Окружность и все о ней. Внеклассный урок - окружность. Определения углов для двух окружностей

Окружностью называется кривая замкнутая линия на плоскости, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки; эта точка называется центром окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .

Отрезок прямой, соединяющий точку окружности с её центром, называется радиусом (рис. 84).

Так как все точки окружности находятся от центра на одном и том же расстоянии, то все радиусы одной и той же окружности равны между собой. Радиус обыкновенно обозначается буквой R или r .

Точка, взятая внутри окружности, находится от её центра на расстоянии, меньшем радиуса. В этом легко убедиться, если через данную точку провести радиус (рис. 85).

Точка, взятая вне окружности, находится от её центра на расстоянии, большем радиуса. В этом легко убедиться, если соединить данную точку с центром окружности (рис. 85).

Отрезок прямой, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр, называется диаметром (рис. 84). Диаметр обыкновенно обозначается буквой D. Диаметр равен двум радиусам:

Так как все радиусы одного и того же круга равны между собой, то и все диаметры данного круга равны между собой.

Теорема . Хорда, не проходящая через центр круга, меньше диаметра, проведённого в том же круге.

В самом деле, если проведём какую-нибудь хорду, например АВ, и соединим её концы с центром О (рис. 86), то увидим, что хорда АВ меньше ломаной линии АО + ОВ, т. е. АВ r, а так как 2r = D, то АВ

Если круг перегнуть по диаметру (рис. 87), то обе части круга и окружности совместятся. Диаметр делит круг и окружность на две равные части.

Два круга (две окружности) называются равными, если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совместились.

Поэтому два круга (две окружности) с равными радиусами равны.

2. Дуга окружности.

Часть окружности называется дугой.

Слово «дуга» иногда заменяется знаком \(\breve{ }\). Дуга обозначается двумя или тремя буквами, из которых две ставятся на концах дуги, а третья - у какой-нибудь точки дуги. На чертеже 88 обозначены две дуги: \(\breve{ACB}\) и \(\breve{ADB}\).

В том случае, когда дуга меньше полуокружности, она обычно обозначается двумя буквами. Так, дугу АDВ можно обозначить \(\breve{AB}\) (рис. 88). О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.

Если передвинуть дугу АС (рис. 89, а) так, чтобы она скользила поданной окружности, и если при этом она совпадает с дугой МN, то \(\breve{AC}\) = \(\breve{NM}\).

На чертеже 89, б дуги АС и АВ не равны между собой. Начинаются обе дуги в точке А, но одна дуга \(\breve{AB}\) составляет только часть другой дуги \(\breve{AC}\).

Поэтому \(\breve{AC}\) > \(\breve{AB}\); \(\breve{AB}\)

Построение окружности по трем точкам

Задача. Через три точки, не лежащие на одной прямой, провести окружность.

Пусть нам даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой (черт.311).

Соединим эти точки отрезками АВ и ВС. Чтобы найти точки равноудалённые от точек А и В разделим отрезок АВ пополам и через середину (точку М) проведём прямую перпендикулярную к АВ. Каждая точка этого перпендикуляра одинаково удалена от точек А и В.

Чтобы найти точки, равноудалённые от точек В и С, разделим отрезок ВС пополам и через его середину (точку N) проведем прямую, перпендикулярную ВС. Каждая точка этого перпендикуляа одинаково удалена от точек В и С.

Точка О пересечения этих перпендикуляров будет находиться на одинаковом расстоянии от данных точек А, В и С (АО = ВО = СО). Если мы, приняв точку О за центр круга, радиусом, равным АО, проведём окружность, то она пройдёт через все данные точки А, В и С.

Точка О является единственной точкой, которая может служить центром окружности, проходящей через три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, так как два перпендикуляра к отрезкам АВ и ВС могут пересечься только в одной точке. Значит, задача имеет единственное решение.

Примечание . Если три точки А, В и С будут лежать на одной прямой, то задача не будет иметь решения, так как перпендикуляры к отрезкам АВ и ВС будут параллельны и не будет существовать точки, одинаково удаленной от точек А, В, С, т. е. точки, которая могла бы служить центром искомой окружности.

Если соединить отрезком точки А и С и середину этого отрезка (точку К) соединить с центром окружности О, то ОК будет перпендикулярна к АС (черт. 311), так как в равнобедренном треугольнике АОС ОК является медианой, поэтому ОК⊥АС.

Следствие. Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведённые через их середины пересекаются в одной точке.

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка (O) называется центром окружности .
Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Длина единичной полуокружности обозначается через π .
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º .
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
Круговой сектор - часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора .
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

Взаимное расположение прямой и окружности

1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек
.

Центральные и вписанные углы

Центральный угол - это угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

• Следствие 1.
  Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.


• Следствие 2.
  Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Основные формулы

• Длина окружности:

• Длина дуги окружности:

• Диаметр:

• Длина дуги окружности:

• Площадь круга:

• Площадь кругового сектора:

Уравнение окружности

• В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид:

• Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

Разбираемся в том что такое окружность и круг. Формула площади круга и длины окружности.

Мы каждый день встречаем множество предметов, по форме которые образовывают круг или напротив окружность. Иногда возникает вопрос, что такое окружность и чем она отличается от круга. Конечно же, мы все проходили уроки геометрии, но иногда не помешает освежить знания весьма простыми объяснениями.

Что такое длина окружности и площадь круга: определение

Итак, окружность является замкнутой кривой линией, которая ограничивает или же напротив, образует круг. Обязательное условие окружности — у нее есть центр и все точки равноудалены от него. Проще говоря, окружность это гимнастический обруч (или как его часто называют хула-хуп) на плоской поверхности.

Длина окружности это общая длина той самой кривой, которая образует окружность. Как известно вне зависимости от размеров окружности соотношение ее диаметра и длины равно числу π = 3,141592653589793238462643.

Из этого следует, что π=L/D, где L — длина окружности, а D — диаметр окружности.

Если Вам известен диаметр, то длину можно найти по простой формуле: L= π* D

В случае если известен радиус: L=2 πR

Мы разобрались, что такое окружность и можем перейти к определению круга.

Круг — это геометрическая фигура, которая окружена окружностью. Или же, круг это фигура, рубеж которой состоит из большого количества точек равноудаленных от центра фигуры. Вся площадь, которая находится внутри окружности, включая ее центр, называется кругом.

Стоит заметить, что у окружности и круга, который находится в ней значения радиуса и диаметра одинаковые. А диаметр в свою очередь в два раза больше чем радиус.

Круг имеет площадь на плоскости, которую можно узнать при помощи простой формулы:

Где S — площадь круга, а R — радиус данного круга.

Чем круг отличается от окружности: объяснение

Основное отличие между кругом и окружностью — это то, что круг — геометрическая фигура, а окружность — замкнутая кривая. Также обратите внимание на отличия между окружностью и кругом:

• Окружность это замкнутая линия, а круг — площадь внутри этой окружности;
• Окружность это кривая линия на плоскости, а круг — пространство, сомкнутое в кольцо окружностью;
• Сходство между окружностью и кругом: радиус и диаметр;
• У круга и окружности единый центр;
• В случае если заштриховывается пространство внутри окружности, оно превращается в круг;
• У окружности есть длина, но ее нет у круга, и наоборот, у круга есть площадь, которой нет у окружности.

Круг и окружность: примеры, фото

Для наглядности предлагаем рассмотреть фото, на котором слева изображен круг, а справа окружность.

Формула длины окружности и площади круга: сравнение

Формула длины окружности L=2 πR

Формула площади круга S= πR²

Обратите внимание, что в обеих формулах присутствует радиус и число π. Данные формулы рекомендуется выучить наизусть, так как они простейшие и обязательно пригодятся в повседневной жизни и на работе.

Площадь круга по длине окружности: формула

S=π(L/2π)=L²/4π, где S — площадь круга, L — длина окружности.

Видео: Что такое круг, окружность и радиус

Чтобы в общих чертах представить себе, что такое окружность, взгляните на кольцо или обруч. Можно также взять круглый стакан и чашку, поставить вверх дном на лист бумаги и обвести карандашом. При многократном увеличении полученная линия станет толстой и не совсем ровной, и края ее будут размытыми. Окружность как геометрическая фигура не имеет такой характеристики, как толщина.

Окружность: определение и основные средства описания

Окружность - это замкнутая кривая, состоящая из множества точек, расположенных в одной плоскости и равноудаленных от центра окружности. При этом центр находится в той же плоскости. Как правило, он обозначается буквой О.

Расстояние от любой из точек окружности до центра называется радиусом и обозначается буквой R.

Если соединить две любые точки окружности, то полученный отрезок будет называться хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, - это диаметр, обозначаемый буквой D. Диаметр делит окружность на две равные дуги и по длине вдвое превышает размер радиуса. Таким образом, D = 2R, или R = D/2.

Свойства хорд

1. Если через две любые точки окружности провести хорду, а затем перпендикулярно последней - радиус или диаметр, то этот отрезок разобьет и хорду, и дугу, отсеченную ею, на две равные части. Верно и обратное утверждение: если радиус (диаметр) делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
2. Если в пределах одной и той же окружности провести две параллельные хорды, то дуги, отсеченные ними, а также заключенные между ними, будут равны.
3. Проведем две хорды PR и QS, пересекающиеся в пределах окружности в точке T. Произведение отрезков одной хорды всегда будет равно произведению отрезков другой хорды, то есть PT х TR = QT х TS.

Длина окружности: общее понятие и основные формулы

Одной из базовых характеристик данной геометрической фигуры является длина окружности. Формула выводится с использованием таких величин, как радиус, диаметр и константа "π", отражающая постоянство отношения длины окружности к ее диаметру.

Таким образом, L = πD, или L = 2πR, где L - это длина окружности, D - диаметр, R - радиус.

Формула длины окружности может рассматриваться как исходная при нахождении радиуса или диаметра по заданной длине окружности: D = L/π, R = L/2π.

Что такое окружность: основные постулаты

• не иметь общих точек;
• иметь одну общую точку, при этом прямая называется касательной: если провести радиус через центр и точку касания, то он будет перпендикулярен касательной;
• иметь две общие точки, при этом прямая называется секущей.

2. Через три произвольные точки, лежащие в одной плоскости, можно провести не более одной окружности.

3. Две окружности могут соприкасаться только в одной точке, которая расположена на отрезке, соединяющем центры этих окружностей.

4. При любых поворотах относительно центра окружность переходит сама в себя.

5. Что такое окружность с точки зрения симметрии?

• одинаковая кривизна линии в любой из точек;
• относительно точки О;
• зеркальная симметрия относительно диаметра.

6. Если построить два произвольных вписанных угла, опирающихся на одну и ту же дугу окружности, они будут равны. Угол, опирающийся на дугу, равную половине то есть отсеченную хордой-диаметром, всегда равен 90°.

7. Если сравнивать замкнутые кривые линии одинаковой длины, то получится, что окружность отграничивает участок плоскости наибольшей площади.

Окружность, вписанная в треугольник и описанная около него

Представление о том, что такое окружность, будет неполным без описания особенностей взаимосвязи этой с треугольниками.

1. При построении окружности, вписанной в треугольник, ее центр всегда будет совпадать с точкой пересечения треугольника.
2. Центр окружности, описанной около треугольника, располагается на пересечении срединных перпендикуляров к каждой из сторон треугольника.
3. Если описать окружность около то ее центр будет находиться на середине гипотенузы, то есть последняя будет являться диаметром.
4. Центры вписанной и описанной окружностей будут находиться в одной точке, если базой для построения является

Основные утверждения об окружности и четырехугольниках

1. Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность лишь тогда, когда сумма его противоположных внутренних углов равняется 180°.
2. Построить вписанную в выпуклый четырехугольник окружность можно, если одинакова сумма длин его противоположных сторон.
3. Описать окружность вокруг параллелограмма можно, если его углы прямые.
4. Вписать в параллелограмм окружность можно в том случае, если все его стороны равны, то есть он является ромбом.
5. Построить окружность через углы трапеции можно, только если она равнобедренная. При этом центр описанной окружности будет располагаться на пересечении четырехугольника и срединного перпендикуляра, проведенного к боковой стороне.