В предыдущем параграфе были выяснены условия равновесия тела при отсутствии вращения. Но как обеспечивается отсутствие вращения тела, т. е. его равновесие, когда на него действуют силы?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим тело, которое не может совершать поступательного движения, но может поворачиваться или вращаться. Чтобы сделать невозможным поступательное движение тела, его достаточно закрепить в одной точке так, как можно, например, закрепить доску на стене, прибив ее одним гвоздем; поступательное движение такой «пригвожденной» доски становится невозможным, но доска может поворачиваться вокруг гвоздя, который служит ей осью поворота.

Выясним, при каких условиях покоящееся тело с закрепленной осью не будет поворачиваться под действием приложенных к нему сил. Представим себе некоторое тело, к которому в разных точках приложены две силы: (рис. 163, а). Чтобы найти равнодействующую этих сил, перенесем точки их приложения в точку А (рис. 163, б), в которой пересекаются линии действия обеих сил. Построив параллелограмм на силах получим их равнодействующую

Теперь предположим, что в какой-то точке О на линии, вдоль которой направлена равнодействующая проходит закрепленная ось, перпендикулярная плоскости чертежа. Мы можем себе, например, представить, что в точке О сквозь тело проходит гвоздь, вбитый в неподвижную стену. Тело в этом случае будет находиться в покое, потому что равнодействующая уравновешивается силой реакции (упругости) со стороны закрепленной оси (гвоздя): обе они направлены вдоль одной и той же прямой, равны по абсолютной величине и противоположны по направлению.

Предположим теперь, что одна из сил, например перестала действовать, так что тело подвергается действию только одной силы (рис. 163, в). Из рисунка видно, что эта сила заставит тело вращаться вокруг оси О по часовой стрелке. Если, наоборот, устранить

силу то оставшаяся сила вызовет вращение против часовой стрелки (рис. 163, г). Значит, каждая из сил обладает вращающим действием, причем эти действия характеризуются противоположными направлениями. Но когда обе силы действуют совместно, их вращающие действия взаимно друг друга компенсируют: вместе они поворота не вызывают. Поэтому следует считать, что, хотя силы сами по себе различны как по величине, так и по направлению, их вращающие действия одинаковы, но противоположны по направлению.

Попытаемся найти величину, которая характеризует вращающее действие силы. Мы пока знаем только, что она должна иметь одинаковые численные значения для обеих сил:

Обратимся к рисунку Силы неодинаковы по абсолютным значениям: больше Зато расстояние от точки О (оси) до линии действия силы меньше расстояния от оси до линии действия силы Таким образом, но

Быть может, равны между собой произведения

Если это так, то можно будет сказать, что величина, равная произведению силы на длину перпендикуляра, опущенного с закрепленной оси на линию действия силы, как раз и характеризует вращающее действие силы.

Нетрудно доказать, что равенство

действительно выполняется. Для этого проведем на рисунке 163, д вспомогательные прямые ОС и ОВ, параллельные силам подобия треугольников АВО и следует, что

Отсюда, учитывая, что АВ = ОС, получаем:

Рассмотрим теперь треугольники ОВК и Эти треугольники подобны, как прямоугольные с равными углами при вершинах С и В (они дополняют равные углы АСО и АВО до 180°). Из их подобия следует, что

Сравнивая пропорции (1) и (2), получаем:

Сделанное выше предположение оправдалось.

Приведенное довольно длинное геометрическое рассуждение позволило нам найти величину, которая одинакова для обеих сил и характеризует вращающее действие силы. Такой величиной является произведение силы на расстояние от линии ее. действия до оси вращения. Величина эта носит несколько странное название - момент силы или вращающий момент относительно оси, проходящей через точку О.

1. Что изучают в статике.

2. Равновесие тел при отсутствии вращения.

3. Равновесие тел с закрепленной осью вращения. Момент силы. Правило моментов. Правило рычага.

4. Виды равновесия тел (устойчивое и неустойчивое). Центр тяжести.

1. Мы уже знаем, что законы Ньютона позволяют узнать, какие ускорения получают тела под действием приложенных к ним сил. Но очень часто бывает важно знать, при каких условиях тела, на которые могут действовать различные силы, не получают ускорений. О таких телах говорят, что они находятся в состоянии равновесия. В таком состоянии, в частности, находятся покоящиеся тела. Знать условия, при которых тела находятся в покое, очень важно для практики, например при постройке зданий, мостов, всевозможных опор, подвесов, при изготовлении машин, приборов и т.д. Для Вас этот вопрос, также не менее важен! Но основами равновесия в спорте более подробно занимается такая наука, как биомеханика, изучением которой вы займетесь на третьем курсе.

А механика занимается более общими вопросами. Та часть механики, в которой изучается равновесие твердых тел, называется статикой. Известно, что всякое тело может двигаться поступательно и, кроме того, вращаться или поворачиваться вокруг какой-нибудь оси. Чтобы тело находилось в покое, оно не должно ни двигаться поступательно, ни вращаться или поворачиваться вокруг какой-нибудь оси. Рассмотрим условия равновесия тел для этих двух видов возможного движения по отдельности. А выяснить, какие именно условия обеспечивают равновесие тел, помогут нам законы Ньютона.

2. Равновесие тел при отсутствии вращения. При поступательном движении тела можно рассматривать движение только одной точки тела -его центра масс. При этом мы должны считать, что в центре масс сосредоточена вся масса тела и к нему приложена равнодействующая всех сил, действующих на тело. (Сила, которая одна может сообщить телу такое же ускорение, как и все одновременно действующие на него силы, вместе взятые, называется равнодействующей этих сил).

Из второго закона Ньютона следует, что ускорение этой точки равно нулю, если геометрическая сумма всех приложенных к ней сил -равнодействующая этих сил - равна нулю. Это и есть условие равновесия тела при отсутствии его вращения.

Чтобы тело, которое может двигаться поступательно (без вращения), находилось в равновесии, необходимо, чтобы геометрическая сумма сил, приложенных к телу, была равна нулю. Но если геометрическая сумма сил равна нулю, то и сумма проекций векторов этих сил на любую ось тоже равна нулю. Поэтому условие равновесия тела можно сформулировать и так: чтобы невращающееся тело находилось в равновесии, необходимо, чтобы сумма приложенных к телу сил на любую ось была равна нулю.

В равновесии, например, находится тело, к которому приложены две равные силы, действующие вдоль одной прямой, но направленные в противоположные стороны (рис.1).

Состояние равновесия – это не обязательно состояние покоя. Из второго закона Ньютона следует, что, когда равнодействующая сил, приложенных к телу, равна нулю, тело может двигаться прямолинейно и равномерно. При таком движении тело тоже находится в состоянии равновесия.

Например, парашютист, после того как он начал падать с постоянной скоростью, находится в состоянии равновесия. На рисунке 1 силы приложены к телу не в одной точке. Но важна не точка приложения силы, а прямая вдоль которой она действует. Перенос точки приложения силы вдоль линии ее действия ничего не изменяет ни в движении тела, ни в состоянии равновесия. Ясно, например, что ничего не изменится, если вместо того чтобы тянуть вагонетку, ее станут толкать. Если равнодействующая сил, приложенных к телу, не равна нулю, то, для того чтобы тело находилось в состоянии равновесия, к нему должна быть приложена добавочная сила, равная по модулю равнодействующей, но противоположная ей по направлению.

Эта сила называется уравновешивающей.

3. Равновесие тел с закрепленной осью вращения. Момент силы. Правило моментов. Правило рычага. Пара сил.

Итак, условия равновесия тела при отсутствии вращения выяснены. Но как обеспечивается отсутствие вращения тела. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим тело, которое не может совершать поступательного движения, но может поворачиваться или вращаться. Чтобы сделать невозможным поступательное движение тела, его достаточно закрепить в одной точке так, как можно, например, закрепить доску на стене, прибив её одним гвоздем; поступательное движение такой доски становится невозможным, но доска может поворачиваться вокруг гвоздя, который служит ей осью вращения.

Теперь выясним, какие силы не могут и какие могут вызвать поворот (вращение) тела с закрепленной осью вращения. Рассмотрим, некоторое тело (см.рис.2), которое может поворачиваться, вокруг оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Из этого рисунка видно, что силыF 1 ,F 2 иF 3 не вызовут поворота тела. Линии их

действия проходят через ось вращения. Любая такая сила будет уравновешена силой реакции закрепленной оси. Поворот (или вращение) могут вызвать лишь такие силы, линии, действия которых не проходят через ось вращения. Сила F 1 , например, приложенная к телу так, как показано на рисунке 3, заставит тело повернуться по часовой стрелке, сила F 2 вызовет поворот тела против часовой стрелки.

Чтобы сделать поворот иди вращение невозможным, нужно, очевидно, приложить к телу по крайней мере две силы: одну, вызывающую поворот по часовой стрелке, другую - против часовой стрелки. Но эти две силы могут быть и неравны друг другу (по модулю). Например, сила F 2 (см. рис.4) вызывает поворот тела против часовой стрелки.

Как показывает опыт, ее можно уравновесить силой F 1 , вызывающей поворот тела по часовой стрелке, но по модулю меньшей чем сила F 2 . Значит, у этих двух неодинаковых по модулю сил одинаковое, так сказать "вращающее действие". Что же у них общего, что для них одинаково? Опыт показывает,

что в этом случае одинаково произведение модуля силы на расстояние от оси вращения до линии действия силы (слово "расстояние" здесь означает длину перпендикуляра, опущенного из центра вращения на направление действия силы). Это расстояние называется плечом силы. Плечо силы F 1 - это d 1 , плечо силы f 2 - это d 2 .  F 1  d 1 = F 2 d 2 ;

M = |f | d Итак, "вращающее действие" силы характеризуется произведением модуля силы на её плечо. Величина, равная произведению модуля силыF на её плечо d, называетсямоментом силы относительно оси вращения. Слова "относительно оси" в определении момента необходимы потому что, если, не изменяя ни модуля силы, ни её направления, перенести ось вращения, из точки О в другую точку, то изменится плечо силы, а значит и момент силы. Момент силы характеризует вращательное действие этой силы и во вращательном движении играет ту же роль, что и сила в поступательном движении.

Момент силы зависит от двух величин: от модуля самой силы и от ее плеча. Один и тот же момент силы может быть создан малой силой, плечо которой велико, и большой силой с малым плечом. Если, например, пытаться закрыть дверь, толкая ее поблизости от петель, то этому с успехом сможет противодействовать ребёнок, который догадается толкать ее в другую сторону, приложив силу поближе к краю, и дверь останется в покое. Для новой величины - момента силы – нужно найти единицу. За единицу момента силы в СИ принят момент силы в 1Н, линия действия которой отстоит от оси вращения на 1м. Эту единицу называют ньютон-метром (Н м).

Моментам сил, вращающих тело по часовой стрелке, принято приписывать положительный знак, а против часовой стрелки -отрицательный.

Тогда моменты сил F 1 иF 2 относительно оси О имеют противоположные знаки и их алгебраическая сумма равна нулю. Таким образом, мы можем написать условие равновесия тела с закрепленной осью: F 1 d 1 =F 2 d 2 или – F 1 d 1 +F 2 d 2 =0, М 1 +М 2 =0.

Следовательно, тело имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил относительно данной оси равна нулю, т.е. если сумма моментов сил, действующих на тело по часовой стрелке, равна сумме моментов сил действующих на тело против часовой стрелки.

Это условие равновесия тел с неподвижной осью вращения называют правилом моментов .

Рычаги. Правило рычага

Нетрудно понять, что из правила моментов следует знаменитое правило рычага.

Рычагом называют имеющее неподвижную ось вращения твердое тело, на которое действуют силы, стремящиеся повернуть его вокруг этой оси. Различают рычаги первого и второго года. Рычагом первого рода называют такой рычаг, ось вращения которого расположена между точками приложения сил, а сами силы направлены в одну и ту же сторону (см.рис. 5). Примерами рычагов первого рода могут служить коромысло равноплечих весов, железнодорожный шлагбаум, колодезный журавль, ножницы и т.д.

Рычагом второго рода называют такой рычаг, ось вращения которого расположена по одну сторону от точек приложения сил, а сами силы направлены противоположно друг другу (см. рис. 6) Примерами рычагов второго рода являются гаечные ключи, различные педали, щипцы для раскалывания орехов, двери и т.д. Согласно правилу моментов, рычаг (любого рода), урав-новешен только тогда, когда М 1 =М 2 . Поскольку М 1 =F 1 d 1 и М 2 =F 2 d 2 , получаем F 1 d 1 =F 2 d 2 . Из последней

формулы следует, что F 1 /F 2 =d 1 /d 2 . Рычаг находится в равновесии, когда действующие на него силы обратно пропорциональны их плечам. Но это не что иное, как другое выражение правила моментов: F 1 /F 2 =d 1 /d 2 . Из последней формулы видно, чтоcпомощью рычага можно получить выигрыш силе тем больший, чем больше соотношение плеч. Это широко используют на практике.

Пара сил. Две равные по модулю антипараллельные силы, приложенные к телу в разных точках, называют парой сил. Примерами пары сил могут служить силы, которые приложены к рулевому колесу автомобиля, электрические силы, действующие на диполь магнитные силы, действующие на магнитную стрелку и т.д. (см.рис 7).

Пара сил не имеет равнодействующей, т.е. совместное действие этих сил нельзя заменить действием одной силы. Поэтому пара сил не может вызвать поступательное движение тела, а вызывает только его вращение. Если при повороте тела под действием пары сил направления этих сил не изменяются, то поворот тела происходит до тех пор, пока обе силы не окажутся действующими противоположно друг другу вдоль прямой, проходящей через ось вращения тела.

Пусть на тело, имеющее закрепленную ось вращения О, действует пара сил f иf (см. рис.8). Моменты этих сил M 1 =|f |d 1 <0 и M 2 =|f | d 2 <0. Сумма моментов M 1 +M 2 =|f|(d 1 +d 2)= =|f|d0, следовательно, тело не находится в равновесии. Кратчайшее расстояние d=d 1 +d 2 между параллельными прямыми,

вдоль которых действуют силы, образующие пару сил, называют пле­чом пары сил; M=|f|d- это момент пары сил. Следовательно, момент пары сил равен произведению мо­дуля одной из сил этой пары на плечо пары независимо от положения оси вращения тела при условии, что эта ось перпендикулярна плоскости, в которой находится пара сил.

Если пара сил действует на тело, не имеющее закрепленную ось вращения, она вызывает вращение этого тела вокруг оси, отходящей через центр масс данного тела.

4. Виды равновесия тел.

Если тело находится в равновесии, то это значит, что сумма приложенных к нему сил равна нулю и сумма моментов этих сил относительно оси вращения также равна нулю. Но возникает вопрос: а устойчиво ли равновесие? (F = 0,M = 0).

С первого взгляда видно, например, что положение равновесия шарика на вершине выпуклой подставки неустойчиво: малейшее отклонение шарика от его равновесного положения приведёт к тому, что он скатится вниз. Поместим тот же шарик на вогнутой подставке. Его не так-то просто заставить покинуть свое место. Равновесие шарика можно считать устойчивым.

В чём же секрет устойчивости? В рассмотренных нами случаях шарик находится в равновесии: сила тяжестиf т, равна по модулю противоположно направленной силе упругости (силе реакции)N со стороны опоры. Всё дело, оказывается, именно в том малейшем отклонении, о котором мы упоминали. На рисунке 9 видно, что как только шарик на выпуклой подставке покинул свое место, сила тяжести f т перестаёт уравновешиваться силойN со стороны опоры (силаN всегда направлена

перпендикулярно поверхности соприкосновения шарика и подставки). Равнодействующая силы тяжести f т и силы реакции опорыN , т.е. сила F, направлена так, что шарик ещё больше удалится от положения равновесия. Иное дело на вогнутой подставке (рис.10). При малом отклонении от первоначального положения здесь тоже нарушается равновесие. Сила упругости со стороны опоры и здесь уже не будет уравновешивать силу тяжести. Но теперь равнодействующая этих силF T направлена так, что тело вернётся в прежнее положение. В этом и состоит условие устойчивости равновесия.

Равновесие тела устойчиво, если при малом отклонении равновесного положения равнодействующая сил, приложенных к телу, возвращает его к положению равновесия.

Равновесие неустойчиво, если при малом отклонении тела от положения равновесия равнодействующая сил, приложенных к телу, удаляет его от этого положения.

Это справедливо и для тела, имеющего ось вращения. В качестве примера такого тела рассмотрим обыкновенную линейку, укрепленную на стержне, проходящем через отверстие вблизи ее конца. Из рисунка 11а видно, что положение линейки устойчиво. Если же подвесить ту же линейку так, как показано на другом рисунке 11б, то равновесие линейки будет неустойчивым.

Устойчивое и неустойчивое положения равновесия друг от друга ещё и положением центра тяжести тела.

Центром тяжести твёрдого тела, называют точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на каждую частицу этого тела. Центр тяжести твёрдого тела совпадает с его центром масс. Поэтому центр масс часто называют центром тяжести. Однако между этими понятиями есть отличие. Понятие центра тяжести справедливо только для твёрдого тела, находящегося в однородном поле сил тяжести, а понятие центра масс не связано ни cкаким силовым полем и справедливо для любого тела (механической системы).

Итак, для устойчивого равновесия центр тяжести тела должен находиться в самом низком из возможных для него положений.

Равновесие же тела, имеющего ось вращения, устойчиво при условии, что его центр тяжести расположен ниже оси вращения.

Возможно и такое положение равновесия, когда отклонения от него не приводит к каким-либо изменениям в состоянии тела. Таково, например, положение шарика на плоской опоре или линейки, подвешенной на стержне, проходящем через её центр тяжести. Такое равновесие называется безразличным.

Мы рассмотрели условие равновесия тел, имеющих точку опоры или ось опоры. Не менее важен случай, когда опора приходится не на точку (ось), а на некоторую поверхность.

Тело, имеющее площадь опоры, находится в равновесии; когда вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела, не выходит за пределы площади опоры этого тела. Различают те же случаи равновесия тела, что упоминались выше. Однако равновесие тела, имеющего площадь опоры, зависит не только от расстояния его центра тяжести от Земли, но и от расположения и размеров площади опоры этого тела. Для того, чтобы можно было одновременно учитывать и высоту центра тяжести тела над Землёй, и значение его площади опоры, было введено понятие угол устойчивости тела.

Углом устойчивости называют угол, образованный горизонтальной плоскостью и прямой, соединяющей центр тяжести тела с краем площади опоры. Как видно из рисунка 12, угол устойчивости уменьшается, если каким-либо способом центр тяжести тела понижают (например, делают нижнюю часть тела более массивной или часть тела зарывают в Землю, т.е. создают фундамент, а также увеличивают площадь опоры тела). Чем меньше угол устойчивости, тем устойчивее равновесие тела.

Вывод: для того чтобы какое-либо тело находилось в равновесии, необходимо одновременное выполнение двух условий: во-первых, векторная сумма всех приложенных к телу сил должна быть равна нулю и, во-вторых, нулю должна быть равна и алгебраическая сумма моментов всех действующих на тело сил относительно произвольной неподвижной оси.

При одновременном действии на одно тело нескольких сил тело движется с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под действием каждой силы в отдельности. Действующие на тело силы, приложенные к одной точке, складываются по правилу сложения векторов.

Векторная сумма всех сил, одновременно действующих на тело, называется равнодействующей силой .

Прямая, проходящая через вектор силы, называется линией действия силы. Если силы приложены к разным точкам тела и действуют не параллельно друг другу, то равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил. Если силы действуют параллельно друг другу, то точки приложения результирующей силы нет, а линия ее действия определяется формулой: (см. рисунок).

Момент силы. Условие равновесия рычага

Основным признаком взаимодействия тел в динамике является возникновение ускорений. Однако часто бывает нужно знать, при каких условиях тело, на которое действует несколько различных сил, находится в состоянии равновесия.

Существует два вида механического движения – поступательное движение и вращение .

Если траектории движения всех точек тела одинаковы, то движение поступательное . Если траектории всех точек тела – дуги концентрических окружностей (окружностей с одним центром – точкой вращения), то движение вращательное.

Равновесие невращающихся тел : невращающееся тело находится в равновесии, если геометрическая сумма сил, приложенных к телу, равна нулю.

Равновесие тела, имеющего неподвижную ось вращения

Если линия действия силы, приложенной к телу, проходит через ось вращения тела, то эта сила уравновешивается силой упругости со стороны оси вращения.

Если линия действия силы не пересекает ось вращения, то эта сила не может быть уравновешена силой упругости со стороны оси вращения, и тело поворачивается вокруг оси.

Вращение тела вокруг оси под действием одной силы может быть остановлено действием второй силы. Опыт показывает, что если две силы по отдельности вызывают вращение тела в противоположных направлениях, то при их одновременном действии тело находится в равновесии, если выполняется условие:

, где d 1 иd 2 – кратчайшие расстояния от линий действия силF 1 иF 2. Расстояниеdназываетсяплечом силы , а произведение модуля силы на плечо –моментом силы :

.

Если моментам сил, вызывающим вращение тела вокруг оси по часовой стрелке, приписать положительный знак, а моментам сил, вызывающим вращение против часовой стрелки, – отрицательный знак, то условие равновесия тела, имеющего ось вращения, можно сформулировать в виде правила моментов: тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:

За единицу вращающего момента в СИ принимается момент силы в 1 Н, линия действия которой находится на расстоянии 1 м от оси вращения. Эту единицу называют ньютон-метром .

Общее условие равновесия тела :тело находится в равновесии, если равны нулю геометрическая сумма всех приложенных к нему сил и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно оси вращения .

При выполнении этого условия тело необязательно находится в покое. Оно может двигаться равномерно и прямолинейно или вращаться.

Момент силы. Условие равновесия тела, имеющего ось вращения

Моментом силы называют величину, способную вызывать и изменять вращение тела. При этом выделяют момент силы относительно точки (центра) и относительно оси.

Рис. 4.2

Момент силы относительно неподвижной точки О представляет собой вектор определяемый векторным произведением радиуса-вектора проведенного из точки О в точку N приложения силы, на силу рис. 4.2:

где модуль момента силы М =Fr sina=F ×l (l ¾плечо силы, то есть, кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О ). Направлен вектор перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу в сторону, откуда поворот, вызываемый силой, виден против хода часовой стрелки.

Пример. Пусть точечный груз массой m подвешенный на нерастяжимой и невесомой нити длиной R к гвоздю, вбитому в потолок, совершает колебания около положения равновесия, рис. 4.3.

Рис. 4.3

Для рассматриваемого момента времени, когда груз возвращается в положение равновесия, вектор момента силы совпадает по направлению с вектором угловой скорости его модуль равен M 0 =mgl =mgR sina; момент силы натяжения нити Т всегда равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю.

Момент силы относительно неподвижной оси z является алгебраической величиной, равной проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О на оси z , рис. 4.4.

Рис. 4.4

Для решения обычных школьных задач достаточно рассмотрения момента силы относительно оси z , перпендикулярной плоскости, в которой лежат векторы и рис. 4.5.

Направление оси при этом выбирают таким образом, чтобы момент был положительным, если он вызывает вращение по часовой стрелке.

Рис. 4.5

На любое тело могут действовать моменты различных сил, однако, для его равновесия, при наличии неподвижной оси вращения z , необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно этой оси была равна нулю

или, формулируя более простым языком, моменты всех сил M z , вращающих тело по часовой стрелке, должны быть равны моментам всех сил, вращающих его против часовой стрелки. При этом тело будет либо покоиться, либо равномерно вращаться вокруг оси.

Если у тела отсутствует закрепленная ось вращения, для его равновесия необходимо и достаточно выполнение условий (4.1) и (4.6) относительно любой возможной оси.

Условия равновесия часто используются для измерения неизвестных сил путем их сравнения с известными силами. Например, величину различных сил (гравитационных, электростатических, магнитных) измеряют, сравнивая их с силой упругости. В частности силу тяжести, действующую на тело, можно определить по показаниям пружинного динамометра.

Важной задачей статики является определение центра тяжести тела или системы тел.Центром тяжести является точка приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на тело при любом его положении в пространстве (обычно находится путем пересечения линий подвеса тела). Сумма моментов всех элементарных сил тяжести относительно любой оси, которая проходит через центр тяжести, равна нулю.

У однородного тела центр тяжести находится на оси симметрии и пересечении осей симметрии, при этом он может оказаться вне самого тела (например, у кольца).

Пример. Два человека, массой m 1 = 60 кг и m 2 = 100 кг находятся в равновесии на разных концах горизонтально расположенной однородной прямоугольной доски, длиной l = 3 м и массой m 3 = 30 кг, имеющей одинаковую толщину и расположенной на поваленномдереве, рис. 4.6. На каком расстоянии х от правого края доски находится центр тяжести системы, состоящей из доски и двух человек или, иными словами, точка касания доски с деревом?

Рис. 4.6

Решение. Согласно условию (4.2) равнодействующая сил тяжести по модулю равна модулю вектора т. е.m 1 g +m 2 g +m 3 g =N . Данное выражение полезно для общих рассуждений и правильного построения рисунка, но для решения задачи вполне достаточно воспользоваться условием (4.6).

Выясним, при каких условиях тело, покоящееся относительно некоторой инерциальной системы отсчета, останется в покое.

Если тело покоится, то его ускорение равно нулю. Тогда согласно второму закону Ньютона должна быть равна нулю и равнодействующая приложенных к телу сил. Поэтому первое условие равновесия можно сформулировать так:

Если тело находится в покое, то векторная сумма (равнодействующая) приложенных к нему сил равна нулю:

Заметим, что одного условия (1) еще недостаточно для того, чтобы тело покоилось, Например, если тело имело начальную скорость, то оно будет продолжать двигаться с той же скоростью. Кроме того, как мы увидим дальше, даже если векторная сумма сил, приложенных к покоящемуся телу, равна нулю, оно может начать вращаться.

В случаях, когда покоящееся в начальный момент тело может рассматриваться как материальная точка, первого условия равновесия достаточно, чтобы тело осталось в покое. Рассмотрим примеры.

Пусть груз массой m подвешен на трех тросах и покоится (рис. 35.1). Узел А, связывающий тросы, можно считать материальной точкой, которая находится в равновесии.

Следовательно, векторная сумма приложенных к узлу А сил натяжения нитей равна нулю (рис. 35.2):

Покажем два способа применения этого уравнения при решении задач.

Используем проекции векторов. Выберем оси координат и обозначим углы между тросами 1, 2 и вертикалью, как показано на рисунке 35.2.

1. Объясните, почему в данном случае справедливы следующие уравнения:

Ox: –T 1 sin α 1 + T 2 sin α 2 = 0,
Oy: T 1 cos α 1 + T 2 cos α 2 – T 3 = 0,
T 3 = mg.

Воспользуйтесь этой системой уравнений при выполнении следующих заданий.

2. Чему равна сила натяжения каждого троса, если m = 10 кг, α 1 = α 2 = 30º?

3. Известно, что T 1 = 15 Н, α 1 = 30º, α 2 = 45º. Чему равны: а) сила натяжения второго троса T 2 ? 5) масса груза m?

4. Пусть α 1 = α 2 . Чему равны эти углы, если сила натяжения каждого троса: а) равна весу груза? б) в 10 раз больше веса груза?

Итак, силы, действующие на подвесы, могут многократно превышать вес груза!

Воспользуемся тем, что три вектора, сумма которых равна нулю, «замыкаются» в треугольник (рис. 35.3). Рассмотрим пример.

5. Фонарь массой m подвешен на трех тросах (рис. 35.4). Обозначим модули сил натяжения тросов T 1 , T 2 , T 3 . Угол α ≠ 0.
а) Изобразите силы, действующие на узел A, и объясните, почему T 3 > mg и T 3 > T 2 .
б) Выразите T 3 через m, g и T 2 .
Подсказка. Векторы сил 1 , 2 и 3 образуют прямоугольный треугольник.

2. Второе условие равновесия тела (правило моментов)

Убедимся на опыте в том, что одного первого условия равновесия недостаточно для того, чтобы тело оставалось в покое.

Поставим опыт
Прикрепим к куску картона две нити и потянем за них в противоположные стороны с равными по модулю силами (рис. 35.5). Векторная сумма приложенных к картону сил равна нулю, но он не останется в покое, а начнет поворачиваться.

Условие равновесие тела, закрепленного на оси

Второе условие равновесия тела – обобщение условия равновесия тела, закрепленного на оси. Оно знакомо вам из курса физики основной школы. (Это условие является следствием закона сохранения энергии в механике.) Напомним его.

Пусть на тело, закрепленное на оси О, действуют силы 1 и 2 (рис. 35.6). Тело может находиться в равновесии только при условии, что

F 1 l 1 = F 2 l 2 (2)

Здесь l 1 и l 2 – плечи сил, то расстояния от оси вращения О до линии действия сил 1 и 2 .

Чтобы найти плечо силы, надо линию действия силы и опустить перпендикуляр из оси вращения на эту линию. Его длина и есть плечо силы.

6. Перенесите в тетрадь рисунок 35.7. Одной клетке соответствует 1 м. Чему равны плечи сил 1 , 2 , 3 , 4 ?

Вращающее действие силы характеризуют моментом силы. Модуль момента силы равен произведению модуля силы на ее плечо. Момент силы считают положительным, если сила стремится вращать тело против часовой стрелки, и отрицательным – если по часовой стрелке. (Таким образом, знак момента силы, вращающей тело в какую-то сторону, совпадает со знакомым вам из школьного курса математики знаком угла поворота в ту же сторону на единичной окружности.)

Например, моменты изображенных на рисунке 35.8 сил относительно точки О таковы:

M 1 = F 1 l 1 ; M 2 = –F 2 l 2 .

Момент силы измеряется в ньютонах * метрах (Н * м).

7. Чему равны моменты изображенных на рисунке 35.7 сил относительно точки О? Одной клетке соответствует расстояние 1 м, а также сила 1 Н.

Перепишем соотношение (2), используя моменты сил:
M 1 + M 2 = 0. (3)
Это соотношение называют правилом моментов.

Если на покоящееся тело, закрепленное на оси, действуют несколько сил, то оно останется в покое только при условии, что алгебраическая сумма моментов всех этих сил равна нулю:

M 1 + M 2 + … + M n = 0.

Заметим, что одного этого условия недостаточно для того, чтобы тело покоилось. Если алгебраическая сумма моментов приложенных к телу сил равна нулю, но в начальный момент тело вращается, то оно будет продолжать вращаться с той же угловой скоростью.

Чтобы убедиться в этом, раскрутите велосипедное колесо приподнятого велосипеда или юлу. После этого они будут вращаться довольно долго: тормозить их будет только небольшая сила трения. Да и наша Земля миллиарды лет вращается вокруг своей оси, хотя вокруг оси никакие силы Землю не вращают!

Условие равновесия тела, не закрепленного на оси

Учтем теперь силу, действующую на закрепленное на оси тело со стороны оси. Так, рассмотренное выше тело (рис. 35.6) на самом деле находится в равновесии под действием трех сил: 1 , 2 и 3 (рис. 35.9, а).

А теперь заметим, что покоящееся тело не вращается вокруг любой оси.

Поэтому второе условие равновесия для тела, не закрепленного на оси, можно сформулировать так:

чтобы тело оставалось в покое, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно любой оси была равна нулю:

M 1 + M 2 + … + M n = 0. (4)

(Мы считаем, что все приложенные к телу силы лежат в одной плоскости.)

Например, кусок картона, покоящийся под действием сил 1 , 2 и 3 (рис. 35.9, б), можно закрепить иглой в произвольной точке О 1 . Тело «не заметит» новой оси вращения O 1: оно как было, так и останется в покое.

При решении задач ось, относительно которой находят моменты сил, часто проводят через точку приложения силы или сил, которые не заданы в условии: тогда их моменты относительно этой оси равны нулю. Например, в следующем задании в качестве такой оси удобно взять нижний конец стержня.

Заметим, что одного второго условия равновесия также недостаточно для того, чтобы тело осталось в покое.

Покоящееся в начальный момент тело останется в покое только в том случае, если равны нулю и равнодействующая приложенных к телу сил, и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой оси. (Строго говоря, для этого необходимо еще, чтобы равновесие было устойчивым (см. § 36).)

8. Верхний конец покоящегося легкого стержня длиной L удерживается горизонтальным тросом (рис. 35.10). Нижний конец стержня закреплен в шарнире (стержень может вращаться вокруг нижнего конца). Угол между стержнем и вертикалью равен α. К середине стержня подвешен груз массой m. Трением в шарнире можно пренебречь. Изобразите на чертеже вес груза m и силу натяжения троса , которые действуют на стержень. Чему равны:
а) плечо и момент силы тяжести относительно точки O?
б) плечо и момент силы относительно точки O?
в) модуль силы ?

Как можно переносить точку приложения силы?

Перенесем точку приложения сил из A в B вдоль линии действия силы (рис. 35.11).

При этом:
- не изменится векторная сумма действующих на тело сил;
- не изменится момент этой силы относительно любой оси, потому что не изменилось плечо l этой силы.

Итак, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее действия, не нарушая равновесия тела.

9. Объясните, почему тело может находиться в покое под действием трех непараллельных сил только при условии, что линии их действия пересекаются в одной точке (рис. 35.12).

Обратите внимание: точка пересечения линий действия этих сил может находиться (и часто находится!) вне тела.

10. Вернемся к заданию 8 (рис. 35.10).
а) Найдите точку пересечения линий действия веса груза и силы натяжения троса.
б) Найдите графически направление силы, действующей на стержень со стороны шарнира.
в) Куда надо перенести точку крепления горизонтально направленного троса, чтобы сила, действующая на стержень со стороны шарнира, была направлена вдоль стержня?

3. Центр тяжести

Центром тяжести называют точку приложения силы тяжести. Будем обозначать центр тяжести буквой С. Центр тяжести однородного тела правильной геометрической формы совпадает с его геометрическим центром.

Например, центр тяжести однородного:

• диска совпадает с центром диска (рис. 35.13, а);
• прямоугольника (в частности, квадрата) совпадает с точкой пересечения диагоналей (рис. 35.13, б);
• прямоугольного параллелепипеда (в частности, куба) совпадает с точкой пересечения диагоналей, соединяющих противоположные вершины;
• тонкого стержня совпадает с его серединой (рис. 35.13, в).

Для тел произвольной формы положение центра тяжести находят опытным путем:

если тело, подвешенное в одной точке, находится в равновесии, то его центр тяжести лежит на одной вертикали с точкой подвеса (рис. 35.13, г).

Действительно, если центр тяжести и точка подвеса не будут на одной вертикали, то алгебраическая сумма моментов силы тяжести и силы, действующей со стороны подвеса, не будет равна нулю (например, относительно центра тяжести).

Алгебраическая сумма моментов сил тяжести, действующих на все части тела, относительно центра тяжести тела равна нулю. (Иначе его невозможно было бы подвесить в одной точке.)

Это используют при расчете положения центра тяжести.

11. На концах легкого стержня длиной l укреплены шарики массой m1 и m2. На каком расстоянии от первого шарика находится центр тяжести этой системы?

12. Горизонтально расположенная однородная балка длиной 1 м и массой 100 кг висит на двух вертикальных тросах. Синий трос укреплен на расстоянии 20 см от левого конца балки, а зеленый – на расстоянии 30 см от ее правого конца. Изобразите на чертеже действующие на балку силы и их плечи относительно центра тяжести балки. Чему равны:
а) плечи сил? б) силы натяжения тросов?

Дополнительные вопросы и задания

13. На одинаковой высоте на расстоянии 1 м друг от друга закреплены концы нерастяжимого троса длиной 2 м. Какой максимальной массы груз можно подвесить к середине троса, чтобы сила натяжения троса не превышала 100 Н?

14. Фонарь подвешен на двух тросах. Силы натяжения тросов равны 10 Н и 20 Н, а угол между тросами равен 120º. Чему равна масса m фонаря?
Подсказка. Если сумма трех векторов равна нулю, то они образуют треугольник.

15. К куску картона, закрепленному на оси О, в точках А 1 и А 2 прикладывают силы 1 и 2 (рис. 35.14). Известно, что ОА 1 = 15 см, ОА 2 = 20 см, F 1 = 20 Н, F 2 = 30 Н, α = 60º, β = 30º.

а) Чему равны плечи сил 1 и 2 ?
б) Чему равны моменты этих сил (с учетом знака)?
в) Может ли картон остаться в покое? А если нет, то в какую сторону он начнет вращаться?

16. Два человека несут цилиндрическую трубу массой 30 кг и длиной 4 м. Первый держит трубу на расстоянии 1,2 м от конца. На каком расстоянии от другого конца держит трубу второй чело, век, если нагрузка на его плечо составляет 100 Н?

17. Легкий стержень длиной 1 м закреплен на горизонтальной оси. Если к левому концу стержня подвесить некоторый груз, а к правому – гирю массой 1 кг, то стержень будет находиться в равновесии. А если тот же груз подвесить к правому концу стержня, то стержень будет находиться в равновесии, если к его левому концу подвешена гиря массой 16 кг.
а) Чему равна масса груза?
б) На каком расстоянии от центра стержня находится ось?