Чтобы решить линейное диофантово уравнение, нужно найти значения переменных «x» и «y», которые являются целыми числами. Целочисленное решение сложнее обычного и требует определенного набора действий. Сначала необходимо вычислить наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов, а затем найти решение. Если вы нашли одно целочисленное решение линейного уравнения, можно применить простой шаблон, чтобы найти бесконечное множество других решений.

Шаги

Часть 1

Как записать уравнение

Запишите уравнение в стандартной форме. Линейное уравнение - это уравнение, в котором показатели степени переменных не превышают 1. Чтобы решить такое линейное уравнение, сначала запишите его в стандартной форме. Стандартная форма линейного уравнения выглядит так: A x + B y = C {\displaystyle Ax+By=C} , где A , B {\displaystyle A,B} и C {\displaystyle C} - целые числа.
- Если уравнение дано в другой форме, приведите его к стандартной форме с помощью основных алгебраических действий. Например, дано уравнение 23 x + 4 y − 7 x = − 3 y + 15 {\displaystyle 23x+4y-7x=-3y+15} . Приведите подобные члены и запишите уравнение так: 16 x + 7 y = 15 {\displaystyle 16x+7y=15} .
Упростите уравнение (если можно). Когда вы запишете уравнение в стандартной форме, посмотрите на коэффициенты A , B {\displaystyle A,B} и C {\displaystyle C} . Если у этих коэффициентов есть НОД, разделите на него все три коэффициента. Решение такого упрощенного уравнения также будет решением исходного уравнения.
- Например, если все три коэффициента четные, разделите их как минимум на 2. Например:
  - 42 x + 36 y = 48 {\displaystyle 42x+36y=48} (все члены делятся на 2)
  - 21 x + 18 y = 24 {\displaystyle 21x+18y=24} (теперь все члены делятся на 3)
  - 7 x + 6 y = 8 {\displaystyle 7x+6y=8} (это уравнение больше нельзя упростить)
Проверьте, можно ли решить уравнение. В некоторых случаях можно сразу заявить, что уравнение не имеет решений. Если коэффициент «С» не делится на НОД коэффициентов «А» и «В», у уравнения нет решений.
- Например, если оба коэффициента A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} четные, то и коэффициент C {\displaystyle C} должен быть четным. Но если C {\displaystyle C} нечетный, то решения нет.
  - У уравнения 2 x + 4 y = 21 {\displaystyle 2x+4y=21} нет целочисленных решений.
  - У уравнения 5 x + 10 y = 17 {\displaystyle 5x+10y=17} нет целочисленных решений, так как левая часть уравнения делится на 5, а правая - нет.
Проанализируйте полученный результат. Когда вы найдете НОД коэффициентов A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , сравните его с коэффициентом C {\displaystyle C} исходного уравнения. Если C {\displaystyle C} делится на НОД A {\displaystyle A} и B {\displaystyle B} , уравнение имеет целочисленное решение; в противном случае у уравнения нет решений.
- Например, уравнение можно решить, потому что 3 делится на 1 (НОД=1).
- Например, предположим, что НОД=5. 3 не делится на 5 нацело, поэтому такое уравнение не имеет целочисленных решений.
- Как показано ниже, если уравнение имеет одно целочисленное решение, оно также имеет бесконечное множество других целочисленных решений.
Часть 3
Как найти решение с помощью алгоритма Евклида
1. Пронумеруйте шаги вычисления НОД. Чтобы найти решение линейного уравнения, нужно использовать алгоритм Евклида в качестве основы процесса подстановки и упрощения.
  - Начните с нумерации шагов вычисления НОД. Процесс вычисления выглядит так:
    - Шаг 1: 87 = (1 ∗ 64) + 23 {\displaystyle {\text{Шаг 1}}:87=(1*64)+23}
    - Шаг 2: 64 = (2 ∗ 23) + 18 {\displaystyle {\text{Шаг 2}}:64=(2*23)+18}
    - Шаг 3: 23 = (1 ∗ 18) + 5 {\displaystyle {\text{Шаг 3}}:23=(1*18)+5}
    - Шаг 4: 18 = (3 ∗ 5) + 3 {\displaystyle {\text{Шаг 4}}:18=(3*5)+3}
    - Шаг 5: 5 = (1 ∗ 3) + 2 {\displaystyle {\text{Шаг 5}}:5=(1*3)+2}
    - Шаг 6: 3 = (1 ∗ 2) + 1 {\displaystyle {\text{Шаг 6}}:3=(1*2)+1}
    - Шаг 7: 2 = (2 ∗ 1) + 0 {\displaystyle {\text{Шаг 7}}:2=(2*1)+0}
2. Обратите внимание на последний шаг, где есть остаток. Перепишите уравнение этого шага так, чтобы изолировать остаток.
  - В нашем примере последний шаг с остатком - это шаг 6. Остаток равен 1. Перепишите уравнение шага 6 следующим образом:
    - 1 = 3 − (1 ∗ 2) {\displaystyle 1=3-(1*2)}
3. Изолируйте остаток предыдущего шага. Этот процесс представляет собой пошаговое «перемещение вверх». Каждый раз вы будете изолировать остаток в уравнении предыдущего шага.
  - Изолируйте остаток уравнения шага 5:
    - 2 = 5 − (1 ∗ 3) {\displaystyle 2=5-(1*3)} или 2 = 5 − 3 {\displaystyle 2=5-3}
4. Сделайте замену и упростите. Обратите внимание, что уравнение шага 6 содержит число 2, а в уравнении шага 5 число 2 изолировано. Поэтому вместо «2» в уравнении шага 6 подставьте выражение шага 5:
  - 1 = 3 − 2 {\displaystyle 1=3-2} (уравнение шага 6)
  - 1 = 3 − (5 − 3) {\displaystyle 1=3-(5-3)} (вместо 2 подставили выражение)
  - 1 = 3 − 5 + 3 {\displaystyle 1=3-5+3} (раскрыли скобки)
  - 1 = 2 (3) − 5 {\displaystyle 1=2(3)-5} (упростили)
5. Повторите процесс подстановки и упрощения. Повторите описанный процесс, перемещаясь по алгоритму Евклида в обратном порядке. Каждый раз вы будете переписывать уравнение предыдущего шага и подставлять его в последнее полученное уравнение.
  - Последним рассмотренным шагом был шаг 5. Поэтому перейдите к шагу 4 и изолируйте остаток в уравнении этого шага:
    - 3 = 18 − (3 ∗ 5) {\displaystyle 3=18-(3*5)}
  - Подставьте это выражение вместо «3» в последнее уравнение:
    - 1 = 2 (18 − 3 ∗ 5) − 5 {\displaystyle 1=2(18-3*5)-5}
    - 1 = 2 (18) − 6 (5) − 5 {\displaystyle 1=2(18)-6(5)-5}
6. Продолжите процесс подстановки и упрощения. Этот процесс будет повторяться до тех пор, пока вы не достигнете первоначального шага алгоритма Евклида. Цель процесса - записать уравнение с коэффициентами 87 и 64 исходного уравнения, которое нужно решить. В нашем примере:
  - 1 = 2 (18) − 7 (5) {\displaystyle 1=2(18)-7(5)}
  - 1 = 2 (18) − 7 (23 − 18) {\displaystyle 1=2(18)-7(23-18)} (подставили выражение из шага 3)
    - 1 = 2 (18) − 7 (23) + 7 (18) {\displaystyle 1=2(18)-7(23)+7(18)}
    - 1 = 9 (18) − 7 (23) {\displaystyle 1=9(18)-7(23)}
  - 1 = 9 (64 − 2 ∗ 23) − 7 (23) {\displaystyle 1=9(64-2*23)-7(23)} (подставили выражение из шага 2)
    - 1 = 9 (64) − 18 (23) − 7 (23) {\displaystyle 1=9(64)-18(23)-7(23)}
    - 1 = 9 (64) − 25 (23) {\displaystyle 1=9(64)-25(23)}
  - 1 = 9 (64) − 25 (87 − 64) {\displaystyle 1=9(64)-25(87-64)} (подставили выражение из шага 1)
    - 1 = 9 (64) − 25 (87) + 25 (64) {\displaystyle 1=9(64)-25(87)+25(64)}
    - 1 = 34 (64) − 25 (87) {\displaystyle 1=34(64)-25(87)}
7. Перепишите полученное уравнение в соответствии с исходными коэффициентами. Когда вы вернетесь к первому шагу алгоритма Евклида, вы увидите, что полученное уравнение содержит два коэффициента исходного уравнения. Перепишите уравнение так, чтобы порядок его членов соответствовал коэффициентам исходного уравнения.
  - В нашем примере исходное уравнение 87 x − 64 y = 3 {\displaystyle 87x-64y=3} . Поэтому перепишите полученное уравнение так, чтобы коэффициенты привести в соответствие. Обратите особое внимание на коэффициент «64». В исходном уравнении этот коэффициент отрицательный, а в алгоритме Евклида - положительный. Поэтому множитель 34 нужно сделать отрицательным. Окончательное уравнение запишется так:
    - 87 (− 25) − 64 (− 34) = 1 {\displaystyle 87(-25)-64(-34)=1}

Международная научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»

Исследовательская работа по математике по теме:

“Диофантовы уравнения, типы и способы решения»

Предметная область: математика

Работу выполнила:Хомякова Ольга, ученица 10 класса

Учитель:, учитель математики

Образовательное учреждение:

Брянск 2014

1. Введение-3

2.Основная часть.---5

1.Историческая справка-----5

2.Виды диофантовых уравнений и их классификация

3. Диофантовые уравнения в части С ЕГЭ-13

4. Практическое применение теории диофантовых ур-ний -16

Заключение

5. Литература

Введение

Актуальность исследования:

В школьном курсе математики диофантовы уравнения практически не изучаются, но, например, в заданиях группы С6 в ЕГЭ встречаются уравнения 2-ой степени. Также с этими заданиями я сталкивалась в математических олимпиадах. Я заинтересовалась этой темой для того, чтобы успешно сдать Единый Государственный Экзамен и принимать участие в олимпиадах и конкурсах. Помимо этого, меня заинтересовала практическая направленность области этой темы.

Предметная областью моего исследования является математика.

Объект работы - диофантовы уравнения, типы и способы их решения.

Цель работы:

1. Повысить уровень математической культуры ;

2. Развить в себе навыки исследовательской деятельности в области математики;

3. Научиться самой и научить других решать диофантовы уравнения эффективными методами;

4. Применять эти методы решения к задачам из повседневной жизни человека, а также к задачам, предлагаемым на вступительных экзаменах в ВУЗы и в олимпиадных заданиях;

5. Классифицировать методы решений дифференциальных уравнений;

6. Составить сборник задач с решениями в помощь ученикам нашей школы.

Задачи:

1. изучить исторические корни ;

2. научиться пользоваться научной литературой , строить графики в современных компьютерных программах, быстро и грамотно находить информацию в интернете;

3. исследовать методы решения задач, приводимых к уравнениям первой степени с двумя переменными, выбрав самые удобные и простые;

4. научиться решать задачи из повседневной жизни, вступительных экзаменов в ВУЗы экономического направления и олимпиадных заданий, применив изученные ранее методы;

5. разработать методическое пособие для всех интересующихся (подобрать или самим составить задачи с экономическим содержанием, приводящие к решению уравнений с двумя переменными).

Методы исследования : анализ, синтез, сравнение, противопоставление, ранжирование, прогнозирование, наблюдение.

Гипотеза: изучив типы, классифицировав диофантовы уравнения по способам решения можно успешно справиться с решением текстовых задач, задач с практическим содержанием и с частью заданий С6 ЕГЭ.

Этапы работы :

1. Изучение истории появления диофантовых уравнений, основной литературы по этой теме;

2. Изучение способов и методов решения диофантовых уравнений;

3. Попытка их классификации ;

4. Поиск практической значимости данной темы.

Основая часть.

1.Историческая справка.

Диофант(вероятно 3 в. н. э. – древнегреческий математик из Александрии)

Диофантовы уравнения – алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, у которых отыскиваются целые или рациональные решения.

Эти уравнения названы по имени Диофанта (вероятно 3 в. н. э. – древнегреческий математик из Александрии), изучавшего такие уравнения.

Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам неизвестно ни время, когда он жил, ни предшественники, которые работали бы в той же области. Достаточно решить уравнение первой степени с одним неизвестным – и мы узнаем, что Диофант прожил 84 года.

Наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть из тринадцати книг, которые были объединены в “Арифметику”, стиль и содержание этих книг резко отличается от классических античных сочинений по теории чисел и алгебры, образцы которых мы знаем по “Началам” Евклида, его “Данным”, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. “Арифметика”, несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались совершенно неизвестными. Число неизвестных диофантовых уравнениях превосходит число уравнений, и поэтому иногда их называют неопределенными.

Диофантовы уравнения впервые обстоятельно исследовались в книге Диофанта “Арифметика”. Такие уравнения имеют некоторые особенности:

1. Они сводятся к уравнениям или системам уравнений с целочисленными коэффициентами.

2. Требуется найти только целые, часто натуральные решения.

2. Определение, виды диофантовых уравнений и способы их решений.

Итак, диофантовым уравнением для целочисленных переменных х 1 , х 2 , …, х n называется уравнение, которое может быть приведено к виду

P ( x 1 , x 2 , …, x n ) =0

Где Р - некоторый многочлен от указанных переменных с целыми коэффициентами.

Простейшим диофантовым уравнением является уравнение вида ax + by = c , где a и b – целые взаимно простые числа. Такое диофантово уравнение имеет бесконечное число решений: если x 0 и y 0 – одно решение, то числа x = x 0 + bn и y = y 0 - an (где n - любое целое число ) также будут решениями, которыми исчерпывается вся совокупность решений.

Виды диофантовых уравнений:

1.Однородные уравнения:

Пример 1:

Итак, я предлагаю рассмотреть решение следующего уравнения:

8 x +9 y =43

Так как 8 и 9 взаимно простые числа, т. е. наибольший общий делитель 8 и 9 равен 1 то решение существует. Одно из решений найдем подбором:

x 0 =2, y 0 =3. Остальные решения вычисляются по формулам:

x = x 0 + bn

y = y 0 - an

Отсюда х =2+9 n , y =3-8 n , n принадлежит Z .

Если наибольший общий делитель d коэффициентов а и b больше 1, асвободный член с не делится на d , то уравнение ах + by = c не имеет решений в целых числах.

Пример 2:

А теперь рассмотрим линейное диофантово уравнение, которое не имеет целых решений:

5 x+35y=17

Для доказательства того, что это уравнение не имеет целых решений, необходимо вынести за скобки общий множитель 5, получим 5( x +7 y )=17 . Тогда левая часть уравнения делится на 5, а правая часть на 5 не делится. Значит, уравнение не имеет решений в целых числах.

Любое уравнение ах + by = с , где НОД(а, b ) = 1, имеет хотя бы одно решение в целых числах.

Задача 1:

К диофантовому уравнению приводит и такая задача:

На покупку нескольких открыток по 11 рублей и конвертов по 13 рублей потратили всего 61 рубль. Сколько купили открыток?

Давайте обозначим число открыток через х , а число конвертов через y , то задача сводится к уравнению 11 x +13 y =61 . Очевидно, что по условию задачи здесь пригодны лишь целые положительные числа. Методом подбора найдем такие числа. Данное уравнение имеет только одно такое решение: x =2, y =3 .

Еще в Древнем Вавилоне родилась задача о построении прямоугольного треугольника с попарно соизмеримыми сторонами. Соизмеримость сторон означает, что найдется такой масштаб, в котором катеты и гипотенуза будут выражаться натуральными числами x и y , но тогда:

x^2+y^2=z^2 .

Таким образом, вавилонская задача сводится к задаче построения всех троек натуральных чисел x , y , z удовлетворяющих предыдущему уравнению. Пифагорейцы нашли способ построения всех его решений. Но, возможно, этот способ был найден еще раньше в Вавилоне и Индии. Так или иначе, решения (x , y , z ) уравнения x ^2+ y ^2= z ^2 принято называть пифагоровыми тройками: x =2 n +1; y =2 n ( n +1) ; z =2 n ^2+2 n +1 , n принадлежит Z . Примеры пифагорейских троек: 3, 4, 5 ; 6, 8, 10 ; 5, 12, 13 .

Однако эти формулы не дают возможности найти все пифагорейские тройки чисел, имеющие выбранное исходное число. Формулы Пифагора и Платона и их различные модификации дают только частные решения. Приведем еще примеры пифагорейских троек чисел, которые нельзя получить по указанным формулам: 72, 65, 97 ; 72, 320, 328 .

Эти и другие пифагорейские тройки чисел дает вавилонская клинописная табличка, относимая к эпохе гг. до н. э. Метод вавилонян дает возможность найти все пифагорейские тройки, содержащие выбранные исходные числа.

Известный в теории диофантовых уравнений является проблема Ферма (Пьер Ферма () – французский математик). Эта проблема носит название великой теоремы Ферма.

Теорема:

Для любого натурального числа n >2 уравнение x ^ n + y ^ n = z ^ n не имеет решений в целых положительных числах x , y , z .

Она была сформулирована Ферма примерно в 1630 году на полях книги Диофанта “Арифметика”. Общее доказательство получил английский математик Уайлс в 1995 году.

2уравнения второй степени:

Следующим типом диофантовых уравнений являются уравнения второй степени ax ^2+ bxy + cy ^2+ dx + ey + f =0 , где a , b , c , d , e , f – целые числа. Такие уравнения могут иметь бесконечно много решений, например, уравнение Пелля (Джон Пелль: английский математик): x ^2- Ay ^2=1 (A >0, A - неполный квадрат).

Пример 3, 4 , 5, 6:

Я предлагаю вам решить 4 уравнения:

1. x(x + y)=11

2. x(x – 3y)=2

3. (x + 2y)(2x – y)= -2

4. xy - 3y + x =5

Итак, попробуем найти решение для первого уравнения :

Так как число 11 имеет делители только 1 и 11, то возможны следующие сочетания сомножителей:

1. x =1,

x + y=11

Тогда x=1, y=10.

2. x=11,

x + y=1

Тогда x=11, y= -10

3. x= -1,

x + y= -11

Тогда x= -1, y= -10

4. x= -11

x = y= -1

Тогда x= -11, y= 10

Ответ запишем в следующем виде: (1;10), (11;-10), (-1;-10), (-11;10).

Задачу №2 я предлагаю решить аналогичным способом, при помощи 4 систем.

1. х=2,

Х – 3у=1

Тогда х=2, у=1/3 (т. е. система не имеет решения в целых числах).

2. х=1,

Х – 3у=2

Тогда х=1, у=-1/3 (т. е. система не имеет решения в целых числах).

3. х=-1,

Х – 3у=-2

Тогда х=-1, у=1/3 (т. е. система не имеет решения в целых числах).

4. х=-2,

Х - 3у=-1

Тогда х=-2, у=-1/3 (т. е. система не имеет решения в целых числах).

Из этих пар чисел видно, что уравнение не имеет решений в целых числах.

Задачу № 3 тоже можно решить при помощи 4 систем. Решив системы, получим следующие пары чисел: (0;-1), (0;1), (y =4/5), (y = -4/5)

Последние две системы не имеют целых решений, следовательно, ответ: (0;-1),(0;1).

Последнее уравнение не похоже на 3 предыдущих.

Преобразуем заданное уравнение (вынесем за скобки y и вычтем и прибавим число 3):

y ( x – 3) + x – 3=5 -3 ;

В результате преобразований получаем уравнение:

(x – 3)(y + 1)=2

Так как число 2 может быть представлено 4 способами в виде произведения целых чисел 2= (-2) * (-1); 2=(-1) * (-2); 2=1 * 2; 2= 2*1, то возможны четыре системы. Из них получаем четыре пары чисел (1; -2), (2; -3), (4;1), (5;0). Ответом этого уравнения будут являться все 4 пары.

Пример 7:

9 x^2 – y^2= 14

Запишем данное уравнение в виде (3 x – y ) * (3 x + y )=14 . Так как число 14 с учетом порядка следования множителей может быть представлено в виде произведения целых чисел следующим образом: 14=(-2) * (-7); 14=(-7) *(-2); 14=(-1) * ; 14= (-14) * (-1); 14= 2 * 7; 14= 7 * 2; 14= 1* 14; 14= 14* 1, то будет 8 случаев.

Решив все 8 систем, мы получаем дробные значения, а значит, что это уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример 8:

3 x ^2 + 5 xy + 2 y ^2=7

Разложим левую часть заданного уравнения на линейные множители: Уравнение примет вид: (3 x + 2 y )( x + y )=7

Так как 7 число простое, то оно равно произведению двух целых чисел в четырех случаях. Решив все 4 системы, получим пары чисел (-5;4), (5; -4), (-13;20), (13;-20) . Эти числа и будут ответом.

Пример 9:

x^2 + y^2 – 2x + 4y=-5

В левой части уравнения выделим полный квадрат:

x^2 – 2x + 1 + y^2 + 4y + 4=0

(x – 1)^2 + (y + 2)^2=0

Сумма квадратов равна 0 лишь в одном случае

(x – 1) ^ 2=0 ,

(y + 2)^2=0

Решив систему, получим, что x = 1, y = -2

Ответ: (1 ; -2).

Пример 10:

x^2 – 6x + y^2 + 6y + 18=0

Докажем, что это уравнение имеет единственное целочисленное решение.

В левой части уравнения выделим полные квадраты:

(x – 3)^2 + (y + 3)^2=0

Данное уравнение имеет решение, когда

x – 3=0,

y + 3=0

Т. е. при x=3, y= -3.

Теперь я предлагаю рассмотреть графический метод решения диофантовых уравнений.

Алгоритм построения графика уравнения ах + by + с = 0:

1. Придать переменной х конкретное значение х= х1; найти из уравнения ах1 + by + c = 0 соответствующее значение y = y 1.

2. Придать переменной х другое значение х=х2; найти из уравнения ах2 + by + c = 0 соответствующее значение y = y 2.

3. Построить на координатной плоскости х Oy две точки (х1;у1) и (х2;у2).

4. Провести через эти две точки прямую – она и будет графиком уравнения ах + by + с = 0.

Пример 11:

Так, например, уравнение 5 x + 7 y =17 можно решить графическим методом, изобразив прямую 5 x + 7 y = 17, и определив на этой прямой точки, обе координаты которых будут в данном случае натуральными числами.

Целые решения: (2 ;1),(9;-4), (16;-9),(-5;6),(-12;11)

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Введение 3

Глава 1 Общие сведения о решении уравнений в целых числах. 1.1 Диофантовы уравнения. 4

Глава 2. Способы решения уравнений в целых числах. 2.1 Способ перебора вариантов. 6

Глава 2. Известные диофантовы уравнения.

Заключение. 25 Литература 28

Введение

Мы обратились к этой теме, так как она недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, а задачи по этой теме предлагаются как на олимпиадах, так и на вступительных экзаменах в вузы. Безусловно, тема решения уравнений в целых числах была, есть и будет актуальна. Это и без слов понятно. Недаром ей занимались с самого зарождения математики.Линейным диофантовым уравнением называется уравнение с несколькими неизвестными вида а 1 х 1+… а n х n =с, где (известные) коэффициенты а 1 , а n и с – целые числа, а неизвестные х 1 ,…, х n также являются целыми числами. К решению подобных уравнений сводятся разнообразные текстовые задачи, в которых неизвестные величины выражают количество предметов того или иного рода и поэтому являются натуральными (или неотрицательными целыми) числами. Теория решения подобных уравнений является классическим разделом элементарной математики. В ней не приходится писать сложные и громозкие формулы, а необходимо проводить аккуратные рассуждения, базирующиеся на определенных понятиях теории чисел и связанные в стройную логическую конструкцию. В рамках этой теории можно дать исчерпывающее решение рассматриваемого класса задач с четко описанным алгоритмом получения ответа. Конкретные задачи такого рода были решены еще в Древнем Вавилоне около 4 тысяч лет тому назад. Древнегреческий мыслитель Диофант, который жил около 2 тысяч лет тому назад, в своей книге «Арифметика» решил большое число таких и более сложных уравнений в целых числах и в сущности описал общие методы их решения. Следует отметить, что каждая конкретная задача в целых числах может решаться с помощью разных методов Цель работы:

Рассмотреть методы решения уравнений в целых числах. Узнать об известных диофантовых уравнениях. Глава 1. Общие сведения о решении уравнений в целых числах.

1 Диофантовы уравнения .

Диофантовы уравнения – алгебраические уравнения с целыми коэффициентами или системы таких уравнений, у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Названы по имени древнегреческого учёного Диофанта (3 век до н. э.), в книге которого «Арифметика» впервые обстоятельно исследовались такие уравнения. Задачи диофантовой «Арифметики» решаются с помощью уравнений, а проблемы решения уравнений относятся скорее к алгебре, чем к арифметике, но они имеют свои особенности:

они сводятся к уравнениям или системам уравнений с целочисленными коэффициентами. Как правило, эти системы неопределённые, т. е. число уравнений в них меньше числа неизвестных решения требуется найти только целые, часто натуральные. При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы: 1. Способ перебора вариантов. 2. Алгоритм Евклида. 3. Цепные дроби. 4. Метод разложения на множители. 5. Решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной. 6. Метод остатков. 7. Метод бесконечного спуска.1. 2 Историческая справка. Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Надо сказать, что это не было изобретением Ферма - он только возродил интерес к поиску целочисленных решений. А вообще задачи, допускающие только целые решения, были распространены во многих странах в очень далёкие от нас времена. Примерно в то же время, когда жил Диофант, далеко на Востоке в Китае, были популярны задачи на деление с остатком и задачи о птицах. Приведём в качестве примера одну задачу из древнего китайского сборника: «Найти число, которое при делении на 3 даёт остаток 2 , при делении на 5 – остаток 3 , а при делении на 7 – остаток 2 ». (Интересно, что эта задача с теми же числовыми данными почти через тысячелетие встречается в «Книге абака» Леонардо Пизанского.) Древние математики находили в большинстве случаев одно, реже несколько решений неопределённых задач и в основном подбором. Правда за этим подбором, как правило, стояла система, разгадав которую мы, вооружённые современной символикой, можем записать все искомые решения уравнения.Глава 2. Способы решения уравнений в целых числах.

2. 1 Способ перебора вариантов.

Задача 1.

Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?

Решение. Пусть х - количество морских звёзд, у – количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение: 5х + 8у = 39. Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8 . Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3 , тогда у = 3 . Ответ: (3; 3)

2. 2 Алгоритм Евклида.

Можно найти НОД натуральных чисел a и b , не раскладывая эти числа на простые множители, а применяя процесс деления с остатком. Для этого надо разделить большее из этих чисел на меньшее, потом меньшее из чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка. Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД (a , b ). Чтобы доказать это утверждение, представим описанный процесс в виде следующей цепочки равенств: если a > b , то a = bq0 + r1 b = r1q1 + r2 r1 = r2q2 + r3 (1) . . . . . . . . . . . . rn – 1 = rnqn Затем r 1, . . . , rn - положительные остатки, убывающие с возрастанием номера. Из первого равенства следует, что общий делитель чисел a и b делит r 1 и общий делитель b и r 1 делит a , поэтому НОД (a , b ) = НОД (b , r 1) = НОД (r 1, r 2) = … = НОД (rn -1, rn )= = НОД (rn , 0) = rn . Утверждение доказано. Приведённый способ нахождения НОД носит название метода последовательного деления с остатком или алгоритма Евклида, поскольку впервые он был изложен в его «Началах». Обратимся к системе (1). Из первого равенства, выразив остаток r 1 через a и b , получим r 1 = a – bq 0 . Продолжая этот процесс, мы можем выразить все остатки через a и b , получим r 1 = a – bq 0 . Подставляя его во второе равенство, найдём r 2 = b (1 + q 0 q 1) – aq 1 . Продолжая этот процесс дальше, мы сможем выразить все остатки через a и b, в том числе и последний: rn = Aa + Bb . В результате нами доказано предложение: если d – наибольший общий делитель натуральных чисел a и b , то найдутся такие целые числа A и B , что d = Aa + Bb . Заметим, что коэффициенты A и B имеют разные знаки; если НОД (a , b ) = 1 , то Aa + Bb = 1 . Как найти числа A и B , видно из алгоритма Евклида. Перейдем теперь к решению линейного уравнения с двумя неизвестными. Оно имеет вид: ax + by = c (2) Возможны два случая: либо число c делится на d = НОД(a , b ) , либо нет. В первом случае можно разделить обе части уравнения на d и свести задачу к решению в целых числах уравнения a 1 x = b 1 y = c 1 , коэффициенты которого a 1 = a / d и b 1 = b / d взаимно просты. Во втором случае уравнение не имеет целочисленных решений: при любых целых x и y число ax + by делиться на d и поэтому не может равняться числу c , которое на d не делится. Итак, мы можем ограничиться случаем, когда в уравнении (2) коэффициенты a и b взаимно просты. На основании предыдущего предложения найдутся такие целые числа х0 и у0 , что ax 0 + by 0 = 1 , откуда пара (сх0, су0) удовлетворяет уравнению (2). Вместе с ней уравнению (2) удовлетворяет бесконечное множество пар (х, у) целых чисел, которые можно найти по формулам х = сх 0 + bt, y = cy0 – at. (3) Здесь t – любое число. Нетрудно показать, что других целочисленных решений уравнение ах + by = c не имеет. Решение, записанное в виде (3), называется общим решением уравнения (2). Подставив вместо t конкретное целое число, получим его частное решение.

Задача 2.

Найдём, например, целочисленные решения уравнения 2 x + 5 y = 17 . Решение.

Применив к числам 2 и 5 алгоритм Евклида, получим 2 3 – 5 = 1* . Значит, пара сх0 = 3 17* , су0 = - 1 17* удовлетворяет уравнению 2х + 5у = 17 . Поэтому общее решение усходного уравнения таково:

x = 51 + 5 t , у = - 17 – 2 t , где t принимает любые целые значения. Очевидно, неотрицательные решения отвечают тем t , для которых выполняются неравенства  51 + 5 t  0   - 17 - 2 t  0

Отсюда найдём – 51/5  t  - 17/2 . Этим неравенством удовлетворяют числа - 10 , - 9 . Соответствующие частные решения запишутся в виде пар: (1,3), (6, 1) .

Задача 3.

Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причём петух стоит 5 монет, курица – 4 , а 4 цыплёнка – одну монету?

Решение.

Пусть х – искомое число петухов, у – кур, а 4 z – цыплят. Составим систему  х + у + 4 z = 100

 5 x + 4 y + z = 100, которую надо решить в целых неотрицательных числах. Умножив первое уравнение системы на 4 , а второе – на (-1) и, сложив результаты, придём к уравнению - x + 15 z = 300 с целочисленными решениями x = -300 + 15 t , z = t . Подставляя эти значения в первое уравнение, получим y = 400 - 19 t . Значит, целочисленные решения системы имеют вид x = -300 + 15 t ,

y = 400 - 19 t , z = t . Из условия задачи вытекает, что

 -300 + 15 t  0

 400 – 19 t  0

 t  0 , откуда 20  t  21 1/19 , т. е. t = 21 или t = 20 .

Ответ.

На 100 монет можно купить 20 кур и 80 цыплят, или 15 петухов, 1 курицу и 84 цыплёнка.

Задача 4.

Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2 , по 3 , по 4 , по 5 и по 6 , то каждый раз одно яйцо оставалось лишним, а когда она разложила по 7 , лишних яиц не осталось. Сколько яиц несла крестьянка на базар?

Решение.

Пусть х – число яиц. Так как х – 1 делится на 2 , на 3 , на 4 , на 5 , на 6 , то оно делится на их НОК, равное 60 . Значит, х имеет вид 60у + 1 . Поэтому для ответа на вопрос задачи надо решить в натуральных числах уравнение 60у + 1 = 7 z . С помощью алгоритма Евклида находим у0 = -2 , z 0 = - 17 , откуда все целочисленные решения уравнения имеют вид у = -2 + 7 t , z = -17 + 60 t , где t – любое целое число. Наименьшее положительное решение получаем при t = 1 . В этом случае у = 5 , z = 43 . Итак, крестьянка несла на базар 301 яйцо.

Ответ.

Крестьянка несла на базар 301 яйцо.

2. 3 Цепные дроби.

Следующий метод связан с непрерывными или цепными дробями.

Обратимся вновь к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (1) вытекает, что дробь a / b можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: a / b = q 0 + r 1/ b . Но r 1/ b = 1/ b / r 1 , и на основании второго равенства той же системы имеем b / r 1 = q 1 + r 2/ r 1 . Значит, a / b = q 0+1/(q 1+ r 2/ r 1) . Далее получим a / b = q 0 + 1/(q 1+1/(q 2+ r 3/ r 2)). Продолжим этот процесс до тех пор. Пока не придём к знаменателю qn

В результате мы представим обыкновенную дробь a / b в следующем виде: a / b = q 0 + 1 / (q 1 + 1 / (…+ 1 / qn )). Эйлер назвал дроби такого вида непрерывными. Приблизительно в тоже время в Германии появился другой термин – цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. Ввиду громоздкости развёрнутой записи цепной дроби применяют компактную запись [ q 0; q 1, q 2, …, qn ] .

Задача 5.

Представить дробь 40/31 в виде цепной.

Решение.

40/31 = 1 + 9/31 = 1 + 1/3 /9 = 1 + 1/(3 + 4 / 9) = 1 + 1 / (3 + 1 / 9 / 4) = =1 + 1 / (3 + 1 / (2 +1 / 4)) =

Удобство применения цепных дробей заключается в том, что их свойства не связаны ни с какой системой счисления. По этой причине они эффективно используются в теоретических исследованиях. Но широкого практического применения цепные дроби не получили, так как для них нет удобных правил выполнения арифметических действий.

2. 4 Метод разложения на множители.

Задача 6.

Решите уравнение в целых числах: x ² - y ² = 91 .

Решение.

Разложим левую часть данного уравнения на множители: (х–у)(х+у)= =91 . Так как 91= 1 * 91 =91 * 1=(-1) * (-91) = (-91) * (- 1) = 7 * 13 =

= 13 * 7 = (-7) * (-13) = (-13) * (-7) , то решение данного уравнения сводится к решению восьми систем:

1) x – y = 1

x + y = 91

(46; 45)

2) x – y =- 1

x + y =- 91

(-46; -45)

3) x – y = -91

x + y = 1

(46; -45)

4) x – y = -91

x + y = -1

(-46; 45)

5) x – y = 7

x + y = 13

6) x – y = -7

x + y = -13

(-10; -3)

7) x – y = 13

x + y = 7

(10; -3)

8) x – y = -13

x + y = -7

(-10; 3)

Ответ.

(46; 45),(46; - 45),(-46; -45),(-46; 45),(10; 3),(10; -3),(-10; -3),(-10; 3).

Задача 7.

Решите в целых числах х³ + 91 = у³.

Решение.

Перепишем данное уравнение в следующем виде у³ - х³ = 91 , разложим левую часть на множители (у – х)(у² + ху + х²) = 91. Заметим, что у² + ху + х² = (у + х/2)² + ¾х²  0 при у  R .

Значит, решение данного уравнения сводится к решению следующих систем

1) у – х = 1

 у² + ху + х² = 91 (5; 6),(-6; -5) ;

2) у – х = 1

 у² + ху + х² = 1 система не имеет решения в целых числах;

3) у – х = 13

 у² + ху + х² = 7 решений в целых числах нет;

4) у – х = 7

 у² + ху + х² = 13 решая данную систему, получаем (-3; 4),(-4;3).

Ответ.

(5; 6), (-6; -5), (5; 6), (-6; -5) .

Задача 8.

Решите в целых числах ху=х+у

Решение.

ху – х – у + 1 = 1 . Левую часть данного уравнения разложим на множители, применяя способ группировки. х(у – 1) – (у – 1) = 1 ; (у – 1)(х – 1) = 1 . Следовательно,

у – 1 = 1

х – 1 = 1

у – 1 = -1

х – 1 = -1

Ответ.

(2; 2), (0; 0).

Задача 9.

Решите в натуральных числах 2х² + 5ху – 12у² = 28 .

Решение.

Разложим левую часть данного уравнения на множители, для этого перепишем уравнение в следующем виде: 2х² - 3ху + 8ху – 12у² = 28 .

Применяя способ группировки, получим (2х – 3у)(х + 4у) = 28. Так как х , у – натуральные числа, то (х + 4у)  N и х + 4у  4 , тогда возможны следующие случаи:

1) 2х – 3у = 1

х + 4у = 28

2) 2х – 3у = 4

х + 4у = 7

решений в натуральных числах нет;

3) 2х – 3у = 1

х + 4у = 28

решений в натуральных числах нет.

Ответ.

Задача 10.

Решите в целых числах 2ху = х² + 2у.

Решение.

Перепишем уравнение в следующем виде х² - 2ху + 2у = 0. Данное уравнение также решается методом разложения на множители, однако, с помощью формулы разности квадратов или способа группировки мы не сможем разложить на множители левую часть этого уравнения, поэтому целесообразнее использовать метод выделения полного квадрата.

(х² - 2ху + у²) - у² + 2у – 1 + 1 = 0, (х – у)² - (у – 1)² =-1.

(х – у – у + 1)(х – у + у – 1) = -1, (х – 2у + 1)(х – 1) = -1.

Решение этого уравнения сводится к решению следующих систем:

 х – 2у + 1= -1 или  х – 1= -1

 х – 1= 1  х – 2у + 1= 1

(2; 2) решений в нат. числах нет

Ответ.

Итак, из рассмотренных выше уравнений можно сделать вывод, что при решении уравнений методом разложения на множители применяются: формулы сокращённого умножения, способ группировки, метод выделения полного квадрата.

Теперь рассмотрим более сложные уравнения.

Задача 11.

Решите в натуральных числах х² - 4ху – 5у² = 1996.

Решение.

Перепишем уравнение в виде (х²-4ху+4у²)–9у²=1996, (х-4у)²–9у²=1996.

Разложим левую часть на множители (х – 5у)(х + у) = 1996 .

1996=1 * 1996=2 * 998=4 * 499= -1 * (-1996)= -2 * (-998) = -4 * (-499).

Так как х  N , y  N , то (х + у)  N , причём (х + у) > 1 . Если (х + у)  N и (х + у)(х – 5у) = 1996 , то (х – 5у)  N . Тогда решение получившегося уравнения сводится к решению следующих систем

1) х - 5у = 1

х + у = 1996

решений в натуральных числах нет

2) х - 5у = 499 или  х - 5у = 4

х + у = 4  х + у = 499

системы решений в натуральных числах не имеют

3) х - 5у = 2 или  х - 5у = 988

х + у =998  х + у =2

(832; 166) решения в натуральных числах нет

Ответ.

х = 832, у = 166 .

2.5 Решение уравнений в целых числах, как квадратных относительно какой-либо переменной.

Задача 12.

Решите в целых числах 5х²+ 5у² + 8ху + 2у – 2у + 2 = 0 .

Решение.

Если попытаться решить данное уравнение методом разложения на множители, то это достаточно трудоёмкая работа, поэтому это уравнение можно решить более изящным методом. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительн о х 5х²+(8у-2 )х+5у²+2у +2=0 , х1,2 = (1 – 4у ± √(1 – 4у) ² - 5(5у² + 2у + 2))/5 = (1 – 4у ± √ -9(у + 1)²)/5.

Данное уравнение имеет решение тогда, когда дискриминант равен нулю, т.е. –9(у + 1) = 0 , отсюда у = -1 . Если у = -1 , то х =1 .

Ответ.

Задача 13.

Решите в целых числах 3(х² + ху + у²)= х + 8у

Решение.

Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х 3х ² + (3у - 1)х + 3у² - 8у = 0. Найдём дискриминант уравнения D = =(3у – 1) ² - 4 * 3(3у² - 8у) = 9у² - 6у + 1 – 36у² + 96у = -27у² + 90у + 1.

Данное уравн ение имеет корни, если D  0 , т. е. –27у² + 90 у + 1  0

(-45 + √2052)/ (-27)  у  (-45 -√2052)/ (-27) (4)

Так как у  Z , то условию (4) удовлетворяют только 0, 1, 2, 3 . Перебирая эти значения, получим, что уравнение в целых числах имеет решения (0; 0) и (1; 1) .

Ответ.

(0; 0) , (1; 1) .

Задача 14.

Решите уравнение 5х² - 2ху + 2у² - 2х – 2у + 1= 0.

Решение.

Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно х с коэффициентами, зависящими от у, 5х² - 2(у + 1)х + 2у² – 2у + 1= 0.

Найдём четверть дискриминанта D /4=(y +1)²-5(2 y ²-2 y +1)=-(3 y -2)² .

Отсюда следует, что уравнение имеет решение только тогда, когда -(3у – 2)² = 0 , отсюда следует у = ⅔, затем находим х = ⅓.

Ответ.

(⅓; ⅔).

2.6 Метод остатков.

Задача 15.

Решите в целых числах 3ª = 1 + у²

Решение.

Видно, что (0; 0) – решение данного уравнения. Докажем, что других решений нет.

Рассмотрим случаи:



N, y



Если х  N , то 3ª делится на 3 без остатка, а у² + 1 при делении на 3 даёт остаток либо 1 , либо 2 . Следовательно, равенство (5) при натуральных значениях х и у невозможно.

2)Если х – целое отрицательное число, y  Z , тогда 0<3ª<1, а 1+у²  0 и равенство (5) также невозможно. Следовательно, (0; 0) – единственное решение.

Ответ.

Задача 16 .

Докажите, что система уравнений

х² - у² = 7

z ² - 2 y ² = 1

не имеет решений в целых числах.

Решение.

Предположим, что система разрешена. Из второго уравнения z ²=2у+1, т. е. z ²– нечётноё число и z -нечётное, значит z =2 m +1 . Тогда y ²+2 m ²+2 m , значит, у² - чётное число и у – чётное, y = 2 n , n  Z .

x ²=8 n ³+7, т. е. х² - нечётное число и х - нечётное число, х=2 k +1, k  Z .

Подставим значения х и у в первое уравнение, получим 2(k ² + k - 2 n ³) = 3, что невозможно, так как левая часть делится на 2 , а правая нет.Значит, наше предположение неверно, т.е. система не имеет решений в целых числах.

2.7 Метод бесконечного спуска.

Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей схеме: предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый бесконечный процесс, в то время, как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чём–то кончаться.Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположив, что мы уже добрались до естественного конца, видим, что «остановиться» не можем.

Задача 17.

Решить в целых числах 29х + 13у + 56 z = 17 (6)

Выразим неизвестное, коэффициент при котором наименьший, через остальные неизвестные.

у=(17-29х-56 z )/13=(1-2 x -4 z )+(4-3 x -4 z )/13 (7)

Обозначим (4-3 x -4 z )/13 = t 1 (8)

Из (7) следует, что t 1 может принимать только целые значения. Из (8) имеем 13 t 1 + 3 x + 4 z = 14 (9)

Получим новое диофантово уравнение, но с меньшими, чем в (6) коэффициентами. Применим к (9) те же соображения: x =(4-13 t 1-4 z )/3= =(1-4 t 1- z ) + (1- t 1- z )/3

(1- t 1- z )/3 = t 2 , t 2 – целое, 3 t 2+ t 1+ z = 1 (10)

В (10) коэффициент при z – неизвестном исходного уравнения равен 1 – это конечный пункт «спуска». Теперь последовательно выражаем z , x , y через t 1 и t 2 .

z = -t1 – 3t2 + 1

x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 = 1 +t2 = -t1 + 4t2

y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 - 3

Итак, x = -3t1 + 4t2

y = 11 t 1 + 4 t 2 - 3 z = - t 1 – 3 t 2 + 1 t 1, t 2 - любые целые числа – все целые решения уравнения (6)

Задача 18.

Решить в целых числах x ³ - 3 y ³ - 9 z ³ = 0 (11)

Решение.

Видно, что левая часть уравнения (11) не поддаётся никаким преобразованиям. Поэтому исследуя характер целых чисел x ³=3(y ³- z ³). Число x³ кратно 3 , значит и число х кратно 3 , т. е. х = 3х1 (12) Подставим (12) в (11) 27х1³-3у³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0 (13)

y³=3(3x1³-z³). Тогда у³ кратно 3 , значит и у кратно 3 , т. е. у=3у1 (14). Подставим (14) в (13) 9х1³ -27у1³ - 3 z ³=0 . Из этого уравнения следует, что z ³ кратно 3, а значит и z кратно 3 , т.е. z =3 z 1 .

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие уравнению (11), кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3 , получаем числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) .

Глава 3. Известные диофантовы уравнения.

3.1 Большая теорема Ферма.

Большой известностью во всём мире пользуется «Великая теорема Ферма» (она же – «Большая» или «Последняя»). Великой теоремой Ферма называется то заключение, которое было сделано им при чтении изданной Мезириаком «Арифметики» Диофанта. На полях этой книги, против того места, где идёт речь о решении уравнения вида x² + y² = z ², Ферма написал: «Между тем, совершенно невозможно разложить полный куб на сумму кубов, четвёртую степень – на сумму четвёртых степеней, вообще какую-нибудь степень – на сумму степеней с тем же показателем. Я нашёл поистине удивительное доказательство этого предположения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить» («Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.»). Это положение Ферма теперь формулируется как теорема в следующем виде: «Уравнение xª + yª = zª не может быть решено в рациональных числах относительно x, y и z при целых значениях показателя a , больших 2 » (общеизвестно, что при a=2 такие числа существуют, например, 3, 4, 5 – числа, которые, если являются длинами сторон, образуют знаменитый треугольник Пифагора). Справедливость этой теоремы подтверждается для многих частных случаев, однако доказана в общем виде она была недавно, хотя ей интересовались и её пытались доказать многие крупные математики (в «Истории теории чисел» Диксона прореферировано более трёхсот работ на эту тему). В 1907 году в городе Дармштадте в Германии умер математик Вольфскель, который завещал 100000 марок тому, кто даст полное доказательство теоремы. Немедленно сотни и тысячи людей, движимых одним лишь стремлением к наживе, стали бомбардировать научные общества и журналы своими рукописями, якобы содержащими доказательство теоремы Ферма. Только в Гёттингенское математическое общество за первые три года после объявления завещания Вольфскеля пришло более тысячи «решений». Случай, когда a = 3 , был доказан Эйлером ещё в 1768 году. И тот потребовал ещё много лет, чтобы теория, которой необоснованно пользовался Эйлер при своём доказательстве, была доказана Гауссом. Доказательство теоремы Ферма для случая, когда a = 5 , предложили в 1825 году почти одновременно Дирихле и Лежандр. Своё доказательство Дирихле опубликовал в 1828 году, но оно было очень сложным, и в 1912 году его упростил Племель. Для следующего простого показателя a = 7 теорема Ферма была доказана лишь в 1839 году Ламе. Доказательство Ламе было почти сразу же усовершенствовано Лебегом. В 1847 году Ламе объявил, что ему удалось найти доказательство теоремы Ферма для всех простых показателей a ³ 3 . Метод Ламе представлял собой весьма далёкое развитие идей Эйлера и основывался на арифметических свойствах чисел. Однако сразу же Лиувилль обнаружил в рассуждениях Ламе серьёзный пробел, чем опровергнул это доказательство. Ламе был вынужден признать свою ошибку. На ЭВМ, пользуясь идеями Куммера и Вандивера доказали справедливость теоремы Ферма для всех простых показателей a<100000.

Пифагоровы тройки.

Читателям, несомненно, хорошо известно уравнениех² + у² = z ² (13)

Конечно это знаменитая теорема Пифагора. Она утверждает, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равно сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Уравнение (13) – это диофантово уравнение второй степени. Займёмся поиском его решений. Удобно записывать их в виде троек чисел (x , y , z ) , такие тройки называются пифагоровыми.

Заметим, что если два числа из такой тройки имеют общий делитель, то на него делится и третье число. Поделив их все на общий делитель, вновь получим пифагорову тройку. Значит, от любой пифагоровой тройки легко перейти к пифагоровой тройке, числа которой попарно взаимно просты. Такую тройку называют примитивной. Очевидно, для решения поставленной задачи достаточно найти общий вид примитивных пифагоровых троек.

Ясно, что в примитивной пифагоровой тройке два числа не могут быть чётными, но в тоже время все три числа не могут быть нечётными одновременно. Остаётся один вариант: два числа нечётные, а одно чётное. Покажем, что z не может быть чётным. Предположим противное: z =2 m , тогда х и у – нечётные числа: x =2 k +1, y = 2 k + 1 . В этом случае сумма х² + у² = 4(k ² + k + l ² + l ) + 2 не делится на 4, в то время как z ² = 4 m ² делится на 4 . Итак, чётным числом является либо х , либо у . Пусть х = 2и , у и z – нечётные числа. Обозначим z + y = 2 v , z – y = 2 w . Числа v и w взаимно простые. На самом деле если бы они имели общий делитель d >1 , то он был бы и делителем для z = v + w , и для y = v – w , что противоречит взаимной простоте y и z . Кроме того, v и w разной чётности: иначе бы y и z были чётными. Из равенства x ² = (p ² + q ²)² - (p ² - q ²)² = 4 p ² q ². В результате мы доказали, что для любой примитивной пифагоровой тройки найдутся взаимно простые натуральные числа p и q разной чётности, p > q , такие, что x = 2 pq , y = p ² - q ², z = p ² + q ².

Легко видеть, что справедливо и обратное утверждение. Итак, способ нахождения примитивных решений уравнения (13) найден. Все остальные его натуральные решения имеют вид: x = 2 * kpq , y = k (p ² - q ²), z = k (p ² + q ²), где k – произвольное натуральное число.

Вокруг теоремы Пифагора.

С теоремой Пифагора связано много других диофантовых уравнений. Найдём, например, диофантовы треугольники, У которых один катет длиннее другого на 1. Здесь надо решить в натуральных числах уравнение х² + (х + 1)² = у². (14)Пифагоров треугольник со сторонами 3, 4, 5 удовлетворяет этому требованию. Следовательно, числа х1 = 3, у1 = 5 дают наименьшее натуральное решения уравнения (14). Остальные его решения получаются из рекуррентных соотношений, которые мы приводим без доказательства: х n +1 = 3 xn + 2 yn + 1, yn +1 = 4 xn + 3 yn + 2 Из них находим х2 = 20, у2 = 29; х3 = 119, у3 = 169; х4 = 696, у4 = 985; х5 = 4059, у5 = 5741 и т. д.Уравнение (14) можно переписать так: 2х(х + 1) + 1 = у². Похожий вид имеет уравнение х(х + 1) = у² . Однако в отличие от (14) оно не имеет ни одного решения в натуральных числах. В самом деле, числа х и х + 1 – взаимно просты, а потому их произведение может быть полным квадратом лишь в случае, когда х и х + 1 - полные квадраты, т.е. когда х = и², х + 1 = v ² . Но это невозможно, так как разность квадратов двух натуральных чисел всегда больше 1 .Рассмотрим теперь аналогии уравнения (13) в трёхмерном пространстве. Укажем все прямоугольные параллелепипеды, у которых целочисленны и длины рёбер и длина диагонали. Для этого надо найти все натуральные решения (x, y, z, t) диофантова уравнения x ² + y ² + z ² = t ². По аналогии с пифагоровыми тройками они выражаются формулами x = 2 * k 1 pq , y = kp 2 q 2, z = k (q ² - p 1² - p 2²), t = k (q ² + p 1² + p 2²), где k , q , p 1, p 2 – натуральные числа и q ²> p 1² + p 2². Доказано также, что существуют бесконечно много прямоугольных параллелепипедов, у которых длины рёбер и длины диагоналей всех боковых граней выражаются целыми числами. Иными словами, система уравнений х² + у²=и², х² + z ²= v ², y ² + z ²= w ²

имеет бесконечное множество натуральных решений. Одно из них, например, такое: х = 44, у = 117, z = 240. Однако неизвестно, существует ли прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленны и все рёбра и диагонали всех боковых граней и диагональ самого параллелепипеда, то есть, имеет ли хоть одно решение в натуральных числах система уравнений х² = у² = и², х² + z ² = v ², y ² + z ² = w ², x ² + y ² + z ² = t ².

3.4 Известные диофантовы уравнения.

Познакомимся с одной задачей из «Арифметики» Диофанта: «Заданный квадрат разложить на 2 квадрата».

Эта задача эквивалентна уравнению второй степени х² + у² = а²с с неизвестными х и у при заданном значении параметра а , Простейшее решение данного уравнения получается при нулевом значении одного из неизвестных. Другие решения Диофант ищет, выполняя подстановку у = kx – a , где k - произвольное рациональное число. В результате исходное уравнение приводится к виду (kx – a )² + x ² = a ², откуда после преобразований получаются рациональные выражения для неизвестных x и y .

х = a *2 k / (k ² + 1), y = a * (k ² - 1) / (k ² + 1)

Способ Диофанта позволяет находить так называемые пифагоровы тройки чисел – наборы целых чисел x , y , z , выражающих длины сторон прямоугольного треугольника, т.е. удовлетворяющих уравнению х² + у² = z². Пример такой тройки – 3,4,5 .Запишем неопределенное уравнение х² + у² = z² в виде (x / z )² + + (y / z )² = 1 применим к нему приведенные выше рассуждения Диофанта и получим выражения x / z = 2 k /(k ² +1) , y / z =(m ² - n ²)/(m ²+ n ²) .

Чтобы найти решение в целых числах положим k = m / n , где m , n – произвольные целые, n  0 . Тогда x / z =2 mn /(n ² + m ²) , y / z =(m ²- n ²)/(m ²+ n ²)

и можно взять x = 2 mn , y = m ² - n ², z = m ² + n ².

Около 1630 года перевод «Арифметики» попал в руки выдающемуся французскому математику Пьеру Ферма. Бессмертный труд Диофанта вдохновил Ферма на очень тонкие и глубинные теоретико-числовые исследования, в частности, идя по стопам Диофанта, Ферма доказал, что натуральное число а тогда и только тогда представлено в виде суммы двух квадратов x ² + y ² с целыми x и y , когда все простые делители а , дающие при делении на 4 остаток 3 , входят в а в четной степени. Он также нашел формулу для количества различных пар (х;у) таких чисел.

Знаменитой стала и задача Ферма, написанная, как комментарий на полях книги Диофанта: «Найти прямоугольный треугольник в числах, гипотенуза, которого была бы квадратом а , также и сумма сторон при прямом угле». Эта задача об отыскании таких пифагоровых троек x , y , z , что длина гипотенузы z и сумма длин катетов х + у представляют собой полные квадраты, имеет бесконечно много решений. Минимальные из них, это числа, найденные Ферма: х = 4565486027761 , у = 1061652293520 , z = 4687298610289 (здесь z =2165017 ² ).

Примечательна судьба ещё одного неопределённого уравнения. В своё время Архимед составил задачу о быках четырёх мастей, которые паслись в четырёх стадах, принадлежавших богу солнца Гелиосу. В виде стихотворного послания он отправил её Эратосфену Киренскому. Задача сводится к уравнению х² - 4729494у² = 1. Общее число быков выражается числом порядка 7766 * 10 ²º ¹. Такое стадо старик Гелиос не смог бы разместить даже в границах всей вселенной. По-видимому, лукавил Архимед, посылая своему оппоненту практически не разрешимую задачу и обращаясь к нему со словами:

Если ты это найдёшь, чужестранец, умом пораскинув,

И сможешь назвать каждого стада число,

То уходи, вознаградившись победой, и будет считаться,

Что в мудрости ты всё до конца превзошёл.

За уравнением вида х² - ау² = 1 утвердилось название «уравнение Пелля» - по имени математика Джона Пелля, которому Эйлер ошибочно приписал один из способов его решения. Ферма умел решать это уравнение в целых числах. А позднее выяснилось, что с этой задачей справлялся ещё в XII в. индийский математик Бхаскара, однако, его метод остался науке не известен.

Одна из знаменитых проблем Давида Гильберта, сформулированных на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1990 г., заключалась в следующем: пусть дано произвольное диофантово уравнение; требуется указать общий метод, следуя котором, можно было бы за конечное число шагов узнать, имеет ли оно решение в целых числах.

В 1970 г. ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что такого общего метода не существует.

Заключение.

В процессе работы над темой «диофантовы уравнения», заметили множество интереснейших фактов, связанных с решением уравнений в целых числах. Решение уравнений в целых числах – очень увлекательная задача. С древнейших времён накопилось множество способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако, только в нашем веке появились общие приёмы их исследования. Терема Пифагора и теорема Ферма также является диофантовым уравнением.Решение уравнений в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений. Ферма и Эйлер, Лагранж и Дирихле, Гаусс и Чебышев оставили неизгладимый след в этой интереснейшей теории.

Литература.

Акимова С. Занимательная математика. – Санкт-Петербург: Издательство «Тригон», 1997 – с.608. Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики 10 – 11 класс. – Москва: Издательство «Просвещение», 1996 – с.319. Малинин В. Журнал «Математика», № 21, 2001г., с.–6.

4. Малинин В. Журнал «Математика», № 22, 2001 г., с.–4.

5. Сеть Интернет

(/ref/arh/25/VPV -1330// index . html ).

Школьная энциклопедия. Математика. / под редакцией Никольский С. М. – Москва: Издательство «Большая российская энциклопедия», 1996 – с.648. Энциклопедия для детей Т. 11 (Математика) / под редакцией М. Д. Аксёнова – Москва: Издательство «Аванта +», 1998 – с.688. Энциклопедический словарь юного математика / под редакцией Гнеденко Б. В. – Москва: Издательство «Педагогика», 1985 – с. 350.

Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. – Москва, 1875. Болгарский Б. В. Очерки по истории математики. –Минск, 1979. Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. – Москва, 1998. Васильев Н. Б., Тутенмахер В. Л. Заочные математические олимпиады. – Москва, 1986. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – Москва, 1974. Гальперин Г. А., Тольпыго А. К. Московские математические олимпиады. – Москва, 1986. Генкин С. А., Интенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки. – Киров, 1994. Егоров А. А. О дискриминанте. – Приложение к журналу «Квант», № 2/1994. с – 117. Задачи математических олимпиад школьников Нижегородской области. – Н. Новгород, 1998. Заочные математические олимпиады. – Москва, 1981. Курляндчик Л. Метод бесконечного спуска. – Приложение к журналу «Квант», №3/1999. Литвиненко В. Н., Мордкович А. Т. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. – Москва, 1991. Малинин В. А. Подготовка учащихся 9-11 классов к математическим олимпиадам. Задачи с целыми числами. – Н. Новгород, 2000. Постников М. М. Теорема Ферма. – Москва, 1978. Сивашинский И. Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям. – Москва, 1971. Яковлев Г. Н. Всесоюзные математические олимпиады школьников. – Москва, 1992.

Диофант Александрийский - древнегреческий математик, который жил еще в III веке н. э. О нем говорят как об «отце алгебры». Это автор «Арифметики» - книги, которая посвящена нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Диофант - первый греческий математик, который рассматривал дроби наравне с другими числами. Он первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде. В честь Диофанта назван кратер на видимой стороне Луны.

Диофантово уравнение представляет собой алгебраическое уравнение с налагаемым дополнительным условием, состоящем в том, что все его решения должны представлять собой целые числа. В большинстве случаев данного рода уравнения решаются довольно сложно. Теорема Ферма - это прекрасный пример диофантового уравнения, которое так и не решено спустя 350 лет.

Допустим, нам необходимо решить в целых числах \[(x,y)\] уравнение:

Чтобы решить данного вида задание применим алгоритм Евклида, которое говорит, что для любых двух натуральных чисел \ таких, что \[Н.О.Д.(а,b) = 1\] существуют целые числа \ такие, что \[ах + bу = 1.\]

Этапы решения:

1. Найдем решение уравнения \ применив алгоритм Евклида.

2. Найдем частное решение уравнения (1) по правилу 2.

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

1. Найдем представление: \ Для решения применим алгоритм Евклида.

Из этого равенства выразим

\[ 1 = 3 - 2^1=3-(5-3)^1=3-5^1+3\cdot 1=3^2-5\cdot1=(8-5^1)^2 -5^1=8^2-5\cdot2-5^1=5^x(-3)-8\cdot(-2) \]

Итак, \

2. Частное решение уравнения \[(1): x_о = 19m; y_о =19n.\]

Отсюда получим: \[ x_о =19^x(-3)=57; у_о =19^x(-2)=-38 \]

Пара (-57; -38) - частное решение (1).

3.Общее решение уравнения (1):

\[\left\{\begin{matrix} x=-57+8n\\ y=-3+n, n \in Z \end{matrix}\right.\]

Где взять решение диофантова уравнения?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Алгоритмы решений диофантовых уравнений

Алгоритм Евклида

Пример №1 (простой)
Пример №2 (сложный)

Решаем задачи на подбор чисел без подбора

Задача про кур, кроликов и их лапы
Задача про продавщицу и сдачу

По отзывам сибмам, настоящим камнем преткновения в школьном курсе математики не только для учеников, но и для родителей становятся диофантовы уравнения. Что это такое и как их правильно решать? Разобраться нам помогли учитель математики образовательного центра «Горностай» Аэлита Бекешева и кандидат физико-математических наук Юрий Шанько.

Кто такой Диофант?

Еще древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но в то время не было еще знаков действий и знака равенства, поэтому и записывать уравнения они не умели.

Первым, кто придумал, как можно записать уравнение, был замечательный ученый Диофант Александрийский. Александрия была большим культурным, торговым и научным центром древнего мира. Этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побережье Египта.

Жил Диофант, по-видимому, в III веке н.э. и был последним великим математиком античности. До нас дошли два его сочинения — «Арифметика» (из тринадцати книг сохранилось шесть) и «О многоугольных числах» (в отрывках). Творчество Диофанта оказало большое влияние на развитие алгебры, математического анализа и теории чисел.

А ведь вы знаете кое-что о диофантовых уравнениях…

Диофантовы уравнения знают все! Это задачки для учеников младших классов, которые решаются подбором.

” Например, «сколькими различными способами можно расплатиться за мороженое ценой 96 копеек, если у вас есть только копейки и пятикопеечные монеты?»

Если дать диофантовому уравнению общее определение, то можно сказать, что это алгебраическое уравнение с дополнительным условием: все его решения должны быть целыми числами (а в общем случае и рациональными).

” Зачастую мамы (особенно те, кто окончил школу еще при развитом социализме) полагают, что основная цель таких задач - научить детей расплачиваться мелочью за мороженое. И вот, когда они искренне убеждены, что раскладывание мелочи кучками осталось далеко в прошлом, их любимый семиклассник (или восьмиклассник) подходит с неожиданным вопросом: «Мама, как это решать?», и предъявляет уравнение с двумя переменными. Раньше таких задачек в школьном курсе не было (все мы помним, что уравнений должно быть столько же, сколько и переменных), так что мама не-математик нередко впадает в ступор. А ведь это та же самая задача про мелочь и мороженое, только записанная в общем виде!

Кстати, а зачем к ней вдруг возвращаются в седьмом классе? Все просто: цель изучения диофантовых уравнения - дать основы теории целых чисел, которая дальше развивается как в математике, так и в информатике и программировании. Диофантовы уравнения часто встречаются среди задач части «С» единого госэкзамена. Трудность, прежде всего в том, что существует множество методов решения, из которых выпускник должен выбрать один верный. Тем не менее, линейные диофантовы уравнения ax + by = c могут быть решены относительно легко с помощью специальных алгоритмов.

Алгоритмы для решения диофантовых уравнений

Изучение диофантовых уравнения начинается в углубленном курсе алгебры с 7 класса. В учебнике Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюка приводятся некоторые задачи и уравнения, которые решают с использованием алгоритма Евклида и метода перебора по остаткам , - рассказывает Аэлита Бекешева. - Позже, в 8 - 9 классе, когда уже рассматриваем уравнения в целых числах более высоких порядков, показываем ученикам метод разложения на множители , и дальнейший анализ решения этого уравнения, оценочный метод . Знакомим с методом выделения полного квадрата . При изучении свойств простых чисел знакомим с малой теоремой Ферма, одной из основополагающих теорем в теории решений уравнений в целых числах. На более высоком уровне это знакомство продолжается в 10 - 11 классах. В это же время мы подводим ребят к изучению и применению теории «сравнений по модулю», отрабатываем алгоритмы, с которыми знакомились в 7 - 9 классах. Очень хорошо это материал прописан в учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа, 10 класс» и Г.В. Дорофеева «Математика» за 10 класс.

Алгоритм Евклида

Сам метод Евклида относится к другой математической задаче - нахождению наибольшего общего делителя: вместо исходной пары чисел записывают новую пару - меньшее число и разность между меньшим и большим числом исходной пары. Это действие продолжают до тех пор, пока числа в паре не уравняются - это и будет наибольший общий множитель. Разновидность алгоритма используется и при решении диофантовых уравнений - сейчас мы вместе с Юрием Шанько покажем на примере, как решать задачи "про монетки".

Рассматриваем линейное диофантово уравнение ax + by = c, где a, b, c, x и y — целые числа. Как видите, одно уравнение содержит две переменных. Но, как вы помните, нам нужны только целые корни, что упрощает дело - пары чисел, при которых уравнение верно, можно найти.

Впрочем, диофантовы уравнения не всегда имеют решения. Пример: 4x + 14y = 5. Решений нет, т.к. в левой части уравнения при любых целых x и y будет получаться четное число, а 5 — число нечетное. Этот пример можно обобщить. Если в уравнении ax + by = c коэффициенты a и b делятся на какое-то целое d, а число c на это d не делится, то уравнение не имеет решений. С другой стороны, если все коэффициенты (a, b и c) делятся на d, то на это d можно поделить все уравнение.

Например, в уравнении 4x + 14y = 8 все коэффициенты делятся на 2. Делим уравнение на это число и получаем: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. Этот прием (деления уравнения на какое-то число) позволяет иногда упростить вычисления.

Зайдем теперь с другой стороны. Предположим, что один из коэффициентов в левой части уравнения (a или b) равен 1. Тогда наше уравнение уже фактически решено. Действительно, пусть, например, a = 1, тогда мы можем в качестве y взять любое целое число, при этом x = c − by. Если научиться сводить исходное уравнение к уравнению, в котором один из коэффициентов равен 1, то мы научимся решать любое линейное диофантово уравнение!

Я покажу это на примере уравнения 2x + 7y = 4.

Его можно переписать в следующем виде: 2(x + 3y) + y = 4.

Введем новую неизвестную z = x + 3y, тогда уравнение запишется так: 2z + y = 4.

Мы получили уравнение с коэффициентом один! Тогда z — любое число, y = 4 − 2z.

Осталось найти x: x = z − 3y = z − 3(4 − 2z) = 7z − 12.

Пусть z=1. Тогда y=2, x=-5. 2 * (-5)+7 * 2=4

Пусть z=5. Тогда y=-6, x=23. 2 * (23)+7 * (-6)=4

” В этом примере важно понять, как мы перешли от уравнения с коэффициентами 2 и 7 к уравнению с коэффициентами 2 и 1. В данном случае (и всегда!) новый коэффициент (в данном случае - единица) это остаток от деления исходных коэффициентов друг на друга (7 на 2).

В этом примере нам повезло, мы сразу после первой замены получили уравнение с коэффициентом 1. Такое бывает не всегда, но и мы можем повторять предыдущий трюк, вводя новые неизвестные и выписывая новые уравнения. Рано или поздно после таких замен получится уравнение с коэффициентом 1.

Давайте попрообуем решить более сложное уравнение, предлагает Аэлита Бекешева.

Рассмотрим уравнение 13x - 36y = 2.

Шаг №1

36/13=2 (10 в остатке). Таким образом, исходное уравнение можно переписать следующим образом: 13x-13* 2y-10y=2. Преобразуем его: 13(x-2y)-10y=2. Введем новую переменную z=x-2y. Теперь мы получили уравнение: 13z-10y=2.

Шаг №2

13/10=1 (3 в остатке). Исходное уравнение 13z-10y=2 можно переписать следующим образом: 10z-10y+3z=2. Преобразуем его: 10(z-y)+3z=2. Введем новую переменную m=z-y. Теперь мы получили уравнение: 10m+3z=2.

Шаг №3

10/3=3 (1 в остатке). Исходное уравнение 10m+3z=2 можно переписать следующим образом: 3* 3m+3z+1m=2. Преобразуем его: 3(3m+z)+1m=2. Введем новую переменную n=3m+z. Теперь мы получили уравнение: 3n+1m=2.

Ура! Мы получили уравнение с коэффициентом единица!

m=2-3n, причем n может быть любым числом. Однако нам нужно найти x и y. Проведем замену переменных в обратном порядке. Помните, мы должны выразить x и y через n, которое может быть любым числом.

y=z-m; z=n-3m, m=2-3n ⇒ z=n-3* (2-3n), y=n-3*(2-3n)-(2-3n)=13n-8; y=13n-8

x=2y+z ⇒ x=2(13n-8)+(n-3*(2-3n))=36n-22; x=36n-22

Пусть n=1. Тогда y=5, x=24. 13 * (14)-36 * 5=2

Пусть n=5. Тогда y=57, x=158. 13 * (158)-36 * (57)=2

Да, разобраться не очень просто, зато теперь вы всегда сможете решить в общем виде задачи, которые решаются подбором!

Решаем задачи на подбор чисел

Примеры задач для учеников младших классов, которые решаются подбором: посоревнуйтесь с ребенком, кто решит их быстрее: вы, используя алгорит Евклида, или школьник - подбором?

Задача про лапы

Условия

В клетке сидят куры и кролики. Всего у них 20 лап. Сколько там может быть кур, а сколько - кроликов?

Решение

Пусть у нас будет x кур и y кроликов. Составим уравнение: 2х+4y=20. Сократим обе части уравнения на два: x+2y=10. Следовательно, x=10-2y, где x и y - это целые положительные числа.

Ответ

Число кроликов и куриц: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2), (5; 0)

Согласитесь, получилось быстрее, чем перебирать «пусть в клетке сидит один кролик...»

Задача про монетки

Условия

У одной продавщицы были только пяти- и двухрублевые монетки. Сколькими способами она может набрать 57 рублей сдачи?

Решение

Пусть у нас будет x двухрублевых и y пятирублевых монеток. Составим уравнение: 2х+5y=57. Преобразуем уравнение: 2(x+2y)+y=57. Пусть z=x+2y. Тогда 2z+y=57. Следовательно, y=57-2z , x=z-2y=z-2(57-2z) ⇒ x=5z-114 . Обратите внимание, переменная z не может быть меньше 23 (иначе x, число двухрублевых монеток, будет отрицательным) и больше 28 (иначе y, число пятирублевых монеток, будет отрицательным). Все значения от 23 до 28 нам подходят.

Ответ

Шестью способами.

Подготовила Татьяна Яковлева

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей Как найти прямую пересечения двух плоскостей

Переподготовка увольняемых военнослужащих II