Урок по теме «Функция y=ax^2, ее график и свойства» изучается в курсе алгебры 9 класса в системе уроков по теме «Функции». Данный урок требует тщательной подготовки. А именно, таких методов и средств обучения, которые дадут поистине хорошие результаты.

Автор данного видеоурока позаботился о том, чтобы помочь учителям при подготовке к урокам по этой теме. Он разработал видеоурок с учетом всех требований. Материал подобран по возрасту школьников. Он не перегружен, но достаточно емок. Автор подробно рассказывает материал, останавливаясь на более важных моментах. Каждый теоретический пункт сопровождается примером, чтобы восприятие учебного материала было гораздо эффективнее и качественнее.

Урок может быть использован учителем на обычном уроке алгебры в 9 классе в качестве определенного этапа урока - объяснение нового материала. Учителю не придется в этот период ничего говорить или рассказывать. Ему достаточно включить этот видеоурок и следить за тем, чтобы обучающиеся внимательно слушали и записывали важные моменты.

Урок может использоваться и школьниками при самостоятельной подготовке к уроку, а также для самообразования.

Длительность урока составляет 8:17 минут. В начале урока автор замечает, что одной из важных функций является квадратичная функция. Затем вводится квадратичная функция с математической точки зрения. Дается ее определение с пояснениями.

Далее автор знакомит обучающихся с областью определения квадратичной функции. На экране появляется правильная математическая запись. После этого автор рассматривает пример квадратичной функции на реальной ситуации: за основу взята физическая задача, где показано, как зависит путь от времени при равноускоренном движении.

После этого автор рассматривает функцию y=3x^2. На экране появляется построение таблицы значений этой функции и функции y=x^2. Согласно данным этих таблиц строятся графики функций. Здесь же в рамке появляется пояснение, как получается график функции y=3x^2 из y=x^2.

Рассмотрев два частных случая, примера функции y=ax^2, автор приходит к правилу, как получается график этой функции из графика y=x^2.

Далее рассматривается функция y=ax^2, где a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.

Затем из свойств выводятся следствия. Их четыре. Среди них появляется новое понятие - вершины параболы. Далее следует замечание, где говорится, какие преобразования возможны для графика данной функции. После этого говорится о том, как получается график функции y=-f(x) из графика функции y=f(x), а также y=af(x) из y=f(x).

На этом урок, содержащий учебный материал заканчивается. Остается его закрепить, подобрав соответствующие задания в зависимости от способностей обучающихся.

ЗНАКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Решение.

График функции - парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, если и вниз, если Значение определяет ординату вершины параболы. Если то вершина параболы находится над осью абсцисс, а если меньше нуля, то ниже. Таким образом, получаем, ответ: A - 4, Б - 1, В - 2, Г - 3.

Ответ: 4123.

Ответ: 4123

y = ax 2 + bx + c a и c .

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

Ответ: 431

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c .

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

Ответ: 143

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c a и c .

Графики

Коэффициенты

Решение.

c x c Таким образом, графикам соответствуют следующие коэффициенты: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

Ответ: 321

На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c .

Графики

Коэффициенты

Решение.

Если парабола задана уравнением , то: при то ветви параболы направлены вверх, а при - вниз. Значение c соответствует значению функции в точке x = 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c положительно, если ниже оси абсцисс - отрицательно.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 4, Б - 2, В - 3.

Ответ: 423.

Ответ: 423

На рисунках изображены графики функций вида y=ax +bx+c . Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

Решение.

График функции - парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, если и вниз, если . Значение определяет ординату вершины параболы. Если , то вершина параболы находится над осью абсцисс, а если , то ниже. Таким образом, получаем ответ: A - 3, Б - 2, В - 1.

Ответ: 321

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Ответ: 321.

Ответ: 321

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Ответ: 231.

Ответ: 231

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А	Б	В

Решение.

Ответ: 123.

Ответ: 123

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Ответ: 312.

Ответ: 312

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 2, Б - 1, В - 3.

Ответ: 213.

Ответ: 213

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

A	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 2, Б - 3, В - 1.

Ответ: 231.

Ответ: 231

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3.

Ответ: 123.

Ответ: 123

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

A	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 2, В - 1.

Ответ: 321

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

ГРАФИКИ

А)

Б)

В)

КОЭФФИЦИЕНТЫ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 2, В - 1.

Ответ: 321.

Ответ: 321

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 3, В - 2.

Ответ: 132.

Ответ: 132

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 3, Б - 1, В - 2.

Ответ: 312.

Ответ: 312

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3.

Ответ: 123.

Ответ: 123

КОЭФФИЦИЕНТЫ

ГРАФИКИ

Решение.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А - 1, Б - 2, В - 3.

Конспект урока по алгебре для 8 класса средней общеобразовательной школы

Тема урока : Функция

Цель урока:

· Образовательная: определить понятие квадратичной функции вида (сравнить графики функций и), показать формулу нахождения координат вершины параболы (научить применять данную формулу на практике); сформировать умение определения свойств квадратичной функции по графику (нахождение оси симметрии, координат вершины параболы, координат точек пересечения графика с осями координат).

· Развивающая : развитие математической речи, умения правильно, последовательно и рационально излагать свои мысли; развитие навыка правильной записи математического текста при помощи символов и обозначений; развитие аналитического мышления; развитие познавательной деятельности учащихся через умение анализировать, систематизировать и обобщать материал.

· Воспитательная : воспитание самостоятельности, умения выслушать других, формирование аккуратности и внимания в письменной математической речи.

Тип урока : изучение нового материала.

Методы обучения:

обобщенно-репродуктивный, индуктивно-эвристический.

Требования к знаниям и умениям учащихся

знать, что такое квадратичная функция вида, формулу нахождения координат вершины параболы; уметь находить координаты вершины параболы, координаты точек пересечения графика функции с осями координат, по графику функции определять свойства квадратичной функции.

Оборудование :

План урока

I. Организационный момент (1-2 мин)

II. Актуализация знаний (10 мин)

III. Изложение нового материала (15 мин)

IV. Закрепление нового материала (12 мин)

V. Подведение итогов (3 мин)

VI. Задание на дом (2 мин)

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие, проверка отсутствующих, сбор тетрадей.

II. Актуализация знаний

Учитель : На сегодняшнем уроке мы изучим новую тему: "Функция ". Но для начала повторим ранее изученный материал.

Фронтальный опрос:

1) Что называется квадратичной функцией? (Функция, где заданные действительные числа, действительная переменная, называется квадратичной функцией.)

2) Что является графиком квадратичной функции? (Графиком квадратичной функции является парабола.)

3) Что такое нули квадратичной функции? (Нули квадратичной функции – значения, при которых она обращается в нуль.)

4) Перечислите свойства функции. (Значения функции положительны при и равно нулю при; график функции симметричен относительно ос ординат; при функция возрастает, при - убывает.)

5) Перечислите свойства функции. (Если, то функция принимает положительные значения при, если, то функция принимает отрицательные значения при, значение функции равно 0 только; парабола симметрична относительно оси ординат; если, то функция возрастает при и убывает при, если, то функция возрастает при, убывает – при.)

III. Изложение нового материала

Учитель : Приступим к изучению нового материала. Откройте тетради, запишите число и тему урока. Обратите внимание на доску.

Запись на доске : Число.

Функция.

Учитель : На доске вы видите два графика функций. Первый график, а второй. Давайте попробуем сравнить их.

Свойства функции вы знаете. На их основании, и сравнивая наши графики, можно выделить свойства функции.

Итак, как вы думаете, от чего будет зависеть направление ветвей параболы?

Ученики: Направление ветвей обеих парабол будет зависеть от коэффициента.

Учитель: Совершенно верно. Так же можно заметить, что у обеих парабол есть ось симметрии. У первого графика функции, что является осью симметрии?

Ученики: У параболы вида осью симметрии является ось ординат.

Учитель: Верно. А что является осью симметрии параболы

Ученики: Осью симметрии параболы является линия, которая проходит через вершину параболы, параллельно оси ординат.

Учитель : Правильно. Итак, осью симметрии графика функции будем называть прямую, проходящую через вершину параболы, параллельную оси ординат.

А вершина параболы – это точка с координатами. Они определяются по формуле:

Запишите формулу в тетрадь и обведите в рамочку.

Запись на доске и в тетрадях

Координаты вершины параболы.

Учитель : Теперь, чтобы было более понятно, рассмотрим пример.

Пример 1 : Найдите координаты вершины параболы.

Решение: По формуле

имеем:

Учитель : Как мы уже отметили, ось симметрии проходит через вершину параболы. Посмотрите на доску. Начертите этот рисунок в тетради.

Запись на доске и в тетрадях:

Учитель: На чертеже: - уравнение оси симметрии параболы с вершиной в точке, где абсцисса вершины параболы.

Рассмотрим пример.

Пример 2: По графику функции определите уравнение оси симметрии параболы.

Уравнение оси симметрии имеет вид: , значит, уравнение оси симметрии данной параболы.

Ответ: - уравнение оси симметрии.

IV. Закрепление нового материала

Учитель : На доске записаны задания, которые необходимо решить в классе.

Запись на доске : № 609(3), 612(1), 613(3)

Учитель: Но сначала решим пример не из учебника. Решать будем у доски.

Пример 1: Найти координаты вершины параболы

Решение: По формуле

имеем:

Ответ: координаты вершины параболы.

Пример 2: Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.

Решение: 1) С осью:

По теореме Виета:

Точки пересечения с осью абсцисс (1;0) и (2;0).

2) С осью:

Точка пересечения с осью ординат (0;2).

Ответ: (1;0), (2;0), (0;2) – координаты точек пересечения с осями координат.

№ 609(3). Найти координаты вершины параболы

Решение: Абсцисса вершины параболы:

Ордината вершины параболы:

Ответ: - координаты вершины параболы.

№ 612(1). Проходит ли ось симметрии параболы через точку (5;10)?

Решение: Уравнение оси симметрии: .

Находим абсциссу вершины параболы: . Значит, уравнение оси симметрии выглядит. Схематично начертим данную параболу:

Следовательно, ось симметрии проходит через точку (5;10).

№ 613(3). Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат.

Решение: 1) С осью:

Ищем дискриминант:

значит с осью абсцисс точек пересечения нет.

Точка пересечения с осью ординат (0;12).

Ответ: (0;12) – координаты точки пересечения с осью ординат, с осью абсцисс парабола не пересекается.

V. Подведение итогов

Учитель: На сегодняшнем уроке мы изучили новую тему: "Функция ", научились находить координаты вершины параболы, координаты точек пересечения параболы с осями координат. На следующем уроке мы продолжим решение задач по данной теме.

VI. Домашнее задание

Учитель: На доске записано задание на дом. Запишите его в дневники.

Запись на доске и в дневниках: §38, № 609(2), 612(2), 613(2).

Литература

1. Алимов Ш.А. Алгебра 8 класс

2. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе

3. Мишин В.И. Частная методика преподавания математики в средней школе

Конспект урока по алгебре. 9 класс

Тема урока:

«Функция y=ax 2 , ее график и свойства»

Цель урока: организовать деятельность учащихся по формированию умений построения графика функции y=ax² с помощью преобразований, изучению свойств функции y=ax² и применению их к решению задач.

Задачи урока:

Образовательная: создать условия для формирования и закрепления навыков построения и чтения графика функции y=аx 2 .

Развивающая: создать условия для развития умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание.

Воспитательная: создать условия для развития познавательного интереса, способствовать развитию интеллектуальных способностей.

УУД:

Познавательные:

уметь ориентироваться в своей системе знаний

добывать новые знания.

Регулятивные:

уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

проговаривать последовательность действий на уроке;

работать по составленному плану;

планировать свое действие в соответствии с поставленной задачей;

высказывать свое предположение.

Коммуникативные:

уметь выражать свои мысли в устной форме;

слушать и понимать речь других.

Личностные:

систематизация и оценивание новой информации

Тип урока: урок «открытия» нового знания.

1. организационный

Цель: Подготовка учащегося к работе.

Методы: Словесные

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Примечание

Здравствуйте!

Все знаете телевизионную игру на канале ТНТ «Где логика?» ведущий

Поиграем.

Что общего?

Рис.1

Рис.2

Приветствуют учителя.

Ответ: Россия

Ответ: молоко

2. Актуализация знаний:

Цель: Обеспечение мотивации к познавательной деятельности и подготовка к усвоению нового материала.

Методы: словесные, наглядные.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Примечание

Ребята, попытайтесь изобразить траекторию движения снаряда, выпущенного и орудия, ствол которого направлен под углом 45 градусов к горизонту.

Посмотрите на картинку

Что общего можно заметить в них?

А что эти линии вам напоминают?

Вспомните, как они называются?

Графиком какой функции является парабола?

А какой формулой она задается?

Сегодня на уроке мы продолжим изучение квадратичной функции, рассмотренной в курсе 8 класса. И, чтобы узнать, как звучит тема нашего урока, посмотрите на следующие примеры функций. Что в них общего и чем они различаются?

Значит, мы будем рассматривать функции, которые отличаются от функции y=x 2 на коэффициент перед x 2 . Обозначим этот коэффициент буквой а. Итак, какой формулой тогда будут заданы такие функции?

Тема нашего урока:

Какие цели поставим перед собой?

Сегодня на уроке мы выясним, как выглядят графики функций вида y=аx 2 , узнаем их особенности и рассмотрим их свойства.

Каждый делает рисунок в тетради и сравнивает его с рисунком на доске или слайде.

Похожие формы линий

Параболы

Квадратичной

y=x 2

Везде есть переменная x 2 , но перед x 2 стоят разные числа

y=аx 2

Записывают тему урока

Узнать, как строится график функции y=аx 2 , выяснить свойства функции

у;.

Тема урока:

«Функция y=ax 2 , ее график и свойства»

3. Постановка учебной задачи.

Цель: Постановка учебной задачи путем использования ранее выработанных навыков применительно к новой ситуации

Методы: словесные, наглядные.

Одной из важных функций является квадратичная функция.

Квадратичной называется функция вида у= аx 2 +bx+c, где х - независимая переменная, a, b, c - некоторые числа, а не равно 0. Изучение квадратичной функции начнем с частного случая - функции y=аx 2 , (это случай, когда коэффициенты b и c квадратичной функции равны 0).

При а=1, функция примет вид y=x 2 ,которую мы уже изучали в прошлом году. Как мы знаем, ее графиком является парабола.

Для того, чтобы выяснить свойства и особенности графиков функции y=аx 2 в зависимости от коэффициента а, рассмотрим следующие примеры.

Слушают учителя

Функция y=аx 2 -частный случай квадратичной функции у= аx 2 +bx+c.

4. «Открытие» нового знания.

Цель: Отработка алгоритма построения графика функции y=ax 2 .

Методы: Словесные, объяснительно-иллюстративные.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Примечание

Рассмотрим графики функций y=x 2 , y=2x 2 , y=1/2x 2 и исследуем их свойства.

Для этого построим в одной системе координат их графики.

Внимательно посмотрим на значения всех трех функций в таблице и на построенные графики функций. Что в них общего? В чем отличия?

Давайте попробуем сформулировать выводы и свойства функции y=аx 2 . Причем, отметим, что коэффициент а>0.

Но сначала на следующем рисунке посмотрим, как параболы с коэффициентом а>1 расположены по одну сторону от графика функции у= x 2 , а параболы с коэффициентом 0<а<1 - по другую.

Вывод: График функции у=a x 2 2 растяжением его от оси Ох в a раз, если а>1.

Вывод: График функции у=a x 2 можно получить из графика функции у=x 2 сжатием его к оси Ох в 1/a раз, если 0<а<1.

Свойства функции у=a x 2 , если коэффициент а> 0.

Теперь построим в одной системе координат графики функций

y= - 1/2x 2 и y=1/2x 2 .

Что заметили общего и чем параболы отличаются?

График функции у=-1/2х 2 симметричен графику функции у=1/2х 2 относительно оси Ох.

вывод: График функции у=ах 2 (а<0) симметричен графику функции у=ах 2 (а>0) относительно оси Ох.

можем сделать вывод, что в зависимости от знака коэффициента а зависит направление ветвей параболы. Если а>0, то ветви параболы направлены вверх, а если а<0, то ветви параболы направлены вниз.

Итак, мы рассмотрели особенности и свойства графиков функции y=аx 2 в зависимости от коэффициента а.

Ученики строят в тетради графики по значениям из таблицы в учебнике в одной системе координат и подписывает каждую параболу. Параллельно ученики комментируют свои действия.

Все три параболы проходят через точку с координатами (0; 0), расположены вверх от оси Ох. Все значения функции y=2x 2 в 2 раза больше, чем у функции y=x 2 , а все значения функции y=1/2x 2 в 2 раза меньше, чем у функции y=x 2 ).

Записывают в таблицу

Читают в учебнике

Выполняют построение.

Обе функции проходят через начало координат, параболы имеют одинаковую форму, но расположены по разные стороны относительно оси Ох

Записывают в тетрадь

Ученики слушают объяснения свойств функции у=a x 2 и отвечают на вопросы учителя

Прием технологии развития критического мышления

Сводная таблица

y=аx 2

а> 1

y=аx 2

Выполняют тест

8. Домашнее задание.

Цель: Обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Методы: Объяснение.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Примечание

Для закрепления темы в качестве домашнего задания следующее:

1. Запомнить записи в тетради.

2. Выполнить упражнение № 95 из учебника.

Записывают домашнее задание

9. Рефлексия

Цель: Подведение итогов урока, анализ и оценка деятельности.

Деятельность учителя

Деятельность учащегося

Примечание

Составим синквейн

(метод развития критического мышления)

Составляют и озвучивают

синквейн

Функция у=a x 2

Квадратичная, симметричная, практичная

Возрастает, убывает, принимает

Частный случай у= аx 2 +bx+c.

Парабола.

Рассмотрим выражение вида ах 2 +вх+с, где а, в, с - действительные числа, а отлично от нуля. Это математическое выражение известно как квадратный трехчлен.

Напомним, что ах 2 - это старший член этого квадратного трехчлена, а - его старший коэффициент.

Но не всегда у квадратного трехчлена присутствуют все три слагаемые. Возьмем для примера выражение 3х 2 + 2х, где а=3, в=2, с=0.

Перейдем к квадратичной функции у=ах 2 +вх+с, где а, в, с - любые произвольные числа. Эта функция является квадратичной, так как содержит член второй степени, то есть х в квадрате.

Довольно легко построить график квадратичной функции, например, можно воспользоваться методом выделения полного квадрата.

Рассмотрим пример построения графика функции у равно -3х 2 - 6х + 1.

Для этого первое, что вспомним, схему выделения полного квадрата в трехчлене -3х 2 - 6х + 1.

Вынесем -3 у первых двух слагаемых за скобки. Имеем -3 умножить на сумму х квадрат плюс 2х и прибавить 1. Добавив и отняв единицу в скобках, получаем формулу квадрата суммы, которую можно свернуть. Получим -3 умножить на сумму (х+1) в квадрате минус 1 прибавить 1. Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, выходит выражение: -3 умноженное на квадрат суммы (х+1) прибавить 4.

Построим график полученной функции, перейдя к вспомогательной системе координат с началом в точке с координатами (-1; 4).

На рисунке из видео эта система обозначена пунктирными линиями. Привяжем функцию у равно -3х 2 к построенной системе координат. Для удобства возьмем контрольные точки. Например, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). При этом отложим их в построенной системе координат. Полученная при построении парабола является необходимым нам графиком. На рисунке это красная парабола.

Применяя метод выделения полного квадрата, мы имеем квадратичную функцию вида: у = а*(х+1) 2 + m.

График параболы у = ах 2 + bx + c легко получить из параболы у=ах 2 параллельным переносом. Это подтверждено теоремой, которую можно доказать, выделив полный квадрат двучлена. Выражение ах 2 + bx + c после последовательных преобразований превращается в выражение вида: а*(х+l) 2 + m. Начертим график. Выполним параллельное перемещение параболы у = ах 2 , совмещая вершину с точкой с координатами (-l;m). Важно то, что х= -l, а значит -b/2а. Значит эта прямая является осью параболы ах 2 + bx + c, ее вершина находится в точке с абсциссой х нулевое равно минус в, деленное на 2а, а ордината вычисляется по громоздкой формуле 4ас - b 2 /. Но эту формулу запоминать не обязательно. Так как, подставив значение абсциссы в функцию, получим ординату.

Для определения уравнения оси, направления ее ветвей и координат вершины параболы, рассмотрим следующий пример.

Возьмем функцию у = -3х 2 - 6х + 1. Составив уравнение оси параболы, имеем, что х=-1. А это значение является координатой х вершины параболы. Осталось найти только ординату. Подставив значение -1 в функцию, получим 4. Вершина параболы находится в точке (-1; 4).

График функции у = -3х 2 - 6х + 1 получен при параллельном переносе графика функции у = -3х 2 , значит, и ведет себя аналогично. Старший коэффициент отрицателен, поэтому ветви направлены вниз.

Мы видим, что для любой функции вида y = ах 2 + bx + c, самым легким является последний вопрос, то есть направление веток параболы. Если коэффициент а положительный, то ветви - вверх, а если отрицательный, то - вниз.

Следующим по сложности идет первый вопрос, потому что требует дополнительных вычислений.

И самый сложный второй, так как, кроме вычислений, еще необходимы знания формул, по которым находятся х нулевое и у нулевое.

Построим график функции у = 2х 2 - х + 1.

Определяем сразу - графиком является парабола, ветви направлены вверх, так как старший коэффициент равен 2, а это положительное число. По формуле находим абсциссу х нулевое, она равна 1,5. Для нахождения ординаты вспомним, что у нулевое равно функции от 1,5, при вычислении получим -3,5.

Вершина - (1,5;-3,5). Ось - х=1,5. Возьмем точки х=0 и х=3. у=1. Отметим данные точки. По трем известным точкам строим искомый график.

Для построения графика функции ах 2 + bx + c необходимо:

Найти координаты вершины параболы и отметить их на рисунке, потом провести ось параболы;

На оси ох взять две симметричные, относительно оси, параболы точки, найти значение функции в этих точках и отметить их на координатной плоскости;

Через три точки построить параболу, при необходимости можно взять еще несколько точек и строить график по ним.

В следующем примере мы научимся находить наибольшее и наименьшее значения функции -2х 2 + 8х - 5 на отрезке .

По алгоритму: а=-2, в=8, значит х нулевое равно 2, а у нулевое - 3, (2;3) - вершина параболы, а х=2 является осью.

Возьмем значения х=0 и х=4 и найдем ординаты этих точек. Это -5. Строим параболу и определяем, что наименьшее значение функции -5 при х=0, а наибольшее 3, при х=2.

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей Как найти прямую пересечения двух плоскостей

Переподготовка увольняемых военнослужащих II