Глава I. Предмет логики 1. Специфика логики как науки Свое название логика получила от древнегреческого слова logos, означавшего, с одной стороны, слово, речь, а с другой - мысль, смысл, разум.Возникая в рамках античной философии как единой, не расчлененной еще на отдельные

ГЛАВА I ПРЕДМЕТ ЛОГИКИ “Логика” (от древнегреческого слова “логос”) означает “понятие”, “разум”, “рассуждение”. В современном языке это слово употребляется в следующих основных значениях.Во-первых, логикой называют закономерности в изменении и развитии вещей и

Цель преподавания логики состоит в формировании правовой и логической культуры мышления у студентов, являющейся необходимой основой успешной профессиональной деятельности юриста. Знание законов мышления способствует образованию зрелого гражданина, владеющего навыками самостоятельного оценивания и критического анализа правовой реальности. Опора на собственную интеллектуальную компетентность позволяет вскрывать технологии манипуляции, препятствующие достижению истинного знания.

Задачами логики являются:

– научить студентов правильно формулировать определения и последовательно осуществлять классификацию понятий;

– на основе понятийной четкости и системного анализа материала обоснованно артикулировать проблему, выдвигая ясный и непротиворечивый тезис;

– строить убедительные и непротиворечивые умозаключения по законам силлогизма, в согласии с требованиями научной аргументации;

– распознавать в речи оппонента как непреднамеренные ошибки, так и сознательные нарушения законов логики и софистические уловки.

Изучение логики ориентирует будущих юристов на поиск связей между логикой и философией, логикой и психологией, логикой и юриспруденцией, логикой и риторикой. Активное развитие такой новой дисциплины, как логика норм, свидетельствует об укреплении межпредметных связей и необходимости совместной работы логиков и юристов с целью совершенствования законодательства.

Логика выступает в роли базовой учебной дисциплины в системе гуманитарного и профессионального юридического образования, являясь пропедевтикой любой научной деятельности.

В результате изучения дисциплины «Логика» студенты должны:

· знать фундаментальные законы формальной логики, правила логического деления и классификации понятий, отношения между суждениями в логическом квадрате, структуру и модусы простого категорического силлогизма;

· уметь осуществлять логические операции обращения, превращения и противопоставления суждений, выявлять несоблюдения логических законов, ложный тезис или подмену тезиса, выстраивать четкую и убедительную аргументацию;

· владеть культурой мышления и искусством логического анализа, избегая ошибочных выводов в собственной речи и вскрывая паралогизмы и софизмы в речи собеседника.

Курс логики направлен на формирование у студентов следующих компетенций :

– способность логически верно, аргументировано и ясно строить устную и письменную речь;

– способность использовать в познавательной и профессиональной деятельности базовые знания в области гуманитарных наук;

– способность выстраивать и реализовывать перспективные линии интеллектуального, культурного, нравственного, физического и профессионального саморазвития и самосовершенствования.

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН КУРСА

Тема №1. Логика как наука: предмет, значение, история развития

Теория.

Логика – наука о формах и законах мышления, необходимых для рационального познания.

История. Логика становится самодостаточным предметом исследования в трудах древнегреческого философа Аристотеля (384-322 гг. до н.э.), таких как «Категории», «Об истолковании», «Первая аналитика», «Вторая аналитика», «Топика», «О софистических опровержениях». Хотя сам Аристотель называл свою концепцию законов мышления аналитикой , именно Стагирита считают основателем формальной логики.

Наряду с классической логикой, основы которой были заложены еще в Древней Греции и оставались практически неизменными на протяжении почти двадцати двух веков, активно развивается и логика неклассическая, инициированная в середине 19 в. деятельностью Джорджа Буля (1815-1864), а также Августуса де Моргана (1806-1871), и получившая дальнейшую разработку в трудах Чарлза Пирса (1839-1914), Готлоба Фреге (1848-1925), Платона Порецкого (1846-1907) и др.

Ниже приводятся фрагменты из произведений Аристотеля, основателя формальной логики, и Людвига Витгенштейна (1889-1951), создателя двух влиятельных течений современности: логического позитивизма и философии обыденного языка. Такое сопоставление античности и современности в лице двух выдающихся мыслителей выбрано автором методического пособия не случайно. Благодаря компаративному анализу указанных источников обучающийся имеет уникальную возможность сравнить представления о роли логики в структуре философского знания, а также сопоставить классический и неклассический подходы к интерпретации логико-философских проблем. Вопросы, поставленные перед каждым текстовым фрагментом, помогут читателю расставить необходимые смысловые акценты и поучаствовать в интеллектуальном сотворчестве. Предваряя знакомство с австрийским мыслителем, хочется задать следующий вопрос: почему автор «девятой логической симфонии» (так называли «Логико-философский трактат» Витгенштейна), утверждавший, что законы логики даже более фундаментальны, чем законы физики, в поздний период творчества приходит к осознанию границ логического могущества, считая требования логической однозначности не только неисполнимыми, но и ненужными в сфере обыденной речи?

Практика.

Вопросы к фрагменту из работы Аристотеля «О софистических опровержениях»:

1) Что выступает началом в аристотелевском учении о суждениях и умозаключениях?

2) Согласны ли вы с тем, что «начало – пол-целого дела»? Кто задолго до Стагирита высказал эту идею?

3) Были ли у Аристотеля предшественники в разработке логического учения? Как сам автор аналитики отвечает на этот вопрос?

Логика и язык.

1. Объект и предмет логики. Формальная логика исследует инвариантные структуры мышления человека, и пока существует несовпадение между идеализированным содержанием и материальной формой выражения мысли необходимо обеспечивать истинность рассуждений с помощью формальных законов и правил.

Логика как наука включает в себя традиционную логику и современную (классическую и неклассическую) логику. Своим содержанием они представляют хронологию этапов развития логической науки. Их различают по тому, какие основные понятия и методы используют они для построения формальных теорий и какие при этом решают задачи: традиционная логика метод формализации использует в полуформальном виде, а современная – в чистом; в традиционной логике центральными категориями являются «понятие», «суждение» и «умозаключение», а в современной – высказывания и термины; традиционная логика формирует культуру мышления, т.е. является способом доказательства и опровержения, основой различных видов дискурса и т.п., а современная исследует функционирование мышления в языке науки, т.е. анализирует принципы построения, трансформации и обоснования научных теорий.

В данном случае ограничимся анализом традиционной логики и, насколько это будет необходимо, рассмотрим некоторые аспекты логики высказываний (классическая логика) и модальной логики (неклассическая логика).

Логика (греч. λογιχή – наука о мышлении, от λόγος – мысль, слово, учение) – это философская наука о законах и формах теоретического мышления, о взаимосвязи данных форм и об ошибках в процессе мышления и способах их преодоления.

Статус и роль любой науки характеризуется, прежде всего, ее объектно-предметной областью. Объект науки представляет определенная область действительности, на которую направлены исследовательские усилия. Предмет науки – это определенная сторона объекта, способствующая его качественно-количественному уточнению.

Объект логики – это человеческое мышление. Однако логика изучает человеческое мышление не в плане рассмотрения всех его форм с учетом их становления и развития, как это делается в рамках философии (конкретно – в гносеологии ), а берет лишь формы теоретического мышления как существующие в готовом виде, неизменные, неподвижные, тождественные себе в любых социально-исторических и культурных обстоятельствах; логика исследует мышление не с упором на его содержательных аспектах и их обусловленности физиологическими и социально-культурными факторами, что характерно для психологии , а выделяет в теоретическом мышлении только его формально-структурный аспект и т.д. Сутью логического анализа является редукция мысли к ее структуре и форме с помощью абстрагирования содержания. При этом следует учесть, что, хотя анализ мыслей относительно истинности или неистинности их содержания, его понимание и т.д. и выходит за предметные рамки логики, но без него логическое мышление и существование логики как науки невозможно. Поэтому для логики важно не только определить правильность , но и истинность логических форм мысли (суждения и умозаключения). Логика не предназначена для вывода заведомо неистинного знания. Предмет логики – это сложная система, объединяющая всеобщие, обеспечивающие истинность мышления, условия, которые необходимо соблюдать независимо от содержания мыслей.

Предмет логики составляют:

– формы теоретического мышления: понятие, суждение, умозаключение;

– общие законы мышления: тождества, противоречия, исключенного треть­его и достаточного основания;

– всеобщие методы науки, теоретического мышления в целом: анализ, синтез, абстрагирование, обобщение, формализация и др.;

– структурные законы и правила отдельных форм мысли: закон обратного отношения объема и содержания понятия, правила посылок и терминов, специальные правила фигур простого категорического силлогизма и т.д.;

– язык логики как система специализированных символов для обозначения форм мысли и их связей;

– термины и определения, обосновываемые в логике;

– логические ошибки, возможные в процессе мышления.

Мышление (абстрактное ) – это опосредованное (т.е. основывающееся на ранее полученных знаниях ) и обобщенное (т.е. схватывающее существенные признаки ) отражение действительности в мозгу человека, фиксируемое и передаваемое им в языке (практическом мышлении ) в процессе своей духовно-практической деятельности.

Свойства правильного мышления:

– определенность – точность и строгость;

– последовательность – без внутренних противоречий;

– обоснованность – ориентированность на основания, благодаря которым мысль должна быть признана истинной.

В мышлении выделяют содержание и форму мысли:

Форма мышления – это структура мысли, способ связи ее содержательных частей (понятий в суждения, суждений между собой в сложные суждения, суждений в составе умозаключений).

Мышление человека связано с процессом рассуждения . Рассуждение – это сопоставление мыслей и их объединение ради получения на основе имеющихся знаний новых знаний.

Рассуждения бывают правильными и неправильными.

Правильное рассуждение – это рассуждение, в котором одни мысли (выводы ) с необходимостью вытекают из других мыслей (посылок ).

Пример: «Все звезды – гигантские светящиеся шары из раскаленного газа. Солнце – звезда. Следовательно, Солнце – гигантский светящийся шар из раскаленного газа». В этом рассуждении двумя исходными мыслями обосновывается третья: «Если класс предметов имеет определенное свойство и к этому классу относится некий предмет, то и ему присуще данное свойство» . Или: «Если предмет имеет определенное свойство и все, чему присуще это свойство, имеет и некоторое другое свойство, то данный предмет имеет и это другое свойство»: «Солнце – гигантский светящийся шар из раскаленного газа. Все гигантские светящиеся шары из раскаленного газа вырабатывают огромное количество энергии. Следовательно, Солнце – вырабатывает огромное количество энергии».

Неправильное рассуждение – это рассуждение, в котором допущены логические ошибки в результате несоблюдения законов и правил логики.

Пример: «Лекарства, которые принимает больной, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарства следует принимать как можно боль­ше». Ошибочность вывода вытекает из безосновательного отождествления нетождественных понятий, использованных в двух исходных мыслях: в первой понятие «добро» дано с точки зрения практической пользы конкретного вещества и правильности его применения, во второй – в общеэтическом плане, как противоположность понятию «зло».

Также как и мысль, рассуждение имеет содержание, т.е. информацию о мире, и логическую форму , т.е. построение, способ связи его составляющих элементов. Следует заметить, что логическая форма не является составляющей содержания, которое включает конкретная мысль или конкретное рассуждение. Логическая форма является лишь средством, благодаря которому составляющие части содержания соединяются в уме или в рассуждении между собой. С целью выявления этих составляющих логика абстрагируется от конкретного содержания мыслей или рассуждений и занимается анализом, и в первую очередь, их логической формой, т.е. сосредоточивается на тех компонентах, которые представляют формальный аспект мысли или рассуждения.

Например, в определении «логика есть философская наука», с одной стороны, имеется независимое от формы мысли конкретное ее (мысли) содержание («что-то о чем-то утверждается»), с другой – информация о способе связи структурных элементов мысли (предмета мысли и признака предмета мысли), что и интересует логику как науку.

Поэтому следует отличать правильность и истинность мысли или рассуждений. Понятие формальной правильности мышления относится лишь к логическим действиям и операциям мышления. Правильность мышления – это его характеристика со стороны формы. Со стороны формы оно может быть логически правильным или неправильным. Правильность мысли или рассуждения – это соблюдение правил и законов логики. Если в числе посылок умозаключения встречается неистинная посылка, то при соблюдении правил логики в заключении можно получить и истину, и неистину.

Пример: «Все металлы – твердые тела. Ртуть не является твердым телом. Следовательно, ртуть не является металлом». В данном случае нарушено одно из правил логики, ибо одна из посылок (1-я) неистинная. Но и при истинности двух посылок можно получить как истинный, так и неистинный вывод: «Все ноутбуки имеют экран. Это техническое устройство имеет экран. Следовательно, это техническое устройство – ноутбук». Здесь нарушено также одно из правил логики. Потому заключение не следует с необходимостью из этих посылок. Заключение делается по II фигуре с двумя утвердительными посылками, а согласно правилам данной фигуры одна из посылок и заключение должны быть отрицательными суждениями.

Понятие истинности мышления относится лишь к конкретному содержанию мышления. Истинность есть соответствие мысли или рассуждения конкретному содержанию действительности. И если в том же рассуждении верно отражено то, что имеет место в действительности, то оно истинно, в противном случае оно неистинно.

Пример: «Все технологи – специалисты по технологии определенной отрасли производства» истинно; «Все абитуриенты – будущие студенты» неистинно.

Все эти примеры показывают важность знания и применения двух правил: формального и содержательного .

Формальное правило – это правило, которое предусматривает только форму (без обращения к содержанию ) того, что преобразовывается согласно этому правилу. Здесь истинность высказываний, их смысловая связь несущественны. Применение формального правила осуществляется только на основе знания формы высказывания. Процесс мышления или рассуждения, осуществляющийся в соответствии с формальным правилом логики, является формально-логически правильным.

Например, возьмем суждения «Киев – столица Франции» и «Если Киев – столица Франции, то 2 2=5», где первое – простое суждение, а второе – сложное, образованное союзом «если, то». Применим к этим суждениям одно из формальных правил логики: х, х→у ╞у , где х и у – обозначают простые суждения, → – обозначает союз естественного языка «если, то», ╞ – обозначает отношение следования. Когда обозначим первое суждение х , второе – х→у , то соответственно здесь у – 2 2=5. И нет значения, являются ли эти суждения истинными, и есть ли в них смысл. Конечно первое суждение неистинное, а второе и неистинное, и если бы было истинным («2 2=4»), то оно не имеет смысла в обычном понимании. Однако это показывает, что для применения формального правила истинность суждений и их связь по смыслу несущественны . А если это так, то обозначив первое суждение «Киев – столица Франции» как А , а суждение «2 2=5» – В , то получим формулу сложного суждения «Если Киев – столица Франции, то 2 2=5» в виде выражения «если А , то В ». Выделив форму суждений, можно применить к ним формальное правило «х, х→у ╞у », не зная ни смысла, ни значения суждений «А » и «если А , то В ». Поэтому, когда из суждений «А » и «если А , то В » делается вывод «В », то рассуждение формально-логично правильное. Следовательно, здесь происходит формально-логичное рассуждение, ибо оно подчинено формальным правилам логики. И когда суждение «А » и суждение «если А , то В » будут истинными, то обязательно будет истинным и «В ». В случае их неистинности истинность «В » не гарантирована.

Однако в процессе рассуждения, кроме формальных правил, используются и содержательные правила (правила неполной индукции, правила аналогии и т.д.). Содержательное правило – это правило, предусматривающее именно содержание того, что согласно с ним преобразуется.

Например , возьмем правило аналогии свойств, имеющее вид формулы:

◊[(P , P , P (x ))(P , P (y ))→(P (y ))],

которую можно прочитать так: «Элемент х обладает свойствами P ,P ,P , а элемент у – свойствами P , P . Следовательно, элемент у , вероятно, обладает свойством P ».

Зависимость этого правила от содержания определяется тем, что его применение к одному (1) содержанию имеет смысл, а к другому (2) – приводит к неистинному выводу.

(1) «Земля (х ) является планетой P , обращается вокруг Солнца P , светит отраженным светом P . Венера (у ) является планетой P ,обращается вокруг Солнца P . Следовательно, Венера (у ), вероятно, светит отраженным светомP ». (2) «Земля (х ) является планетой P , обращается вокруг Солнца P , имеет спутник P . Венера (у ) является планетой P ,обращается вокруг Солнца P . Следовательно, Венера (у ), вероятно, имеет спутникP », которого, как известно, у Венеры нет.

2. Логика и язык. Инструмент, который позволяет в лаконичной и краткой символической форме отобразить логическую структуру мысли и тем самым сделать возможной формализацию (лат. formalis – составленный по форме) последующих логических операций (действий с рациональными формами мысли) – это язык логики. Именно язык обеспечивает вывод одних логических форм из других согласно установленным в логике правилам и законам. И именно этот вывод определяет правильность теоретического мышления. Это значит, что правильность теоретического мышления в логике во многом обусловлена ее языком. Как вне логических действий не существует логического языка, так и без логического языка никакие логические действия, а в конечном итоге, правильность мышления невозможны.

Язык – это социальная форма, представляющая собой материальную естественную (звуковой язык, пластика человеческого тела: позы, жесты, мимика ) и искусственную (язык математики, логики, живописи, музыки, дорожные знаки и т.д. ) знаково-символическую систему, с помощью которой люди общаются, осуществляют познание мира и самопознание, хранят и передают информацию, управляют поведением друг друга.

Язык обеспечивает корреляцию содержания человеческого мышления с осмысливаемым им объективным миром. Язык замещает в действиях мышления осваиваемые им материальные объекты. Этим он позволяет мышлению выполнять активную роль, устанавливать сущность и закономерности этих объектов, создавать на этой основе модели и способы их целесообразного изменения.

Любой язык состоит из знаков. Знак – это элемент языка, который замещает и представляет предметы и их признаки в процессе мышления и познания.

Знак характеризуется наличием значения и смысла (лат. sensus – смысл). Значение (экстенсионал , лат. extensio – объем) знака – это предмет материального мира, представленный этим знаком. Смысл (интенсионал , лат. intensio – напряжение) знака – это передаваемая знаком информация о наличии или признаках обозначаемого предмета. Это то, что называется прямым смыслом , в отличие от переносного смысла (указывающего на подобие предмета другим предметам: «Уголь – хлеб промышленности») и этимологического (объясняющего буквальное значение слова: ««Бытие» – учение о сущем»).

Знаки выполняют репрезентирующую функцию (лат. representatio – представление, наглядное изображение), т.е. указывают на предметы и их признаки (свойства и отношения ).Интерпретируя знаки, раскрывая их смысл и значение, человек и познает объективный мир. Ведь сам мир, его содержание непосредственно не вовлекается в деятельность мышления.

В зависимости от экстенсионала (значения ) знаки могут быть мнимыми или реальными.

Мнимые знаки – это знаки, экстенсионалу которых не соответствует ни один наличествующий предмет. Мнимые знаки отражают как фантастические предметы («дунайская русалка», «идеальное государство»), так и предметы, которые вполне могли бы существовать, но не существуют именно в той предметной области, которая указана данным знаком («свободные демократические выборы Президента Украины 2004 г.»). Реальные знаки – это знаки, экстенсионалу которых соответствует определенный предмет или признак («конституция», «инфляция», «украинские олигархи»).

В зависимости от интенсионала (смысла ) знаки могут быть описательными и неописательными. Описательные знаки – это знаки, интенсионал которых содержит информацию о признаках обозначаемого предмета – его свойствах и отношениях («свободные выборы», «галопирующая инфляция», «объективная истина»). Неописательные знаки – это знаки, интенсионал которых не характеризует предмет, а лишь указывает на него («государство», «собственность», «демократия»).

Все знаки подразделяют на языковые знаки и неязыковые знаки . Виды неязыковых знаков выделяют похарактеру связи знака с предметами и их признаками: знаки-образы – обладают определенным подобием с соответствующим предметом (карта, план местности, чертеж, фотография); знаки-индексы (лат. index – показатель) – имеют непосредственную связь с обозначаемым им предметом (дым – признак огня, изменение высоты ртутного столбика – признак изменения атмосферного давления, числовой или литерный показатель: х , х ... х , где 1, 2, n – знаки-индексы); знаки-символы – указывают на предметы, но физически с ними не связанны (дорожные знаки как информирующие символы о соответствующей организации дорожного движения; герб, флаг, гимн как символы государственности определенной страны)... Языковые знаки обозначают предметы.

Знаки, представляющие предметы, являются именами предметов (или термами ). Имя (лат. nomen – имя) – это выражение естественного или искусственного, формализованного языка, который обозначает отдельный предмет или класс предметов. Другими словами, имя предмета фиксирует «то, что говорится» . На теоретическом уровне обозначение предметов именами является условием не только общения, но и мышления. Предмет (лат. res – предмет, вещь) здесь понимается в широком смысле: это вещи, явления, процессы, свойства, связи, отношения и т.п. как природы, так и общества, любых продуктов их существования.

Имена классифицируют на единичные и общие . Единичные обозначают один предмет и представлены в языке именем собственным («Г. С. Сковорода», «Днепр»). Когда имя собственное передается не явно, тогда используется йота-оператор – «тот, кто» («Те, кто разработали методы научной индукции»). Общие обозначают множество (класс однородных ) предметов и представлены в языке именем нарицательным («книга», «планета Солнечной системы»). Среди общих имен можно выделить простые , в которых нет частей, имеющих самостоятельный смысл («книга») и сложные, или описательные, состоящие из частей, имеющих самостоятельный смысл («планета Солнечной системы»: «планета», «система», «Солнечная система»).

Имя (как и знак) имеет значение и смысл. Значение имени есть обозначаемый им предмет. Значение имени называется денотатом (лат. denotatus – обозначенный; десигнатом , лат. designatio – обозначение). Смысл имени – это способ, каким имя обозначает предмет, т.е. определенная информация об обозначаемом предмете. Смысл имени называетсяконцептом. Смысл и значение составляют содержание имени.

Например, такие языковые формы выражения, как «самая маленькая страна – город-государство», «город-государство в пределах столицы Италии – Рима», «страна, площадь которой составляет 44 га с населением ок. 1 тыс. человек», «центр Римско-Католической Церкви, резиденция ее главы Папы Римского» имеют одно и то же значение (Ватикан ),но различный смысл, т.к. представляют данную страну с помощью различных свойств, т.е. дают разную информацию о ней.

Если имя представлено вне контекста, то установить его смысл нелегко . В таком случае необходим дополнительный анализ.

Например, денотатом слова «Днепр» может быть река, мотоцикл, футбольный клуб и т.д.

Если денотатом (значением ) имени также является имя, то исходное имя употребляется в антонимном смысле («бытие» – «категория бытия», «суждение» – «понятие суждения», где каждый второй пример иллюстрирует антонимное употребление терминов).

В естественном языке нередко возникают т.н. «антиномии отношения именования» , при которых в случае замены одного имени другим, тождественным по содержанию, но отличающимся по форме, смысл предложения изменяется.

Например, нельзя в учении франц. философа Р. Декарта заменить движение как универсальный атрибут материальной субстанции и ее элементов на изменение как универсальный атрибут материальной субстанции и ее элементов, поскольку в 17 в. изменение не считалось атрибутом материи. Материя, состоящая из множества элементов, способна, по Р. Декарту, лишь к движению (механическому), но сами эти элементы – как и материя в целом – неизменны.

Поэтому антиномии отношения именования неприемлемы в научном познании , требующем придерживаться принципов однозначности (т.е. использование выражения (как имени) только в определенном контексте – как имени одного предмета или класса предметов, и в одном и том же смысле), предметности (т.е. выявление отношений, которые выражает сложное имя, как отношений не между именами, а между предметами, которые обозначаются простыми именами, входящими в сложное), взаимозаменяемости (при которой замена простого имени (с тем же денотатом) в сложном имени сохранит значение (денотат) сложного).

Знаки, представляющие признаки – свойства и отношения, называются предикаторами («белый», «больше», «радовать», «гордый», «предшественник», «между»). Иными словами, предикатор фиксирует «то, о чем говорится» .

Предикаторы характеризуются местностью, областью применения и областью истинности.

Количество имен предикатора называется местностью . Предикаторы бывают одноместными и многоместными (двух-, трех-, четырех-... местными ).Если предикатор характеризует один предмет (свойство предмета ), то он одноместный («макроэкономическая стабильность», «дефицитный бюджет»). Если предикатор характеризует отношения между двумя и более предметами, то он многоместный («Украина вступила в ВТО», где предикатор «вступила» является двухместным ).

Класс (лат. classis – группа) предметов, в пределах которых имеет смысл использования определенного предикатора, называется областью применения предикатора.

Так , областью применения предикатора «продавать» будет класс людей, а «мимикрировать» – класс животных или класс растений.

Имеется особенность областей применения одноместных и многоместных предикаторов: областью одноместных выступает одно из возможных свойств множества предметов, а многоместных – отношений предмета, устанавливаемых с разными классами предметов.

Например , предикатор «любит» может фиксировать отношения человека к другому человеку, к виду деятельности, к определенной вещи и т.д.

Объем представленного предикатором свойства или отношения называется областью истинности предикатора .

Например , соответственно указанным признакам, областью истинности предикатора «красивый» могут быть человек, танец, цветок и т.д., «потомок» – палеоантроп и архантроп, черноморский казак и запорожец и т.п.

Выражения, которые обозначают различные действия, операции с предметами, в результате чего возникают новые предметы, называются функциональными знаками (предметно-функциональными выражениями, или предметными функторами , т.е. названиями предметных функций: в математике: «√», «+», «ctg a » и др.; в естественном языке: «возраст», «рост», «масса», «скорость», «расстояние», «профессия» и т.д.).

Предметные функторы (как и предикаторы) бывают одноместными («вес») и многоместными («дистанция»), а также имеют область применения , т.е. тот класс предметов, где целесообразно употреблять определенный функтор («масса» в физике, «log» в математике). Но приложение функтора (напр., «возраст» к Самарину С. М.) приведет к образованию нового предмета (в данном случае к поименованному числу, напр., 20). В связи с этим можно говорить не об области истинности , а об области значений предметного функтора .

Термы (имена предметов ), предикаторы и функторы (функциональные знаки ) , представляющие определенные предметы, есть постоянные выражения: постоянный терм, постоянный предикатор, постоянный функтор . В языке логики используются и переменные выражения , или выражения с переменным значением: предметные переменные (для предметов), предикаторные переменные (для свойств и отношений), пропозиционные переменные (для суждений), функциональные переменные (для предметных функций). Особенностью переменных символов является то, что они приобретают значение только с указанием определенной предметной области.

В целом имена предметов (т.е. слова и словосочетания, обозначающие единичные предметы и классы однородных предметов), предикаторы (т.е. слова и словосочетания, обозначающие свойства предметов или отношения между предметами), а также функциональные знаки (т.е. выражения, обозначающие предметные функции, операции: «√», «+», «ctg a ») являются дескриптивными (от лат. descriptio – описание, описательными ) терминами (лат. terminus – граница).

В языке имеются также логические термины (логические постоянные, или логические константы). Логические термины выражают такие слова и словосочетания естественного языка , как «и» , «или» , «если, то» , «не» , «если и только если, то» и т.д., «все» , «некоторые» и т.п., «тот» , «который» , «такой, что» и др.

Логические термины «и» , «или» , «если, то» , «не» , «если и только если, то»... фиксируют отношения между дескриптивными терминами в середине высказываний, между высказываниями.

Слова, фиксирующие отношения, называют логическими связками . Среди группы логических связок выделяют не только пропозиционные связки («и» , «или» , «если, то» , «не» , «если и только если, то» ), но и логические связки , фиксирующие как наличие между предметами мысли отношения («Платон является учителем Аристотеля), так и наличие у предмета мысли свойства («Донецк есть областной центр»): «есть» («не есть» ), «является» («не является» ), множественная форма которых – «суть» («не суть» ). Если связки «есть» («не есть» ), «является» («не является» ) выражают в высказывании свойства , их называют атрибутивными , если отношения – релятивными . Связки могут выражать существование предмета и/или его признаков и, следовательно, быть экзистенциальными. Кроме того, эти связки могут быть как утвердительными («есть» ), так и отрицательными («не есть» ).

Слова «и» , «или» , «если, то» и т.п. в обыденном или литературном языке являются грамматическими союзами . Они связывают простые предложения в сложные. Здесь значимы их содержание и смысл .

Слова «и» , «или» , «если, то» и т.п. являются и логическими союзами . Они фиксируют уже не связи между предложениями, а между высказываниями, где учитываются лишь логические значения (истинности и неистинности) простых высказываний, составляющих собой сложное.

В логике существуют специальные названия и символы логических союзов: «и » – конъюнкция (), «или » – дизъюнкция (), «если, то » – импликация (→), «если и только если, то » – эквиваленция – (≡) и др. Их природу исследует логика высказываний. С их помощью из простых высказываний (суждений) образуются сложные, носящие имя соответствующего союза: конъюнкции, дизъюнкции и т.д. Они же и являются пропозиционными союзами , или пропозиционными связками (лат. propositio – предложение, высказывание).

Логические термины «все» , «некоторые»... дают количественные характеристики в простых высказываниях. Эти логические термины представляют логические операторы, к которым относятся кванторы (от лат. guantum – сколько): квантор общности ( – «все» ) и квантор существования ( – «некоторые» ). Они имеют и другие аналоги естественного языка, и другие обозначения.

Логические термины «тот» , «который» , «такой, что»... отражают описательные выражения предметов мысли в простых высказываниях.

В структуру высказываний входят и дополнительные слова, которые придают высказываниям новый логический статус – модальные операторы:«необходимо», «возможно», «случайно», «действительно», «разрешено», «запрещено», «обязательно» и др., которые применяются в определенных видах модальностей. Они также имеют (ниже приведенные) символы для своего обозначения.

Формальное свойство высказываний (независимо от их соответствия фактическим данным) обретать значение истинности также имеет символьное выражение: 1 (истина ), 0 (неистина ). Высказывание формально может иметь не только два значения истинности, т.е. быть двузначным , но и многозначным .

Логические термины в языке логики выражают следующие символы:

1) a, b, c – символы единичных имен, или предметные переменные;

2) x, y, z – символы общих имен, или предметные переменные;

3) P , Q , R , … P , Q , R – символы предикаторов, с указанием их местности, или предикаторные переменные;

4) p, q, r – символы высказываний, или пропозиционные переменные;

5) – символ квантора общности («все», «ни один», «любой», «всякий», «каждый» и т.д.);

6) – символ квантора существования («не все», «некоторые», «существуют такие», «большинство», «меньшинство», «часть», «иногда» и т.д.);

7) S, P – символы субъекта и предиката суждения;

8) М – символ среднего термина умозаключения (общего для двух посылок);

9) А – символ общеутвердительного суждения («Все S есть Р »);

10) Е – символ общеотрицательного суждения («Все S не есть Р »);

11) I – символ частноутвердительного суждения («Некоторые S есть Р »);

12) О – символ частноотрицательного суждения («Некоторые S не есть Р »);

13) () – технические знаки левой и правой скобок, применяющиеся для записи, например, сложных терминов суждений;

23) – символ логической операции умножения или пересечения понятий;

24) – символ подчинения, включения класса в класс;

25) \ – символ логической операции вычитания понятий;

26)  – символ модального оператора «необходимо»;

27) ◊ – символ модального оператора «возможно»;

28) – символ модального оператора «случайно»;

29) i – символ модального оператора «действительно»;

30) Р – символ модального оператора «разрешено»;

31) F – символ модального оператора «запрещено»;

32) О – символ модального оператора «обязательно»;

33) К – символ модального оператора «знает»;

34) В – символ модального оператора «верит» (считает);

35) 1, i , t – символ «истинно»;

36) 0, x , f – символ «неистинно»;

37) R – символ отношения;

38) А , В , С – символы высказываний;

39) Df – символ определения (дефиниции).

Язык символов – это формализованные языковые средства фиксации логической структуры (форм связи ) мысли и исследования ее логических свойств и отношений со строго фиксированными правилами.

Особенностью языка символов (или формализованного языка, – языка логики) является несовпадение отражаемой с его помощью логической структуры мышления и лексико-грамматической структуры обыденного или литературного языка, передающего те же самые мысли. Язык логики, с одной стороны , соответствует природе и сущности любых языковых систем, что определяется идеальностью человеческого мышления и материальным характером знаков языка, выполняющих репрезентативную и замещающую функции в процессе познания. С другой стороны, язык логики призван обеспечить максимальную точность и лаконичность мышления, устойчивость и объективность выводов, получаемых в познавательной деятельности, что достигается в процессе формализации за счет абстрагирования содержания, непоследовательности и многозначности имеющихся в нем языковых выражений, их аморфности и прочих противоречий, присущих обыденному языку. При этом важно отметить, что сущностные стороны содержания в логическом языке не игнорируются, а при помощи символов выражаются через форму. Это позволяет оптимально и однозначно выявлять, эффективно фиксировать и оценивать предметы мысли, их свойства и отношения, а также производить операции с ними.

Например: «Автохтоны – коренное население страны». В этом суждении можно выявить явно выраженные два термина: субъект (S ) – «автохтоны» и предикат (P ) – «коренное население страны». Третий основной термин суждения – логическая связка «есть» – пропущен, но может быть выражен также явно: «Автохтоны есть коренное население страны». Пропущен и квантор общности () – «все» , но в суждении подразумевается все первоначальное население страны. Отсюда логическая структура атрибутивного категорического суждения, выраженная данным повествовательным предложением, или иным, более сложным, но членам которого в логическом языке имеются соответствующие элементы, символическим образом записывается так: S – Р . Такая формула читается по правилам языка символов: «Все S есть Р ». Содержание и грамматические особенности в соответствующем предложении полностью опу­скаются. Более того, такое прочтение заменяет громоздкость фразы естественного языка об общеутвердительном суждении: «В общеутвердительном суждении каждому предмету определенного множества, которое отражает понятие субъекта, принадлежит свойство, которое отражено в понятии предиката».

Совокупность знаковых средств, которые фиксируют логическую структуру рассуждений и логические связи элементов этой структуры является предметным языком , или объект-языком: «Все S есть Р ». А логический анализ структуры рассуждений, связи знаковых средств этой структуры и процедуры их соотношения со значением происходит на основе метаязыка: S обозначает предмет мысли, Р – признак предмета мысли, «есть» фиксирует отношения между ними, «все» – определенное множество предметов с присущими им признаками, отраженными в S (субъекте) и Р (предикате).

Структура естественного языка представлена тремя частями семиотики (греч. σημειωτικόν – учение о знаках, от греч. σημεϊον – знак) – науки о знаках и языке как знаковой системе: синтаксис (греч. σύνταζις – строение, сочетание; где анализируются знаки сами по себе, т.е. определяются принципы построения знаков, правила соединения и размещение языковых знаков в определенной знаковой системе), семантика (греч. σημαντικός – обозначающий; где раскрывается соотношение знака и значения, изучается смысл и значение языковых выражений, анализируется язык как знаковая система по функциям определения и обозначения) и прагматика (от греч. πραγμα – дело, действие; где рассматривается отношение между знаковой системой и ее носителем, способы использования знаков и языка как знаковой системы в конкретных практических ситуациях).

Структура формализованного языка включает только синтаксическую (объект-язык )и семантическую (метаязык ) части . Синтаксический язык использует такие термины, как следование, выведение, доказательство и т.п. Семантический – класс, высказывание, свойство, отношение, истина и неистинна, истинностное значение высказывания, интерпретация. Объект-язык как система знаковых средств, совокупность формул фиксирует в знаковой форме логическую структуру рассуждений, логические свойства составляющих элементов рассуждений и отношения между элементами рассуждений. Метаязык раскрывает свойства и отношения знаковых средств объект-языка, функции комбинаций и образований знаковых средств объект-языка. В самом метаязыке выделяют синтаксис и семантику. Синтаксис метаязыка составляют правила, которые описывают особенности знаковых систем объект-языка. Семантика описывает виды значений, какие могут получать знаки объект-языка, и правила, по которым эти значения приписываются соответствующим знакам объект-языка.

Значение изучения логики заключается в том, что она дает возможность, во-первых, ознакомиться с законами, правилами и приемами мышления, имеющие объективный характер; во-вторых, на основании знаний законов и правил мышления сознательно подходить к процессу мышления, способствовать повышению четкости действий в осуществлении доказательств и опровержений, проведения аналогий и т.д.; в-третьих, сознательно строить рассуждения не только с точки зрения их формальной правильности, но и истинности; в-четвертых, точно установить суть примененных слов в языке, форму и структуру суждений и умозаключений; в-пятых, избегать неясности и противоречия в процессе мышления и рассуждений; в-шестых, находить и устранять ошибки как в собственных рассуждениях, так и своих оппонентов; в-седьмых, приобщаться к новейшим результатам как собственно в сфере логичных достижений, так и в других областях человеческой деятельности; в-восьмых, повышать уровень эффективности не только научного познания, но и внедрения его результатов в различные сферы общественной практики.

Литература

Гетманова А. Д. Логика: учебник, словарь, практикум / А. Д. Гетманова. – 2-е изд. – М. : Академический Проект, 2009. – С. 3-39, 258-278, 279-296, 380-383, 562-700, 701-703.

Иванов Е. А. Логика: учебник / Е. А. Иванов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М. : Волтерс Клувер, 2005. – С. 1-38.

Конверський А. Є. Логіка (традиційна та сучасна) : підручник / А. Є. Конверський. – К. : Центр учбової літератури, 2008. – С. 13-106.

Логика: учеб.-методич. пособие. – 2-е изд., испр. и доп. / Автор-составитель В. И. Пашков. – Донецк: ДонНТУ, 2014. – С. 5-19.

Маслов Н. А. Логика: учебник / Н. А. Маслов. – 2-е изд. – Ростов н/Д. : Феникс, 2008. – С. 5-44.

Структура:

1) Общая (несимволическая);

Виды логик.

1) Философская

Понятие как форма мышления.

Понятие состоит из:

· Количественное (объём);

· Качественное (содержание).

Понятие и представление. Понятие и термин. Определение и структура понятия.

Представление – чувственный образ предмета, в данный момент нами не воспринимаемого, но который ранее в той или иной форме воспринимался. Бывает воспроизводящее (представление чего-то, что мы когда-то видели) и творческое (наоборот).

Термин – слово, предназначенное для максимально строгого и точного выражения тех или иных понятий.

Определение понятия – логическая операция, которая раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина (нужно для указания на сущность отражаемых в понятии предметов, раскрытия содержания понятия и отличия одного круга предметов от другого).

Структура понятия:

· Объём – совокупность предметов (класс), объединённых в этом понятии. Бывает конечный или бесконечный.

Виды понятий.

Классификация по объёму:

· Единичные (понятия, соответствующие классам (множествам), состоящим из одного элемента).

· Общие (понятия, соответствующие классам (множествам), состоящим из двух и более элементов).

· Пустые (понятия, соответствующие классам (множествам), объёмы которых представляют собой классы реально не существующих предметов).

Классификация по содержанию:

· Конкретные (отражают одно- и многоэлементные классы предметов) и абстрактные (мыслится не сам предмет, а какой-то из его признаков)

· Относительные (мыслятся предметы, существование одного из которых предполагает существование другого) и безотносительные (существующие самостоятельно)

· Собирательные (класс однородных предметов мыслится как единое целое) и несобирательные (содержание можно отнести к каждому предмету данного)

· Положительные (наличие у предмета качества или свойства) и отрицательные (указывается на отсутствие у предмета этого свойства)

Классификация понятий.

Классификация – разновидность деления понятий, представляет собой вид последовательного деления и образует развёрнутую систему, в которой каждый её член (вид) делится на подвиды и т.д.

· По видообразующему признаку (зеркала бывают плоские и сферические)

· Дихотомическая

o По существенным признакам (естественная)

o По несущественным (вспомогательная)

Суждение. Виды суждений.

Суждение – форма мышления, в которой утверждается или обращается что-либо относительно предметов и явлений, их св-в, связей и отношений и которая обладает св-вом выражать либо истину, либо ложь.

Виды суждений:

1) Простое – 1 субъект и 1 предикат;

2) Сложное – состоят из неск. простых суждений, соединённых логическими союзами «и», «или», «если», «то».

По объёму субъекта:

1) Единичные (это S есть/не есть P);

2) Частные:

· Неопределённые (некоторые S есть P);

· Определённые (только некоторые S или P)

3) Общие (в которых что-либо утверждается или отрицается в каждом предмете данного класса) (все S есть P или ни одно S не есть P)

По качеству связи:

1) Утвердительные;

2) Отрицательные

1) Суждения свойства ((не)принадлежность предмету мыслимого или иного свойства, состояние S есть P или S не есть P)

2) Суждения отношения – различные связи между предметами мысли по месту, времени, величине и пр.

3) Суждения существования – решают вопрос о наличии предмета нашей мысли – любого явления природы, общества.

Объединенная классификация суждений по качеству и количеству.

Объединённая классификация суждений:

1) Общеутвердительные (все S есть P);

2) Общеотрицательные (ни одно S не есть P);

3) Частноутвердительные (некоторые S есть P);

4) Частноотрицательные (некоторые S не есть P).

Виды суждений, не рассматриваемых в классической логике.

???????????????????????

Комплексный анализ простого категорического суждения.

Проведение комплексного анализа суждения предполагает, что:

1. Определена его логическая структура (форма);

2. Показано на круговой схеме соотношение объёмов дескриптивных терминов (субъекта и предиката) в составе суждения;

3. Указана распределённость терминов в составе суждения, на основании чего суждение отнесено к одному из четырёх типов (видов) и суждению сопоставлено условное буквенное обозначение.

12. Умозаключение.

Умозаключение - форма мышления, в ходе которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, выводится суждение, заключающее в себе новое знание. (заключение)

Дедуктивные умозаключения.

Между его посылками и заключением есть отношение логического следования. Процесс рассуждения направлен от общего к частному.

Силогистика. Основные понятия.

Силогизм - дедуктивное умозаключение,в котором вывод совершается на основе соотношения терминов в одном или более категорических суждениях.

Все металлы (М ) электропроводны (Р) - большая посылка.

Медь ( S) есть металл (М) - меньшая посылка.

Медь (S) электропроводна (Р) - заключение.

Условный силлогизм - обе посылки и заключение – условные суждения.

Разделительный силлогизм – 1 посылка – разделительное суждение, 2 посылка и заключение – разделительное и категорическое суждения.

Б) условно-разделительный (1 из 2 или более – условное суждение, а 2 – разделительное суждение)

Суждения и высказывания как формы мышления.

Суждение – форма мышления, в которой утверждается или отрицается что-либо относительно предметов и явлений, их свойств, связей и отношений и которая обладает свойством выражать либо истину, либо ложь.

Высказывание – повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Основные операции над высказыванием. Таблица истинности.

Операции задаются с помощью таблиц истинности.

Отрицание

Конъюнкция – аналог «и».

Импликация – аналог «если, то».

Эквивалентность – аналог связки «тогда и только тогда».

Дизъюнкция – аналог «или».

Бином Ньютона»

(a +b ) n = a n + C n 1 a n -1 b + C n 2 a n -2 b n -2 + C n 3 a n -3 b 3 + … + b n .

Компоненты формулы «Бином Ньютона»

· Первая часть формулы – разложение бинома

· - ,биномиальные коэффициенты

· Общий член разложения бинома n-й степени.

Где T – член разложения.

(K+1)- порядковый номер разложения.

Треугольник Паскаля»

Биномиальныекоэффициенты можно подучить с помощью треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).

В верхней строке пишутся две единицы. Все следующиестроки начинаются и оканчиваются единицей. Промежуточные числаполучаются сложением соседних чисел вышестоящей строки.

Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно восстановить по памяти не только известные формулы, но и формулы куба суммы (разности) , четвертой степени и выше.

Пример: (a + b) 6 =a 6 +6a 5 b + 15a 4 b 2 +20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 +6ab 5 +b 6 .

39. Ориентированные графы. Динамика графа. Матрицы смежности, инциденций и достижимости.

Ориентированный граф - это граф, на ребрах которого обозначены разрешенные направления движения, проще говоря, расставлены стрелочки.
- входящая степень вершины - это число входящих в нее ребер;
- исходящая (или выходящая ) степень вершины - это число выходящих из нее ребер;
- путь из вершины A в вершину B - это последовательность ребер и промежуточных вершин, по которым можно дойти из A в B; длина пути определяется, как обычно (число ребер); простой путь - как обычно, путь, в котором вершины (и тем более, ребра) не повторяются;
- ориентированный цикл - это замкнутый простой путь в ориентированном графе;
- сильно связный ориентированный граф - это ориентированный граф, где из любой вершины в любую есть путь (для каждой пары вершин A и B есть как путь из A в B, так и путь из B в A);
- компонента сильной связности - это часть графа, которая сама по себе сильно связна, но ее нельзя расширить так, чтобы она осталась сильно связной; между разными компонентами сильной связности могут быть ребра , но все ребра между двумя разными компонентами направлены в одну и ту же сторону .

Динамика Графа.

Графы принято изображать в виде диаграмм, состоящих из точен или кружков и линий, соединяющих некоторые из этих точек (кружков) При этом точки соответствуют вершинам графа, а соединяющие пары точек линии - ребрам

Матрица смежности

Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n) - это квадратная матрица A размера n, в которой значение элемента a ij равно числу рёбер из i-й вершины графа в j-ю вершину.

Матрица инцидентности - одна из форм представления графа, в которой указываются связи между инцидентными элементами графа (ребро(дуга) и вершина). Столбцы матрицы соответствуют ребрам, строки - вершинам. Ненулевое значение в ячейке матрицы указывает связь между вершиной и ребром (их инцидентность).

В случае ориентированного графа каждому ребру ставится в соответствие "-1" на позиции (x,y) и "1" на позиции (y,x); если связи между вершинами нет, то ставится в соответствие "0".

Изоморфизм графов.

Два графа G и G, называются изоморфными если между множеством их вершин существует такое взаимно-однозначное соответствие, при котором в одном из графов ребрами соединены вершины в том и только в том случае, если в другом графе ребрами соединены те же вершины Для орграфов дуг также должна быть одинаковой.

Маршруты, цепи и циклы

Маршрутом в графе G = называется последовательность вершин и рёбер вида v 0,e 1,v 1,e 2, ..., v n- 1,e n ,v n , где v i  V, i  , e i  E, (v i- 1,e i ), (v i ,e i )  I, i  . Вершины v 0, v n называются связанными данным маршрутом (или просто связанными ). Вершину v 0 называют началом , а v n – концом маршрута. Если v 0 = v n , то маршрут называют замкнутым . Число n называется длиной маршрута .

(Цепь, простая цепь, цикл). Маршрут, в котором все рёбра попарно различны, называется цепью . Замкнутый маршрут, являющийся цепью, называется циклом . Маршрут, в котором все вершины попарно различны, называется простой цепью . Цикл, в котором все вершины, кроме первой и последней, попарно различны, называется простым циклом .

Операции над графами.

Приводятся основные операции над графами такие как объединение, пересечение, кольцевая сумма , удаление вершины , удаление ребра , замыкание истягивание . Эти операции рассматриваются для представления графов матрицами смежности. Цель лекции: Дать представление об операциях над графами и возможных способах их представления в матричных структурах.

Рассмотрим семь операций над графами , три из которых являются бинарными, включающими два графа , а остальные четыре – унарные, т. е. определены на одном графе .

Объединение графов G 1 и G 2 , обозначаемое как , представляет такой граф , что множество его вершин является объединением Х 1 и Х 2 , а множество ребер – объединением A 1 и A 2 . Граф G 3 , полученный операцией объединения графов G 1 и G 2 , показан на рис. 2.1 , а его матрица смежности – на рис. 2.1,е. Матрица смежности результирующего графа получается операцией поэлементного логического сложения матриц смежности исходных графов G 1 и G 2 .

Рис. 2.1.

Пересечение графов G 1 и G 2 , обозначаемое как , представляет собой граф . Таким образом, множество вершин графа G 4 состоит из вершин, присутствующих одновременно в G 1 и G 2 . Операция пересечения графов показана на рис. 2.2,в, а результирующая матрица смежности получается операцией поэлементного логического умножения матриц смежности исходных графов G 1 и G 2 . показана на рис. 2.2.г.

Рис. 2.2.

Рис.2.2 . Операция пересечения и кольцевой суммы: а – граф G 1 ; б – граф G 2 ; в – граф ; г – матрица смежности графа ; д – граф ; е – матрица смежности графа

Кольцевая сумма двух графов G 1 и G 2 , обозначаемая как , представляет собой граф G 5 , порожденный на множестве ребер . Другими словами, граф G 5 не имеет изолированных вершин и состоит только из ребер, присутствующих либо в G 1 , либо в G 2 , но не в обоих одновременно. Кольцевая сумма графов G 1 и G 2 показана на рис. 2.2,д, причем вершина не входит в граф кольцевой суммы а результирующая матрица смежности получается операцией поэлементного логического сложения по mod 2 матриц смежности исходных графов G 1 и G 2 . показана нарис. 2.2.е.

Легко убедиться в том, что три рассмотренные операции коммутативны т. е. , и многоместны, т. е. . и так далее.

Удаление вершины . Если х i -вершина графа G = (X, A), то G–х i -порожденный подграф графа G на множестве вершин X–х i , т. е. G–х i является графом , получившимся после удаления из графа G вершины х i и всех ребер, инцидентных этой вершине. Удаление вершины х 3 показано на рис. 2.3,б (для исходного графа, изображенного на рис. 2.3,а). Матрица смежности исходного графа представлена на таблице 2.1а). Результирующая матрица смежности графа после выполнения операции удаления вершины х i получается путем удаления соответствующего i - го столбца и i -ой строки из исходной матрицы и "сжимания" матрицы по вертикали и горизонтали начиная с (i+1) - го столбца и (i+1) -ой строки (таблица 2.1б). В дальнейшем элементы графа могут быть переобозначены.

Рис. 2.3.

Удаление ребра или удаление дуги . Если a i - дуга графа G = (X, A), то G-a i – подграф графа G, получающийся после удаления из G дуги a i . Заметим, что концевые вершины дуги a i не удаляются. Удаление из графа множества вершин или дуг определяется как последовательное удаление определенных вершин или дуг. Удаление дуг a 4 и a 7 показано на рис. 2.3,в. Результирующая матрица смежности графа после выполнения операции удаления дуги a i получается путем удаления соответствующих элементов из исходной матрицы (таблица 2.1в).

Замыкание или отождествление . Говорят, что пара вершин х i и x j в графе G замыкается (или отождествляется), если они заменяются такой новой вершиной, что все дуги в графе G, инцидентные х i и x j , становятся инцидентными новой вершине. Например, результат замыкания вершины х 1 и х 2 показан на рис. 2.3,г для графа G (рис. 2.3,а). Матрица смежности графа после выполнения операции замыкания вершин х i и x j получается путем поэлементного логического сложения i - го и j - го столбцов и i -ой и j - строк в исходной матрице и "сжимания" матрицы по вертикали и горизонтали (таблица 2.1г).

Стягивание . Под стягиванием подразумевают операцию удаления дуги или ребра и отождествление его концевых вершин. Граф , изображенный на рис. 2.3,д получен стягиванием дуги a 1 , а на рис. 2.3,е – стягиванием дуг a 1 , a 6 и a 7 . Соответствующие результирующие матрицы смежности показаны в таблицах 2.1д и 2.1е.

Деревья

Деревом называется связный граф, не содержащий циклов Так как любой граф без циклов называется ациклическим (или лесом), то компонентами леса являются деревья.

Ориентированным деревом (или ордеревом) называется ориентированный граф без циклов, во все вершины которого, кроме одной, ровно одна дуга.

Единственная вершина, из которой дуги только выходят, называется корнем дерева. Остальные вершины называются узлами дерева.

Из определения дерева следует, что корень связан единственным путем с любой другой вершиной дерева.

На рисунке приведены диаграммы всех неизоморфных ориентированных деревьев с тремя и четырьмя вершинами.

Висячая вершина ордерева называется листом. Путь из корня в лист называется ветвью.Длина наибольшей ветви ордерева называется высотой ордерева.

Расстояние от корня до некоторой вершины называется уровнем вершины. Сам корень имеет уровень 0. Вершины одного уровня образуют ярус дерева.

Замечание. При изображении ориентированных деревьев принято помещать корень наверху и все стрелки дуг ориентировать сверху вниз, что избавляет от необходимости изображать эти стреДеревья ориентированные

На рисунке показано дерево, изображенное в соответствии с указанными выше правилами Вершины дерева разбиты на 4 яруса.

Нулевой ярус содержит корень дерева х, В первом ярусе 3 вершины, во втором ярусе 5 вершин, в третьем ярусе-6 вершин

Деревья бинарные и сбалансированные

Бинарным деревом называется ориентированное дерево, из каждой вершины которого выходит не более двух дуг.

Бинарное дерево называется сбалансированным деревом в том и только в том случае, если высоты двух поддеревьев каждой из вершин дерева отличаются не более, чем на единицу.

Сбалансированные деревья иногда называют АВЛ деревьями, в соответствии с именами их первооткрывателей, советских математиков: Адельсона-Вельского и Ландиса, которые предложили в 1962 году данное определение.

Разрезы

Пусть G(V,U) –неориентированный граф.

Разрезом называется всякое множество R ребер графа G, что удаление этих ребер из графа делает его несвязным.

Разрез называется простым, если никакое собственное подмножество разрезом не является.

Потоковые модели.

Социометрические модели.

Логика как наука, ее предмет, структура, значение.

Логика – наука о правилах рассуждения и тех формах, в которых оно осуществляется.

Предмет: мышление как средство познания объективного мира, те его формы и законы, в которых происходит отражение мира в процессе мышления.

Основная цель: выяснение условий достижения истинных знаний и изучение внутренней структуры мыслительного процесса.
Практическое значение – повышение культуры мышления, которое становится более аргументированным, эффективным и продуктивным.

Структура:

1) Общая (несимволическая);

· Учение об основных формах мышления (понятия, суждения, умозаключения;

· Систематические формы: определение, классификация, доказательства, логические методы, связанные с анализом данных опыта

2) Символическая (математическая).

Виды логик.

1) Философская

2) Математическая логика – изучает логические связи и отношения, лежащие в основе дедуктивного (логического) вывода. Разрабатывает применение математических методов к анализу форм и законов доказательного рассуждения.

· Классическая логика – приписывает лишь одно из 2-ух значений: истина либо ложь.

· Неклассическая логика – исключает применение двузначной логики в рассуждениях о бесконечных множествах.

o Трёхзначная – высказываниям приписываются три значения: истина, ложь, нейтрально.

o Многозначная – высказываниям может приписываться множество значений, например: вероятность, возможность, невероятность и т.д.

Понятие как форма мышления.

Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные признаки предмета или класса однородных предметов.

Признак понятия: мысли о свойствах и отношениях предметов.

· Существенное понятие (предмет не может существовать);

· Несущественное понятие (предмет остаётся самим собой).

Понятие состоит из:

· Количественное (объём);

· Качественное (содержание).