Чтобы легко справиться с решением задач на шар, вписанный в пирамиду, полезно разобрать небольшой теоретический материал.
Шар вписан в пирамиду (или сфера вписана в пирамиду) — значит, шар (сфера) касаются каждой грани пирамиды. Плоскости, содержащие грани пирамиды, являются касательными плоскостями шара. Отрезки, соединяющие центр шара с точками касания, перпендикуляры к касательным плоскостям. Их длины равны радиусу шара. Центр вписанного в пирамиду шара — точка пересечения бисекторных плоскостей двугранных углов при основании (то есть плоскостей, делящих эти углы пополам).
Чаще всего в задачах речь идет о шаре, вписанном в правильную пирамиду. Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара в этом случае лежит на высоте пирамиды. При решении задачи удобно провести сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды.
Если пирамида четырехугольная или шестиугольная, сечение представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого — апофемы, а основание — диаметр вписанной в основание окружности.
Если пирамида треугольная или пятиугольная, достаточно рассмотреть лишь часть этого сечения — прямоугольный треугольник, катеты которого — высота пирамиды и радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а гипотенуза — апофема.
В любом случае, в итоге приходим к рассмотрению соответствующего прямоугольного треугольника и других связанных с ним треугольников.
Итак, в прямоугольном треугольнике SOF катет SO=H — высота пирамиды, катет OF=r — радиус вписанной в основание пирамиды окружности, гипотенуза SF=l — апофема пирамиды. O1- центр шара и, соответственно, окружности, вписанной в треугольник, полученный в сечении (мы рассматриваем его часть). Угол SFO — линейный угол двугранного угла между плоскостью основания и плоскостью боковой грани SBC. Точки K и O — точки касания, следовательно, O1K перпендикулярен SF. OO1=O1K=R — радиусу шара.
Прямоугольные треугольники OO1F и KO1F равны (по катетам и гипотенузе). Отсюда KF=OF=r.
Прямоугольные треугольники SKO1 и SOF подобны (по острому углу S), откуда следует, что
В треугольнике SOF применим свойство биссектрисы треугольника:
Из прямоугольного треугольника OO1F
При решении задач на шар, вписанный в правильную пирамиду, будет полезным еще одно рассуждение.
Теперь найдем отношение объема пирамиды к площади ее поверхности.
Странно что ты не нашел решение, я уже решал эту задачу.
Диагональ основания этой пирамиды будет равна диаметру шара.
Центр шара лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в квадрат.
В конусе даны радиус основания R и высота H. Найдите ребро вписанного в него куба
O1P1=a, сторона куба вписанного в конус радиусом R и высотой H
По подобию треугольников POS и P1O1S
H /SO1 = R / P1O1
P1O1 = a/√2. Является половиной диагонали основания куба и найдется так потому что угол у пересечения диагоналей равен 90 градусов.
Теперь запишем это все как соотношение:
H/(H-a)=R/(a/√2)
Ha/√2 = RH – Ra
Образующ. конуса 13 см, высота 12 см. Конус пересечен прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до основания равно 6 см, а до высоты 2 см. Найдите отрезок этой прямой, заключенной внутри конуса.
Радиус основания конуса равен 5, это стоит запомнить так как еще одна тройка Пифагора 5-12-13.
По подобию k=SO1/SO=2, следовательно OS=R/2=2.5
2.52-22=a2, где a - длина нашего отрезка.
Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями альфа и бета, проведены прямые к и м. Прямая к пересекает плоскости альфа и бета в точках А1 и А2 соответственно, прямая м - в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А2В2, если А1В1=12 см,В1О:ОВ2=3:4
Тут все очень просто если вы знаете что они параллельны, ну плоскости, получается углы B2OA2 и B1OA1 равны между собой. А стороны A1B1 и A2B2 параллельны. Значит треугольники подобные и следовательно относиться стороны будут между собой
В1О:ОВ2 = A1B1/A2B2 = 3/4
В тетраэдре ДАВС угол ДВА=углуДВС=90 градусов, ДВ=6,АВ=ВС=8,АС=12. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ДВ и параллельно плоскости АДС. Найдите площадь сечения.
Практические идентичная задача, только тут всего лишь трудность построить такое сечение. Для начала выделите основные моменты. Именно в этой задаче еще раз придется вернуться к коэффициенту подобия k, который найдется из частного сторон подобных фигур. В общем это писалось неоднократно, и формулы простейшие.
A1B1 - является средней линией равнобедренного треугольника ABC. Плоскости построенные на треугольниках ABД и A1B1Д1 параллельны.
Следовательно треугольники ABД и A1B1Д1 подобные и притом все стороны A1B1Д1 вдвое меньше сторон ABД.
Получается что Д1B1=ДB/2=3
S(ΔA1B1Д1)=3*4/2=6
Все грани параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 прямоугольники, АД=4,ДС=8,СС1=6. Через середину ребра ДС параллельно плоскости АВ1С1 проведена плоскость.Найдите периметр сечения .
Комбинация шара и усеченной пирамиды. В правильную четырехугольную усеченную пирамиду вписан шар. Стороны нижнего и верхнего оснований равны 18 и 8 см соответственно. Требуется найти радиус шара, объем пирамиды.
Слайд 40 из презентации ««Задачи по геометрии» 11 класс» . Размер архива с презентацией 1032 КБ.Геометрия 11 класс
краткое содержание других презентаций«Задачи в координатах» - Найти координаты вектора АВ, если А (3; -1; 2) и В (2; -1; 4). С – середина отрезка. Как найти координаты вектора. Координаты вектора a { x ; y ; z }. Простейшие задачи в координатах. Решение задач. Угол между векторами. Формирование умений выполнять обобщение. Скалярное произведение. Найти скалярное произведение векторов. Цели урока. Вектор AB. М – середина отрезка АВ. Решение задач: (по карточкам).
«Теорема о трёх перпендикулярах» - Перпендикуляр к плоскости треугольника. Катеты. Доказательство. Прямая. Теорема о трёх перпендикулярах. Перпендикуляр. Точка. Задачи на применение ТТП. Отрезок. Подумай. Мышление. Перпендикуляр к плоскости параллелограмма. Отрезок МА. Отрезок МС. Сторона ромба. Пересечения диагоналей. Теорема. Расстояние. Задачи на построение. Перпендикуляры к прямым. Обратная теорема. Равные перпендикуляры. Точка М.
«Векторы в пространстве» - Действия с векторами. Координаты вектора. Умение выполнять действия. Векторы являются некомпланарными. Определение вектора. Разность двух векторов. Действие с векторами. Правило многоугольника. Разности. Решение. Векторы в пространстве. Соноправленные векторы. Единственный вектор. Умножение двух векторов.
««Прямоугольный параллелепипед» геометрия» - Найдите объём многогранника. Найдите площадь поверхности многогранника. Прямоугольный параллелепипед. Формулы полной поверхности и объёма прямоугольного параллелепипеда. Найдите угол CAD. Объем куба равен 64. Все двугранные углы прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами. Прямоугольный параллелепипед в задачах В9 и В11 ЕГЭ. Найдите объём.
«В мире многогранников» - Теорема Эйлера. Геометрия. Тела Кеплера - Пуансо. Пять выпуклых правильных многогранников. Тела Архимеда. Многогранники. Тетраэдр. Тело Ашкинузе. Мир многогранников. Магнус Веннинджер. Развёртки некоторых многогранников. Выпуклые многогранники. Математика. Фаросский маяк. Эйлерова характеристика. Царская гробница. Звездчатый додекаэдр. Правильные многогранники. Огонь. Вершина куба. Александрийский маяк.
«Объёмы и поверхности тел вращения» - Проблема. Чайник в форме шара имеет наименьшую поверхность. Выдвижение и проверка гипотез. Формулирование проблемы. Объёмы и поверхности тел вращения. Обобщить знания. Объемы. Почему резервуар градусника быстрее нагревается. Примеры из практической деятельности. Выявить геометрическую форму.
