Векторы в банке заданий огэ. Задание по геометрии

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор - это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А - начало вектора, а точка В - его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора - это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается

Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными , если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора и сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора и , а также и направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными : вектора , и - коллинеарны.

Произведением вектора на число называется вектор, сонаправленный вектору , если title="k>0">, и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :

Чтобы сложить два вектора и , нужно начало вектора соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора с концом вектора :

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника .

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма , нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор :

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов : чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора с концом вектора (то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором и вектором , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами:

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для , а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1 . Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и .

2 . Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

3 . Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD O . Найдите длину суммы векторов и .

4 . Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O . Найдите длину разности векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

5 . Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .

6 . Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .

7 .Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).

8 .Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .

9 . Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .

10 . Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора - .(чертеж из предыдущей задачи).

11 .Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .(чертеж из предыдущей задачи).

12 . Задание 4 (№ 27720)

ABC равны Найдите длину вектора +.

13 . Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора -.(чертеж из предыдущей задачи).

14 . Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox

Решение задач. геометрия по теме Векторы

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ

Прототип задания B3

1.Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора.

Решение.

По правилу треугольника:

Найдём длину AD из п/у ∆AOD

(т.к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BD

и ВО = ОD = 6, АО = ОС = 8)

Прототип задания B3

Две стороны прямоугольника ABCD

Прототип задания B3

Две стороны прямоугольника ABCD равны 60 и 45

Решение.

По правилу треугольника:

Прототип задания B3

Две стороны прямоугольника равны 15 и 23. Диагонали пересекаются в точке О . Найдите длину суммы векторов и.

Решение.

По правилу треугольника:

Прототип задания B3

О . Найдите длину разности векторов и.

Прототип задания B3

Две стороны прямоугольника равны 13 и 25. Диагонали пересекаются в точке О . Найдите длину разности векторов и.

Решение.

По правилу треугольника:

Прототип задания B3

Диагонали ромба ABCD

Прототип задания B3

Диагонали ромба ABCD равны 54 и 72. Найдите длину вектора.

Решение.

Найдём длину из п/у ∆AOB

(т.к. ABCD – ромб, то АС ⊥ BD

и ВО = ОD = 27, АО = ОС = 36)

Прототип задания B3

Диагонали ромба ABCD

Прототип задания B3

Диагонали ромба ABCD равны 44 и 66. Найдите длину вектора.

Решение.

По правилу параллелограмма

Прототип задания B3

ABC

Прототип задания B3

Стороны правильного треугольника ABC равны. Найдите длину вектора.

Решение.

По правилу параллелограмма:

где АО – высота, медиана,

биссектриса р/с ∆ АВС

Ответ: 135.

Прототип задания B3 ЕГЭ

Стороны правильного треугольника ABC

Прототип задания B3 ЕГЭ

Стороны правильного треугольника ABC равны 18. Найдите скалярное произведение векторов и.

Решение.

По определению скалярного

произведения, имеем:

60 °

Ответ: 162.

Дан вектор.

Прототип задания B3(2018 ЕГЭ и задание19 ОГЭ)

Дан вектор.

Найдите: 1) координаты вектора; 2) длину вектора.

8 – 2

Решение.

1) координаты вектора:

2) длина вектора:

9 – 1

Ответ: 1) {8; 6}; 2) 10.

Прототип задания B3(2018 ЕГЭ и задание19 ОГЭ)

Даны векторы и.

Найдите: 1) скалярное произведение; 2) длины векторов.

Решение.

Координаты векторов и:

1) скалярное произведение:

2) длины векторов:

Ответ: 1) 40; 2) √40; √80.

Прототип задания B3(2018 ЕГЭ и задание19ОГЭ

Даны векторы и.

Найдите: 1) сумму координат вектора;

2) найдите квадрат длины вектора.

Решение.

Координаты векторов и:

1) сумма координат вектора:

2) квадрат длины вектора:

1) сумма векторов:

сумма координат вектора:

Ответ: 1) 20; 2) 200.

Прототип задания B3(2018 ЕГЭ и задание19 ОГЭ)

Найдите угол между векторами и.

Ответ дайте в градусах.

Решение.

Координаты векторов и:

Найдём угол между ними через скалярное

произведение:

Прототип задания B3

Две стороны прямоугольника ABCD равны 17 и 26. Найдите скалярное произведение векторов и.

Решение.

Т.к. векторы ⊥ , то

их скалярное произведение

Стандартное определение: «Вектор - это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением - «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение - векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с 2 . Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля - тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B . Конечный результат - его перемещение из точки A в точку B , то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор - это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора - там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы - новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует - ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1 . Нулевым - вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат - той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа - ее координаты по x и y , абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора - по x и по y .
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1 . Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2 . Второй способ сложения векторов - правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В , из В в С , из С в D , затем в Е и в F . Конечный результат этих действий - перемещение из А в F .

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и - это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание - перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов - силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике , знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы - полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Решение заданий 4 ВЕКТОРЫ по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2015 года МБОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный учитель математики Е.Ю. Семёнова

По правилу треугольника: Прототип задания B5 (27709) Две стороны прямоугольника ABCD равны 60 и 45. Найдите длину разности векторов и. Ответ: 75. А С В D Решение.

Т.к. векторы, то их скалярное произведение Прототип задания B5 (27710) Две стороны прямоугольника ABCD равны 17 и 26. Найдите скалярное произведение векторов и. Ответ: 0. А С В D Решение.

Прототип задания B5 (27711) Две стороны прямоугольника равны 15 и 23. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину суммы векторов и. Ответ: 15. А С В D О По правилу треугольника: Решение.

Прототип задания B5 (27712) Две стороны прямоугольника равны 13 и 25. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов и. Ответ: 25. А С В D О По правилу треугольника: Решение.

Прототип задания B5 (27722) Стороны правильного треугольника ABC равны 18. Найдите скалярное произведение векторов и. Ответ: 162. А С В По определению скалярного произведения, имеем: Решение °

1) координаты вектора: 0 Прототип задания B5 (00000) Дан вектор. Найдите: 1) координаты вектора; 2) длину вектора. Решение. x 9 y Ответ: 1) {8; 6}; 2) 10. 2) длина вектора: или: 9 – 1 8 – 2

Координаты векторов и: 1) скалярное произведение: 2) длины векторов: 0 Прототип задания B5 (00000) Даны векторы и. Найдите: 1) скалярное произведение; 2) длины векторов. Решение. x 8 y Ответ: 1) 40; 2) 40; 80.

Координаты векторов и: 1) сумма координат вектора: 2) квадрат длины вектора: 0 Прототип задания B5 (00000) Даны векторы и. Найдите: 1) сумму координат вектора; 2) найдите квадрат длины вектора. Решение. x 8 y Ответ: 1) 20; 2)) сумма векторов: сумма координат вектора: