«Числовые промежутки» - Строгое неравенство. Какое из данных чисел на числовой прямой находится левее. Числовые промежутки. Отрезки. Устная работа. Ввести понятие «луч». Назовите числа. Утверждение. Таблица числовых промежутков. Лучи. Нестрогое неравенство.
«Рациональные числа» - Ревуны. Рациональные числа. Какие числа называются рациональными? Бесконечные дроби: 2/3=0.66666......=0.(6) 5/11=0.45454…..=0.(45). Если a, b и c – любое рациональное число, то. Десятичные дроби: 1.45 -5.32 23.5 -89.7 3.674 -5.375 0.23 -0.7 23.32 -45.54. Самостоятельная работа. Из оставшихся букв вы получите название самых шумных животных:
««Модуль числа» 6 класс» - Какие координаты имеют точки А,В и С. Значение выражения. Чему равен модуль числа 0. Найдите модуль каждого из чисел. Найдите значения выражения. Вопросы. Модуль числа. Повторение. Найдите координаты точек А,В,С. Запишите все числа, имеющие модуль. Укажите число, противоположное данному. Модулем числа A называют расстояние.
«Модуль 6 класс» - Помогаем друг другу, уважаем друг друга. Урок изучения нового материала с элементами проблемного метода. 7 класс. Межпредметные связи. Разработки уроков с использованием дифференцированного подхода. Дифференцированный подход в обучении. Ход урока. 1. Подготовительный этап. «Кодекс дружбы»: Все время вместе.
«Математика «Отрицательные числа»» - Отрицательные числа в наши дни. Расстояние от точки А(а) до начала отсчета, т.е. до точки О(о). Свойства отрицательных чисел. Отрицательные числа. Основные правила. Математика – виват. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Отрицательное число. Историческая справка. Спасибо за внимание.
«Сложение на координатной прямой» - Запишите с помощью сложения. Найдем сумму чисел. Число. Сравните результат. Закончите предложения. Найдем сумму. Сумма двух противоположных чисел. Температура. Сложение чисел с помощью координатной прямой. Заполните пропуски. Повторение. Решение примеров. Столбик термометра. Слагаемое. Первое слагаемое.
Всего в теме 24 презентации
Определение 1. Если два числа 1) a и b при делении на p дают один и тот же остаток r , то такие числа называются равноостаточными или сравнимыми по модулю p .
Утверждение 1. Пусть p какое нибудь положительное число. Тогда всякое число a всегда и притом единственным способом может быть представлено в виде
Но эти числа можно получить задав r равным 0, 1, 2,..., p −1. Следовательно sp+r=a получит всевозможные целые значения.
Покажем, что это представление единственно. Предположим, что p можно представить двумя способами a=sp+r и a=s 1 p +r 1 . Тогда
 |
 | (2) |
Так как r 1 принимает один из чисел 0,1, ..., p −1, то абсолютное значение r 1 −r меньше p . Но из (2) следует, что r 1 −r кратно p . Следовательно r 1 =r и s 1 =s .
Число r называется вычетом числа a по модулю p (другими словами, число r называется остатком от деления числа a на p ).
Утверждение 2. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то a−b делится на p .
Действительно. Если два числа a и b сравнимы по модулю p , то они при делении на p имеют один и тот же остаток p . Тогда
делится на p , т.к. правая часть уравнения (3) делится на p .
Утверждение 3. Если разность двух чисел делится на p , то эти числа сравнимы по модулю p .
Доказательство. Обозначим через r и r 1 остатки от деления a и b на p . Тогда
 |
Примеры 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).
Из первого примера следует, что 25 при делении на 7 дает тот же остаток, что и 39. Действительно 25=3·7+4 (остаток 4). 39=3·7+4 (остаток 4). При рассмотрении второго примера нужно учитывать, что остаток должен быть неотрицательным числом, меньшим, чем модуль (т.е. 4). Тогда можно записать: −18=−5·4+2 (остаток 2), 14=3·4+2 (остаток 2). Следовательно −18 при делении на 4 дает остаток 2, и 14 при делении на 4 дает остаток 2.
Свойства сравнений по модулю
Свойство 1. Для любого a и p всегда
не всегда следует сравнение
где λ это наибольший общий делитель чисел m и p .
Доказательство. Пусть λ наибольший общий делитель чисел m и p . Тогда
Так как m(a−b) делится на k , то
Следовательно
и m является один из делителей числа p , то
где h=pqs.
Заметим, что можно допустить сравнения по отрицательным модулям, т.е. сравнение a≡b mod (p ) означает и в этом случае, что разность a−b делится на p . Все свойства сравнений остаются в силе и для отрицательных модулей.
Рассмотрим задачу, которую решают первоклассники: «Около школы посадили 8 деревьев – берез и рябин. Берез 3. Сколько рябин посадили около школы?»
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо из 8 вычесть 3: 8-3=5.
Но как объяснить, почему здесь использовано вычитание чисел, а не другое действие? Представим условие задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное около школы, кружком.
Среди посаженных деревьев 3 березы – на рисунке выделим их, зачеркнув каждый кружок, изображающий березу. Тогда остальные деревья рябины. Их столько, сколько будет, если из 8 вычесть 3, т.е.5.
Видим, что решение данной задачи тесно связано с выделением из данного множества подмножества и нахождением числа элементов в дополнении этого подмножества, т.е. вычитание чисел оказывается связанным с операцией дополнением подмножества.
Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется число элементов в дополнении множества B до множества A при условии, что n(A)=a, n(B)=b и B A.
Пример. Объясним, используя данное определение, что 7-4=3. 7 –это число элементов множества B, которое является подмножеством множества A. Возьмем, например, множества A= {x, y, z, t, p, r, s}, B={x, y, z, t}. Найдем дополнение множества В до множества А: А\В={p, r, s}. Получаем, что n(А\В) = 3. Следовательно, 7-4 = 3.
Очевидно, в качестве таких множеств Аи В, что п(А) = 7, п (В) = 4 и B A,можно было выбрать множества, отличные от рассматриваемых, поскольку разность а - в не зависит от выбора множеств А и В,удовлетворяющих условиям п (А) = а, п(В) - в и B A.
№17.Определение разности двух целых неотрицательных чисел. Существование разности и её единственность.
Действие, при помощи которого находят разность а - в, называется вычитанием, число а - уменьшаемым, число b - вычитаемым.
Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия вычитания, мы обращаемся к сложению. Почему? Очевидно потому, что существует связь между действиями вычитания и сложения.
Пусть даны целые неотрицательные числа аи в, такие, что а= п (А),в- п (В)и В А, и пусть разность этих чисел есть число элементов дополнения множества Вдо множества А, т. е. а - в = п (А\В).
На кругах Эйлера множества А, В, А\Визображаются так:
Известно, что A = B (A\B),откуда п (А) = п (В (А\В)).Так как В∩(А\В)= Ø, то имеем п (А) = п (В(А\В)) = п (В) + (А\В)= в +(а - в ). Следовательно, получаем, что а = в + (а - в), т. е. разность а - в есть такое число, сумма которого и числа в равна числу а.
Установленный факт дает возможность по-другому дать определение разности.
Определение. Разностью целых неотрицательных чисел а и в называется такое целое неотрицательное число с, сумма которого и числа в равна а.
Теорема. Если разность целых неотрицательных чисел a и b существует, то она единственна.
Доказательство. Предположим, что существуют два значения разности a-b: a-b=c1 и a-b=c2. Тогда по определению разности имеем a=b+c1 и a=b+c2. Отсюда следует b+c1=d+c2 и, значит, c1=c2.
Теорема. Разность целых неотрицательных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда b < или = а.
Доказательство. Если а=b, то а-b=0, и, следовательно, разность а-b cсуществует.
Если b<а, то по определению отношения «меньше» существует такое натуральное число с, что а=b+с. Тогда по определению разности с=а-b, т.е. разность а-b существует. Если разность а-b существует, то по определению разности найдется такое целое неотрицательное число с, что а=b+с. Если с=0, то а=b, если с>0, то b <а по определению меньше. Итак, b<или = а.
