Самостоятельные на темы: "Числовые и алгебраические выражения", "Математический язык и математическая модель", "Линейное уравнение с одной переменной", "Координатная прямая и плоскость", "Линейные уравнения с двумя переменными", "Линейная функция и ее график", "Системы двух линейных уравнений с двумя переменными", "Степень с натуральным показателем и её свойства", "Стандартный вид одночлена", "Сложение и вычитание одночлена", "Умножение одночленов", "Возведение одночлена в натуральную степень", "Деление одночлена на одночлен", "Разложение многочлена на множители"
Самостоятельная работа №1 (1 четверть), "Числовые и алгебраические выражения"
Вариант I.
$8\frac{5}{9}*4,8 -\frac{2}{9}* 2,1$.
$3х - 6у + 5$, если заданы $x= 0,5$ и $y=\frac{2}{3}$.
3.Найдите значение $x$, при котором выражение $5х-3$ будет равно выражению $х - 4$.
Вариант II.
1. Вычислите значение выражения наиболее рациональным способом.
$3\frac{3}{4} * 5,6 -\frac{1}{4}* 1,9$.
2. Найдите значение данного выражения.
$х - 8у - 9$, если заданы $x= 0,9$ и $y=\frac{5}{6}$.
3.Найдите значение $x$, при котором выражение $6х - 7$ будет равно выражению $х - 5$.
Вариант III.
1. Вычислите значение выражения наиболее рациональным способом.
$1\frac{7}{9}* 7,6 -\frac{1}{9}* 4,9$.
2. Найдите значение данного выражения.
$х - 8у - 11$, если заданы $x= 2,4$ и $y=\frac{6}{8}.$
3. Найдите значение $y$, при котором выражение $3у - 2$ будет равно выражению $y + 8$.
Самостоятельная работа №2 (1 четверть)
"Математический язык", "Математическая модель"
Вариант I.
1. Переведите предложение на математический язык: разность кубов чисел $a$ и $b$.
Произведение числа на самое себя равно возведению этого числа в квадрат.
Сумма числа $3\frac{3}{4}$ и произведения чисел $5\frac{4}{8}$ и $\frac{1}{8}$.
Портной сшил 3 платья. На каждое платье потребовалось $х$ метра ткани. Потом он сшил ещё 10 костюмов. На каждый костюм потребовалось на 2 метра больше ткани, чем на платье. Сколько ткани потребовалось на пошив всех платьев и костюмов?
Вариант II.
1. Переведите предложение на математический язык. сумма квадратов чисел x и y.
2. Переведите на математический язык следующее свойство.
Если умножить число на $-1$, то получим тоже число, но с противоположным знаком.
3. Перепишите предложение в виде числового выражения. Вычислите его значение.
Разность числа $3\frac{5}{8}$ и частного чисел $2\frac{5}{8}$ и $1\frac{1}{2}$.
4. Составьте математическую модель данной ситуации.
а) Два пешеход пошли в противоположных направлениях. Скорость первого пешехода равна $х$ км/час. Скорость второго пешехода - больше на 2 км/час. Какое расстояние они пройдут через 3 часа? За какое время второй пешеход пройдет 10 км?
Вариант III.
1. Переведите предложение на математический язык: произведение числа 3 и разности чисел $n$ и $m$.
2. Переведите на математический язык следующее свойство: если разделить единицу на дробь, то в результате мы получим дробь, обратную данной.
3. Перепишите предложение в виде числового выражения. Вычислите его значение:
Сумма числа $6\frac{5}{8}$ и частное чисел $1\frac{5}{9}$ и $\frac{2}{9}$.
4. Составьте математическую модель данной ситуации.
Катер отплыл от пристани вниз по течению. Скорость реки равна $x$ км/час. Скорость катера - больше на 2 км/час. За какое время катер пройдет 10 км? Сколько времени ему понадобиться для возвращения обратно?
Самостоятельная работа №3 (1 четверть)
"Линейное уравнение с одной переменной"
Вариант I.
а) $5z - 4 = 2\frac{3}{4}z + 2$.
Б) $\frac{4х + 2}{3} =\frac{5х + 1}{6}$.
Спортсмен пробегает некоторую дистанцию за 18 минут. Если он увеличит скорость на 3 км/час, то ту же дистанцию он пробежит на 4 минуты быстрее. Найдите скорость спортсмена.
Вариант II.
1. Решите уравнения с одной переменной.
а) $3z - 2 = 1\frac{3}{6}z +1$.
Б) $\frac{5y + 3}{7}=\frac{3y + 8}{4}$.
2. Составьте уравнение к данной задаче и решите ее.
Машина проезжает из города в село за 4 часа. Если он увеличит скорость на 20 км/час, то эту же дорогу он проезжает за 3 часа. Найдите скорость автомобиля.
Вариант III.
1. Решите уравнения с одной переменной.
а) $4х - 6 = 2\frac{5}{8}х + 3$.
Б) $\frac{2y + 7}{2}=\frac{4y + 3}{5}$.
2. Составьте уравнение к данной задаче и решите ее.
Катер проплывает от пристани до порта за 30 минут. Если он увеличит скорость на 10 км/час, то проплывет, такое же расстояние за 20 минут. Найдите скорость катера.
Самостоятельная работа №4 (1 четверть) "Координатная прямая"
Вариант I.
X (-2); Y (-6,5); Z (3,8).
2. Укажите на координатной прямой указанный промежуток.
а) [-2,5; 0]; б) ; [-∞; 0].
3. Сколько натуральных чисел принадлежат заданному промежутку [-30; -5]?
Вариант II.
1. Укажите на координатной прямой следующие три точки:
X (3); Y (-5); Z (-3,8).
а) ; б) ; .
3. Сколько натуральных чисел принадлежат заданному промежутку ?
Вариант III.
1. Укажите на координатной прямой следующие три точки:
X (-7); Y (2); Z (3,8).
2. Укажите на координатной прямой указанный промежуток:
а) ; б) [-2; 4]; [-1; +∞].
3. Сколько натуральных чисел принадлежат заданному промежутку [-52; -4]?
Самостоятельная работа №5 (1 четверть) "Координатная плоскость"
Вариант I.
E (-2; 5); F (5; -3); H (-3; -5).
А (-4; 0); В (5; 8); С (-5; -4).
3. Постройте на координатной плоскости XOY прямую с координатами С(-4;2) и D(3;0).
Вариант II.
1. Без построения рисунка укажите, в какой координатной плоскости находятся точки?
E (3; 6); F (-8; 7); H (4; 4).
2. Постройте треугольник, если известны координаты его вершин
А (5; 3); В (-5; -2); С (-3; 0).
3. Постройте на координатной плоскости XOY прямую с координатами С(-2;6) и D(7;-2).
Вариант III.
1. Без построения рисунка укажите, в какой координатной плоскости находятся точки?
E (-2; -4); F (4; 6); H (3; -2).
2. Постройте треугольник, если известны координаты его вершин
А (7; -3); В (2; 6); С (-2; 1).
3. Постройте на координатной плоскости XOY прямую с координатами С(6;-4) и D(-3;6).
Самостоятельная работа №6 (1 четверть) "Линейные уравнения с двумя переменными"
Вариант I.1. Постройте график функции: $5x + y -4 = 0$.
2. Постройте графики двух функций и найдите точку пересечения: $х + 5у = 7$; $x - 4y =-2$.
3. Для уравнения: $х + 2y - 4 = 0$ найдите ординату точки с абсциссой равной 4.
Вариант II.
1. Постройте график функции: $3x - y + 6 = 0$.
2. Постройте графики двух функций и найдите точку пересечения: $2х - 5у = 8$; $2x - y = 0$.
3. Для уравнения: $2х + 4y - 5 = 0$ найдите ординату точки с абсциссой равной 5.
Вариант III.
1. Постройте график функции: $2x - 2y - 6 = 0$.
2. Постройте графики двух функций и найдите точку пересечения: $2х + 2у = 10$; $x - 2y = 5$.
3. Для уравнения: $х + 4y - 2 = 0$ найдите ординату точки с абсциссой равной 5.
Самостоятельная работа №7 (1 четверть) "Линейная функция и ее график"
Вариант I.1. Задано линейное уравнение: $x - 2y - 4 = 0$. Преобразуйте его к виду: $y = kx + m$. Найдите значения $k$ и $m$.
а) $y = 6х - 2$, при $х = 2$; б) $y = -3x + 5$, при $х = 3$.
3. Постройте график функции: $у = 3\frac{5}{8}х -\frac{1}{2}$.
4. Задано линейное уравнение: $у = 4 - 3х$. Вычислите значение аргумента, при котором оно принимает значения:
а) 3; б) -2; в) -1,1.
5. В какой точке пересекаются две линейные функции: $y = 3х - 12$ и $y = -2x + 3$?
6. На заданном промежутке $[-3; +3]$ найдите наибольшее и наименьшее значение функции $y=-5x + 4$.
Вариант II.
1. Задано линейное уравнение: $2x - 3y - 5 = 0$. Преобразуйте его к виду: $y = kx + m$. Найдите значения $k$ и $m$.
2. Найдите значение функции, если известно значение аргумента.
а) $y = 2х + 2$, при $х = 1$; б) $y = 3x - 6$, при $х = 4$.
3. Постройте график функции: $у = 4\frac{2}{3}х - \frac{3}{6}$.
4. Задано линейное уравнение: $у = 5 + 2х$. Вычислите значение аргумента, при котором оно принимает значения:
а) -2; б) -4; в) -2,6.
5. В какой точке пересекаются две линейные функции: $y = 2х - 5$ и $y = -3x + 10$?
6. На заданном промежутке $[-2; +6]$ найдите наибольшее и наименьшее значение функции $y=-2x - 2$.
Вариант III.
1. Задано линейное уравнение: $3x - y + 2 = 0$. Преобразуйте его к виду $y = kx + m$. Найдите значения $k$ и $m$.
2. Найдите значение функции, если известно значение аргумента.
а) $y = -2х +5$, при $х = 3$; б) $y = -2x + 6$, при $х = -1$.
3. Постройте график функции: $у = 2\frac{1}{4}х + \frac{2}{3}$.
4. Задано линейное уравнение: $у = 3 +2х$. Вычислите значение аргумента, при котором оно принимает значения:
а) -1; б) -4; в) 2.
5. В какой точке пересекаются две линейные функции: $y = -2х +4$ и $y = -4x - 2$?
6. На заданном промежутке $$ найдите наибольшее и наименьшее значение функции $y=3x-5$.
Самостоятельная работа №1 (2 четверть) "Системы двух линейных уравнений с двумя переменными"
Вариант I1. Задана система уравнений. Выясните, какая пара чисел (4;0), (3;4), (0;5) является решением данной системы уравнений.
$\begin {cases} 2x+y=10, \\ 4x-2y=4. \end {cases}$
$\begin {cases} x-y=2, \\ 3x+3y=6. \end {cases}$
а) $\begin {cases} x=-y, \\ 3x-y=8. \end {cases}$
Б) $\begin {cases} x=2y, \\ 2x+4y=40. \end {cases}$
а) $\begin {cases} x=y+4, \\ -x=-3y-4. \end {cases}$
Б) $\begin {cases} x=4y, \\ 2x+4y=24. \end {cases}$
5. Решите задачу.
Сумма двух чисел равна 9, а разность равна 1. Найдите эти числа.
6. Решите задачу.
Заданы 2 числа. Сумма этих чисел равна 80. Если первое число уменьшить в 2 раза, а второе число увеличить в 2 раза, то в сумме получим 115. Чему равны эти числа?
Вариант II
1. Задана система уравнений. Выясните, какая пара чисел (2;6), (-3;4), (2;4) является решением данной системы уравнений.
$\begin {cases} 5x-3y=-2, \\ 3x+y=10. \end {cases}$
2. Заданную систему уравнений решите графическим способом.
$\begin {cases} 2x-2y=6, \\ x-y=1. \end {cases}$
3. Заданы системы уравнений. Решите их методом постановки.
а) $\begin {cases} x=-0,5y, \\ 3x-y=15. \end {cases}$
Б) $\begin {cases} x=-3y, \\ 3x+4y=10. \end {cases}$
4. Решите заданные системы уравнений методом алгебраического сложения.
а) $\begin {cases} x=2y-1, \\ x-3y=-4. \end {cases}$
Б) $\begin {cases} x=4y, \\ 2x-4y=4. \end {cases}$
5. Решите задачу.
Сумма двух чисел равна 10, а разность утроенного первого числа и второго равна 2. Найдите эти числа.
6. Решите задачу.
Два фермера за июль собрали 300 кг ягод. В августе первый фермер собрал в 2 раза больше ягод, а второй - в два раза меньше, чем он собрал за июль. По сколько кг ягод собирали фермеры в каждом месяце, если за август они вместе собрали 450 кг?
Вариант III
1. Задана система уравнений. Выясните, какая пара чисел (2;6), (3;-2), (2;4) является решением данной системы уравнений.
$\begin {cases} 2x-4y=14, \\ -3x+y=-11. \end {cases}$
2. Заданную систему уравнений решите графическим способом.
$\begin {cases} 5x+5y=-5, \\ 5x+y=3. \end {cases}$
3. Заданы системы уравнений. Решите их методом постановки.
а) $\begin {cases} x=-y, \\ 3x-2y=5. \end {cases}$
Б) $\begin {cases} x+y=4, \\ 3x+4y=12. \end {cases}$
4. Решите заданные системы уравнений методом алгебраического сложения.
а) $\begin {cases} x=y+1, \\ x-2y=1. \end {cases}$
Б) $\begin {cases} x=2y, \\ x-4y=12. \end {cases}$
5. Решите задачу.
Сумма двух чисел равна 10, а разность равна -2. Найдите эти числа.
6. Решите задачу.
Катер проплывает расстояние между двумя деревнями за 4 часа по течению и за 6 часов против течения. Найдите скорость катера и течения реки, если расстояние между деревнями равно 60 км.
Самостоятельная работа №2 (2 четверть) "Степень с натуральным показателем и её свойства"
Вариант I.
а) 3,4 * 3,4 * 3,4 * 3,4.
б) а * а * а * а * а * а * а.
2. Вычислите:
а) $5^3$.
б) $7^3- 4^4$.
3. Решите уравнения:
а) $5x^3=320$.
б) $3^{x-3}=81$.
4. Найдите объем куба и его площадь, если его ребро равно 4 см.
а) $x^3* x^5$.
б) $x^6* x^4$.
в) $(a^3)^6$.
6. Вычислите: $\frac{2^6*(2^3)^2}{2^4}$.
7. Заданы выражения. Возведите их в степень.
а) $(4z^3)^3$.
б) $(6x^3y^3)^2$.
в) $\frac{(2a^3)^4}{(b^2)^3}$.
Вариант II.
1. Запишите данные выражения в виде степени:
а) 5,1 * 5,1 * 5,1 * 5,1.
б) d * d * d * d * d * d * d * d.
2. Вычислите:
а) $4^5$.
б) $8^2- 6^3$.
3. Решите уравнения:
а) $2y^2=162$.
б) $4^{x-3}=64$.
4. Найдите объем куба и длину его ребра, если площадь поверхности равна 216 см 2 .
5. Заданы выражения. Представьте их в виде степени:
а) $y^4* y^3$.
б) $z^6* z^2$.
в) $(b^4)^5$.
6. Вычислите: $\frac{3^6*(3^2)^3}{3^4}$.
а) $(2y^2)^4$.
б) $(5x^2z^3)^3$.
в) $\frac{(3c^4)^5}{(d^2)^2}$.
Вариант III.
1. Запишите данные выражения в виде степени:
а) 6,2 * 6,2 * 6,2.
б) z* z * z* z .
2. Вычислите:
а) $6^4$.
а) $5^2- 3^4$.
3. Решите уравнения:
а) $2f^4=512$.
б) $3^{x-1}=81$.
4. Объем куба равен 125 см 3 . Найдите длину ребра куба и его площадь.
5. Заданы выражения. Представьте их в виде степени:
а) $z^4* z^2$.
б) $\frac{y^5}{y^2}$.
в) $(c^4)^6$.
6. Вычислите:
$\frac{4^6*(4^3)^3}{4^5}$.
7. Заданы выражения. Возведите их в степень:
а) $(3a^2)^2$.
б) $(5z^3)^2$.
в) $\frac{(2d^5)^6}{(c^2)^3}$.
Самостоятельная работа №1 (3 четверть) "Стандартный вид одночлена", "Сложение и вычитание одночлена"
Вариант I.5 3 x 3 y 4 * (-3x 2 y 4).
2. Упростите: 5ab 3 - 3ab 3 + 4ab 3 .
3. Упростите заданное выражение и найдите его значение при $y=2$, $t= 0,5$.
-4t 3 y 2 + 3y 2 - 2t 2 + 3t 2 + y 2 .
Автобус с туристами проехал 2 ⁄ 9 пути на скорости 60 км/час, 4 ⁄ 9 пути он проехал со скоростью 50 км/час. Остальные 18 км он проехал со скоростью 60 км/час. Какое расстояние проехал туристический автобус?
Вариант II.
1. Заданный одночлен приведите к стандартному виду.
3 4 y 3 x 2 * 3y 4 x 5 .
2. Упростите: 2cd 4 - 3cd 4 + 7cd 4 .
3. Упростите заданное выражение и найдите его значение при $d=0,3$; $e= 2$.
5d 3 e 2 + 2d 2 - 2e 2 + 4d 2 + e 2
4. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.
Спортсмен пробежал 3 ⁄ 8 пути со скоростью 12 км/час, 1 ⁄ 8 пути пробежал со скоростью 15 км/час. Остальные 5 км он пробежал со скоростью 10 км/час. Какое расстояние пробежал спортсмен?
Вариант III.
1. Заданный одночлен приведите к стандартному виду.
5 3 a 2 b 3 * 2y 3 a 3 .
2. Упростите: 4mn 2 + 5mn 2 - 6mn 2 .
3. Упростите заданное выражение и найдите его значение при t= - 1 ⁄ 2 , $u= 6$.
-3t 3 u 2 + 5t 2 - 7t 3 u 2 + 3t 2 + u 2 .
4. Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.
Велосипедист проехал 1 ⁄ 5 пути со скоростью 25 км/час, 3 ⁄ 5 пути со скоростью 30 км/час. Остальные 10 км он проехал со скоростью 18 км/час. Какое расстояние проехал спортсмен?
Самостоятельная работа №2 (3 четверть) "Умножение одночленов", "Возведение одночлена в натуральную степень", "Деление одночлена на одночлен"
Вариант I.1. Вычислите.
а) 3n 3 m 2 *(- 4m 3 n 4).
б) 2 ⁄ 7 x 2 y 4 * 1 ⁄ 3 x 3 y 4 .
2. Решите задачу.
Заданы 2 квадрата. Сторона большего квадрата в 1,5 раза больше стороны меньшего квадрата. А площадь большего квадрата на 125 см 2 больше площади меньшего квадрата. Найдите стороны квадратов.
3. Разделите одночлен на одночлен: $\frac{(-6a^4b)^3}{3a^3}$.
4. Упростите выражение: $\frac{(3x^3d^2)^3}{(xd^2)^2}$.
Вариант II.
1. Вычислите.
а) 5y 2 z 3 * (- 6y 4 z 4).
Б) 3 ⁄ 8 a 4 b 2 * 1 ⁄ 8 a 2 b 3 .
2. Разделите одночлен на одночлен: $\frac{5b^4d^2}{7b^2}$.
3. Упростите выражение: $\frac{(5c^3z^4)^2}{cz^3}$.
Вариант III.
1. Вычислите.
а) - 6tu 2 * 5t 4 u 3 .
Б) 5 ⁄ 9 x 2 y 3 * 1 ⁄ 9 x 2 y 2 .
2. Разделите одночлен на одночлен: $\frac{14z^4e^3}{7z^3}$.
3. Упростите выражение: $\frac{(8t^5u^5)^2}{4t^3}$.
Самостоятельная работа №1 (4 четверть) "Разложение многочлена на множители"
Вариант I.1. Вычислите следующее выражение наиболее рациональным способом: 4,5 2 - 2,5 2 .
2. Решите заданное уравнение: $(3х + 5)(2х - 2) = 0$.
3. Вычислите выражение наиболее рациональным способом: $\frac{346^2- 146^2}{50 * 512}$.
4. Разложите следующее выражения на множители:
a) 4y + 8y 2 .
б) 7z 5 - 21z 2 .
в) 6a 2 b 5 c + 24 ab 2 c - 8 a 2 b 3 .
5. Решите уравнение: 3y 2 - 9 y =0.
Вариант II.
1. Вычислите следующее выражение наиболее рациональным способом: 12,5 2 - 7,5 2 .
2. Решите заданное уравнение: $(4y + 6)(y - 3) = 0$.
3. Вычислите выражение наиболее рациональным способом: $\frac{{456}^2-{256}^2}{1200 * 1024}$.
a) 2z + 6z 2 .
б) 8y 5 - 24y 3 .
в) 2abc -3 a 2 b 2 + 4 a 2 b 3 c.
5. Решите уравнение: 6y 2 + 4y =0.
Вариант III.
1. Вычислите следующее выражение наиболее рациональным способом: 8,2 2 - 4,2 2 .
2. Решите заданное уравнение: $(2z - 3)(z + 5) = 0$.
3. Вычислите выражение наиболее рациональным способом: $\frac{{663}^2-{363}^2}{40 * 243}$.
4. Разложите следующее выражения на множители.
a) 3x + 9x 2 .
б) 12y 4 - 26y 2 .
в) 3x 2 y 5 z+12xy 2 z - 9x 2 y 3 z.
5. Решите заданное уравнение: 5a 2 + 10a =0.
Вариант I.
1. 40,6.
2. 2,5.
3. $х=-0,25$.
Вариант II.
1. $20,525$.
2. $-14\frac{23}{30}$.
3. $х=0,4$.
Вариант III.
1. $12\frac{87}{90}$.
2. $-14,6$.
3. $y=5$.
Вариант I.
1. $a^3-b^3$.
2. Для любого числа $a$, верно утверждение $a*a=a^2$.
3. $3\frac{3}{4}+5\frac{4}{8}*\frac{1}{8}=4,4375$.
4. $13x+20$.
Вариант II.
1. $x^2+y^2$.
2. Для любого числа $a$, верно утверждение $a*(-1)=-a$.
3. $3\frac{5}{8}-2\frac{5}{8}:\frac{1}{2}=-1\frac{5}{8}$.
4. Пройдут расстояние $(6х+6)$. Второму пешеходу понадобится $\frac{10}{x+2}$ часов.
Вариант III.
1. $3(n-m)$.
2. Для любых чисел $a$, $b$ верно утверждение $1:(\frac{a}{b})=\frac{b}{a}$.
3. $6\frac{5}{8}+1\frac{5}{9}:\frac{2}{9}=-\frac{3}{8}$.
4. Катер пройдет 10 км за $\frac{5}{x+1}$. Для возвращения на пристань понадобиться 5 часов.
Вариант I.
1.
а) $z=\frac{8}{3}$.
б) $x=-1$.
2. 10.5 км/ч.
Вариант II.
1.
а) $z=2$.
б) $y=-44$.
2. 60 км/ч.
Вариант III.
1.
а) $6\frac{6}{11}$.
б) -14,5.20 км/ч.
2. 20 км/ч.
Вариант I.
Вариант II.
3. 43.
Вариант III.
3. В этом промежутке нет натуральных чисел.
Вариант I.
2. $x=2$, $y=1$.
3. $y=0$.
Вариант II.
2. $x=-1$, $y=-2$.
3. $y=-1,25$.
Вариант III.
2. $x=5$, $y=0$.
3. $y=-0,75$.
Вариант I.
1. $y=0,5x+2$.
2.
a) $y=10$.
б) $y=-4$.
4.
a) $x=\frac{1}{3}$.
б) $x=2$.
в) $x=1,7$.
5. Точка с координатами $x=3$, $y=-3$.
6. $y_{min}=-11$, $y_{max}=19$.
Вариант II.
1. $y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$.
2.
a) $y=4$.
б) $y=6$.
4.
a) $x=-3,5$.
б) $x=-4,5$.
в) $x=-3,8$.
5. Точка с координатами $x=3$, $y=1$.
6. $y_{min}=2$, $y_{max}=-14$.
Вариант III.
1. $y=3x+2$.
2.
a) $y=-1$.
б) $y=8$.
4.
a) $x=-2$.
б) $x=3,5$.
в) $x=-0,5$.
5. Точка с координатами $x=-3$, $y=10$.
6. $y_{min}=-5$, $y_{max}=16$.
Вариант I.
1. Точка с координатами (3;4).
2. Точка с координатами (2;0).
3.
a) $x=2$, $y=-2$.
б) $x=10$, $y=5$.
4.
a) $x=4$, $y=0$.
б) $x=8$, $y=2$.
5. Одно число - это 5, другое число - это 4.
6. Одно число - это 30, другое число - это 50.
Вариант II.
1. Точка с координатами (2;4).
2. Нет точки пересечения.
3.
a) $x=3$, $y=-6$.
б) $x=6$, $y=-2$.
4.
a) $x=5$, $y=3$.
б) $x=4$, $y=1$.
5. Одно число - это 3, другое число - это 7.
6. В июле первый фермер собрал 200 кг, второй - 100 кг. В августе первый фермер собрал 400 кг, второй - 50 кг.
Вариант III.
1. Точка с координатами (3;-2).
2. Точка с координатами (1;-2).
3.
a) $x=1$, $y=-1$.
б) $x=4$, $y=0$.
4.
a) $x=1$, $y=0$.
б) $x=-12$, $y=-6$.
5. Одно число - это 4, другое число - это 6.
6. Скорость катера составляет 12,5 км/ч. Скорость течения реки составляет 2,5 км/ч.
Вариант I.
1. а) $(3,4)^4$; б) $a^7$.
2. а) 125; б) 87.
3. а) $x=4$; б) $x=7$.
4. $V=64 {см}^3$. $S=96 {см}^2$.
5. а) $x^8$; б) $x^{10}$; в) $a^{18}$.
6. 256.
7. а) $64z^9$; б) $36x^6y^6$; в) $\frac{16a^{12}}{b^6}$.
Вариант II.
1. а) $(5,1)^4$; б) $d^8$.
2. а) 1024; б) -152.
3. а) $y=9$; б) $x=6$.
4. $V=216 {см}^3$; $a=6 см$.
5. а) $y^7$; б) $z^8$; в) $b^{20}$.
6. 6561.
7. а) $16y^8$; б) $125x^6z^9$; в) $\frac{243c^{20}}{d^4}$.
Вариант III.
1. а) $(6,2)^3$; б) $z^4$.
2. а) 1296; б) -56.
3. а) $f=4$; б) $x=5$.
4. $a=5 см$. $S=150 {см}^2$.
5. а) $z^6$; б) $y^3$; в) $c^24$.
6. 64.
7. а) $9a^4$; б) $25z^6$; в) $\frac{64d^{30}}{c^6}$.
Вариант I.
1. $-375x^5y^8$.
2. $6ab^3$.
3. 3,25.
4. 54 км.
Вариант II.
1. $243x^7y^7$.
2. $6cd^4$.
3. -2,92.
4. 10 км.
Вариант III.
1. $-250a^5b^3y^3$.
2. $3mn^2$.
3. 83.
4. 50 км.
Вариант I.
1. а) $-12n^7m^5$; б) $\frac{2}{21}x^5y^8$.
2. 10 см и 15 см.
3. $-72a^9b^3$.
4. $27x^7d^4$.
Вариант II.
1. a) $-30y^6z^7$ б) $\frac{3}{64}a^6b^5$.
2. $\frac{5}{7}b^2d^2$.
3. $25c^5Z^5$.
Вариант III.
1. $-30t^5u^5$; б) $\frac{5}{81}x^4y^4$.
2. $2ze^3$.
3. $16t^7u^{10}$.
Вариант I.
1. 14.
2. $3x^2+2x-5=0$.
3. $\frac{123}{32}$.
4. а) $4y(1+2y)$; б) $7z^2(z^3-3)$; в) $2ab(3ab^4c+12bc-4ab^2)$.
5. $y=3$.
Вариант II.
1. 25.
2. $2y^2-3y-9=0$.
3. $\frac{89}{768}$.
4. а) $2z(1+3z)$; б) $8y^3(y^2-3)$; в) $ab(2c-3ab+4ab^2c)$.
5. $y=-\frac{2}{3}$.
Вариант III.
1. 49,6.
2. $2z^2+7z-15=0$.
3. $\frac{2565}{81}$.
4. а) $3x(1+3x)$; б) $2y^2(6y^2-13)$; в) $3xy^2z(xy^3+4-3xy)$.
5. $a=-2$.
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Линейным уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную.
Приведем примеры линейных уравнений:
3 х =12 или 10 у -20=0 или 8 а +3=0
Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или докозать, что их нет. Другими словами, решить линейное уравнение – это значит найти все значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
Так уравнение 3 х =12 имеет корень х =4, так как 3*4=12 – верное равенство, и следует отметить – других корней нет.
Вообще линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ax + b = 0 .
b – «свободный член».
Коэффициенты это какие-то числа, а решить уравнение - это значит найти значение x, при котором выражение ax + b = 0 верно.
Например, имеем линейное уравнение 3 x – 6 = 0. Решить его – это значит найти, чему должен быть равен x , чтобы 3 x – 6 было равно 0. Выполняя преобразования, получим:
3 x = 6
x = 2
Таким образом выражение 3 x – 6 = 0 верно при x = 2 (Проверка 3 * 2 – 6 = 0)
2 – это корень данного уравнения. Когда решают уравнение, то находят его корни.
Коэффициенты a и b могут быть любыми числами, однако бывают такие их значения, когда корень линейного уравнения с одной переменной не один.
Если a = 0 , то ax + b = 0 превращается в b = 0 . Здесь x «уничтожается». Само же выражение b = 0 может быть истинным только в том случае, если знание b – это 0. То есть уравнение 0* x + 3 = 0 неверно, т. к. 3 = 0 – это ложное утверждение. Однако 0* x + 0 = 0 верное выражение. Отсюда делается вывод, если a = 0 и b ≠ 0 линейное уравнение с одной переменной корней не имеет вообще, но если a = 0 и b = 0 , то корней у уравнения бесконечное множество. Если b = 0 , а a ≠ 0 , то уравнение примет вид ax = 0 . Понятно, что если a ≠ 0 , но в результате умножения получается 0 , то значит x = 0 . То есть корнем этого уравнения является 0.
Расмсмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда a ≠ 0
1) ax + b = 0 , значит ax = - b (мы просто перенесли слагаемое b из левой части в правую с противоположным знаком) Вспомни это правило
2) ax = - b , значит
x = –b / a . Вспомни это правило
Значение x в данном случае будет зависеть от значений a и b. При этом оно будет одним единственным. То есть нельзя при одних и тех же коэффициентах получить два или более разных значений x . Например,
–8.5 x – 17 = 0
x = 17 / –8.5
x = –2
Никакое другое число, кроме –2 нельзя получить, деля 17 на –8.5
Бывают уравнения, которые с первого взгляда непохожи на общий вид линейного уравнения с одной переменной, однако легко преобразуются к нему. Например,
–4.8 + 1.3 x = 1.5 x + 12
Если перенести все в левую часть, то в правой останется 0:
–4.8 + 1.3 x – 1.5 x – 12 = 0
Для школьников алгебра в 7-м классе преподносит много сюрпризов в виде систем уравнений, составления математической модели, понятия тождеств и других важных тем. Но переходить от одной ступени к другой нужно последовательно, полностью усвоив материал — в этом залог успеха.
Язык науки
Главным условием понимания школьником темы является то, что он хорошо и ясно представляет, о чем идет речь. Для этой цели иногда неплохо заменять длинные и сложные термины более простыми словами. Математический язык является формальным языком людей, которые изучают точные науки. Он более краткий в сравнении с привычным способом выражений мыслей, потому что конкретен, логичен и оперирует точными понятиями. Слова в математическом языке — это буквенное обозначение символов, фразы — формулы.
Для детей в 7-м классе математический язык усложняется с каждой темой, но в тоже время становится интереснее и богаче. Появляются новые понятия, такие как степень с натуральным показателем и многие другие, детям предстоит не только научиться верно понимать их, но и применять.
Недочеты современного образования
Чтобы не запутаться в многообразии терминов, к изучению алгебры нужно подходить серьезно и без лишней спешки, которой так грешат современные уроки в школе. Малое количество учебных часов, которое отводится школьной программой на ту или иную тему рано или поздно дает печальные результаты — многие школьники не понимают пройденный материал, отстают. Это опасно, потому что в математике недостаточное усвоение одной темы ведет к тому, что ребенок не сможет хорошо усвоить все последующие.
Линейные уравнения
Детям в рамках учебной программы предстоит познакомиться и изучить уравнение с двумя переменными . Оно представляет собой математическую «фразу» a*x + b*y = с, решением которой является любая пара чисел х и у, которая соответствует этому уравнению, то есть обращают уравнение с этими переменными в верное числовое равенство. Из основных свойств нужно запомнить следующее.
- Любое из слагаемых в уравнении можно переместить из одной части в другую, при этом изменив знак на противоположный. Полученное равенство будет равносильно исходному.
- Обе части уравнения можно делить на любое число, кроме нуля.
Уравнение с двумя переменными имеет много разных решений. Хорошо, когда учитель может это легко донести до ребенка. Ведь в дальнейшем все базовые «математические фразы» будут усложняться, в старших классах там начнет фигурировать степень с натуральным показателем и т.д. Задача преподавателя максимально доходчиво объяснить это школьнику. На практике часто случается так, что ученику приходится прибегать к дополнительным занятиям, чтобы усвоить материал.
Достойная альтернатива
Родители знают, что дополнительные занятия с репетитором — это недешевое удовольствие. Школьные преподаватели не всегда могут предложить внеклассные занятия для отстающих. Как же быть? Выход есть — обучение на специальных интернет-ресурсах. Оно имеет ряд серьезных преимуществ, ведь школьник может посмотреть видеоурок на проблемную для него тему в любое удобное время дома, в уютной обстановке, причем бесплатно. Если ребенок не смог понять материал с первого просмотра, он легко может еще раз пересмотреть видео, не боясь при этом критики и насмешек, что часто бывает в классе. Все уроки по математике можно найти на нашем портале в свободном доступе.
Дружба с математикой является залогом развитого мышления, которое будет отличаться блестящей логикой и завершенностью мысли.
И т.п., логично познакомиться с уравнениями и других видов. Следующими по очереди идут линейные уравнения , целенаправленное изучение которых начинается на уроках алгебры в 7 классе.
Понятно, что сначала надо объяснить, что такое линейное уравнение, дать определение линейного уравнения, его коэффициентов, показать его общий вид. Дальше можно разбираться, сколько решений имеет линейное уравнение в зависимости от значений коэффициентов, и как находятся корни. Это позволит перейти к решению примеров, и тем самым закрепить изученную теорию. В этой статье мы это сделаем: детально остановимся на всех теоретических и практических моментах, касающихся линейных уравнений и их решения.
Сразу скажем, что здесь мы будем рассматривать только линейные уравнения с одной переменной, а уже в отдельной статье будем изучать принципы решения линейных уравнений с двумя переменными .
Навигация по странице.
Что такое линейное уравнение?
Определение линейного уравнения дается по виду его записи. Причем в разных учебниках математики и алгебры формулировки определений линейных уравнений имеют некоторые различия, не влияющие на суть вопроса.
Например, в учебнике алгебры для 7 класса Ю. Н. Макарычева и др. линейное уравнение определяется следующим образом:
Определение.
Уравнение вида a·x=b , где x – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной .
Приведем примеры линейных уравнений, отвечающие озвученному определению. Например, 5·x=10 – это линейное уравнение с одной переменной x , здесь коэффициент a равен 5 , а число b есть 10 . Другой пример: −2,3·y=0 – это тоже линейное уравнение, но с переменной y , в котором a=−2,3 и b=0 . А в линейных уравнениях x=−2 и −x=3,33 a не присутствуют в явном виде и равны 1 и −1 соответственно, при этом в первом уравнении b=−2 , а во втором - b=3,33 .
А годом ранее в учебнике математики Виленкина Н. Я. линейными уравнениями с одним неизвестным помимо уравнений вида a·x=b считали и уравнения, которые можно привести к такому виду с помощью переноса слагаемых из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, а также с помощью приведения подобных слагаемых. Согласно этому определению, уравнения вида 5·x=2·x+6 , и т.п. тоже линейные.
В свою очередь в учебнике алгебры для 7 классов А. Г. Мордковича дается такое определение:
Определение.
Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0 , где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.
К примеру, линейными уравнениями такого вида являются 2·x−12=0 , здесь коэффициент a равен 2 , а b – равен −12 , и 0,2·y+4,6=0 с коэффициентами a=0,2 и b=4,6 . Но в тоже время там приводятся примеры линейных уравнений, имеющие вид не a·x+b=0 , а a·x=b , например, 3·x=12 .
Давайте, чтобы у нас в дальнейшем не было разночтений, под линейным уравнениями с одной переменной x и коэффициентами a и b будем понимать уравнение вида a·x+b=0 . Такой вид линейного уравнения представляется наиболее оправданным, так как линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А все остальные указанные выше уравнения, а также уравнения, которые с помощью равносильных преобразований приводятся к виду a·x+b=0 , будем называть уравнениями, сводящимися к линейным уравнениям . При таком подходе уравнение 2·x+6=0 – это линейное уравнение, а 2·x=−6 , 4+25·y=6+24·y , 4·(x+5)=12 и т.п. – это уравнения, сводящиеся к линейным.
Как решать линейные уравнения?
Теперь пришло время разобраться, как решаются линейные уравнения a·x+b=0 . Другими словами, пора узнать, имеет ли линейное уравнение корни, и если имеет, то сколько их и как их найти.
Наличие корней линейного уравнения зависит от значений коэффициентов a и b . При этом линейное уравнение a·x+b=0 имеет
- единственный корень при a≠0 ,
- не имеет корней при a=0 и b≠0 ,
- имеет бесконечно много корней при a=0 и b=0 , в этом случае любое число является корнем линейного уравнения.
Поясним, как были получены эти результаты.
Мы знаем, что для решения уравнений можно переходить от исходного уравнения к равносильным уравнениям , то есть, к уравнениям с теми же корнями или также как и исходное, не имеющим корней. Для этого можно использовать следующие равносильные преобразования:
- перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком,
- а также умножение или деление обе частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число.
Итак, в линейном уравнении с одной переменной вида a·x+b=0 мы можем перенести слагаемое b из левой части в правую часть с противоположным знаком. При этом уравнение примет вид a·x=−b .
А дальше напрашивается деление обеих частей уравнения на число a. Но есть одно но: число a может быть равно нулю, в этом случае такое деление невозможно. Чтобы справиться с этой проблемой, сначала будем считать, что число a отлично от нуля, а случай равного нулю a рассмотрим отдельно чуть позже.
Итак, когда a не равно нулю, то мы можем обе части уравнения a·x=−b разделить на a , после этого оно преобразуется к виду x=(−b):a , этот результат можно записать с использованием дробной черты как .
Таким образом, при a≠0 линейное уравнение a·x+b=0 равносильно уравнению , откуда виден его корень .
Несложно показать, что этот корень единственный, то есть, линейное уравнение не имеет других корней. Это позволяет сделать метод от противного.
Обозначим корень как x 1 . Предположим, что существует еще один корень линейного уравнения, который обозначим x 2 , причем x 2 ≠x 1 , что в силу определения равных чисел через разность эквивалентно условию x 1 −x 2 ≠0 . Так как x 1 и x 2 корни линейного уравнения a·x+b=0 , то имеют место числовые равенства a·x 1 +b=0 и a·x 2 +b=0 . Мы можем выполнить вычитание соответствующих частей этих равенств, что нам позволяют сделать свойства числовых равенств , имеем a·x 1 +b−(a·x 2 +b)=0−0 , откуда a·(x 1 −x 2)+(b−b)=0 и дальше a·(x 1 −x 2)=0 . А это равенство невозможно, так как и a≠0 и x 1 −x 2 ≠0 . Так мы пришли к противоречию, что доказывает единственность корня линейного уравнения a·x+b=0 при a≠0 .
Так мы решили линейное уравнение a·x+b=0 при a≠0 . Первый результат, приведенный в начале этого пункта, обоснован. Остались еще два, отвечающие условию a=0 .
При a=0 линейное уравнение a·x+b=0 принимает вид 0·x+b=0 . Из этого уравнения и свойства умножения чисел на нуль следует, что какое бы число мы не взяли в качестве x , при его подстановке в уравнение 0·x+b=0 получится числовое равенство b=0 . Это равенство верное, когда b=0 , а в остальных случаях при b≠0 это равенство неверное.
Следовательно, при a=0 и b=0 любое число является корнем линейного уравнения a·x+b=0 , так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа дает верное числовое равенство 0=0 . А при a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 не имеет корней, так как при этих условиях подстановка вместо x любого числа приводит к неверному числовому равенству b=0 .
Приведенные обоснования позволяют сформировать последовательность действий, позволяющую решить любое линейное уравнение. Итак, алгоритм решения линейного уравнения таков:
- Сначала по записи линейного уравнения находим значения коэффициентов a и b .
- Если a=0 и b=0 , то это уравнение имеет бесконечно много корней, а именно, любое число является корнем этого линейного уравнения.
- Если же a отлично от нуля, то
- коэффициент b переносится в правую часть с противоположным знаком, при этом линейное уравнение преобразуется к виду a·x=−b ,
- после чего обе части полученного уравнения делятся на отличное от нуля число a , что и дает искомый корень исходного линейного уравнения .
Записанный алгоритм является исчерпывающим ответом на вопрос, как решать линейные уравнения.
В заключение этого пункта стоит сказать, что похожий алгоритм применяется для решения уравнений вида a·x=b . Его отличие состоит в том, что при a≠0 сразу выполняется деление обеих частей уравнения на это число, здесь b уже находится в нужной части уравнения и не нужно осуществлять его перенос.
Для решения уравнений вида a·x=b применяется такой алгоритм:
- Если a=0 и b=0 , то уравнение имеет бесконечно много корней, которыми являются любые числа.
- Если a=0 и b≠0 , то исходное уравнение не имеет корней.
- Если же a отлично от нуля, то обе части уравнения делятся на отличное от нуля число a , откуда находится единственный корень уравнения, равный b/a .
Примеры решения линейных уравнений
Переходим к практике. Разберем, как применяется алгоритм решения линейных уравнений. Приведем решения характерных примеров, соответствующих различным значениям коэффициентов линейных уравнений.
Пример.
Решите линейное уравнение 0·x−0=0 .
Решение.
В этом линейном уравнении a=0 и b=−0 , что то же самое, b=0 . Следовательно, это уравнение имеет бесконечно много корней, любое число является корнем этого уравнения.
Ответ:
x – любое число.
Пример.
Имеет ли решения линейное уравнение 0·x+2,7=0 ?
Решение.
В данном случае коэффициент a равен нулю, а коэффициент b этого линейного уравнения равен 2,7 , то есть, отличен от нуля. Поэтому, линейное уравнение не имеет корней.
