Абсолютное значение разности между приближенным и точным (истинным) значением величины называется абсолютной погрешностью приближенного значения. Например , если точное число 1,214 округлить до десятых, то получим приближенное число 1,2 . В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа составит 1,214 – 1,2 = 0,014 .
Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу , которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например , число 23,71 есть приближенное значение числа 23,7125 с точностью до 0,01 , так как абсолютная погрешность приближения равна 0,0025 и меньше 0,01 . Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,01 .*
(* Абсолютная погрешность бывает и положительной и отрицательной. Например , 1,68 ≈ 1,7 . Абсолютная погрешность равна 1,68 – 1,7 ≈ - 0,02 . Граничная погрешность всегда положительна).
Граничную абсолютную погрешность приближенного числа «а » обозначают символом Δа . Запись
х ≈ а ( Δа )
следует понимать так: точное значение величины х находится в промежутке между числами а +Δа и а –Δа, которые называют соответственно нижней и верхней границей х и обозначают Н Гх и В Гх .
Например , если х ≈ 2,3 ( 0,1), то 2,2 < х < 2,4 .
Наоборот, если 7,3 < х < 7,4, то х ≈ 7,35 ( 0,05).
Абсолютная или граничная абсолютная погрешность не характеризуют качество выполненного измерения. Одна и та же абсолютная погрешность может считаться значительной и незначительной в зависимости от числа, которым выражается измеряемая величина.
Например , если измеряем расстояние между двумя городами с точностью до одного километра, то такая точность вполне достаточна для этого измерения, в то же время при измерении расстояния между двумя домами одной улицы такая точность будет недопустимой.
Следовательно, точность приближенного значения величины зависит не только от величины абсолютной погрешности, но и от значения измеряемой величины. Поэтому мерой точности служит относительная погрешность.
Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью ; обозначают её так: Δа/а . Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах .
Например , если измерения показали, что расстояние между двумя пунктами больше 12,3 км , но меньше 12,7 км , то за приближенное значение его принимают среднее арифметическое этих двух чисел, т.е. их полусумму , тогда граничная абсолютная погрешность равна полуразности этих чисел. В данном случае х ≈ 12,5 ( 0,2). Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0,2 км , а граничная
Сейчас, когда человек владеет мощным арсеналом компьютерной техники (различные калькуляторы, компьютеры и т.п.), соблюдение правил приближенных вычислений особенно важно, чтобы не исказить достоверность результата.
Выполняя любые вычисления, следует помнить о точности результата, которую можно или нужно (если устанавливают) получить. Так, недопустимо производить вычисления с большей точностью, чем это задано данным физической задачи или требуется условиями експерименту1. Например, выполняя математические действия с числовыми значениями физических величин, которые имеют две достоверные (значимые) цифры, нельзя записывать результат расчетов с точностью, что выходит за пределы двух достоверных цифр, даже если в итоге имеем их больше.
Значение физических величин надо записывать, отмечая лишь знаки достоверного результата. Например, если числовое значение величины 39 600 имеет три достоверных знаки (абсолютная погрешность результата равен 100), то результат надо записать в виде 3,96 104 или 0,396 105. В подсчете достоверных цифр не учитываются нули слева от числа.
Чтобы результат вычислений был корректным, его надо округлить, оставляя лишь истинное значение величины. Если числовое значение величины содержит лишние (недостоверные) цифры, которые преобладают заданную точность, то последняя цифра, хранящейся увеличивается на 1 при условии, что избыток (лишние цифры) равна или больше половины значения следующего разряда числа.
В разных числовых значениях нуль может быть как достоверной, так и недостоверной цифрой. Так, в примере б) он является недостоверной цифрой, а в г) - достоверной, значимой. В физике, если хотят подчеркнуть достоверность разряда числового значения физической величины, в стандартном ее выражении указывают «0». Например, запись значения массы 2,10 10-3 кг указывает на три достоверные цифры результата и соответствующую точность измерения, а значение 2,1 10-3 кг только две достоверные цифры.
Следует помнить, что результат действий с числовыми значениями физических величин является приближенным результатом, который учитывает точность расчета или погрешность измерений. Поэтому при приближенных вычислений следует руководствоваться следующими правилами подсчета достоверных цифр:
1. При выполнении арифметических действий с числовыми значениями физических величин в их результате следует брать столько достоверных знаков, сколько их имеет числовое значение с наименьшим количеством достоверных знаков.
2. Во всех промежуточных подсчетах следует сохранять на одну цифру больше, чем их имеет числовое значение с наименьшим количеством достоверных знаков. В конечном итоге эта «дополнительная» цифра отбрасывается путем округления.
3. Если отдельные данные имеют более достоверных знаков, чем другие, их значения предварительно следует округлить (можно сохранить одну «избыточную» цифру) и после этого выполнять действия.
Если известно, что а < А, то а называют приближенным значением величины А с недостатком. Если а > А, то а называют приближенным значением величины А с избытком.
Разность точного и приближенного значений величины называется погрешностью приближения и обозначается D, т.е.
D = А – а (1)
Погрешность D приближения может быть как числом положительным, так и отрицательным.
Для того чтобы охарактеризовать отличие приближенного значения величины от точного, часто бывает достаточно указать абсолютную величину разности точного и приближенного значений.
Абсолютная величина разности между приближенным а и точным А значениями числа называется абсолютной погрешностью (ошибкой) приближения и обозначается D а :
D а = ½а – А ½ (2)
Пример 1. При измерении отрезка l использовали линейку, цена деления шкалы которой равна 0,5 см. Получили приближенное значение длины отрезка а = 204 см.
Понятно, что при измерении могли ошибиться не более, чем на 0,5 см, т.е. абсолютная погрешность измерения не превышает 0,5 см.
Обычно абсолютная ошибка неизвестна, поскольку неизвестно точное значение числа А. Поэтому в качестве ошибки принимают какую-либо оценку абсолютной ошибки:
D а <= D а пред . (3)
где D а пред . – предельная ошибка (число, большее нуля), задаваемая с учетом того, с какой достоверностью известно число а.
Предельная абсолютная погрешность называется также границей погрешности
. Так, в приведенном примере,
D а пред
. = 0,5 см.
Из (3) получаем:
D а = ½а – А ½<= D а пред . .
а – D а пред . ≤ А ≤ а + D а пред . . (4)
а – D а пред . будет приближенным значением А с недостатком,
а + D а пред – приближенным значением А с избытком. Пользуются также краткой записью:
А = а ± D а пред (5)
Из определения предельной абсолютной погрешности следует, что чисел D а пред , удовлетворяющих неравенству (3), будет бесконечное множество. На практике стараются выбрать возможно меньшее из чисел D а пред , удовлетворяющих неравенству D а <= D а пред .
Пример 2. Определим предельную абсолютную погрешность числа а=3,14 , взятого в качестве приближенного значения числа π.
Известно, что 3,14<π<3,15. Отсюда следует, что
|а – π |< 0,01.
За предельную абсолютную погрешность можно принять число D а = 0,01.
Если же учесть, что 3,14<π<3,142 , то получим лучшую оценку: D а = 0,002, тогда π ≈3,14 ±0,002.
4. Относительная погрешность (ошибка). Знания только абсолютной погрешности недостаточно для характеристики качества измерения.
Пусть, например, при взвешивании двух тел получены следующие результаты:
Р 1 = 240,3 ±0,1 г.
Р 2 = 3,8 ±0,1 г.
Хотя абсолютные погрешности измерения обоих результатов одинаковы, качество измерения в первом случае будет лучшим, чем во втором. Оно характеризуется относительной погрешностью.
Относительной погрешностью (ошибкой) приближения числа А называется отношение абсолютной ошибки D а приближения к абсолютной величине числа А:
Так, как точное значение величины обычно неизвестно, то его заменяют приближенным значением и тогда:
(7)
Предельной относительной погрешностью или границей относительной погрешности приближения, называется число d а пред. >0, такое, что:
d а <= d а пред. (8)
За предельную относительную погрешность можно, очевидно, принять отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютной величине приближенного значения:
(9)
Из (9) легко получается следующее важное соотношение:
∆ а пред. = |a | d а пред. (10)
Предельную относительную погрешность принято выражать в процентах:
Пример. Основание натуральных логарифмов для расчета принято равным е =2,72. В качестве точного значения взяли е т = 2,7183. Найти абсолютную и относительную ошибки приближенного числа.
D е = ½е – е т ½=0,0017;
.
Величина относительной ошибки остается неизменной при пропорциональном изменении самого приближенного числа и его абсолютной ошибки. Так, у числа 634,7, рассчитанного с абсолютной ошибкой D = 1,3 и у числа 6347 с ошибкой D = 13 относительные ошибки одинаковы: d = 0,2.
О величине относительной ошибки можно примерно судить по количеству верных значащих цифр числа.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
- Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности
Решение практических задач, как правило, связано с числовыми значениями величин. Эти значения получаются либо в результате измерения, либо в результате вычислений. В большинстве случаев значения величин, которыми приходится оперировать, являются приближенными.
Пусть X - точное значение некоторой величины, а х - наилучшее из известных ее приближенных значений. В этом случае погрешность (или ошибка) приближения х определяется разностью Х-х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают ее абсолютную величину:
Число в этом случае называется предельной абсолютной погрешностью, или границей абсолютной погрешности приближения х.
Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х - это всякое число, не меньшее абсолютной погрешности е х этого числа.
Пример: Возьмем число. Если же вызвать на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа: Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения. Получили бесконечную дробь, не пригодную для практических расчетов. Очевидно, однако, что следовательно, число 0,00000006 = 0,6 * 10 -7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения, используемого МК вместо числа
Неравенство (2) позволяет установить приближения к точному значению X по недостатку и избытку:
Во многих случаях значения границы абсолютной ошибки так же как и наилучшие значения приближения х , получаются на практике в результате измерений. Пусть, например, в результате повторных измерений одной и той же величины х получены значения: 5,2; 5,3; 5,4; 5,3. В этом случае естественно принять за наилучшее приближение измеряемой величины среднее значение х = 5,3. Очевидно также, что граничными значениями величины х в данном случае будут НГ Х = 5,2, ВГ Х = 5,4, а граница абсолютной погрешности х может быть определена как половина длины интервала, образуемого граничными значениями НГ Х и ВГ Х ,
т.е.
По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки е х к модулю значения X (когда оно неизвестно, то к модулю приближения х ).
Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х :
Относительную погрешность выражают обычно в процентах.
Пример Определим предельные погрешности числа х=3,14 как приближенного значения π. Так как π=3,1415926…., то |π-3,14|
- Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений
Цифра числа называется верной (в широком смысле), если ее абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.
Пример. Х=6,328 Х=0,0007 X
Пример: А). Пусть 0 = 2,91385, В числе а верны в широком смысле цифры 2, 9, 1.
Б) Возьмем в качестве приближения к числу = 3,141592... число = 3,142. Тогда (рис.) откуда следует, что в приближенном значении = 3,142 все цифры являются верными.
В) Вычислим на 8-разрядном МК частное точных чисел 3,2 и 2,3, получим ответ: 1,3913043. Ответ содержит ошибку, поскольку
Рис. Приближение числа π
разрядная сетка МК не вместила всех цифр результата и все разряды начиная с восьмого были опущены. (В том, что ответ неточен, легко убедиться, проверив деление умножением: 1,3913043 2,3 = 3,9999998.) Не зная истинного значения допущенной ошибки, вычислитель в подобной ситуации всегда может быть уверен, что ее величина не превышает единицы самого младшего из изображенных на индикаторе разряда результата. Следовательно, в полученном результате все цифры верны.
Первая отброшенная (неверная) цифра часто называется сомнительной.
Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные. Если число записано правильно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить о точности этого числа. Пусть, например, записано приближенное число а = 16,784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0,001. Это значит, что можно принять т.е. а = 16,784±0,001.
Очевидно, что правильная запись приближенных данных не только допускает, но и обязывает выписывать нули в последних разрядах, если эти нули являются выражением верных цифр. Например, в записи = 109,070 нуль в конце означает, что цифра в разряде тысячных верна и она равна нулю. Предельной абсолютной погрешностью значения , как следует из записи, можно считать Для сравнения можно заметить, что значение с = 109,07 является менее точным, так как из его записи приходится принять, что
Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.
Пример а) 0,2409 - четыре значащие цифры; б) 24,09 - четыре значащие цифры; в) 100,700 - шесть значащих цифр.
Выдача числовых значений в ЭВМ, как правило, устроена таким образом, что нули в конце записи числа, даже если они верные, не сообщаются. Это означает, что если, например, ЭВМ показывает результат 247,064 и в то же время известно, что в этом результате верными должны быть восемь значащих цифр, то полученный ответ следует дополнить нулями: 247,06400.
В процессе вычислений часто происходит округление чисел, т.е. замена чисел их значениями с меньшим количеством значащих цифр. При округлении возникает погрешность, называемая погрешностью округления. Пусть х - данное число, а х 1 - результат округления. Погрешность округления определяется как модуль разности прежнего и нового значений числа:
В отдельных случаях вместо ∆ окр приходится использовать его верхнюю оценку.
Пример Выполним на 8-разрядном МК действие 1/6. На индикаторе высветится число 0,1666666. Произошло автоматическое округление бесконечной десятичной дроби 0,1(6) до числа разрядов, вмещающихся в регистре МК. При этом можно принять
Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.
Правила записи приближенных чисел.
- Приближенные числа записываются в форме х ± х. Запись X = х ± x означает, что неизвестная величина X удовлетворяет следующим неравенствам: x- x x
При этом погрешность х рекомендуется подбирать так, чтобы
а) в записи х было не более 1-2 значащих цифр;
б) младшие разряды в записи чисел х и х соответствовали друг другу.
Примеры: 23,4±0,2 ; 2,730±0,017 ; -6,97 0,10.
- Приближенное число может быть записано без явного указания его предельной абсолютной погрешности. В этом случае в его записи (мантиссе) должны присутствовать только верные цифры (в широком смысле, если не сказано обратное). Тогда по самой записи числа можно судить о его точности.
Примеры. Если в числе А=5,83 все цифры верны в строгом смысле, то А=0,005. Запись В=3,2 подразумевает, что В=0,1. А по записи С=3,200 мы можем заключить, что С=0,001. Таким образом, записи 3,2 и 3,200 в теории приближенных вычислений означают не одно и то же.
Цифры в записи приближенного числа, о которых нам неизвестно, верны они или нет, называются сомнительными. Сомнительные цифры (одну-две) оставляют в записи чисел промежуточных результатов для сохранения точности вычислений. В окончательном результате сомнительные цифры отбрасываются.
Округление чисел.
- Правило округления. Если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов числа не изменяется. В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа.
- При округлении числа, записанного в форме х± х, его предельная абсолютная погрешность увеличивается с учетом погрешности округления.
Пример: Округлим до сотых число 4,5371±0,0482. Неправильно было бы записать 4,54±0,05 , так как погрешность округленного числа складывается из погрешности исходного числа и погрешности округления. В данном случае она равна 0,0482 + 0,0029 = 0,0511 . Округлять погрешности всегда следует с избытком, поэтому окончательный ответ: 4,54±0,06.
Пример Пусть в приближенном значении а = 16,395 все цифры верны в широком смысле. Округлим а до сотых: a 1 = 16,40. Погрешность округления Для нахождения полной погрешности, нужно сложить c погрешностью исходного значения а 1 которая в данном случае может быть найдена из условия, что все цифры в записи а верны: = 0,001. Таким образом, . Отсюда следует, что в значении a 1 = 16,40 цифра 0 не верна в строгом смысле.
- Вычисление погрешностей арифметических действий
1. Сложение и вычитание . Предельной абсолютной погрешностью алгебраической суммы является сумма соответствующих погрешностей слагаемых:
Ф.1 (X+Y) = Х + Y , (X-Y) = Х + Y .
Пример. Даны приближенные числа Х = 34,38 и Y = 15,23 , все цифры верны в строгом смысле. Найти (X-Y) и (X-Y). По формуле Ф.1 получаем:
(X-Y) = 0,005 + 0,005 = 0,01.
Относительную погрешность получим по формуле связи:
2. Умножение и деление. Если Х Y
Ф.2 (X · Y) = (X/Y) = X + Y.
Пример . Найти (X·Y) и (X·Y) для чисел из предыдущего примера. Сначала с помощью формулы Ф.2 найдем (X·Y):
(X·Y)= X + Y=0,00015+0,00033=0,00048
Теперь (X·Y) найдем с помощью формулы связи:
(X·Y) = |X·Y|· (X·Y) = |34,38 -15,23|·0,00048 0,26 .
3. Возведение в степень и извлечение корня . Если Х
Ф.З
4. Функция одной переменной.
Пусть даны аналитическая функция f(x) и приближенное число с ± с. Тогда, обозначая через малое приращение аргумента, можно написать
Если f "(с) 0, то приращение функции f(с+ ) - f(c) можно оценить ее дифференциалом:
f(c+ ) - f(c) f "(c) · .
Если погрешность с достаточно мала, получаем окончательно следующую формулу:
Ф.4 f(c) = |f "(с)|· с.
Пример. Даны f(x) = arcsin x , с = 0,5 , с = 0,05 . Вычислить f(с).
Применим формулу Ф.4:
И т. д. |
5. Функция нескольких переменных.
Для функции нескольких переменных f(x1, ... , хn) при xk= ck ± ck справедлива формула, аналогичная Ф.4:
Ф.5 f(c1, ... ,сn) l df(c1, ... ,сn) | = |f "x1 (с1)|· с1+... + |f "xn (сn)|· сn.
Пример Пусть х = 1,5, причем т.е. все цифры в числе х верны в строгом смысле. Вычислим значение tg x . С помощью МК получаем: tgl,5= 14,10141994. Для определения верных цифр в результате оценим его абсолютную погрешность: отсюда следует, что в полученном значении tgl,5 ни одну цифру нельзя считать верной.
- Методы оценки погрешности приближенных вычислений
Существуют строгие и нестрогие методы оценки точности результатов вычислений.
1. Строгий метод итоговой оценки . Если приближенные вычисления выполняются по сравнительно простой формуле, то с помощью формул Ф.1-Ф.5 и формул связи погрешностей можно вывести формулу итоговой погрешности вычислений. Вывод формулы и оценка погрешности вычислений с ее помощью составляют суть данного метода.
Пример Значения a = 23,1 и b = 5,24 даны цифрами, верными в строгом смысле. Вычислить значение выражения
С помощью МК получаем В = 0,2921247. Используя формулы относительных погрешностей частного и произведения, запишем:
Т.е.
Пользуясь МК, получим 5, что дает. Это означает, что в результате две цифры после запятой верны в строгом смысле: В=0,29±0,001.
2. Метод строгого пооперационного учета погрешностей . Иногда попытка применения метода итоговой оценки приводит к слишком громоздкой формуле. В этом случае более целесообразным может оказаться применение данного метода. Он заключается в том, что оценивается точность каждой операции вычислений отдельно с помощью тех же формул Ф.1-Ф.5 и формул связи.
3. Метод подсчета верных цифр . Данный метод относится к нестрогим. Оценка точности вычислений, которую он дает, в принципе не гарантирована (в отличие от строгих методов), но на практике является довольно надежной. Суть метода заключается в том, что после каждой операции вычислений в полученном числе определяется количество верных цифр с помощью нижеследующие правил.
П.1 . При сложении и вычитании приближенных чисел в результате верными следует считать, те цифры, десятичным разрядам которых соответствуют верные цифры во всех слагаемых. Цифры всех других разрядов кроме самого старшего из них перед выполнением сложения или вычитания должны быть округлены во всех слагаемых.
П.2. При умножении и делении приближенных чисел в результате верными следует считать столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством верных значащих цифр. Перед выполнением этих действий среди приближенных данных нужно выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр и округлить остальные числа так, чтобы они имели лишь на одну значащую цифру больше него.
П.З. При возведении в квадрат или в куб, а также при извлечении квадратного или кубического корня в результате следует считать верными столько значащих цифр, сколько имелось верных значащих цифр в исходном числе.
П.4. Количество верных цифр в результате вычисления функции зависит от величины модуля производной и от количества верных цифр в аргументе. Если модуль производной близок к числу 10k (k - целое), то в результате количество верных цифр относительно запятой на k меньше (если k отрицательно, то - больше), чем их было в аргументе. В данной лабораторной работе для определенности примем соглашение считать модуль, производной близким к 10k , если имеет место неравенство:
0,2·10K 2·10k .
П.5. В промежуточных результатах помимо верных цифр следует оставлять одну сомнительную цифру (остальные сомнительные цифры можно округлять) для сохранения точности вычислений. В окончательном результате оставляют только верные цифры.
Вычисления по методу границ
Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений - метод границ.
Пусть f(x, у) - функция, непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументов х и у. Нужно получить ее значение f(a, b), где а и b - приближенные значения аргументов, причем достоверно известно, что
НГ a a a ; НГ b ВГ b . |
Здесь НГ, ВГ - обозначения соответственно нижней и верхней границ значений параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения f(a, b), при известных границах значений а и b.
Допустим, что функция f(x, у) возрастает по каждому из аргументов x и y . Тогда
f (НГ а , НГ b f (a , b )f (ВГ a ВГ b ).
Пусть f(x, у) возрастает по аргументу х и убывает по аргументу у . Тогда будет строго гарантировано неравенство
Cтраница 2
Математические действия над приближенными значениями величин называются приближенными, вычислениями. К настоящему времени создана целая наука о приближенных вычислениях, с рядом положений которой мы познакомимся в дальнейшем.
Результат измерения всегда дает приближенное значение величины. Это связано с неточностью самих измерений, неидеальной точностью измерительных приборов.
Что называется относительной погрешностью приближенного значения величины.
В табл. 25 приведены приближенное значения величин / Си / - д при различных амплитудах Um0 для [ диода 6X6, нагруженного сопротивлением R 0 5 мгом. Эта таблица составлена проф.
В математических таблицах обычно даются приближенные значения величин. При этом считают, что абсолютная погрешность не превосходит половины единицы последнего разряда.
При этом возникает необходимость находить приближенные значения величин при условии, что граница относительной погрешности не должна превышать наперед заданного значения. На данном занятии будут рассмотрены задачи такого типа.
Если в данном точном или приближенном значении величины число цифр больше, чем это необходимо по практическим соображениям, то это число округляют. Операция округления чисел состоит в отбрасывании нескольких цифр младших разрядов и замене их нулями; при этом последнюю удерживаемую цифру оставляют без изменения, если первая отбрасываемая цифра меньше 5; если она равна или больше 5, то цифру последнего удерживаемого разряда увеличивают на единицу.
Условимся считать, что в приближенном значении величины все цифры верные, если его абсолютная погрешность не превышает половины единицы последнего разряда.
При таком округлении число, характеризующее приближенное значение величины, состоит из верных цифр, а цифра низшего разряда этого числа (последняя в записи) имеет точность 1 того же разряда. Например, запись т 3 68 кг означает т 3 68 0 01 кг, а запись т3 680 кг означает т3 680 0 001 кг.
Из уравнения видно, что сумма приближенных значений величин А и сумма их погрешностей являются приближенным значением сумм величин X и их абсолютной ошибкой.
N) в (1) обозначено приближенное значение величины y (xi, x0, г / о), получаемое рассматриваемым методом.
Расчеты, как правило, производятся с приближенными значениями величин - приближенными числами. Разумная оценка погрешности при вычислениях позволяет указать оптимальное количество знаков, которые следует сохранять при расчетах, а также в окончательном результате.
В результате счета можно получить или точное или приближенное значение величины. При этом достаточным признаком приг ближенности результата счета является наличие разных ответов при повторных подсчетах.
В действительности, средняя арифметическая X даст ему лишь приближенное значение величины а xf, и если сама схема его опыта была неудовлетворительна или приборы плохо проверены (например, измерительная линейка вместо 1 м равна 0 999 мм), то, как бы точно наш наблюдатель ни нашел значение а, у него нет оснований считать, что X или а соответствуют истинному значению скорости звука, которая может быть наблюдаема в других самых разнообразных опытах. Основное допущение, которое должно было бы оправдать применение способа средней арифметической к физическим измерениям такого рода, состоит в предположении, что неизвестная величина а xf или, другими словами, что измерение (или вычисление) производится без систематической ошибки.
На практике, измеряя площади, мы чаще всего пользуемся приближенными значениями величин.
