Решу огэ постройте график функции с модулем. Функции и их графики на огэ

Разбор типовых вариантов заданий №23 ОГЭ по математике

Первый вариант задания

Постройте график функции

Алгоритм решения:

Записываем ответ.

Решение:

1. Преобразуем функцию в зависимости от знака переменной х.

2. График функции заданных значениях х - часть параболы, ветви которой направлены вниз.

Вершина расположена в точке с координатами:

Найдем нули функции: График проходит через начало координат и точку (-2;-7).

Графиком второй функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Вершина ее находится в точке:

Определим нули параболы

3. Изображаем график функции на координатной плоскости:

4. Из построения легко видно, что прямая y = m имеет с графиком ровно две точки, когда проходит через вершину одной из парабол, образующих график данной функции.

Значит, две общие точки функция и прямая имеют при m = -2,25 или m = 12,25.

Ответ: -2,25; 12,25.

Второй вариант задания

Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Алгоритм решения:

Преобразуем формулу, которая задает функцию.
Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
Изображаем график на координатной плоскости.
Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
Записываем ответ.

Решение:

1. Преобразуем формулу в зависимости от знака переменной х:

2. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз.

Вершина ее находится в точке:

Найдем нули функции: График проходит через начало координат и точку (0;4).

Графиком второй функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Вершина ее находится в точке:

Определим нули параболы

3. Изображаем график на координатной плоскости:

Из изображения видно, что прямая y= m имеет с графиком только две общих точки, когда m=-9 или m=4. На графике прямая изображена красной линией при каждом значении m.

Ответ: -9; 4.

Третий вариант задания

Постройте график функции

Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Алгоритм решения:

Преобразуем формулу, которая задает функцию.
Определяем вид и характерные точки функции на каждом промежутке.
Изображаем график на координатной плоскости.
Делаем вывод относительно количества точек пересечения.
Записываем ответ.

Решение:

1. Преобразуем формулу функции в зависимости от знака переменной

2. Определяем вид функции и находим дополнительные точки для каждого участка графика.

График при - часть парабола, ветви которой направлены вниз. Потому как коэффициент а =-1 – отрицательный.

Определим вершину параболы и .

Вершина находится в точке (-3; 9).

Парабола проходит еще через точки (0;0) и (0;6).

Если , ветви параболы направлены вверх. Найдем вершину:

, (2; -4).

График проходит также через точки (0;0) и (0;4).

3. Строим искомый график:

Из построения видно, что прямая y=m имеет только 2 общие точки с графиком функции в случаях, когда m=-4 или m=9. На рисунке прямые изображены красным цветом.

Ответ: -4; 9.

Четвертый вариант задания

Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая у = kx не имеет с графиком общих точек.

Алгоритм решения:

Строим график.
Записываем ответ.

Решение:

1. Если x < 0, то

Дробь, получившаяся в результате, определена . График представляет собой часть гиперболы.

Точки для построения графика:

3. Построим график заданной функции:

4. Прямая y=kx не имеет общих точек с графиком, при k=-1; 0 и 1, потому как тогда прямая проходит через точки, не входящие в область определения заданной функции.

На графике прямые для k=-1; 1изображены красным.

Ответ: -1; 0; 1.

Пятый вариант задания

Постройте график функции

Определите, при каких значениях k прямая y = kx не имеет с графиком общих точек.

Алгоритм решения:

Раскрываем модуль и преобразовываем формул функции.
Определяем вид функции на каждом промежутке и находим дополнительные точки графика.
Строим график.
Определяем искомые значения k.
Записываем ответ.

Функция – это такая вещь, которая связывает две (или более) переменных между собой. Другими словами, функция помогает найти одну переменную, если мы знаем значение второй переменной. Например, если у нас в кармане есть 100 рублей, а шоколадка стоит 50 рублей, то мы можем купить 2 шоколадки. Если у нас в кармане есть 200 рублей, то мы можем купить 4 шоколадки. В этом случае первая переменная – это сумма, которая есть в кармане, а вторая переменная – количество шоколадок, которые мы можем купить. Стоимость шоколадки составляет 50 рублей, она не зависит от того сколько у нас денег, поэтому эта величина является постоянной.

Можно составить функцию для этого случая: у = 50 х , где у – деньги в кармане, х – количество шоколадок.

Естественно функции бывают более сложными. Но для решения заданий ОГЭ по математике достаточно знать как выглядят графики основных функций.

1. Функция вида y = kx + b (прямая линия)

В этой функции k и b это числа. Функция может быть записана в разном виде: y = x , y = 2x , y = 3x – 4, y = -9x +44, y = и т д. Главным признаком является присутствие икса (х ) в первой степени (то есть все случаи, когда мы не делим на х ).
Число k в этом случае отвечает за то, в какую сторону наклонена линия. Если k > 0 , то функция возрастает вправо. Если k < 0 , то функция возрастает влево.

Число b y . Если b >0 , то график пересекает ось y выше начала координат, если b < 0 – ниже.

2. Функция вида y = ax 2 + bx +c (парабола)

В этой функции a, b, c – числа. Функция может быть записана в разном виде: y = x 2, y = 3x 2 + 8, y = 2x 2 -4x + 10, y = -x 2 – 9x +1, y = – 7 и т. д. Главным признаком является наличие икса в квадрате (x 2).

Число а отвечает за то, в какую сторону (вверх или вниз) направлены ветви параболы (я еще называю веселый смайлик и грустный смайлик). Если a > 0 , то веселый смайлик, если a < 0 – грустный.

Число b отвечает за то в какую сторону (вправо или влево) смещена точка начала параболы (точка перегиба) относительно оси y . Если b > 0 , то график смещен влево, если b < 0 – вправо.

Число c – это точка пересечения графика с осью y . Если c >0 , то график пересекает ось y выше начала координат, если c < 0 – ниже.

3. Функция вида y = k/x + b (гипербола)

Эта функция по виду напоминает функцию прямой, за тем исключением, что х находится в знаменателе . Это как раз и является ее отличительной особенностью. Число k отвечает за расположение функции по четвертям, если k > 0 , то ветви гиперболы располагаются в первой и третьей четвертях, если k < 0 , то ветви располагаются во второй и четвертой четвертях.

Число а отвечает за сдвиг всей функции вниз (а < 0 ) или вверх (a > 0 ).

4. Функция вида y = a (прямая)

В этом случае функция выглядит как прямая, параллельная оси х . Например у = 2, это прямая линия, которая проходит параллельно оси х и пересекает ось у в точке 2.

5. Функция вида y = √x

Этот вид встречается в заданиях редко, однако лучше запомнить. Это практически парабола, но повернутая по часовой стрелке на 90 0 , а также в ней отсутствует ее нижняя половина. Если не понятно, то просто смотрите на рисунок:

Данная статья посвящена решению примеров заданий 23 из ОГЭ по математике. В этих заданиях школьников обычно просят построить график той или иной функции, а затем указать, при каких значениях параметра этот график пересекается с неким другим графиком, касается его или же, к примеру, имеет с ним несколько точек пересечения. Ну и тому подобное. В данной статье вы найдёте разбор примеров решения заданий 23 из ОГЭ по математике от профессионального репетитора, на протяжении многих лет занимающегося подготовкой школьников к этому экзамену.

Примеры решения заданий 23 из ОГЭ по математике

Пример 1. Постройте график функции

Определите, при каких значениях прямая имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построение графика функции всегда нужно начинать с указания области определения этой функции. В данном случае ограничения на эту область задаются тем, что в знаменателе не должно быть нуля, потому что деление на нуль не имеет математического смысла. То есть областью определения данной функции являются все числа, за исключением 1. Записать это можно следующим образом:

После того, как мы указали область определения исходной функции, можно попробовать её упростить. Для этого вынесем минус в знаменателе за скобку и сократим. В результате получим следующее выражение:

График данной функции получается из графика функции путём её отражения относительно оси OX и параллельного переноса всех точек на 0,25 единичного отрезка вниз. При этом мы должны удалить из этого графика точку , потому что она не входит в область определения исходной функции. То есть искомый график выглядит следующим образом:

Теперь отвечаем на главный вопрос задачи. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат. При этом в зависимости от коэффициента эта прямая имеет разный наклон относительно оси OX . Когда это прямая имеет ровно одну общую точку с изображённым графиком? Только в двух случаях. Рассмотрим их по отдельности.

Первый случай . Когда данная прямая касается изображённого графика. Это ситуация изображена на рисунке:

Сложность состоит в том, чтобы определить значения , при которых эта ситуация реализуется. Для решения этой задачи можно использовать несколько различных подходов. Используем наиболее типичный.

Суть в том, что в точке касания графики проходят через одну и ту же точку на координатной плоскости. Значит, в этой точке имеет место равенство:

Дискриминант последнего квадратного уравнения равен , и в зависимости от коэффициента он может быть:

отрицательным, тогда корней у этого уравнения не будет, как не будет и точек пересечения соответствующей прямой с изображённым графиком;
положительным, тогда корней будет два, а значит и точек пересечения будет две (этот случай нам также не подходит);
равен нулю, именно этот случай соответствует касанию прямой с графиком, поскольку записанное уравнение в этом случае будет иметь только одно решение.

То есть , то есть . Соответствующие прямые как раз и изображены на рисунке выше.

Второй случай . Не забываем, что точка с абсциссой не принадлежит нашему графику. Значит, открывается ещё одна возможность, когда прямая будет иметь с графиком ровно одну общую точку. Вот этот случай:

Для нахождения в этом случае подставляем координаты точки в уравнение прямой . В результате получаем .

Сразу отметим, что в область определения данной функции входят все числа: . Наша задача теперь, как это часто бывает при решении заданий 23 из ОГЭ по математике, состоит в том, чтобы построить график этой функции. Для тех кто не сталкивался ранее с подобными заданиями, это может показаться странным, но график данной функции можно построить из графика функции . Нужно только выделить в подмодульном выражении полный квадрат. Для этого проведём следующие преобразования:

Из последнего с помощью формулы «квадрат разности» получаем:

Построим сначала график функции . Этот график получается из графика функции путём его переноса на единичного отрезка вправо и на единичного отрезка вниз:

При этом нули функции равны 2 и -1. Что произойдёт с этой параболой, если взять модуль от всего выражения, стоящего справа? Все точки, лежащие ниже оси OX (с отрицательными ординатами), отразятся вверх относительно оси OX . В результате получится вот такой график:

Теперь, глядя на этот график, уже понятно, что максимальное число точек пересечения данного графика с линией, параллельной оси абсцисс, будет равно 4. В качестве примера можно взять прямую :

Вот так решаются задания 23 из ОГЭ по математике. Как я уже говорил, это довольно интересные задания, которые к тому же можно научиться решать по ясному и запоминающемуся алгоритму. И как только вы овладеете этим мастерством, все задачи 23 из ОГЭ по математике будут казаться вам простыми и даже очевидными. Это станет для вас ещё одним заветным ключиком, который поможет получить максимальный балл на экзамене. Так что желаю вам успехов в подготовке и удаче на экзамене!

Сергей Валерьевич

Дробно-рациональная функция - это функция вида , где f(x) и g(x) - некоторые функции.
График дробно-рациональной функции представляет собой гиперболу.
Функция имеет две асимптоты - вертикальную и горизонтальную.
Определение. Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность:
x=a уравнение вертикальной асимптоты
y=b уравнение горизонтальной асимптоты
y=kx+b уравнение наклонной асимптоты

Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.
Дробно-линейная функция – это такая алгебраическая дробь , у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции.
Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.
Построим график функции y=1/x:
D(y): х≠0
E(y): у≠0
y = k/x - нечетная

Построим график функции y=k/x:
При k=2 y=-2/x:
ООФ: х≠0
МЗФ: у≠0
y=k/x – нечетная

Пример1 . Построим график функции
, т.е. представим ее в виде
: выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель, мы получим:

Итак,
. Мы видим, что график этой функции может быть получен из графика функции у=5/х с помощью двух последовательных сдвигов: сдвига гиперболы у=5/х вправо на 3 единицы, а затем сдвига полученной гиперболы
вверх на 2 единицы.

При этих сдвигах асимптоты гиперболы у=5/х также переместятся: ось х на 2 единицы вверх, а ось у на 3 единицы вправо.

Для построения графика проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямую у=2 и прямую х=3. Так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения каждой из них составим две таблицы: одну для х3 (т. е. первую слева от точки пересечения асимптот, а вторую справа от нее):

Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в первой таблице, и соединив их плавной линией, получим одну ветвь гиперболы. Аналогично (используя вторую таблицу) получим вторую ветвь гиперболы. График функции
изображен на рисунке 3.

Любую дробь
можно записать аналогичным образом, выделив ее целую часть. Следовательно, графики всех дробно-линейных функций являются гиперболами, различным образом сдвинутыми параллельно координатным осям и растянутыми по оси Оу.

Пример 2.

Построим график функции
.

Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветви (асимптоты), и еще несколько точек.

Найдем сначала вертикальную асимптоту. Функция не определена там, где 2х+2=0, т.е. при х=-1. Стало быть, вертикальной асимптотой служит прямая х=-1.

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо посмотреть, к чему приближаются значения функций, когда аргумент возрастает (по абсолютной величине), вторые слагаемые в числителе и знаменателе дроби
относительно малы. Поэтому