Углы Эйлера-Крылова

Однозначно задать угловое положение твердого тела в пространстве позволяют три угла Эйлера-Крылова и, отсчитываемые против часовой стрелки. На рисунке показана одна из разновидностей углов Крылова - так называемые самолетные углы, используемые в авиации

Углы Эйлера-Крылова

Неподвижная система отсчета, в которой рассматривается угловое положение твердого тела (летательного аппарата), образована правой тройкой векторов. Ось направляется по местной вертикали от центра Земли, ось располагается в плоскости горизонта и направляется на географический север (N, North), а ось дополняет систему координат до правой. С подвижным объектом - например, летательным аппаратом (ЛА), - жестко связана подвижная система координат. Её ось направляется вдоль строительной (продольной) оси летательного аппарата, ось - вдоль нормальной в направлении зенита, а ось - вдоль поперечной в направлении правого борта ЛА. Угловое положение (ориентация) ЛА в системе координат задается курсом (), тангажом () и креном (). Наличие знака минус перед самолетными углами обусловлено тем, что их положительные значения, в отличие от классических углов Эйлера-Крылова, отсчитывается по ходу часовой стрелки. Итоговое положение ЛА определяется последовательностью поворотов

Выставка по сигналам MEMS акселерометра

Процедура определения начальных угловых координат называется выставкой. Для выставки крена и тангажа с помощью трёхосного MEMS акселерометра, выдающего ускорения, и по осям X, Y и Z связанной с ним подвижной системы координат OXYZ, соответствующие значения углов можно найти по проекциям вектора ускорения свободного падения g=9,81 м/с2 на каждую из осей, используя математический аппарат матриц поворота (3.1)

представляет собой значения с соответствующих выходов трехосного акселерометра.

Выразим из (3.2) вектор ускорения свободного падения, для чего умножим обе части равенства слева на матрицу:

Из первых двух уравнений системы (3.4) получим

Калибровка MEMS акселерометра

Погрешность определения угловых координат объекта по сигналам трёхосных MEMS акселерометров во многом зависит от точности определения поправочных коэффициентов, вычисляемых в ходе калибровки.

Ошибки показаний трёхосного акселерометра (ТОА) возникают из-за трех факторов :

Наличие постоянного смещения;

«просачивание» сигнала из одного канала в другой, вызванное неколлинеарностью троек векторов, образующих две системы координат: связанную с калибровочной поворотной платформой OXYZ и связанную с ТОА (3.4);

Собственные фликкер-шумы.

Неколлинеарность осей систем координат объекта и систем координат акселерометра

Из этого следует, что математическая модель сигнала трёхосного MEMS акселерометра будет выглядеть следующим образом :

где - вектор показаний акселерометра, - диагональная матрица масштабных коэффициентов, - матрица коррекции, - проекции вектора ускорения свободного падения на оси правой тройки векторов системы координат, связанной с акселерометром, - вектор постоянных смещений, - вектор собственных шумов ТОА.

Без учета шума систему уравнений (3.6), выполнив операции умножения матриц и векторов, можно записать в виде:

Из (3.7) следует, что для нахождения калибровочных параметров для одной из осей требуется количество измерений, равное количеству неизвестных параметров этой оси: для оси Z - 2, для оси Y-3, для оси X-4.

Калибровка трёхосного MEMS акселерометра подразумевает установку датчика в априорно известные положения и решение переопределенной системы уравнений для его выходных сигналов. При выполнении данной процедуры принято устанавливать акселерометр в 12 фиксированных положений

12 калибровочных положений MEMS акселерометра

В показано, что для уменьшения погрешности оценивания следует выполнять усреднение калибровочных коэффициентов, найденных по числу сочетаний. Однако, с целью уменьшения времени калибровки можно использовать только шесть так называемых ортогональных положений: 2), 4), 6), 7), 8) и 11); в этом случае уменьшение числа сочетаний до приводит к увеличению погрешности измерения элементов матрицы масштабных коэффициентов k и элементов вектора смещений b не более чем на 0,21% и 0,02% соответственно. Следует отметить, что погрешность измерения элементов матрицы коррекции T может возрастать до сотен процентов, но, так как недиагональные элементы T обычно не превосходят, при малых углах крена и тангажа (не более 30°), погрешность измерения указанных углов увеличивается не более чем на 0,5°.

Углы Эйлера описывают поворот объекта в трёхмерном евклидовом пространстве. При этом рассматриваются две прямоугольные системы координат, имеющие общий центр: неподвижная система и подвижная, связанная с объектом. На рис.1 неподвижная система координат имеет обозначение XYZ (она наклонена), а подвижная система обозначена как xyz. Углы Эйлера представляют собой углы, на которые поворачивается подвижная система координат, связанная с объектом, до совмещения с неподвижной системой. В классическом варианте первый поворот происходит на угол α вокруг оси z, связанной с объектом, до тех пор, пока не произойдет совпадение оси x, связанной с объектом, c плоскостью XY неподвижной системы. Такое совпадение произойдет по линии пересечения плоскостей XY и xy (линия N на рис. 1). Следующий поворот осуществляется на угол β вокруг нового положения оси x, связанной с объектом, до тех пор, пока не совместятся оси аппликат обеих прямоугольных систем. При этом ось y, связанная с объектом, окажется в плоскости xy неподвижной системы координат XYZ. Последний поворот производится на угол γ вокруг нового положения оси аппликат подвижной системы координат (она будет совпадать с такой же осью неподвижной системы), после чего оси координат XY и xy совместятся.

Рис. 1. Углы Эйлера

Такие повороты некоммутативны, и конечное положение подвижной системы координат зависит от порядка, в котором совершаются повороты.

Если известны координаты вектора R(r x , r y , r z) в подвижной системе координат XYZ и известны углы Эйлера (α, β, γ) подвижной системы координат xyz относительно неподвижной, то можно вычислить координаты этого вектора в неподвижной системе координат xyz. Для этого следует построить матрицы трех последовательных поворотов на углы α, β и γ:

Перемножая эти матрицы в обратном порядке, получим итоговую ортогональную матрицу:

T = T 3 × T 2 × T 1 ,

которая преобразует координаты вектора R(r x , r y , r z) подвижной системы координат в координаты вектора N(n x , n y , n z) такой же длины в неподвижной системе координат:

N = T× R ,

где N и R - матрицы-столбцы соответствующих координат.

Углы Эйлера являются наиболее естественными и понятными при выполнении различных операций вращения объектов, поскольку они соответствуют вращениям объекта, наблюдаемым в видовых окнах трехмерных графических систем. Однако их использование в системах компьютерной анимации сталкивается с рядом трудностей. Прежде всего, это необходимость выбора определенной последовательности поворотов объекта относительно осей системы координат. Если повернуть объект сначала вокруг оси X, затем вокруг оси Y и, наконец, вокруг оси Z, то это будет совсем не тот поворот, если бы повернуть этот объект на те же углы, но в другой последовательности.

Рассмотрим другой пример - создание анимации кубика при повороте его вокруг оси Z мировой системы координат на угол, превышающий 360°, например на угол 450°. Попробуем создать два ключевых кадра, между которыми кубик должен повернуться на этот угол. Для этого в программе MaxScript создайте стандартный параллелепипед:

b = box ()

После этого переместите ползунок временной шкалы анимации к кадру 10, включите режим Auto Key, а затем выполните команду:

b. rotation. z_ rotation = 450

Воспроизведите анимацию. Объект повернется только на 90°, поскольку его оборот на 360° будет игнорирован. Теперь то же самое проделайте в окне программы 3ds Max. Анимация объекта между двумя ключевыми кадрами произойдет на угол 450°. Таким образом, применение эйлеровых вращений в программах компьютерной графики, аналогичных MaxScript, ограничивается одновременным вращением на угол, не превышающий 360°. Однако это не мешает создавать анимацию вручную за экраном дисплея.

Другая проблема углов Эйлера заключается в наличии Gimbal lock, или шарнирного замка. Его появление зависит от выбора порядка поворотов объекта. Например, повернем объект вначале вокруг оси Z на угол 140°, затем вокруг оси X на угол 90°, а потом на угол 130° вокруг оси Y (рис. 2).

Если теперь заново выполнить ту же последовательность поворотов, например, на углы 10° вокруг оси Z, затем на 90° вокруг оси X, а потом на 0° вокруг оси Y, то получим тот же результат. Проблема заключается в том, что когда вращение вокруг оси X становится равным 90° или -90°, то локальная ось вращения Y становится параллельной оси Z, но с обратным направлением, и поэтому вращение вокруг нее вступает в конфликт с предыдущим вращением вокруг оси Z.

Шарнирный замок отсутствует у матриц и кватернионов. Кватернионы предоставляют удобное математическое обозначение положения и вращения объектов в пространстве. В сравнении с углами Эйлера, кватернионы позволяют проще комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси, независимо от совершённого вращения по другим осям. В сравнении с матрицами они обладают большей вычислительной устойчивостью и могут быть более эффективными. Кватернионы используют для выполнения вращений в компьютерной графике , робототехнике , игровых движках, навигации, молекулярной динамике и вообще везде, где возникают проблемы с углами Эйлера или матрицами.

Литература

1. Углы Эйлера и Gimbal lock [Электронный ресурс] / http://habrahabr.ru – Хабрахабр, 2006. – Режим доступа: http://habrahabr.ru/post/183116/. – Дата доступа: 10.10.2013.
2. Кватернионы и вращение пространства [Электронный ресурс] / http://ru.wikipedia.org/ – Википедия - свободная энциклопедия, 2001. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Кватернионы_и_вращение_пространства. – Дата доступа: 11.10.2013.

Матрица поворот применяется для вращения системы координат или объекта, сцены.

Матрицы поворота вокруг основных осей.

Матрица поворота вокруг произвольной оси.

Обобщённая матрица поворота.

Хочется задавать положение объекта в пространстве однозначно. Достаточно очевидно что любое положение однозначно определяется 3 поворотами вокруг разных осей. Но встаёт вопрос в каком порядке вращать и как выбрать оси?

Обобщённую матрица поворота можно задать по разному. С одной стороны мы можем вращать объект вокруг неподвижных осей. С другой вокруг осей связанных с объектом ещё их называют локальными. Стоит вспомнить что операции умножения матриц не коммутативна поэтому для однозначного определения положения нужно знать не только 3 угла, но и схему умножения матриц.

Можно выделить 2 популярные схемы.
1) Матрица поворота через углы Эйлера.
2) Матрица поворота через углы летательного аппарата (ЛА): рыскание, тангаж и крен(yaw, pitch и roll).
В виду того что первая требует большого числа вычислений, то на практике обычно применяют вторую.

Матрица поворота через углы Эйлера.

Углы Эйлера - три угла однозначно определяющие ориентацию твёрдого тела, определяющие переход от неподвижной системы координат к подвижной.
Подвижная система координат это система координат привязанная к телу. Иногда говорят в мороженная в тело. Прежде чем дать определения углов нам понадобиться ещё одно. Линия узлов ON - линия пересечение плоскости OXY и Oxy

α (или φ) это угол между осью Оx и осью ON. Диапазон значений }