно отличаться друг от друга: один знак низкий, а другой чрезмерно высокий (рис.4). Высокие знаки строить экономически невыгодно. Поэтому высоты знаков, вычисленные по формулам (4), необходимо откорректировать так, чтобы сумма квадратов окончательных высот знаков l 1 и l 2 была наименьшей, т. е. = min. При соблюдении данного требования расходы на постройку данной пары знаков будут, как правило, наименьшими, поскольку стоимость постройки каждого знака при прочих равных условиях почти пропорциональна квадрату его высоты.

Откорректированные высоты каждой пары знаков на концах стороны при соблюдении условия = min и выполнении требования о прохождении визирного луча на заданной высоте а над препятствием вычисляются по формулам

Рис.4. Схема корректирования высоты геодезического знака

На пункте с n направлениями будет получено n значений высоты знака, так как вычисления по каждой отдельной стороне (направлению) дадут разные значения высоты знака на данном пункте. За окончательную высоту принимают ту, при которой обеспечивается видимость по всем направлениям при минимальной (допустимой) высоте прохождения визирных лучей над препятствиями. Результаты расчетов высот геодезических знаков представить в таблице 4.

Таблица 4

Название точек Расстояния s 1 и s 2 Высоты Н,м Превышения h 1 и h 2 v, м а,м Приближенные высоты l 1 ’ и l 2 ’ Откорректи-рованные высоты Стандартные высоты знаков
Лискино 2,4 137,5 3,5 0,4 1,0 4,9 6,2
С 141,0
Попово 5,2 138,2 2,8 1,8 1,0 5,6 2,8

Для наиболее сложных сторон построить профили, на которых кроме поверхности земли красной линией показать открывшуюся видимость после установки геодезического знака.

3.4. Предрасчет точности элементов сети триангуляции

Для уверенного использования окончательного варианта проекта геодезической сети необходимо иметь надежные численные характеристики слабых ее элементов. На составленной схеме находим слабые стороны сети. Слабая сторона находится по принципу равно удаленности ее от исходной стороны.

В качестве критерия точности принимается средняя квадратическая ошибка измеренных величин

где µ - средняя квадратическая ошибка единицы веса;

Р F – вес рассматриваемой функции.

За ошибку единицы веса принимается ошибка измеренных величин. Так как сеть еще проектируется, углы и длины, участвующие в предрасчете, определяются по топографической карте.

Средняя квадратическая ошибка слабой стороны n-треугольника, входящего в центральную систему или геодезический четырехугольник, определяется по формуле

где m lgb - средняя квадратическая ошибка логарифма исходной стороны;

m β - средняя квадратическая ошибка измерения угла в рассматриваемом классе триангуляции;

R i – ошибка геометрической связи трегольника.

Средняя квадратическая ошибка слабой стороны n-треугольника, являющегося элементом простой цепи треугольников определяется по формуле

Вычисление ошибки геометрической связи выполняется по формуле:

R i =δ 2 А i + δ 2 В i + δ А i * δ В i , (12)

где А i и B i – связующие углы в треугольниках;

δ А i , δ В i - приращения логарифмов синусов углов А и В при изменении углов на 1" в единицах 6-го знака логарифма. Значение δ можно определить по формуле

δ А i =МctgA i (1¤ρ")10 6 =2,11ctgA i . (13)

При предрасчете точности слабой стороны по средним квадратическим ошибкам, полученным по двум ходам, вычисляется среднее весовое значение по формуле:

где m lgS 1 и m lgS 2 средние квадратические ошибки определения от базиса по 1 и 2 ходам.

Относительную ошибку найдем по формуле

Пример. Запроектированная сеть триангуляции 3 класса состоит из центральной системы (рис.5). Слабой является сторона «Кленово-Завихрастово», выполним предрасчет ее точности, результаты вычисления ошибки геометрической связи по первому и второму ходу представим в таблице 5.

Рис.5.Фрагмент сети

Таблица 5

Ход 1 Ход 2
№ А В R i № А В R i
5,44 5,05
5,62 5,40
6,28 4,81
Сумма 17,34 Сумма 15,25

m lgS1 =5,11 ; m lgS2 =4,86; m Sn(ср) =3,52;

Вывод: Полученная относительная ошибка слабой стороны удовлетворяет требованиям инструкции для сети триангуляции 3 класса.

Предрасчет точности в триангуляции 4 класса выполняется аналогичным способом.

3.5. Расчет качества сети строгим способом

Расчет качества сети строгим способом произведем на примере сети, изображенной на рис.6. Для этой сети имеем имеем 9 независимых условных уравнений: 7 уравнений фигур, 1 условие горизонта, 1 полюсное условное уравнение. Исходные данные приведены в табл. 6

Таблица 6

Название пункта № угла Угол, º δ Название пункта № угла Угол, º δ
A 0.68 F 1.08
1.71 J 1.17
B 0.73 1.37
1.27 1.65
C 1.37 O 0.60
0.60 1.12
D 1.59 1.97
1.71 1.32
E 1.59 1.03
1.17 1.48
0.98

Рис.6. Сеть триангуляции 3 класса

Условные уравнения фигур:

(1) + (2) + (3) + W1 = 0

(4) + (5) + (6) + W2 = 0

(7) + (8) + (9) + W3 = 0

(10) + (11) + (12) + W4 = 0

(13) + (14) + (15) + W5 = 0

(16) + (17) + (18) + W6 = 0

(19) + (20) + (21) + W7 = 0

Условные уравнения горизонта

(1) + (5) + (8) + (11) + (14) + (17)+ W8 = 0

Полюсные условные уравнения.

После логарифмирования, приведя к линейному виду, будем иметь

δ 2 (2)-δ 3 (3)+δ 4 (4)-δ 6 (6)+δ 7 (7)-δ 9 (9)+δ 10 (10)-δ 12 (12)+δ 13 (13)-δ 15 (15)+δ 16 (16)-δ 18 (18)+W9=0

Для составления весовой функции определяем слабую сторону по известному базису.

На основании полученной системы уравнений составим таблицу коэффициентов условных уравнений и весовой функции (табл. 7). Значения δ n вычислены по формуле δ=2,11ctgβ.

Таблица 7

Коэффициенты условных уравнений

№ п/п a b c d e g h i k f s
+1 +1 -0.60 +1.40
+1 +1.59 +1.59 +4.18
+1 -1.59 -0.59
+1 +1.37 +2.37
+1 +1 +2.00
+1 -1.17 -0.17
+0.68
+1 +0.68 +1.68
+1 +1 +2.00
+1 -1.17 -0.17
0.7
+1 +0.73 +1.73
+1 +1 +1.32 +3.32
+1 -1.71 -1.71 -2.42
+1 +1.37 +1.37 +3.74
+1 +1 +2.00
+1 -1.27 -1.27 -1.54
+1 +1.71 +1.71 +4.42
+1 +1 +2.00
+1 -0.60 -0.60 -0.20
+1.00
+1 +1.00
+1 +1.00
+1 +1.00
Σ -0.06 1.81 28.75

Так как мы имеем большое число условных уравнений, наиболее целесообразно вычислять обратный вес функции методом двухгруппового уравнивания. Обратный вес вычисляется по формуле

где f – коэффициенты заданной функции, для которой находят среднюю квадратическую ошибку; a, b, … - коэффициенты первичного, вторичного и т.д. преобразованных уравнений второй группы; , , … - суммы коэффициентов заданной функции по тем поправкам первого, второго и т.д. уравнений фигур первой группы, которые входят в выражение функции;

n 1, n 2 , … - число поправок, входящих соответственно в первые, вторые и т.д. уравнения фигур первой группы.

При разделении уравнений на две группы в первую группу включают все уравнения фигур (для нашей сети, т.к. нет перекрывающихся треугольников). Во вторую группу войдут все остальные уравнения и весовая функция, т.е. уравнение горизонта, полюса и уравнение функции.

Таблица 8

Коэффициенты условных уравнений первой группы

№ п/п a b c d e g h f
-0.60
1.59
=0.99
=0
=0
1.32
-1.71
=-0.39
1.37
-1.27
=0.10
1.71
-0.60
=1.11
=0

I= 2 /n 1 + …+ 7 /n 7 = 0,33+0,05+0,003+0,41=0,79

Преобразованные коэффициенты вычисляются по формуле

А=а-[а]/n; В=b-[b]/n,

где А, В – преобразованные коэффициенты; n – число углов, входящих в треугольник; [а]/n – среднее значение непреобразованных коэффициентов в треугольнике; [а] – сумма непреобразованных коэффициентов в треугольнике.

Таблица 9

Таблица преобразованных уравнений второй группы и определение коэффициентов нормальных уравнений

N поправки i k I K f s
0,67 -0,60 0,07
1,59 -0,33 1,59 1,59 2,85
-1,59 -0,34 -1,59 -1,93
0,33
1,37 -0,33 1,30 0,97
0,67 -0,06 0,61
-1,17 -0,34 -1,24 -1,58
0,33 0,07
0,68 -0,33 ,84 0,51
0,67 0,17 0,84
-1,17 -0,34 -1,01 -1,35
0,33 -0,16
0,73 -0,33 1,06 0,73
0,67 0,32 1,32 2,31
-1,71 -0,34 -1,38 -1,71 -3,43
0,33 -0,33
1,37 -0,33 1,34 1,37 2,38
0,67 -0,04 0,63
-1,27 -0,34 -1,30 -1,27 -2,91
0,33 0,03
1,71 -0,33 1,34 1,71 2,72
0,67 -0,37 0,30
-0,60 -0,34 -0,97 -0,60 -1,91
0,33 0,37
}

© 2024 tsiolkovsky.ru