Среди задач в два действия выделяется группа задач, решаемых приведением к единице . Решая такие задачи, дети практически должны усвоить свойства величин, находящихся в прямо пропорциональной зависимости.
Возьмем для примера задачу: Пароход за 2 часа прошел 40 км. Сколько километров пройдет пароход за 4 часа при той же скорости? В этой задаче известны два значения времени и одно значение расстояния, соответствующее первому значению времени; известно, что скорость движения не изменяется, требуется найти другое значение расстояния.
Рассмотрим различные способы решения этой задачи, записывая слева решение, справа — его обоснование.
I способ решения — способ прямого приведения к единице
Устное решение
2 часа — 40 км
1 час — 20 км
4 часа — 80 км
Письменное решение
1) 40км: 2 = 20км
2)20км x 4 = 80км
Приводится к единице численное значение времени, два значения которого известны.
При постоянной скорости при уменьшении времени в 2 раза расстояние уменьшится в 2 раза, при увеличении его затем в 4 раза расстояние увеличится в 4 раза.
II способ решения — способ обратного приведения к единице.
Устное решение
40 км — 2 часа = 120 мин.
1 км — 3 мин.
4 часа (240 мин.) — 80 км
Письменное решение
1) 120 мин. : 40 = 3 мин.
2) 240 мин. : 3 мин. = 80 (км)
Приводится к единице численное значение расстояния, одно значение которого известно, а другое — неизвестно.
При постоянной скорости на прохождение 1 км пути потребуется времени в 40 раз меньше, чем на прохождение 40 км пути, то есть 3 мин., а за 4 часа (240 мин.) пароход пройдет во столько раз больше километров, во сколько раз 240 мин. больше 3 мин.
III способ решения — способ нахождения отношения.
Краткая запись условия задачи:
2 часа — 40 км
4 часа — х
1) 4 часа: 2 часа = 2
2) 40 км х 2 = 80 км
При постоянной скорости движения во сколько раз увеличивается время, во столько же раз увеличивается и пройденное расстояние
IV способ решения — способ нахождения численного значения постоянной величины.
Краткая запись условия задачи
2 часа — 40 км
4 часа —?
1) 40 км: 2 = 20 км
2) 20 км х 4 = 80 км
При решении этой задачи IV способ совпадает с I способом.
Чтобы найти пройденное за 4 часа расстояние, надо скорость, которая находится делением расстояния на соответствующее значение времени, умножить на новое значение времени.
Применим способ нахождения численного значения постоянной величины к другой задаче:
Пароход прошел 40 км при скорости движения 20 км в час. Сколько километров пройдет пароход за то же время при скорости движения 30 км в час?
Решение. По условию этой задачи постоянной величиной является время.
1) Сколько часов затратил пароход на прохождение 40 км?
40 км: 20 км = 2 (часа)
2) Сколько километров пройдет пароход за 2 часа при новой скорости?
30 км х 2 — 60 км
Ответ: 60 км.
При решении этой задачи способ нахождения численного значения постоянной величины отличается от способа прямого приведения к единице. Это видно из сравнения изложенного способа со способом прямого приведения к единице .
Возможность применения того или иного способа решения задач на простое тройное правило в рамках действий с целыми числами зависит от особенностей числовых данных. Так, например, способ нахождения отношения может быть применен только в том случае, если числа, выражающие два различных значения одной величины, кратны одно другому.
Способ обратного приведения к единице удобно использовать при решении задач, в которых требуется найти неизвестное значение количества или времени. Поэтому в учебниках арифметики для начальных классов задачи на простое тройное правило подбираются группами по способам их решения. При этом по действующей программе задачи, решаемые способами прямого и обратного приведения к единице, отнесены ко II классу, а задачи, решаемые способом нахождения отношения, отнесены к IV классу.
Есть основания считать, что более легкие из задач, решаемые способом нахождения отношения, могут быть введены во II классе, где ученики уже решают простые задачи на кратное сравнение. Задач, решаемых способом нахождения численного значения постоянной величины, в существующих учебниках арифметики нет, а их полезно предлагать для решения уже во II классе.
При обучении решению указанных задач следует опираться на ранее приобретенное учениками умение решать простые задачи на умножение и деление, в которых требуется узнать значение одной из связанных между собой трех величин, например узнать стоимость по цене и количеству предметов, количество — по цене и стоимости, цену — по стоимости и количеству.
Хорошее знание детьми зависимости между величинами служит основой, опираясь на которую они овладевают решением задач способом приведения к единице.
Для разъяснения ученикам способа нахождения отношения можно применить наглядные пособия (рис. 22). Пусть надо решить задачу: 2 конверта с марками стоят 9 копеек. Сколько стоят 6 таких конвертов?
Рассмотрение изображения этих конвертов, сгруппированных парами, поможет ученикам понять, что увеличение числа пар конвертов в несколько раз влечет за собой увеличение их стоимости во столько же раз.
рис. 22
Учащиеся ставят вопрос: во сколько раз 6 конвертов больше 2 конвертов? — Находят ответ, что в 3 раза больше, и узнают стоимость 6 конвертов, умножая 9 коп. на 3.
Совместное рассмотрение задач и самостоятельная работа детей по преобразованию прямых задач в обратные содействуют лучшему осознанию способов решения их.
Например, задача 3 чашки стоят 6 руб. Сколько стоят 5 таких чашек? путем замены искомого найденным числом, а одного из данных — искомым может быть преобразована в следующие обратные ей задачи:
- 5 чашек стоят 10 руб. Сколько стоят 3 такие чашки?
- 3 чашки стоят 6 руб. Сколько таких чашек можно купить на 10 руб.?
- 5 чашек стоят 10 руб. Сколько таких чашек можно купить на 6 руб.?
Решение исходной задачи и первой из преобразованных выполняется способом прямого приведения к единице , решение второй и третьей — способом обратного приведения к единице .
Рассмотрим, наконец, задачу, решение которой приводит к построению треугольника по стороне и двум углам:
На другом берегу реки (черт. 72) видна веха A . Требуется, не переправляясь через реку, узнать расстояние до нее от вехи В на этом берегу.
Поступим так. Отмерим от точки В по прямой линии какое-нибудь расстояние ВС и у концов его В и С измерим углы 1 и 2 (черт. 73). Если теперь на удобной местности отмерить расстояние DE, равное ВС , и построить у его концов углы а и b (черт. 74), равные углам 1 и 2, то в точке пересечения их сторон получим третью вершину F треугольника DEF. Легко убедиться, что треугольник DEF равен треугольнику АВС ; действительно, если представим себе, что треугольник DEF наложен на ABC так, что сторона DE совпала с равной ей стороною ВС , то уг. а совпадет с углом 1, угол b – с углом 2, и сторона DF пойдет по стороне ВA , а сторона EF по стороне СА. Так как две прямые могут пересечься только в одной точке, то и вершина F должна совпасть с вершиной A . Значит, расстояние DF равно искомому расстоянию ВА.
Задача, как видим, имеет т о л ь к о о д н о решение. Вообще по стороне и двум углам, прилегающим к этой стороне, можно построить т о л ь к о о д и н треугольник; других треугольников с такою же стороною и такими же двумя углами, прилегающими к ней в тех же местах, быть не может. Все треугольники, имеющие по одной одинаковой стороне и по два одинаковых угла, прилегающих к ней в тех же местах, могут быть наложением приведены в полное совпадение. Значит, это признак, по которому можно установить полное равенство треугольников.
Вместе с прежде установленными признаками равенства треугольников, мы знаем теперь следующие три:
Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы:
п о т р е м с т о р о н а м;
п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и;
п о с т о р о н е и д в у м у г л а м.
Эти три случая равенства треугольников мы будем в дальнейшем обозначать ради краткости так:
по трем сторонам: ССС ;
по двум сторонам и углу между ними: СУС ;
по стороне и двум углам: УСУ .
Применения
14. Чтобы узнать расстояние до точки A на другом берегу реки от точки В на этом берегу (черт. 5), отмеряют по прямой линии какую-нибудь линию ВС, затем при точке В строят угол, равный AВС , по другую сторону ВС , а при точке С – таким же образом угол, равный АСВ. Расстояние точки D пересечения сторон обеих сторон углов до точки В равно искомому расстоянию АВ . Почему?
Р е ш е н и е. Треугольники ABC и ВDС равны по одной стороне (ВС ) и двум углам (уг. DCB = уг. АСВ ; уг. DBC = уг. ABC .) Следовательно, АВ = ВD, как стороны, лежащие в равных треугольниках против равных углов.
Тема урока: Построение треугольника по трём элементамЦель урока: научиться строить треугольники по трём элементам
Задачи урока: построение треугольника при помощи линейки и циркуля
Ход урока:
1 этап: орг момент, приветствие, проверка домашнего задания
2 этап: новая тема
Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними .
Даны два отрезка a и b , они равны сторонам искомого треугольника, и угол ∡ 1 , равный углу треугольника между сторонами. Необходимо построить треугольник с элементами, равными данным отрезкам и углу.
1. Провести прямую.
A a .
∡ 1 (вершина угла A
4. На другой стороне угла отложить отрезок, равный данному отрезку b .
5. Соединить концы отрезков.
Согласно признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные элементы.
Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам .
Дан отрезок
a
и два угла
∡
1
и
∡
2
, равные углам треугольника, прилежащим к данной стороне. Необходимо построить треугольник с элементами, равными данному отрезку и углам.
1. Провести прямую.
2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a B .
3. Построить угол, равный данному ∡ 1 (вершина угла A , одна сторона угла лежит на прямой).
4. Построить угол, равный данному ∡ 2 (вершина угла B , одна сторона угла лежит на прямой).
5. Точка пересечения других сторон углов является третьей вершиной искомого треугольника.
Согласно признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам, построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные элементы.
Построение треугольника по трём сторонам .
Даны три отрезка:
a
,
b
и
c
, равные сторонам искомого треугольника. Необходимо построить треугольник со сторонами, равными данным отрезкам.
В этом случае перед началом построения необходимо убедиться, исполняется ли неравенство треугольника (длина каждого отрезка меньше суммы длин двух остальных отрезков), и эти отрезки могут быть сторонами треугольника.
1. Провести прямую.
2. На прямой от выбранной точки A отложить отрезок, равный данному отрезку a , и отметить другой конец отрезка B .
3. Провести окружность с центром A и радиусом, равным отрезку b .
4. Провести окружность с центром B и радиусом, равным отрезку c .
5. Точка пересечения окружностей является третьей вершиной искомого треугольника
Согласно признаку равенства треугольников по трём сторонам, построенный треугольник равен со всеми треугольниками, которые имеют данные стороны.
3 этап: решение задач
№ 239 стр 74
постройте прямоугольный треугольник по двум катетам
4 этап: подведение итогов
5 этап: домашнее задание № 240 стр 74
Их суть заключается в том, чтобы построить какой-либо геометрический объект по какому-либо достаточному набору начальных условий имея под рукой только циркуль и линейку. Рассмотрим общую схему для выполнения таких задач:
Анализ задачи.
В эту часть входит установление связи между элементами, которые необходимо построить и начальными условиями задачи. После выполнения этого пункта у нас должен появиться план по решению нашей задачи.
Построение.
Здесь мы выполняем построения по плану, который был нами составлен выше.
Доказательство.
Здесь мы доказываем то, что построенная нами фигура действительно удовлетворяет начальным условиям задачи.
Исследование.
Здесь мы выясняем, при каких данных задача имеет одно решение, при каких несколько, а при каких ни одного.
Далее будем рассматривать задачи на построение треугольников по различным трем элементам. Здесь мы не будем рассматривать элементарные построения, таких как отрезок , угол и т.д. К этому моменту эти навыки уже у Вас должны иметься.
Построение треугольника по двум сторонами и углу между ними
Пример 1
Постройте треугольник, если нам даны две стороны и угол, который находится между этими сторонами.
Анализ.
Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и угол $α$. Нам нужно построить треугольник $ABC$ с углом $C$ равным $α$.
Составим план построения:
- Принимая $AB$ за одну из сторон угла, отложим от нее угол $BAM$, равный углу $α$.
- На прямой $AM$ отложим отрезок $AC$.
- Соединим точки $B$ и $C$.
Построение.
Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 1).
Доказательство.
Исследование.
Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$. Значит, если угол α будет больше или равен $180^\circ$, то задача решений иметь не будет.
В другом случае решение есть. Так как прямая $a$ - произвольная прямая, то таких треугольников будет бесконечное количество. Но, так как они все равны между собой по первому признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.
Построение треугольника по трем сторонам
Пример 2
Постройте треугольник, если нам даны три его стороны.
Анализ.
Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и $BC$. Нам нужно построить треугольник $ABC$.
Составим план построения:
- Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $AB$.
- Построим $2$ окружности: первую с центром $A$ и радиусом $AC$, и вторую с центром $B$ и радиусом $BC$.
- Соединим одну из точек пересечения окружностей (которая будет точкой $C$) с точками $A$ и $B$.
Построение.
Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 2).
Доказательство.
Из построения видно, что все начальные условия выполнены.
Исследование.
Из неравенства треугольника мы знаем, что любая сторона должна быть меньше суммы двух других. Следовательно, когда такое неравенство не выполняется для исходных трех отрезков, задача решения иметь не будет.
Так как окружности из построения имеют две точки пересечения, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по третьему признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.
Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
Пример 3
Постройте треугольник, если нам дана одна стороны и углы $α$ и $β$, прилегающие к ней.
Анализ.
Пусть нам дан отрезок $BC$ и углы $α$ и $β$. Нам нужно построить треугольник $ABC$, где $∠B=α$, а $∠C=β$.
Составим план построения:
- Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $BC$.
- Построим в вершине $B$ к стороне $BC$ угол $∠ K=α$.
- Построим в вершине $C$ к стороне $BC$ угол $∠ M=β$.
- Соединим точку пересечения (это и будет точка $A$) лучей $∠ K$ и $∠ M$ с точками $C$ и $B$,
Построение.
Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 3).
Доказательство.
Из построения видно, что все начальные условия выполнены.
Исследование.
Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$, то, если $α+β≥180^\circ$ задача решений иметь не будет.
В другом случае решение есть. Так как углы можем строить с двух сторон, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по второму признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.
