Глава 5 Основы теории оптимальной фильтрации
5.1. Оптимальная линейная фильтрация детерминированных и случайных сигналов
Задачей фильтрации является:
Получение из смеси сигнала и шума полезного сигнала в целом. При этом критерием оптимальности может служить минимальное искажении формы (спектра) сигнала;
Воспроизведение параметров сигнала несущего информацию. При этом критерием оптимальности может служить максимальное отношение сигнал/шум на выходе линейного фильтра или коррелятора.
Различают следующие виды фильтрации:
1. Линейную фильтрацию (сложение, усиление, дифференцирование, интегрирование и т.д.). Здесь выходной сигнал описывается линейными дифференциальными уравнениями. Основным свойством линейной фильтрации является связь между изменяющимся входным сигналом и выходным сигналом, т.е. если входной сигнал является суммой каких-то составляющих, то и выходной сигнал так же будет суммой пропорциональных составляющих (соблюдается принцип суперпозиции).
2. Нелинейную фильтрацию (возведение в степень, извлечение корня, перемножение и т.д.). Здесь выходной сигнал описывается нелинейными дифференциальными уравнениям.
На практике обойтись только одной линейной фильтрацией невозможно.
Оптимальная согласованная фильтрация. При рассмотрении критерия Котельникова-Зигерта был показан оптимальный приемник, который построен на принципе вычисления корреляционного интеграла, на интервале
Там отмечалось, что эту задачу можно решить, применяя согласованные фильтры. Однако не существует единого оптимального фильтра, поскольку все зависит от следующих факторов:
1. Какие критерии качества для нас важны, а это определяется назначением радиотехнической системы. Это может быть обнаружение сигнала, отношение сигнал/шум на выходе фильтра, форма сигнала и т.д..
2. Какие сигналы надо обнаружить (детерминированные, дискретные, непрерывные, случайные).
3. Какие шумы и помехи действуют в радиоканале (флуктуационные, импульсные, сосредоточенные).
Итак, смысл оптимальности применим лишь для конкретных моделей сигналов и шумов.
Прием дискретных сигналов на согласованный фильтр. Для сигналов с известными параметрами оптимальный фильтр должен дать на выходе максимальный критерий качества, например, максимальное отношение сигнал/шум. Эту операцию можно осуществить за счет свертки сигналов в согласованном фильтре (СФ). Для этого нужно иметь фильтр, импульсная характеристика которого соответствует именно этому сигналу.
Известно, что импульсная характеристика согласованного фильтра должна представлять собой сдвинутую на время и зеркально перевернутую во времени копию входного сигнала (рис.5.1).
Импульсная характеристика согласованного фильтра, при , равняется нулю, значениене может быть меньше длительности входного импульса. Знак минус передуказывает на зеркальность импульсной характеристики СФ по отношению к входному сигналу.
Поскольку импульсная характеристика - это тоже самое, что ипри замене переменных, то интеграл свертки (интеграл Дюамеля) может быть представлен в виде
|
|
,где - корреляционный сдвиг.
В момент появится максимум выходного сигнала. Это значит, что весь сигнал длительностьюобработан. По сути, в моментвходной сигнал и зеркальная копия совместились, что соответствует (), а это значит, что.
Замечательным свойством согласованного фильтра является то, что он обеспечивает наибольшее отношение пикового значения выходного сигнала с среднеквадратическому значению шума, т.е. он обеспечивает максимум правдоподобия ().
Здесь обеспечивается именно максимальное отношение сигнал/шум, а не воспроизведение формы сигнала, т.е. все определяется энергией, а не формой сигнала.
Рассмотрим некоторые конкретные задачи.
Согласованная фильтрация детерминированного сигнала. В этом случае форма обрабатываемого сигнала заранее известна. Характеристики согласованного фильтра здесь полностью определяются известными значениями сигнала. Пусть нам нужно определить лишь факт, что в принятой реализации присутствует сигнал. Это критерий качества. Понятно, что согласованный фильтр может не сохранить форму сигнала, т.к. обнаружение требует от согласованного фильтра лишь обеспечить максимальное отношение сигнал/шум. Критерием качества обработки здесь является именно это отношение.
В формуле (5.2) импульсная характеристику можно представить в виде
Если фильтр линейный, то воздействие сигнала и воздействие шума на фильтр можно считать независимыми. Поэтому далее рассмотрим эти два процесса отдельно.
Подставляя в (5.2) значение (5.4), получим интеграл свертки сигнала
Таким образом, выходной сигнал с точностью до постоянного коэффициентасовпадает с входным сигналом и равен энергии входного сигнала.
Комплексная сопряженность амплитудно-частотной характеристики согласованного фильтра со спектром принимаемого сигнала приводит к компенсации взаимных фазовых сдвигов между спектральными составляющими сигнала в момент . Физически это означает, что в моментвсе спектральные составляющие сигнала складываются в фазе (синфазно), образуя выходной пик. Это называетсякомпенсацией начальных фаз . При этом длительность выброса энергии на выходе согласованного фильтра становится меньше, чем длительность входного импульса, т.е. происходит сжатие сигнала с коэффициентом, равным
Чем больше , тем уже корреляционная функция и тем больше превышение энергии сигнала над уровнем шумов.
Максимальное значение на выходе согласованного фильтра определяется только энергией сигнала и не зависит от его формы. При этом коэффициент передачи согласованного фильтра велик на тех частотах, где сосредоточена основная часть энергии полезного сигнала и мал, где спектральная плотность сигнала меньше.
Сочетание компенсации начальных фаз с увеличением амплитуды сильных спектральных составляющих сигнала и обеспечивает оптимальность СФ для обнаружения сигнала на фоне белого шума.
Прохождение белого шума через согласованный фильтр. Рассмотрим действие белого шума на согласованный фильтр, импульсная характеристика которого согласована с сигналом.
Спектральная плотность шума на выходе согласованного фильтра равна произведению спектральной плотности входного шумаи квадрата модуля коэффициента передачи согласованного фильтра
|
|
,где - коэффициент передачи согласованного фильтра.
Коэффициент это амплитудно-частотная характеристика согласованного фильтра, полученная как преобразование Фурье от импульсной характеристики.
Если спектральная плотность белого шума постоянна, а радиотехническая система ограничена полосой частот , то спектральная плотность шума на входе согласованного фильтра
Согласно равенству Парсеваля
Извлекая квадратный корень из (5.13), находим среднеквадратическое значение белого шума
а это не что иное, как отношение энергии входного сигнала к спектральной плотности белого шума, которое не зависит от формы сигнала.
При рассмотрении методов оптимального когерентного приема в случае неопределенности, подобной в радиолокационных системах, для реализации критерия Неймана-Пирсона используется многоканальный коррелятор.
При оптимальной согласованной фильтрации корреляторы каждого канала заменяются согласованными фильтрами (рис. 5.2). В этом случае нет необходимости привязки по времени прихода сигнала.
Отношение сигнал/шум при небелом шуме. « Белый» шум – это некоррелированный шум. В общем случае шум может быть коррелированным и иметь произвольную спектральную мощность. Для того чтобы «обелить» такой шум, применяют специальный обеляющий фильтр (ОФ) (рис. 5.3),коэффициент передачи которого выбран таким, чтобы компенсировать неравномерность спектра входного небелого шума. На выходе обеляющего фильтра будет получен белый шум со спектральной плотностьюN 0 .
Поскольку, обеляющий фильтр внесет свои изменения и в сигнал, то отношение сигнал/шум будет определяться выражением
где энергия сигнала на выходе ОФ.
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2011 Управление, вычислительная техника и информатика № 3(16) УДК 517.511 В.И. Смагин, С.В. Смагин ФИЛЬТРАЦИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ Рассматривается алгоритм синтеза оптимального фильтра, определяющего оценку вектора состояния дискретной линейной нестационарной динамической системы с аддитивными возмущениями, содержащими неизвестную постоянную составляющую. Приводятся результаты вычислительного эксперимента. Ключевые слова: линейные дискретные нестационарные системы, фильтр Калмана, неизвестные возмущения. В работах многих авторов большое внимание уделяется разработке алгоритмов калмановской фильтрации для класса систем с неизвестными аддитивными возмущениями и параметрами, которые могут использоваться в качестве моделей реальных физических систем, моделей объектов с неизвестными сбоями. Известные методы вычисления оценок вектора состояния базируются на алгоритмах, использующих оценки неизвестного возмущения . В работах рассматриваются алгоритмы расширения пространства состояний (к основной модели объекта добавляется модель ненаблюдаемого возмущения) и алгоритм двухэтапной фильтрации, уменьшающий вычислительные затраты за счет декомпозиции задачи. В работах изучены алгоритмы рекуррентной оптимальной фильтрации, использующие оценки неизвестного возмущения, имеющие достаточно жесткие условия их разрешимости. В настоящей работе для дискретного нестационарного объекта с неизвестной постоянной составляющей возмущений предлагается метод оптимальной фильтрации, не использующий оценки неизвестного возмущения. Метод базируется на преобразовании модели и сведении к задаче линейной калмановской фильтрации . В настоящей статье обобщаются результаты на случай решения задачи для нестационарного дискретного объекта. 1. Постановка задачи Рассматривается дискретная система, которая описывается следующими разностными уравнениями: x(k + 1) = A(k) x(k) + f + q (k), x(0) = x0 , (1) где x(k) ∈ R n – вектор состояния; A(k) – n×n-матрица; f – неизвестный постоянный вектор; q(k) – белая гауссовская случайная последовательность с характеристиками M {q (k)} = 0 , M{q(k)q Τ (j)} = Q(k)δk , j . (2) Канал наблюдений имеет вид y (k) = S (k) x(k) + v(k) , (3) y (k) ∈ R l – вектор измерений; S(k) – матрица размерности l × n ; v(k) – белая гаус- В.И. Смагин, С.В. Смагин 44 совская случайная последовательность ошибок измерений, с характеристиками: M{v(k)} = 0 , M{q (k)v Τ (j)} = 0 , M{v(k)v Τ (j)} = V (k)δi , j ; (4) для матриц (S(k), A(k)) выполняются условия наблюдаемости. Вектор x0 является случайным и не зависит от от процессов q(k) и v(k), при этом M{x(0)} = x0 , M {(x(0) − x0)(x(0) − x0)Τ } = P0 . Для системы (1) и канала наблюдений (3) требуется синтезировать фильтр, вычисляющий оценку вектора состояния, не использующий оценки неизвестной постоянной составляющей возмущений. 2. Синтез фильтра Преобразуем дискретную систему (1). Исключаем постоянную составляющую возмущений f из описания объекта посредством вычитания из уравнения (1) такого же уравнения, но со сдвигом на один такт: x(k) = A(k − 1) x(k − 1) + f + q(k − 1) . (5) В результате получаем следующее уравнение: x(k + 1) = (A(k) + En) x(k) − A(k − 1) x(k − 1) + q (k) − q(k − 1) . (6) Расширим пространство состояний системы путем добавления к уравнению (6) тождества x(k) = x(k) . Обозначим x(k) ⎞ ⎛ q(k) − q(k − 1) ⎞ . X (k) = ⎛⎜ ⎟ ⎟ , q (k) = ⎜ 0 ⎝ ⎠ ⎝ x(k − 1) ⎠ Систему (1) представим в векторно-матричной форме X (k + 1) = A(k) X (k) + q (k), X (0) = X 0 , (7) (8) где А(k) – 2n × 2n -матрица имеет следующую блочную структуру: ⎛ A(k) + En A(k) = ⎜ En ⎝ − A(k − 1) ⎞ ⎟. 0 ⎠ (9) Случайный вектор X 0 = (x0Τ x−Τ1)Τ имеет следующие характеристики: M{ X (0)} = X 0 , M {(X 0 − X 0)(X 0 − X 0)Τ } = P0 , (x0Τ (10) x−Τ1)Τ где X 0 = . Отметим, что здесь дополнительно вводится n-мерный вектор x−1 , который является независимым от q(k) и v(k) , а характеристики (10) могут быть получены по априорной информации об объекте (1). Отметим, что в рассмотренной модели (8) процесс q (k) не является белой гауссовской последовательностью, процессы q (k) и q (k − 1) будут коррелированны: если j = k, ⎧ Q (k), ⎪ M{q (k)q (j)} = ⎨Q (k − 1), если j = k − 1, ⎪ 0, если 0 ≤ j < k − 1, ⎩ (11) Q(k) + Q(k − 1) 0 ⎞ ⎛ −Q(k − 1) 0 ⎞ . Q(k) = ⎛⎜ ⎟ , Q (k − 1) = ⎜ 0 0 0 0 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ (12) Τ где Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 45 Представим канал наблюдений для расширенной системы (8) в виде y (k) = S (k) X (k) + v(k) , (13) где S (k) = (S (k) 0) , v(k) − случайная последовательность ошибок измерений с характеристиками (4). В качестве уравнения для вычисления оценки вектора состояния расширенной системы выберем уравнение, по своей структуре совпадающее с фильтром Калмана: Xˆ (k + 1) = A(k) Xˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − S (k + 1) A(k) Xˆ (k)) , Xˆ (0) = X . (14) 0 Учитывая (8) и (14), получим следующее уравнение для ошибки e(k) = Xˆ (k) − X (k) : e(k + 1) = (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))e(k) + K (k)v(k + 1) + (K (k) S (k + 1) − E2 n)q (k) . (15) В силу (11) и (15), матрица P (k) = M{e(k)eΤ (k)} определится из следующего разностного уравнения: P (k + 1) = (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k)) P (k)(A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))Τ + +(K (k) S (k + 1) − E2 n)Q (k)(K (k) S (k + 1) − E2 n)Τ + K (k)V (k + 1) K Τ (k) + +(A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))(K (k − 1) S (k) − E2 n) × ×Q (k − 1)(K (k) S (k + 1) − E2 n)Τ + (K (k) S (k + 1) − E2 n) × ×Q (k − 1)(K (k − 1) S (k) − E2 n)Τ (A(k) − K (k) S (k + 1) A(k))Τ , P (0) = P0 . (16) Оптимизируемый критерий зададим в виде J (k + 1) = trP (k + 1) . (17) Оптимальные коэффициенты передачи фильтра K(k) определяются из условия dJ (k + 1) =0. (18) dK (k) Учитывая (17) и правую часть уравнения (16), применяя правила матричного дифференцирования следа от матрицы , получим из условия (18) уравнение для определения матрицы K(k): − A(k) P (k) A(k)Τ S (k + 1)Τ + K (k) S (k + 1) A(k) P (k) A(k)Τ S (k + 1)Τ + + K (k) S (k + 1)Q (k) S (k)Τ − Q (k) S (k + 1)Τ − K (k) S (k + 1)Q (k − 1) × ×S (k)Τ K (k − 1)Τ A(k)Τ S (k + 1)Τ + K (k) S (k + 1)Q (k − 1) A(k)Τ S (k + 1)Τ − − K (k) S (k + 1) A(k) K (k − 1) S (k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + + K (k) S (k + 1) A(k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + Q (k − 1) S (k)Τ K (k − 1)Τ × × A(k)Τ S (k + 1)Τ − Q (k − 1) A(k)Τ S (k + 1)Τ − A(k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + + A(k) K (k − 1) S (k)Q (k − 1) S (k + 1)Τ + K (k)V (k + 1) = 0 . (19) Решение последнего уравнения относительно K(k) дает следующий результат: K (k) = P (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) P (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 , (20) 46 В.И. Смагин, С.В. Смагин где P (k) = A(k) P (k) A(k)Τ + Q (k − 1)(E2 n − S (k)Τ K (k − 1)Τ) A(k)Τ + + A(k)(E2 n − K (k − 1) S (k))Q (k − 1) + Q (k) . (21) Отметим, что для вычисления коэффициентов передачи (20), в силу (21), необходимо задать начальные значения коэффициентов K(−1). Подставив в уравнение (16) выражение для оптимального коэффициента передачи (20), получим уравнение P (k + 1) = (E2 n − K (k) S (k + 1)) P(k) , P (0) = P0 . (22) Основной результат сформулируем в виде теоремы, учитывая симметричность и блочное представление матриц P (k) и P (k) : ⎛ p (k) P(k) = ⎜ 1 ⎝ p2 (k) ⎛ p (k) p2Τ (k) ⎞ , P (k) = ⎜ 1 p3 (k) ⎟⎠ ⎝ p2 (k) p2Τ (k) ⎞ , p3 (k) ⎟⎠ (23) блочные структуры матриц A(k), Q(k), Q (k), S (k) и представление матрицы K (k) в виде ⎛ K (k) ⎞ K (k) = ⎜ 1 ⎟ . (24) ⎝ K 2 (k) ⎠ Теорема. Пусть процесс с неизвестным постоянным возмущением определяется уравнениями (1) и канал наблюдений имеет вид (3). Тогда оптимальный алгоритм фильтрации определится следующими разностными уравнениями: xˆ (k + 1) = (A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + K1 (k)(y (k + 1) − − S (k + 1)[(A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1)] (25) с начальными условиями xˆ(0) = x0 , xˆ(1) = M{x(1)} = x1 . Матрица K1 (k) в (25) определяется по формуле (26) K1 (k) = p1 (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) p1 (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 , где матрица p1 (k) вычисляется из системы уравнений (27) p1 (k) = (A(k) + En) p1 (k)(A(k) + En)Τ − A(k − 1) p2 (k)(A(k) + En)Τ − −(A(k) + En) p2Τ (k) A(k − 1)Τ + A(k − 1) p3 (k) A(k − 1)Τ + Q(k − 1) S (k)Τ K1 (k − 1)Τ × ×(A(k) + En)Τ − Q(k − 1) S (k)Τ K 2 (k − 1)Τ AΤ (k − 1) + +(A(k) + En) K1 (k − 1) S (k)Q(k − 1) − A(k − 1) K 2 (k − 1) S (k) × ×Q(k − 1) − (A(k) + En)Q(k − 1) − Q(k − 1)(A(k) + En)Τ + Q(k) + Q(k − 1) , p2 (k) = p1 (k)(A(k) + En)Τ − p2Τ (k) A(k − 1)Τ + + K1 (k − 1) S (k)Q(k − 1) − Q(k − 1) , p3 (k) = p1 (k) , p1 (k + 1) = (En − K1 (k) S (k + 1)) p1 (k) , p1 (0) = p1,0 , p2 (k + 1) = − K 2 (k) S (k + 1) p1 (k) + p2 (k) , p2 (0) = p2,0 , p3 (k + 1) = − K 2 (k) S (k + 1) p2Τ (k) + p3 (k) , p3 (0) = p3,0 , K 2 (k) = p2 (k) S (k + 1)Τ (S (k + 1) p1 (k) S (k + 1)Τ + V (k + 1)) −1 . (28) Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 47 В (28) начальные условия p1,0 , p2,0 , p3,0 , являются соответствующими блоками матрицы P0 . Отметим, что для выполнения расчетов в (28) необходимо задать начальные условия для K1 (−1) и K 2 (−1) . Замечание. Управляемый объект x(k + 1) = A(k) x(k) + B(k)u (k) + f + q(k), x(0) = x0 , (29) при исключении неизвестного постоянного возмущения f объекта, необходимо преобразовать к виду, который будет отличаться от (8) одним слагаемым: X (k + 1) = A(k) X (k) + B (k)(u (k) − u (k − 1) + q (k), X (0) = X 0 , (30) где матрица A(k) приведена в формуле (9), q (k) имеет характеристики (11), (12). В (30) матрица B (k) имеет вид B (k) ⎞ B (k) = ⎛⎜ ⎟. ⎝ 0 ⎠ Тогда уравнения фильтра будут следующими: (31) xˆ (k + 1) = (A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + B(k)(u (k) − u (k − 1)) + K1 (k)(y (k + 1) − − S (k + 1)[(A(k) + En) xˆ (k) − A(k − 1) xˆ (k − 1) + B(k)(u (k) − u (k − 1))] , (32) с начальными условиями (26), а матрица K1 (k) определяется в соответствии с (27) и (28). 3. Результаты вычислительного эксперимента Рассмотрим применение алгоритма фильтрации для модели второго порядка вида (1) и канала наблюдений (3) со следующими значениями параметров: 0 1 0 ⎞ ⎞ ; Q = ⎛ 0, 01 ; V = 0,9 ; A(k) = ⎛⎜ ⎟ ⎜ 0 0, 02 ⎟⎠ ⎝ ⎝ 0, 05 0,925 + 0,1sin(0, 01k) ⎠ 1, 0 1, 0 0 ⎞ S = (1 1) ; x0 = ⎛⎜ ⎞⎟ ; P0 = ⎛⎜ (33) ⎟. ⎝ 1,5 ⎠ ⎝ 0 1, 0 ⎠ Вычисление оценок вектора x(k) можно выполнить, используя двухэтапный алгоритм фильтрации . Модель измерений в этом случае с учетом (1) представляется в виде y (k + 1) = Sx(k + 1) + v(k + 1) = SA(k) x(k) + Sf + Sq(k) + v(k + 1) . (34) Рекуррентные уравнения оценивания неизвестного вектора f имеют вид fˆ (k + 1) = fˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − SA(k) xˆ (k) − Sfˆ (k)) , fˆ (0) = f , 0 f Τ Τ Τ −1 K f (k) = Pf (k) S (SPf (k) S + SQS + V) , где Pf (k + 1) = (E2 − K f (k) S) Pf (k), Pf (0) = Pf0 , (35) M{ f } = f 0 , M{(f − f 0)(f − f 0)Τ } = Pf0 . (36) В.И. Смагин, С.В. Смагин 48 Оценка вектора состояния для объекта с неизвестным постоянным входом задается уравнением: xˆ (k + 1) = A(k) xˆ (k) + fˆ (k) + K (k)(y (k + 1) − SA(k) xˆ (k) − Sfˆ (k)) , (37) x где матрица K x (k) определяет коэффициенты передачи фильтра Калмана. При моделировании используем 0 1, 0 0 ⎞ f 0 = ⎛⎜ ⎞⎟ , Pf0 = ⎛⎜ (38) ⎟. ⎝0⎠ ⎝ 0 1, 0 ⎠ Применение расширенного фильтра Калмана для данного примера (в этом случае уравнение (1) расширяется путем добавления уравнения f(k+1) = f(k)) приводит к необходимости построения фильтра Калмана для дискретной системы со следующими матрицами динамики, канала наблюдений и интенсивностей аддитивных возмущений: Q 0⎞ ⎛ A(k) E2 ⎞ , (S 0) , ⎛⎜ (39) ⎟. ⎜ 0 E2 ⎟⎠ ⎝ 0 0⎠ ⎝ Использование в данном примере методов, описанных в работах , невозможно в силу невыполнения условий существования оптимальных оценок неизвестного входного вектора : n≥m и l≥m. (40) В неизвестное возмущение определяется в виде f = Gd , где d – неизвестный m-мерный вектор, G – n × m -известная матрица. В рассмотренном примере G = E2 , n = 2 , m = 2, l = 1 , а это означает, что условия (40) не выполняются. Применение алгоритма фильтрации исследовалось также для неизвестного переменного возмущения с тремя возможными значениями компонент вектора f: ⎧ 1, если 0 ≤ k ≤ 9, ⎪ f1 (k) = f 2 (k) = ⎨ −1, если 9 < k < 25, ⎪ 1, если 25 ≤ k ≤ 50. ⎩ На рис. 1 приведены реализации процессов и их оценок для трех сравниваемых фильтров. Отметим, что при реализации алгоритма фильтрации (25), начальные значения K1 (−1) и K 2 (−1) задавались нулевые. x1(k) x1(k) x2(k) x2(k) 2 10 0 –10 0 3 4 20 30 40 k –10 0 4 1 0 1 10 3 10 2 10 20 30 40 k Рис. 1. Реализации процессов и оценок (1 – реализация x(k); 2 – оценка, построенная по алгоритму (25); 3 – оценка, построенная по двухэтапному алгоритму; 4 – оценка для расширенного фильтра Калмана) Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах 49 На рис. 2 приведены ошибки оценивания компонент вектора состояния. e1(k) 4 2 e2(k) 4 3 1 0 –2 –4 –6 0 2 2 3 1 0 2 –2 10 20 30 40 k –4 0 10 20 30 40 k Рис. 2. Графики ошибок фильтрации (1 – ошибка для оценки, построенной по алгоритму (25); 2 – ошибка для оценки, построенной по двухэтапному алгоритму; 3 – ошибка для расширенного фильтра Калмана) Как видно из рисунков для рассмотренного примера, качество оценок, полученных с помощью фильтра (25), лучше, чем для двухэтапного алгоритма фильтрации и расширенного фильтра Калмана, использующих оценки неизвестного возмущения. Отметим также, что для алгоритма фильтрации (25) не нужно задавать априорную информацию о характеристиках распределения начальных значений f 0 и Pf0 . Ниже, в таблице, приведены средние значения среднеквадратических ошибок оценивания для трех рассматриваемых методов, рассчитанных по 50 реализациям. Как видно из таблицы, предложенный метод фильтрации (25) обеспечивает среднюю ошибку в 3 – 4 раза меньшую, чем другие методы. Средние значения среднеквадратических ошибок для компонент вектора состояния Алгоритм (25) e1,ср = 0,0912 Двухэтапный алгоритм e1,ср = 0,3128 Расширенный фильтр Калмана e1,ср = 0,4103 e2,ср = 0,0945 e2,ср = 0,2917 e2,ср = 0,4296 Заключение Разработан алгоритм синтеза дискретного оптимального нестационарного фильтра для объекта, возмущения которого содержат неизвестную постоянную составляющую. Алгоритм построен на основе расширения пространства состояния и исключения из модели неизвестной составляющей. В отличие от классического фильтра Калмана, предложенный фильтр использует рекуррентные оценки, построенные на двух предыдущих тактах. Как показали результаты вычислительного эксперимента, алгоритм может быть применен для кусочно-постоянной неизвестной аддитивной составляющей возмущений. ЛИТЕРАТУРА 1. Astrom K., Eykhoff P. System identification. A survey // Automatica. 1971. V. 7. P. 123−162. 2. Friedland B. Treatment of bias in recursive filtering // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1969. V. AC-14. P. 359−367. 3. Chen J., Patton R. J. Optimal filtering and robust fault diagnosis of stochastic systems with unknown disturbances // IEE Proc. Control Theory Appl. 1996. V. 143. P. 31–36. 50 В.И. Смагин, С.В. Смагин 4. Darouach M., Zasadzinski M. Unbiased minimum variance estimation for systems with unknown exogenous inputs // Automatica. 1997. V. 33. P. 717–719. 5. Darouach M., Zasadzinski M., Xu S. J. Full-order observers for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1999. V. AC-39. P. 606. 6. Gillijns S., Moor B. Unbiased minimum-variance input and state estimation for linear discrete-time systems // Automatica. 2007. V. 43. P. 111–116. 7. Hou M., Patton R. Optimal filtering for systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1998. V. AC-43. P. 445–449. 8. Hsieh C.-S. A unified solution to unbiased minimum-variance estimation for systems with unknown inputs // Proc.17th World Congress The International Federation of Automatic Control. Seoul. Korea. July 6 – 11, 2008. P. 14502–14509. 9. Hsieh C.-S. Robust two-stage Kalman filters for systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 2000. V. AC-45. P. 2374–2378. 10. Hsieh C.-S. Extension of the optimal unbiased minimum-variance filter for systems with unknown inputs // Proc. 15th IEEE International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. Tokushima. Japan. 2007. P. 217–220. 11. Hsieh C.-S. Robust parameterized minimum variance filtering for uncertain systems with unknown inputs // Proc. American control conference. New York. 2007. P. 5118–5123. 12. Kalman R.E., Busy R. A new results in linear filtering and prediction theory // Trans. ASME J. Basic Engr. 1961. V. 83. P. 95–108. 13. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана – Бьюси. М.: Наука, 1972. 200 с. 14. Пугачев В.С., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные уравнения М.: Наука, 1990. 630 с. 15. Смагин С.В. Фильтрация в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Автометрия. 2009. Т. 45. № 6. C. 29−37. 16. Амосов А.А., Колпаков В.В. Скалярно-матричное дифференцирование и его применение к конструктивным задачам теории связи // Проблемы передачи информации. 1972. № 1. С. 3−15. Смагин Валерий Иванович Смагин Сергей Валерьевич Томский государственный университет E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 6 декабря 2010 г.
Как известно, сущность фильтрации состоит в непрерывном оценивании изменяющихся во времени параметров случайного процесса. Если сообщение является скалярным марковским процессом (для стационарного гауссовского процесса это означает, что ковариационная функция имеет вид Aexp(-B|t-u|), то решение задачи может быть основано на следующих принципах, упрощающих достижение цели:
Описание интересующих нас процессов следует выполнять при помощи линейных систем с изменяющимися во времени параметрами, которые генерировали бы их при подаче на входы систем белого шума;
Линейную систему, генерирующую сообщение, следует описывать при помощи дифференциального уравнения, решением которого является искомое сообщение;
Оптимальную оценку как выходную величину линейной системы следует задавать как решение дифференциального уравнения, коэффициенты которого определяются статистикой процессов.
Линейные системы, построенные по указанным принципам, носят название фильтров Калмана-Бьюси, которым принадлежат оригинальные работы в этой области. В отличие от этих принципов в интегральной винеровской фильтрации описание процессов осуществляется с помощью ковариационных функций, линейных систем - с помощью импульсной переходной характеристики, оптимальных оценок - как решение интегрального уравнения Винера-Хопфа.
Дифференциальное уравнение оптимального фильтра Калмана в канонической форме имеет вид:
где -матричный коэффициент усиления оптимального фильтра.
Фильтр Калмана осуществляет динамическую оптимальную фильтрацию нестационарных случайных процессов. Решение задачи оптимальной фильтрации сводится к решению системы векторно-матричных дифференциальных (или разностных) уравнений. Этот метод позволяет оперировать замкнутой системой уравнений в рекуррентной форме, что является наиболее удобным при технической реализации. По существу, фильтр Калмана представляет собой вычислительный алгоритм обработки информации, использующий комплекс априорных сведений об исходной системе (структура, параметры, статистические характеристики шумов состояния и шумов измерения, сведения о начальных условиях и т.д.). Такой фильтр производит статистическую обработку информации наблюдения с учетом динамических свойств модели исходной системы. Структура калмановского фильтра представляет собой модель исходной динамической системы с коррекцией ошибки фильтрации корректирующим сигналом
где - корректирующий сигнал вида:
В этом случае оптимальный нестационарный динамический фильтр Калмана представляет собой замкнутую автоматическую систему регулирования, содержащую математическую модель исходной системы, причем на выходе модели вырабатывается оценка состояния, а на вход поступает сигнал коррекции с матричным нестационарным коэффициентом усиления K(t):
Следовательно, алгоритм динамической фильтрации основан на классическом принципе регулирования по отклонению с матричным коэффициентом усиления K(t), обеспечивающим минимальную среднюю квадратическую ошибку фильтрации. Корректирующий сигнал состоит из текущего сигнала наблюдения z(t) за состоянием исходной системы, дополненного текущим сигналом состояния модели исходной системы. Сигнал является сигналом коррекции ошибки фильтрации и характеризует дополнительную информацию между текущими измерениями z(t) и оценками состояния, полученными по результатам оценок , предшествующих текущим измерениям z(t). Матричная cxeма оптимального фильтра Калмана имеет вид, показанный на рис. 4.18. Эта схема реализует алгоритм динамической фильтрации, когда состояние исходной системы задается дифференциальными уравнениями, правая часть которых не зависит от наблюдения.
Оптимальная дискретная фильтрация Калмана получила особенно большое распространение в связи с развитием ем дискретных методов обработки информации. Она является распространением результатов непрерывной оптимальной динамической фильтрации на дискретные динамические системы, описываемые разностными векторно-матричными уравнениями.
Рис. 4.17 . Матричная схема оптимального фильтра Калмана
Уравнение оптимального линейного фильтра позволяет последовательно вычислять оценки. Для вычисления оценки используются только предыдущие значения оценки и номер параметра . Значение оценки в момент вычисляется из оценки в момент с добавлением взвешенной разности между измерением в момент и оценкой измерения в момент , Такой способ вычисления оценок называется рекурсивным. Таким образом, дискретный фильтр Калмана в рекуррентной форме осуществляет рекурсивную процедуру вычисления последовательных оценок, требующую запоминания на каждом шаге небольшого числа результатов вычислений.
Матричная схема дискретного фильтра Калмана показана на рис. 4.19 совместно с моделями исходной динамической системы и измерительной системы.
Рис. 4.18. Матричная схема дискретного фильтра Калмана
Основой для вывода уравнения фильтрации являются уравнения состояния динамической системы и уравнение наблюдения (измерения). Уравнение состояния линейной динамической системы описывается системой разностных уравнений в векторно-матричной форме:
где - переходная матрица состояния размерности , -мерный вектор состояния динамической системы; - матрица возмущения, или входного сигнала размерности ; - -мерный вектор случайной гауссовской последовательности.
Уравнение наблюдения (измерения) сигнала получаемого на выходе модели измерительной системы, описывается разностно-векторным уравнением:
где -мерный вектор наблюдения (измерения); -мерный вектор случайной гауссовской некоррелированной последовательности ошибок измерения, искажающих результат наблюдения за состоянием динамической системы; матрица измерений размерности
Предположим, что известны оценка состояния системы в момент и матрица переходов ). Тогда эту оценку можно принять за начальную и вычислить оценку на момент времени в соответствии с уравнением:
Эта оценка является предсказанной (экстраполированной) по результатам предыдущих наблюдений. При ее вычислении не использовалось последнее измерение состояния динамической системы, проведенное в момент . Это приведет к ошибкам в оценке вектора состояния системы. Погрешность оценки в момент через матрицу перехода распространяется на все последующие оценки в , и при длительном времени работы фильтра ошибки могут накопиться и привести к неудовлетворительным результатам. Оценку можно улучшить, если использовать измерения в момент времени и сформировать корректирующий сигнал: . Отсюда
Подставив в это выражение (9.14), получаем уравнение дискретного фильтра Калмана в канонической форме:
О птимальный коэффициент передачи такого фильтра должен обеспечить минимум средней квадратической ошибки фильтрации в соответствии с условием (4.152).
Контрольные вопросы к Главе 4
1. Какие критерии принятия решения применяются в ГАС НК?
2. В чём сходство и отличие критериев обнаружения «Идеального наблюдателя», «Неймана – Пирсона» и «Вальда»?
3. Какова физическая сущность вероятностей правильного обнаружения, правильного необнаружения, пропуска сигнала и ложной тревоги?
4. Как соотносится вероятность ложной тревоги «в точке» и многоканальной системы?
5. Как выбирается порог обнаружения при реализации критерия Неймана-Пирсона?
6. Как выбирается порог обнаружения при реализации критерия Котельникова-Зигерта?
7. Как выбирается порог обнаружения при реализации критерия обнаружения Вальда?
8. В чём адекватность и особенности корреляционного приёмника и согласованного фильтра?
9. В чём суть состоятельности оценки?
10. В чём суть эффективности оценки?
11. В чём суть несмещённости оценки?
12. Что представляет собой информационная матрица Фишера?
13. Как строится пеленгационная характеристика гидролокатора?
14. Как формируется словарь признаков и алфавит образов объектов гидролокации?
15. В чём адекватность и отличие понятий классификации и распознавания гидролокационных объектов?
Нахождение оптимального фильтра Винера основывалось на использовании интегрального уравнения Винера - Хопфа, при решении которого стационарные случайные процессы рассматривались в частотной области. В 1960 г. Р. Калман и Р. Бьюси рассмотрели проблему линейной фильтрации во временной области и, используя концепцию «пространства состояний», предложили новый эффективный метод синтеза оптимальных систем по критерию минимума математического ожидания квадрата случайной ошибки, применимый как для стационарных, так и для нестационарных марковских случайных процессов. Так как в основе используемой Калманом и Бьюси концепции «пространства состояний» лежит предположение о том, что случайный процесс является марковским, то их подход к синтезу оптимальных линейных систем иногда называют марковской теорией оптимальной линейной фильтрации.
Описывая все случайные процессы не с помощью корреляционных функций или спектральных плотностей, а с помощью дифференциальных уравнений или уравнений состояния, Калман и Бьюси показали, что при случайных воздействиях оптимальная линейная система (оптимальный фильтр Калмана - Бьюси) должна удовлетворять некоторой системе неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Нахождение оптимальной системы по этим дифференциальным уравнениям намного легче, чем по интегральным уравнениям Винера - Хопфа, особенно в случае нестационарных случайных процессов.
Вывод уравнений оптимального фильтра был выполнен Калманом и Бьюси для многомерных случайных процессов. Познакомимся с основной идеей метода Калмана - Бьюси на примере более простых, но часто встречающихся на практике одномерных фильтров.
Допустим, что синтезируемая система должна воспроизводить некоторый сигнал представляющий собой в общем случае нестационарный случайный процесс. Пусть на входе системы кроме этого сигнала действует также помеха
представляющая собой в общем случае нестационарный случайный процесс типа «белый шум» с нулевым средним значением. Таким образом, суммарный входной сигнал
Для вывода уравнения одномерного оптимального фильтра Калмана - Бьюси существенным является то, что случайный процесс должен быть сначала представлен дифференциальным уравнением первого порядка следующего вида:
где - некоторая функция времени, зависящая от статистических характеристик случайного процесса - нестационарный случайный процесс типа «белый шум» с нулевым средним значением.
Корреляционные функции нестационарных случайных процессов имеют вид
где - непрерывные, непрерывно дифференцируемые функции времени, причем
В частном случае для стационарных случайных процессов их корреляционные функции
Если случайный процесс на выходе системы равен , то случайная ошибка системы равная разности между воспроизводимым сигналом и выходным сигналом имеет вид
Калман и Бьюси показали, что оптимальная система (оптимальный фильтр Калмана-Бьюси), обеспечивающая в любой момент времени воспроизведение сигнала при минимуме математического ожидания квадрата случайной ошибки, должна описываться неоднородным дифференциальным уравнением вида
Таким образом, при синтезе оптимального фильтра Калмана - Быоси задача сводится к нахождению таких функций времени в дифференциальном уравнении (9.140), при которых обеспечивался бы минимум математического ожидания квадрата случайной ошибки, т. е.
Предполагая, что случайный процесс представлен в виде (9.135), приведем без доказательства формулы для нахождения функций при которых обеспечивается минимум (9.141).
Прежде чем определить функции находят некоторую функцию времени равную математическому ожиданию квадрата случайной ошибки (дисперсии ошибки):
она определяется как решение следующего дифференциального уравнения Риккати:
Для решения (9.143) нужно знать начальное значение при Обычно поэтому
После нахождения функции определяют функцию по формуле
и функцию по формуле
Наиболее сложным этапом синтеза оптимальных фильтров методом Калмана - Бьюси является решение уравнения Риккати (9.143). В общем случае оно требует применения ЭВМ.
Важное самостоятельное значение имеют также вопросы исследования существования решения уравнения (9.143), его единственности и устойчивости.
Учитывая (9.146), уравнение оптимального фильтра Калмана-Бьюси иногда записывают в следующем виде:
Дифференциальному уравнению (9.140) соответствует структурная схема оптимального фильтра, показанная на рис. 9.19, а; дифференциальному уравнению (9.147) соответствует структурная схема, показанная на рис. 9.19, б. Таким образом, оптимальный фильтр Калмана-Бьюси можно рассматривать как некоторую динамическую систему с обратной связью, имеющую структурную схему, приведенную либо на рис. 9.19, а, либо на рис. 9.19, б. Естественно, что обе эти структурные схемы эквивалентны.
Для нестационарных случайных процессов функции зависят от времени и оптимальный фильтр Калмана-Бьюси получается нестационарным.
Для стационарных случайных процессов функции а также в установившемся режиме функции не зависят от времени, поэтому оптимальный фильтр Калмана-Бьюси в этом случае является стационарным, определяемым дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
Система описываемая (9.148), будет в установившемся режиме воспроизводить на своем выходе стационарный случайный сигнал с минимальной средней квадратической ошибкой.
Естественно, что для стационарных процессов результаты, полученные методом Калмана-Бьюси и методом Винера, совпадают. Уравнение (9.148), полученное во временной области, эквивалентно оптимальному фильтру Винера, определяемому в частотной области уравнением (9.125).
Остановимся кратко на очень существенном для фильтров Калмана-Бьюси вопросе о возможности представления случайного процесса в виде дифференциального уравнения (9,135).
Нахождение (9.135) связано с задачей определения формирующего фильтра (стационарного или нестационарного), который при воздействии на его вход белого шума позволяет получить на своем выходе заданный случайный процесс Структурную схему такого формирующего фильтра в соответствии с (9.135) можно представить так, как показано на рис. 9.20.
Для стационарных случайных процессов методы определения параметров формирующих фильтров разработаны хорошо. В этих случаях формирующий фильтр можно описать обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами или соответствующей передаточной функцией формирующего фильтра . Особенно просто находится передаточная функция формирующего фильтра в том случае, когда выражение для спектральной плотности стационарного случайного процесса имеет вид дробно-рациональной функции частоты, т. е. когда выражение для спектральной плотности может быть представлено в виде произведения двух комплексно-сопряженных множителей:
Пусть на входе формирующего фильтра действует стационарный случайный сигнал типа «белый шум», имеющий спектральную плотность тогда спектральная плотность сигнала на выходе формирующего фильтра
Учитывая (9.149), можно записать
откуда частотная передаточная функция формирующего фильтра
Подставляя в последнее выражение получаем выражение для передаточной функции формирующего фильтра
Зная передаточную функцию формирующего фильтра, находим дифференциальное уравнение вида (9.135), связывающее случайные процессы
Если спектральная плотность не является дробнорациональной функцией частоты или получена экспериментально, то для нахождения формирующего фильтра ее нужно сначала аппроксимировать дробно-рациональной функцией частоты.
В заключение следует отметить, что если входные воздействия являются стационарными случайными процессами, то метод Калмана-Бьюси не имеет преимуществ перед методом синтеза оптимальных фильтров Винера. Этот метод в основном применяют для синтеза оптимальных нестационарных линейных фильтров.
Он позволяет также достаточно просто находить структуру и параметры оптимального фильтра и в том случае, когда воспроизводимый сигнал описывается полиномом со случайными коэффициентами:
где - случайные величины с известными статистическими характеристиками.
Синтез оптимальных линейных фильтров Калмана-Бьюси, проведенный первоначально для помехи в виде белого шума, был в дальнейшем развит на более общие случаи, например на случай коррелированных помех, имеющих неравномерную спектральную плотность, на случай нелинейной фильтрации и др. Заметим, наконец, что оптимальные фильтры Калмана-Бьюси, как и оптимальные фильтры Винера, позволяют решать не только задачу оптимального воспроизведения
сигнала на фоне помех (фильтрации), но и задачи статистического упреждения, статистического дифференцирования и т. д.
Пример 9.8. На входе линейной следящей системы действует стационарный случайный процесс спектральная плотность которого
и случайная помеха типа «белый шум», имеющая спектральную плотность
Числовые значения коэффициентов
Определить методом Калмана-Бьюси оптимальную передаточную функцию системы, обеспечивающую минимум средней квадратической ошибки.
1. Так как система предназначена для воспроизведения полезного сигнала то преобразующий оператор воспроизводимый сигнал , следовательно,
В соответствии с (9.149) представляем выражение для спектральной плотности в виде произведения комплексно-сопряженных сомножителей
и находим
2. Рассматривая заданный стационарный случайный процесс как реакцию некоторого формирующего фильтра на стационарный случайный процесс типа «белый шум», имеющий спектральную плотность находим частотную передаточную функцию этого формирующего фильтра по (9.150):
3. Находим передаточную функцию формирующего фильтра:
4. Полученной передфаточной функции формирующего фильтра соответствует следующее дифференциальное уравнение, связывающее случайные процессы
Чтобы привести последнее дифференциальное уравнение к виду (9.135), примем, что спектральная плотность белого шума равна тогда и окончательно случайный процесс можно представить как
480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников
Бирюков Руслан Сергеевич. Дискретное обобщенное H-оптимальное управление и фильтрация в линейных непрерывных объектах: диссертация... кандидата Физико-математических наук: 01.01.09 / Бирюков Руслан Сергеевич;[Место защиты: ФГАОУВО «Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»], 2017
Введение
Глава 1. Обзор теории обобщенного -управления и фильтрации для линейных дискретных систем 8
1. Обобщенная -норма линейного объекта 8
2. Синтез обобщенного -управления 11
3. Синтез обобщенного -фильтра 13
Глава 2. Обобщенная -норма непрерывного объекта с дискретным целевым выходом 15
1. Уровень гашения возмущений в непрерывно-дискретном объекте 15
2. Наихудшие внешние возмущения и начальное состояние в непрерывно дискретном объекте 28
3. Уровень гашения возмущений в дискретно-дискретном объекте 32
4. Наихудшие внешние возмущения и начальное состояние в дискретно дискретном объекте 49
5. Уровень гашения возмущений в случае бесконечного горизонта 56
6. Характеризация уровня гашения возмущений в терминах LMI 61
7. Выводы 64
Глава 3. Дискретное обобщенное -оптимальное управление 66
1. Синтез оптимального управления по состоянию 66
2. Синтез оптимального управления по выходу 74
3. Управление электромагнитным подвесом 94
4. Выводы 101
Глава 4. Дискретная обобщенная -оптимальная фильтрация 102
1. Синтез оптимального фильтра 102
2. Фильтрация данных в задаче гашения колебаний зданий 108
3. Выводы 114
Заключение 115
Список литературы
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Современные системы управления, как правило, реализуются в цифровом виде, в то время как большинство реальных объектов функционирует в непрерывном времени. Подобное разделение на аналоговую и цифровую части приводит к потере информации, поскольку значения непрерывного сигнала, поступающего с объекта на регулятор, известны только в фиксированные дискретные моменты времени. По этой причине становится важной задача анализа и синтеза дискретного регулятора, максимально полно учитывающего поведение исходного объекта в моменты времени между измерениями. В зависимости от классов внешних возмущений, действующих на объект, и конечных целей управления выделяют различные подходы к решению указанной задачи. Особый интерес представляет случай, когда на объект действуют внешние возмущения с ограниченной «энергией», а цель управления состоит в минимизации полной «энергии» целевого выхода объекта. В этом случае задача представляет собой задачу дискретного %00-оптимального управления непрерывным объектом по дискретным по времени измерениям.
Для решения указанной задачи были предложены различные подходы. Одним из первых был подход, основанный на представлении исходной непрерывной системы с дискретным выходом как непрерывно-дискретной, поведение которой описывается совокупностью дифференциальных и разностных уравнений (Sun W., Nagpal K.M., Poolla K.R., Khargonekar P.P., Sagfors M.F., Toivonen H.T. и др.). В этом случае процедура синтеза дискретных 7^^-оптимальных регуляторов и фильтров основывалась на дифференциальных уравнениях Риккати, решения которых испытывают скачки в моменты времени, соответствующие наблюдениям. Практическая реализация предложенных алгоритмов синтеза наталкивается на ряд трудностей, связанных с решением нелинейной краевой задачи для дифференциальных уравнений Риккати.
Похожий подход использовался в работах Basar T. и Bernhard P., где задача дискретного ^^-оптимального управления непрерывным объектом рассматривалась с точки зрения теории игр. Условия существования %^-оптимальных регуляторов были сформулированы в случае измеряемого состояния объекта в терминах разностных уравнений Риккати, а процедура синтеза таких регуляторов также основана на решении нелинейной краевой задачи.
Другой подход основан на использовании метода лифтинга, в котором исходная непрерывная система преобразуется в эквивалентную дискретную (Bamieh B.A., Pearson J.B., Chen T., Francis B.A., Tadmor G., Sagfors M.F., Toivonen H.T., Lall S., Dullerud G. и др.). При этом, поскольку между моментами наблюдения внешнее возмущение, как и целевой выход исходного объекта, представляют собой кусочно-непрерывные функции, то возмущение и целевой выход эквивалентной дискретной системы уже принадлежат бесконечно-
мерному пространству. В указанных работах синтез оптимальных регуляторов опирается на последовательное (итерационное) решение либо алгебраических, либо рекуррентных уравнений Риккати, зависящих от вспомогательного параметра, который требуется минимизировать. Практическая реализация данной процедуры приводит к вычислительным трудностям.
Наконец, в работах Михеева Ю.В., Соболева В.А., Фридман Э.М., Shaked U., Suplin V. был предложен подход при котором задача синтеза дискретного -управления непрерывным объектом формально заменялась задачей синтеза -регулятора с запаздыванием. Условия существования -управления были сформулированы в форме достаточных условий в терминах линейных матричных неравенств.
Одним из существенных недостатков теории -управления является предположение о том, что в начальный момент времени объект находится в покое, то есть его начальное состояние нулевое. Если это требование не выполняется, то синтезированные регуляторы хорошо подавляют внешние возмущения, но не всегда адекватно справляются с задачей гашения начальных возмущений, порожденных ненулевыми начальными условиями. В этом случае в качестве единого критерия, учитывающего влияние как внешних, так и начальных возмущений, была предложена обобщенная -норма (Khargonekar P.P., Nagpal K.M. и Poolla K.R.). Эта норма совпадает с классической -нормой, если в начальный момент времени объект находится в покое, а когда начальное состояние объекта ненулевое, а внешнее возмущение отсутствует, то обобщенная -норма совпадает с 0 -нормой, определенной в работах Баландина Д.В. и Когана М.М. Для непрерывных объектов с непрерывным измеряемым выходом были синтезированы непрерывные законы управления и фильтрации в работах Khargonekar P.P., Nagpal K.M., Баландин Д.В., Коган М.М. и др. В случае непрерывного объекта с дискретным выходом известна работа Sun W., Nagpal K.M. и Khargonekar P.P., в которой решение задачи дискретного обобщенного -управления было получено для объекта на бесконечном горизонте. При этом сформулированные законы управления и фильтрации основаны на решении нелинейного дифференциального уравнения Риккати, что затрудняет их использование. Таким образом, дальнейшее развитие теории дискретного обобщенного -управления непрерывными системами является весьма актуальной задачей теории управления.
Цель диссертационной работы. Основной целью работы является развитие теории дискретного обобщенного -управления и фильтрации для линейных непрерывных систем. В соответствии с поставленной целью диссертация направлена на решение следующих задач:
Для линейных нестационарных объектов на конечном интервале времени получить условия существования и уравнения дискретных обобщенных -оптимальных законов управления в классе линейных нестационарных обратных связей по состоянию и в классе линейных нестационарных динамических регуляторов полного порядка по выходу.
Для линейных стационарных объектов на бесконечном интервале времени получить условия существования и уравнения дискретных обобщенных -оптимальных законов управления в классе линейных стационарных обратных связей по состоянию и в классе линейных стационарных динамических регуляторов полного порядка по выходу.
Для линейных нестационарных объектов на конечном интервале времени получить условия существования и уравнения дискретных нестационарных обобщенных -оптимальных фильтров полного порядка в форме наблюдателя.
Для линейных стационарных объектов на конечном интервале времени получить условия существования и уравнения дискретных стационарных обобщенных -оптимальных фильтров полного порядка в форме наблюдателя.
Методы исследования. В работе применяются методы вариационного исчисления и оптимального управления, теории выпуклой оптимизации и, в частности, теории полуопределенного программирования.
Научная новизна и основные результаты. В диссертации получены следующие новые результаты по теории дискретного обобщенного -управления и фильтрации линейными непрерывными объектами:
Показано, что обобщенная -норма линейного нестационарного объекта на конечном интервале времени находится как решение нелинейной краевой задачи для матричного дифференциального или разностного уравнения Риккати, а также в терминах линейных матричных неравенств. В случае линейного устойчивого стационарного объекта на бесконечном интервале времени обобщенная -норма находится как решение дискретного алгебраического уравнения Риккати или в терминах линейных матричных неравенств (соответствует пункту 6 паспорта специальности 01.01.09).
Для линейных нестационарных объектов на конечном интервале времени получены необходимые и достаточные условия, а в случае неизмеряемого состояния только достаточные условия существования дискретных обобщенных -оптимальных законов управления. Эти законы управления синтезированы в классе линейных нестационарных обратных связей по состоянию и в классе линейных нестационарных динамических регуляторов по выходу (соответствует пункту 6 паспорта специальности 01.01.09).
Для линейных стационарных объектов на бесконечном интервале времени получены необходимые и достаточные условия существования дискретных обобщенных -оптимальных законов управления. Эти законы управления синтезированы в классе линейных стационарных обратных связей по состоянию и в классе линейных стационарных динамических регуляторов по выходу (соответствует пункту 6 паспорта специальности 01.01.09).
Для линейных нестационарных объектов на конечном (бесконечном) интервале времени получены необходимые и достаточные условия существования и осуществлен синтез нестационарных (стационарных) дискретных обобщенных "Н^ -оптимальных фильтров полного порядка в форме наблюдателя
В качестве приложений синтезированы дискретные обобщенные Ti^ -оптимальные регуляторы в задаче управления телом в электромагнитном подвесом и дискретные обобщенные ^-оптимальные фильтры в задаче гашения колебаний высотных зданий и сооружений (соответствует пункту 6 паспорта специальности 01.01.09).
Соответствие шифру специальности. Работа соответствует формуле специальности 01.01.09 - Дискретная математика и математическая кибернетика и охватывает следующие области исследования, входящие в специальность 01.01.09: п. 6. Математическая теория оптимального управления.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и представляет собой развитие теории дискретного обобщенного "Н^-оптимального управления непрерывными объектами. Полученные в ней результаты доведены до конструктивных процедур, эффективность которых подтверждается синтезом регуляторов в задаче управления электромагнитным подвесом и синтезом фильтров в задаче гашения колебаний высотных зданий и сооружений.
Степень достоверности и апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы обсуждались на заседании Нижегородского научного семинара «Математическое моделирование динамики систем и процессов управления» в НИИ Прикладной математики и кибернетики, а также докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях:
X Всероссийская научная конференция «Нелинейные колебания механических систем» им. Ю.И. Неймарка (Нижний Новгород, 2016);
XIII Международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого) (Москва, 2016);
ХI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Казань, 2015);
Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2015);
Шестая традиционная всероссийская молодежная летняя школа «Управление, информация и оптимизация» (Москва, 2014);
XII Всероссийское совещание по проблемам управления (Москва, 2014);
XIX Нижегородская сессия молодых ученых: Естественные, математические науки (Нижний Новгород, 2014).
В 2013-2014 гг. и 2014-2015 гг. исследования были поддержаны стипендией имени академика Г.А. Разуваева для аспирантов, а также стипендией Правительства Российской Федерации (2014-2015 гг).
Результаты первых трёх глав диссертации были получены при выполнении проекта № 14-01-31120 мол_а в 2014-2015 гг. (руководитель) и проектов № 12-01-31358 мол_а в 2012-2013 гг., № 14-01-00266 в 2014-2016 гг. (исполнитель), выполненных при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований.
Результаты четвертой главы получены при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014-2020 годы» (соглашение 14.578.21.0110 от 27.10.2015, уникальный идентификатор RFMEFI57815X0110).
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных работах, включая 4 публикации в ведущих научных журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ -], трудах двух международных конференций и четырех тезисах докладов региональных и Всероссийских конференций [-. В совместной работе ] автору принадлежат результаты численного моделирования.
Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 123 страницах, содержит 11 иллюстраций. Библиография включает 81 наименование.
Синтез обобщенного -управления
В теории обобщенного %ос -управления рассматривается линейный управляемый объект, подверженный внешнему воздействию и начальному возмущению, порождаемому неизвестными начальными условиями. Если объект находится в начальный момент времени в покое, то есть начальное возмущение равно нулю, то в качестве меры влияния внешнего воздействия на рассматриваемый объект принимается уровень гашения внешнего возмущения, совпадающий с %оо-нормой, а задача синтеза управления, минимизирующего данный критерий, есть задача Н -оптимального управления . Напротив, когда начальное состояние ненулевое, а внешнее возмущение отсутствует, под мерой реакции системы понимается уровень гашения начального возмущения, равный 7о-норме. В этом случае, закон управления, оптимизирующий переходный процесс в наихудшем случае, известен как 7о-оптимальный . В общем случае указанные критерии противоречивы, поэтому основная цель обобщенного %ос-управления заключается в определении закона управления, который был бы компромиссным при оценке влияния как внешнего, так и начального возмущений .
Приведем теперь основные факты, относящиеся к обобщенной Ноо-норме, при этом в изложении будем следовать работам . Для определенности рассмотрим линейный дискретный нестационарный объект вида Xk+i = Акхк + Bkvk, k = 0,...,N-l, zk = Ckxk + Dkvk, где х Є Ж1 - состояние, z Є Е"-2 - целевой выход иие Rnv - внешнее возмущение, N-l т ограниченное по 2-норме: vk vk oo. fc=0
Предположим, что в общем случае начальное состояние х0 ненулевое и неизвестно, а его влияние на динамику объекта интерпретируется как начальное возмущение.
Управляемый выход объекта для фиксированного начального состояния х0 и последовательности возмущений v0,... , vN_ і будем характеризовать значением функционала N-1 j(x0,v0,..., vN_ij = \\z\\i2 + xNSxN = У zk zk-\- xNSxN, (1.2) fc=0 где S = S 0 - весовая матрица, задающая приоритет между качеством переходного процесса и конечным состоянием объекта.
Сначала рассмотрим отдельно два крайних случая: на объект действует только начальное или только внешнее возмущение. Пусть объект в начальный момент времени находился в покое, что соответствует случаю, когда отсутствует начальное возмущение. Следуя , определим показатель влияния внешнего возмущений на целевой выход (1.1) - уровень гашения внешнего возмущения - как относительное значение функционала (1.2) в наихудшем случае: J(0,VO,...,VN_1) 2 = sup 2 0 2
Отметим, что если объект (1.1) является стационарным и рассматривается на бесконечном интервале времени, то, используя равенство Парсеваля, можно показать, что выражение (1.3) совпадает с 7 -нормой рассматриваемого объекта . Следующее утверждение характеризует уровень гашения внешнего возмущения в терминах решений линейных матричных неравенств .
Утверждение 1.1. Уровень гашения внешнего возмущения в системе (1.1) на конечном интервале времени удовлетворяет неравенству 7оо 7 тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства /AlXk+1Ak - Xk AjXk+lBk Ck\ BTkXk+lAk BjXk+1Bk--f2I Dj Ck Dk -i) 0, (1.4) разрешимы относительно матриц Xk = Xk 0, k = 0,..., N - 1, при XN = S.
Из утверждения следует, что уровень гашения внешнего возмущения 7оо находится как точная нижняя грань множества всех 7, для которых система линейных матричных неравенств (1.4) разрешима относительно матриц Хк = Хк 0 и 7 .
В случае, если внешнее возмущение отсутствует, то влияние начального возмуще ния на качество переходного процесса в системе (1.1) может быть охарактеризовано величиной 2 J(x0,0,...,0) 70 = sup 2 (1.5) х0ф0 \Х0\ которая называется уровнем гашения начального возмущения . В показано, что эта величина может быть найдена как решение оптимизационной задачи с ограничениями, заданными линейными матричными неравенствами.
Утверждение 1.2. Уровень гашения начального возмущения в системе (1.1) на конечном интервале времени удовлетворяет неравенству 70 7 тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства ATkXk+1Ak -Xk + ClCk О, Х0 -f2I, (1.6) разрешимы относительно матриц Хк = Хк О, к = 0,..., N - 1, при XN = S. Чтобы описать совместное влияние внешнего и начального возмущений на выход объекта (1.1), определим уровень гашения возмущений как своеобразную свертку двух рассматриваемых факторов : 7W = sup
Jx0,v0,. . . ,VN_1 =F , (1.7) где R = R 0 - весовая матрица, предназначенная для задания приоритета между внешним возмущением и компонентами начального состояния. Введенный таким образом показатель называется обобщенной 7 -нормой. Нетрудно видеть, что в крайних случаях выражение (1.7) превращается либо в (1.3), либо в (1.5), то есть, при х0 = 0 имеем 7w = 7оо, а при v = 0 получим 7«, = 70/ тах(-). Оказывается , что уровень гашения возмущений может быть выражен в терминах линейных матричных неравенств, для этого достаточно потребовать существование общего решения неравенств (1.4) и (1.6), характеризующих в отдельности уровень гашения внешнего возмущения и уровень гашения начального возмущения с учетом весового коэффициента.
Уровень гашения возмущений в системе (1.1) на конечном интервале времени удовлетворяет неравенству 7w 7 тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства (A.
Наихудшие внешние возмущения и начальное состояние в непрерывно дискретном объекте
Отметим, что согласно сформулированной теореме, уровень гашения возмущений 7С при помощи соотношения (2.45) выражается через значение матричной функции X(t). Однако, в силу уравнения (2.6a), величина X(t) неявно зависит от гус. Вследствие этого, для определения уровня гашения возмущений возникает нелинейная краевая задача для матричного дифференциального уравнения Риккати: найти решение уравнения (2.6a) с граничными условиями (2.6b) и (2.45), а также условием (2.6d).
Обратимся теперь к доказательству теоремы.
Доказательство теоремы 2.2. Нетрудно показать, что соотношение (2.4) эквивалентно выполнению равенства sup J(xo,v,w) = 0. (2.48) Иі!2 +ІНІ2 2 + 0Д 0=і Согласно формуле (2.39) функционал J(x0,v,w) может быть записан следующим образом: J(x0,v,w) = xUcJC0 + X(t0) - %R)X0 %\\v - v \\l2 + N-l + J2(wk w k)T(AjX(tk)Ak - %l) (wk - w k) + fc=l + wN - w N (АдгбАдг - 7C- (wN - w N где v и w k определены соотношениями (2.46). В силу справедливости неравенств (2.6b), (2.6c) и (2.6e) первое слагаемое является неположительно определенной, а оставшиеся - отрицательно определенными квадратичными формами, поэтому максимальное значение функционала J(x0, v, w) обращается в ноль при v = v и wk = w k, k = 1,... , N, и соответствующем выборе х0. Следовательно, возмущения v иwl являются наихудшими внешними возмущениями относительно критерия 7с. Подставим v и w k в соотношение (2.48), тогда: sup J(x0,v ,w)= sup xUx(t0) + CjC0--fcR)x0. \\v \\L+\\v \\2+x0R 0=l ll« llL+lh ll2+ ftr0 = l Теперь заметим, что и, и зависят от 0 и справедливы соотношения: v (t) = ъ1В (t)X(t) b(t,t0)x0, / -г- \ -1 -г w k = - (AjX(tk)Ak - 7c Л AjX(t (tk - 0, t0)x0, здесь Ф(Мо) - фундаментальная матрица решений замкнутой системы (2.115). Следовательно, ограничение есть квадратичная форма от х0: \\v \\l2 + \\w \\l+xUxo = x Qx0 = l, где tN Q = R + 1-2 Фт(т,і0)Х(т)В(т)Вт(т)Х(т)Ф(т,і0)(іт + «о N + fc=l J2 фТ(- 0, t0)X{tk)Ak(AlX(tk)Ak - 7сЛ \іХ(ік)Ф(ік - 0, t0). Таким образом, задача (2.48) свелась к следующей: sup x0 ПІКО =1 Xo(x(t0) + C0TC0 - 7ci?W
Для решения последней задачи воспользуемся правилом множителей Лагранжа: точка максимума х0 должна удовлетворять системе уравнений: (x(to) + СоТС0 - jcR\x0 +»Пх0 = 0 и ж аго = 1, (2.49) параметр /і есть множитель Лагранжа. Перепишем первое уравнение как (X(t0) + CQ С0 + /іП)х0 = lcRxo, откуда находим хо = «emax (R 1 \x(t0) + CjC0 + ц Ы V 7с = Атах (і?-1 [х(0) + С0ТСо + /х fil V значение а находится из второго уравнения (2.49). Подставим найденные значения в квадратичную форму и упростим: Xo(x(t0) + Со Со - 1CR)XQ = -iixoflx о = Iі Заметим, что по условию точная верхняя грань равна нулю, следовательно /і = 0. Подставляя найденное значение /і в выражение для х0 приходим к соотношениям (2.45) и (2.46c).
Сформулируем и докажем несколько следствий, отвечающих на вопрос о наихудших о возмущениях, применительно к уровням гашения начального возмущения С, непрерывного внешнего возмущения с, дискретного внешнего возмущения Г и уровня гашения смешанных внешних возмущений с w .
Следствие 2.5. В объекте (2.1), (2.2) и (2.3) уровень гашения начальных возмущений с = тах (J0 + (0)) (2.50) достигается при наихудшем начальном состоянии = max (J0 + (0)] , (2.51) где () - решение системы (2.41), найденное при с. Доказательство. Поскольку на объект не действует ни непрерывное, ни дискретное внешнее возмущение, то соотношение (2.51) получается из соотношений (2.46), если положить в последних = , () = 0 и к = 0, = 1,... , . Ш Следствие 2.6. В объекте (2.1), (2.2) и (2.3) уровень гашения непрерывных внешних возмущений ї = max (J0 + (0)) (2.52) достигается при наихудшем внешнем возмущении () = ") 1T()()(), (2.53) где () - решение системы (2.42), найденное при с.
Доказательство. Соотношение (2.53) получается из соотношений (2.46), если положить в последних к = 0, = 1,... , что равносильно тому, что на объект не действует дискретное внешнее возмущение, а в силу отсутствия начального возмущения необходимо отбросить условие (2.46c) и положить = в соотношении (2.45).
Следствие 2.7. В объекте (2.1), (2.2) и (2.3) уровень гашения дискретных внешних возмущений с = max (j 0 + (0)) (2.54) достигается при наихудшем внешнем возмущении / -г- \ -1 -г k = - (j(k)k - с") j(k)(k - 0), (2.55) где () - решение уравнения (2.43) с условиями (2.6b) и (2.6d), найденное при с" . Доказательство. Так как на объект не действует непрерывное внешнее возмущение, то соотношение (2.55) получается из соотношений (2.46), если положить в послед них В {і) = О, а в силу отсутствия начального возмущения необходимо отбросить усло вие (2.46c) и положить R = І в соотношении (2.45). Следствие 2.8. В объекте (2.1), (2.2) и (2.3) уровень гашения смешанных внешних возмущений lT = Amax (cJC0 + X(t0)) (2.56) достигается при наихудших внешних возмущениях (т- \ -1 -г AjX(tk)Ak - fc wl\ AjX(tk)x(tk-0), (2.57a) v (t) = (w) 1BT(t)X(t)x(t), (2.57b) где X{i) - решение системы (2.6a), (2.6b) и (2.6d), найденное при % w. Доказательство. Поскольку на объект не действует начальное возмущение, то, отбрасывая в соотношениях (2.46) условие (2.46c) и полагая R = І в формуле (2.45), получаем соотношения (2.57).
Отметим еще раз, что теорема 2.2 и следствия из нее позволяют свести вычисление соответствующих уровней гашения возмущений к решению нелинейной краевой задачи. Последняя же может быть решена различными численными методами, например, методом простой итерации. Кратко опишем применение данного метода на примере вычисления уровня гашения возмущений 7с. Выберем некоторое достаточно большое начальное значение 7 и решим задачу (2.6b), (2.6a) и (2.6d). Далее, используя формулу (2.45), вычислим следующее приближение к 7с. Указанную процедуру будем повто-рять до тех пор, пока разность между двумя соседними найденными значениями не станет меньше некоторого наперед заданного малого положительного числа. Один из существенных недостатков упомянутого подхода, помимо возможного отсутствия сходимости генерируемой последовательности приближений, - необходимость решать на каждом шаге матричное дифференциальное уравнение. От этого можно избавиться, если перейти от непрерывно-дискретной модели к дискретной. Следующий раздел посвящен реализации этой идеи.
Синтез оптимального управления по выходу
Сгруппируем первое и второе слагаемые в (2.105) и упростим выражение для П2, для чего опять применим формулу Шермана-Моррисона-Вудбери, тогда: "Г 1 Г / 1 -г \-1 1 1 -г CTkGk+lWklx \l + Ek+lXk+l(І - Ек+1\к-ІгЕтк+1Хк+1) Ек+1]кЦ GTk+lCk = -г / -г \-1 -г = CTkGk+l(Wk+l - ETk+lXk+lEk+l) GTk+lCk и П2 = ATkXk+l l - Ek+l , формируется матрица S, например, по формуле
Теорема 3.4 также позволяет синтезировать и обобщенное ft -оптимальное управление по выходу на бесконечном интервале времени. Для этого достаточно найти решение задачи минимизации 7с() при ограничениях, задаваемых неравенствами (3.51), после чего оптимальный регулятор находится как решение (3.52).
Наконец, в заключение параграфа, приведем без доказательств следствия из тео-ремы 3.4, устанавливающие необходимые и достаточные условия существования 70- и Псе -управлений по выходу для стационарного объекта на бесконечном горизонте.
Следствие 3.13. Для стационарного объекта (3.21), (3.22) при заданном 7 0 существует дискретное -управление по выходу на бесконечном интервале времени тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства Ah,XAh 0, С1 AhYAl Y C1YAl (Wc2 0 0 II МТ X I C1YCj WC 0 0 I M 0, (3.53a) (3.53b) x l Y 0, X yl, (3.53c) разрешимы относительно X = X 0, Y = У 0, при этом столбцы матриц Wr KJ 2 и M образуют базисы ядер матриц соответственно.
Следствие 3.14. Для стационарного объекта (3.21), (3.22) на бесконечном интервале времени существует дискретное И -управление по выходу, обеспечивающее гашение непрерывных внешних возмущений с заданным 7 0, тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства и первое неравенство (3.51c) разрешимы относительно X = X О, Y = У О, а столбцы матриц Wr и М образуют базисы пространств кет Со и кет [В.. D-,) соответственно.
Следствие 3.15. Для стационарного объекта (3.21), (3.22) на бесконечном интервале времени существует дискретное И -управление по выходу, обеспечивающее гашение дискретных внешних возмущений с заданным 7 О, тогда и только тогда, когда существуют матрицы X = X О, Y = У О, удовлетворяющие линейным матричным неравенствам и первому неравенству (3.51c), при этом столбцы матриц N и М образуют базисы пространств ker (С2 D2j и ker [Ви Dx) соответственно. Следствие 3.16. Для стационарного объекта (3.21), (3.22) на бесконечном интервале времени существует дискретное И -управление по выходу, обеспечивающее гашение смешанных внешних возмущений с заданным 7 0, тогда и только тогда, когда линейные матричные неравенства (3.51а), (3.51Ь) и первое неравенство (3.51с) разрешимы относительно матриц ХТ = Х 0 и Y = У О, при этом столбцы мат риц N и М образуют базисы пространств кег С2 О D2 0 и кег ВІ Dj О О соответственно.
Из замечания к теореме 2.8 следует, что существует такая конечная матрица R , что при любом весовом коэффициенте R R обобщенный Я -оптимальный регулятор по выходу на бесконечном интервале времени совпадает с // -оптимальным регулятором по выходу синтезированным по следствию 3.16 и обеспечивающим гашение смешан-ных внешних возмущений. Следовательно, для получения действительного компромисса при учете влияний как начального, так и внешних возмущений весовая матрица R должна удовлетворять условию Атах(Л_1Л) І. Численно граничное значение R весовой матрицы определяется следующим образом: brx y1 , где через Х обозначена матрица, удовлетворяющая неравенствам (3.51a), (3.51b) и первому неравенству (3.51c) при минимальном значении 7с.
Рассмотрим изображенную на рис. 3.3 механическую систему, состоящую из выве-шиваемого тела массы т и электромагнита . Левитация тела обеспечивается изменением магнитного поля, происходящим за счет изменения напряжения U, подаваемого на обмотку электромагнита. Динамика такого простейшего магнитного подвеса подчиняется двум уравнениям: ті) = F - та, (3.56) V + RI=U. Первое уравнение (3.56) выражает второй закон Ньютона и определяет изменение ко-ординаты s вывешиваемого тела под действием силы тяжести тд и силы F со стороны электромагнита, а второе - определяет изменение силы тока / в цепи электромагнита сопротивлением R при изменении подаваемого на него напряжения U и представляет собой закон Кирхгофа для электрической цепи электромагнита. Через Ф обозначено потокосцепление обмотки электромагнита, Ф = пФ, где Ф - магнитный поток, проходящий через один виток, а п - число витков в обмотке.
Потокосцепление Ф и сила тока / в цепи электромагнита связаны соотношением: = L(s)/, L{s) = , CL = /i0n2A/2, (3.57) где L(s) - индуктивность электромагнита, CL - конструктивный параметр и 6 - величина номинального зазора между электромагнитом и вывешиваемым телом. Если обозначить номинальную индуктивность как L0 = L(0), то С = L05, и тогда
