Химия – это наука о веществах, их свойствах и превращениях
.
То есть, если с окружающими нас веществами ничего не происходит, то это не относится к химии. Но что значит, «ничего не происходит»? Если в поле нас вдруг застала гроза, и мы все промокли, как говорится «до нитки», то это ли не превращение: ведь одежда была сухой, а стала мокрой.
Если, к примеру взять железный гвоздь, обработать его напильником, а затем собрать железные опилки (Fe ) , то это ли так же не превращение: был гвоздь – стал порошок. Но если после этого собрать прибор и провести получение кислорода (О 2) : нагреть перманганат калия (КМпО 4) и собрать в пробирку кислород, а затем в неё поместить раскалённые «до красна» эти железные опилки, то они вспыхнут ярким пламенем и после сгорания превратятся в порошок бурого цвета. И это так же превращение. Так где же химия? Несмотря на то, что в этих примерах меняется форма (железный гвоздь) и состояние одежды (сухая, мокрая) – это не превращения. Дело в том, что сам по себе гвоздь как был веществом (железо), так им и остался, несмотря на другую свою форму, а воду от дождя как впитала наша одежда, так потом его и испарила в атмосферу. Сама вода не изменилась. Так что же такое превращения с точки зрения химии?
Превращениями с точки зрения химии называются такие явления, которые сопровождаются изменением состава вещества. Возьмём в качестве примера тот же гвоздь. Не важно, какую форму он принял после обработки напильником, но после того как собранные от него железные опилки поместили в атмосферу кислорода - он превратился в оксид железа (Fe 2 O 3 ) . Значит, что-то всё-таки изменилось? Да, изменилось. Было вещество гвоздь, но под воздействием кислорода сформировалось новое вещество – оксид элемента железа. Молекулярное уравнение этого превращения можно отобразить следующими химическими символами:
4Fe + 3O 2 = 2Fe 2 O 3 (1)
Для непосвящённого в химии человека сразу возникают вопросы. Что такое «молекулярное уравнение», что такое Fe? Почему поставлены цифры «4», «3», «2»? Что такое маленькие цифры «2» и «3» в формуле Fe 2 O 3 ? Это значит, наступило время во всём разобраться по порядку.
Знаки химических элементов.
Несмотря на то, что химию начинают изучать в 8-м классе, а некоторые даже раньше, многим известен великий русский химик Д. И. Менделеев. И конечно же, его знаменитая «Периодическая система химических элементов». Иначе, проще, её называют «Таблица Менделеева».
В этой таблице, в соответствующем порядке, располагаются элементы. К настоящему времени их известно около 120. Названия многих элементов нам были известны ещё давно. Это: железо, алюминий, кислород, углерод, золото, кремний. Раньше мы не задумываясь применяли эти слова, отождествляя их с предметами: железный болт, алюминиевая проволока, кислород в атмосфере, золотое кольцо и т.д. и т.д. Но на самом деле все эти вещества (болт, проволока, кольцо) состоят из соответствующих им элементов. Весь парадокс состоит в том, что элемент нельзя потрогать, взять в руки. Как же так? В таблице Менделеева они есть, а взять их нельзя! Да, именно так. Химический элемент – это абстрактное (то есть отвлечённое) понятие, и используется в химии, впрочем как и в других науках, для расчётов, составления уравнений, при решении задач. Каждый элемент отличается от другого тем, что для него характерна своя электронная конфигурация атома. Количество протонов в ядре атома равно количеству электронов в его орбиталях. К примеру, водород – элемент №1. Его атом состоит из 1-го протона и 1-го электрона. Гелий – элемент №2. Его атом состоит из 2-х протонов и 2-х электронов. Литий – элемент №3. Его атом состоит из 3-х протонов и 3-х электронов. Дармштадтий – элемент №110. Его атом состоит из 110-и протонов и 110-и электронов.
Каждый элемент обозначается определённым символом, латинскими буквами, и имеет определённое прочтение в переводе с латинского. Например, водород имеет символ «Н» , читается как «гидрогениум» или «аш». Кремний имеет символ «Si» читается как «силициум». Ртуть имеет символ «Нg» и читается как «гидраргирум». И так далее. Все эти обозначения можно найти в любом учебнике химии за 8-й класс. Для нас сейчас главное уяснить то, что при составлении химических уравнений, необходимо оперировать указанными символами элементов.
Простые и сложные вещества.
Обозначая единичными символами химических элементов различные вещества (Hg ртуть , Fe железо , Cu медь , Zn цинк , Al алюминий ) мы по сути обозначаем простые вещества, то есть вещества, состоящие из атомов одного вида (содержащие одно и то же количество протонов и нейтронов в атоме). Например, если во взаимодействие вступают вещества железо и сера, то уравнение примет следующую форму записи:
Fe + S = FeS (2)
К простым веществам относятся металлы (Ва, К, Na, Mg, Ag), а так же неметаллы (S, P, Si, Cl 2 , N 2 , O 2 , H 2). Причём следует обратить
особое внимание на то, что все металлы обозначаются единичными символами: К, Ва, Са, Аl, V, Mg и т.д., а неметаллы – либо простыми символами: C,S,P или могут иметь различные индексы, которые указывают на их молекулярное строение: H 2 , Сl 2 , О 2 , J 2 , P 4 , S 8 . В дальнейшем это будет иметь очень большое значение при составлении уравнений. Совсем не трудно догадаться, что сложными веществами являются вещества, образованные из атомов разного вида, например,
1). Оксиды:
оксид алюминия
Al 2 O 3 , 
оксид натрия
Na 2 O,
оксид меди
CuO,
оксид цинка
ZnO,
оксид титана
Ti 2 O 3 ,
угарный газ
или оксид углерода (+2)
CO,
оксид серы (+6)
SO 3
2). Основания:
гидроксид железа
(+3) Fe(OH) 3 ,
гидроксид меди
Cu(OH) 2 ,
гидроксид калия или щёлочь калия
КOH,
гидроксид натрия
NaOH.
3). Кислоты:
соляная кислота
HCl,
сернистая кислота
H 2 SO 3 ,
азотная кислота
HNO 3
4). Соли:
тиосульфат натрия
Na 2 S 2 O 3 ,
сульфат натрия
или глауберова соль
Na 2 SO 4 ,
карбонат кальция
или известняк
СаCO 3,
хлорид меди
CuCl 2
5). Органические вещества:
ацетат натрия
СН 3 СООNa,
метан
СН 4 ,
ацетилен
С 2 Н 2 ,
глюкоза
С 6 Н 12 О 6
Наконец, после того как мы выяснили структуру различных веществ, можно приступать к составлению химических уравнений.
Химическое уравнение.
Само слово «уравнение» производное от слова «уравнять», т.е. разделить нечто на равные части. В математике уравнения составляют чуть ли не самую сущность этой науки. К примеру, можно привести такое простое уравнение, в котором левая и правая части будут равны «2»:
40: (9 + 11) = (50 х 2) : (80 – 30);
И в химических уравнениях тот же принцип: левая и правая части уравнения должны соответствовать одинаковым количествам атомов, участвующим в них элементов. Или, если приводится ионное уравнение, то в нём число частиц так же должно соответствовать этому требованию. Химическим уравнением называется условная запись химической реакции с помощью химических формул и математических знаков. Химическое уравнение по своей сути отражает ту или иную химическую реакцию, то есть процесс взаимодействия веществ, в процессе которых возникают новые вещества. Например, необходимо написать молекулярное уравнение реакции, в которой принимают участие хлорид бария ВаСl 2 и серная кислота H 2 SO 4. В результате этой реакции образуется нерастворимый осадок – сульфат бария ВаSO 4 и соляная кислота НСl:
ВаСl 2 + H 2 SO 4 = BaSO 4 + 2НСl (3)
Прежде всего необходимо уяснить, что большая цифра «2», стоящая перед веществом НСlназывается коэффициентом, а малые цифры «2», «4» под формулами ВаСl 2 , H 2 SO 4 ,BaSO 4 называются индексами. И коэффициенты и индексы в химических уравнениях выполняют роль множителей, а не слагаемых. Что бы правильно записать химическое уравнение, необходимо расставить коэффициенты в уравнении реакции . Теперь приступим к подсчёту атомов элементов в левой и правой частях уравнения. В левой части уравнения: в веществе ВаСl 2 содержатся 1 атом бария (Ва), 2 атома хлора (Сl). В веществе H 2 SO 4: 2 атома водорода (Н), 1 атом серы (S) и 4 атома кислорода (О) . В правой части уравнения: в веществе BaSO 4 1 атом бария (Ва) 1 атом серы (S) и 4 атома кислорода (О), в веществе НСl: 1 атом водорода (Н) и 1 атом хлора (Сl). Откуда следует, что в правой части уравнения количество атомов водорода и хлора вдвое меньше, чем в левой части. Следовательно, перед формулой НСl в правой части уравнения необходимо поставить коэффициент «2». Если теперь сложить количества атомов элементов, участвующих в данной реакции, и слева и справа, то получим следующий баланс:
В обеих частях уравнения количества атомов элементов, участвующих в реакции, равны, следовательно оно составлено правильно.
Химические уравнение и химические реакции
Как мы уже выяснили, химические уравнения являются отражением химических реакций. Химическими реакциями называются такие явления, в процессе которых происходит превращение одних веществ в другие. Среди их многообразия можно выделить два основных типа:
1). Реакции соединения
2). Реакции разложения.
В подавляющем своём большинстве химические реакции принадлежат к реакциям присоединения, поскольку с отдельно взятым веществом редко могут происходить изменения в его составе, если оно не подвергается воздействиям извне (растворению, нагреванию, действию света). Ничто так не характеризует химическое явление, или реакцию, как изменения, происходящие при взаимодействии двух и более веществ. Такие явления могут осуществляться самопроизвольно и сопровождаться повышением или понижением температуры, световыми эффектами, изменением цвета, образованием осадка, выделением газообразных продуктов, шумом.
Для наглядности приведём несколько уравнений, отражающих процессы реакций соединения, в процессе которых получаются хлорид натрия (NaCl), хлорид цинка (ZnCl 2), осадок хлорида серебра (AgCl), хлорид алюминия (AlCl 3)
Cl 2 + 2Nа = 2NaCl (4)
СuCl 2 + Zn= ZnCl 2 + Сu (5)
AgNO 3 + КCl = AgCl + 2KNO 3 (6)
3HCl + Al(OH) 3 = AlCl 3 + 3Н 2 О (7)
Cреди реакций соединения следует особым образом отметить следующие: замещения (5), обмена (6), и как частный случай реакции обмена – реакцию нейтрализации (7).
К реакциям замещения относятся такие, при осуществлении которой атомы простого вещества замещают атомы одного из элементов в сложном веществе. В примере (5) атомы цинка замещают из раствора СuCl 2 атомы меди, при этом цинк переходит в растворимую соль ZnCl 2 , а медь выделяется из раствора в металлическом состоянии.
К реакциям обмена относятся такие реакции, при которых два сложных вещества обмениваются своими составными частями. В случае реакции (6) растворимые соли AgNO 3 и КCl при сливании обоих растворов образуют нерастворимый осадок соли AgCl. При этом они обмениваются своими составными частями – катионами и анионами. Катионы калия К + присоединяются к анионам NO 3 , а катионы серебра Ag + – к анионам Cl - .
К особому, частному случаю, реакций обмена относится реакция нейтрализации. К реакциям нейтрализации относятся такие реакции, в процессе которых кислоты реагируют с основаниями, в результате образуется соль и вода. В примере (7) соляная кислота HCl , реагируя с основанием Al(OH) 3 образует соль AlCl 3 и воду. При этом катионы алюминия Al 3+ от основания обмениваются с анионами Сl - от кислоты. В итоге происходит нейтрализация соляной кислоты.
К реакциям разложения относятся такие, при котором из одного сложного образуются два и более новых простых или сложных веществ, но более простого состава. В качестве реакций можно привести такие, в процессе которых разлагаются 1). Нитрат калия (КNO 3) с образованием нитрита калия (КNO 2) и кислорода (O 2); 2). Перманганат калия (KMnO 4): образуются манганат калия (К 2 МnO 4), оксид марганца (MnO 2) и кислород (O 2); 3). Карбонат кальция или мрамор ; в процессе образуются углекислый газ (CO 2) и оксид кальция (СаО)
2КNO 3 = 2КNO 2 + O 2 (8)
2KMnO 4 = К 2 МnO 4 + MnO 2 + O 2 (9)
СаCO 3 = CaO + CO 2 (10)
В реакции (8) из сложного вещества образуется одно сложное и одно простое. В реакции (9) – два сложных и одно простое. В реакции (10) – два сложных вещества, но более простых по составу
Разложению подвергаются все классы сложных веществ:
1). Оксиды: оксид серебра 2Ag 2 O = 4Ag + O 2 (11)
2). Гидроксиды: гидроксид железа 2Fe(OH) 3 = Fe 2 O 3 + 3H 2 O (12)
3). Кислоты: серная кислота H 2 SO 4 = SO 3 + H 2 O (13)
4). Соли: карбонат кальция СаCO 3 = СаO + CO 2 (14)
5). Органические вещества: спиртовое брожение глюкозы
С 6 Н 12 О 6 = 2С 2 Н 5 ОH + 2CO 2 (15)
Согласно другой классификации, все химические реакции можно разделить на два типа: реакции, идущие с выделением теплоты, их называют экзотермические, и реакции, идущие с поглощением теплоты – эндотермические. Критерием таких процессов является тепловой эффект реакции. Как правило, к экзотермическим реакциям относятся реакции окисления, т.е. взаимодействия с кислородом, например сгорание метана :
СН 4 + 2O 2 = СО 2 + 2Н 2 О + Q (16)
а к эндотермическим реакциям – реакции разложения, уже приводимые выше (11) – (15). Знак Q в конце уравнения указывает на то, выделяется ли теплота в процессе реакции (+Q) или поглощается (-Q):
СаCO 3 = СаO+CO 2 - Q (17)
Можно так же рассматривать все химические реакции по типу изменения степени окисления, участвующих в их превращениях элементов. К примеру, в реакции (17) участвующие в ней элементы не меняют свои степени окисления:
Са +2 C +4 O 3 -2 = Са +2 O -2 +C +4 O 2 -2 (18)
А в реакции (16) элементы меняют свои степени окисления:
2Mg 0 + O 2 0 = 2Mg +2 O -2
Реакции такого типа относятся к окислительно-восстановительным . Они будут рассматриваться отдельно. Для составления уравнений по реакциям такого типа необходимо использовать метод полуреакций и применять уравнение электронного баланса.
После приведения различных типов химических реакций, можно приступать к принципу составлений химических уравнений, иначе, подбору коэффициентов в левой и правой их частях.
Механизмы составления химических уравнений.
К какому бы типу ни относилась та или иная химическая реакция, её запись (химическое уравнение) должна соответствовать условию равенства количества атомов до реакции и после реакции.
Существуют такие уравнения (17), которые не требуют уравнивания, т.е. расстановки коэффициентов. Но в большинстве случаях, как в примерах (3), (7), (15), необходимо предпринимать действия, направленные на уравнивание левой и правой частей уравнения. Какими же принципами необходимо руководствоваться в таких случаях? Существует ли какая ни будь система в подборе коэффициентов? Существует, и не одна. К таковым системам относятся:
1). Подбор коэффициентов по заданным формулам.
2). Составление по валентностям реагирующих веществ.
3). Составление по степеням окисления реагирующих веществ.
В первом случае полагается, что нам известны формулы реагирующих веществ как до реакции, так и после. К примеру, дано следующее уравнение:
N 2 + О 2 →N 2 О 3 (19)
Принято считать, что пока не установлено равенство между атомами элементов до реакции и после, знак равенства (=) в уравнении не ставится, а заменяется стрелкой (→). Теперь приступим к собственно уравниванию. В левой части уравнения имеются 2 атома азота (N 2) и два атома кислорода (О 2), а в правой – два атома азота (N 2) и три атома кислорода (О 3). По количеству атомов азота его уравнивать не надо, но по кислороду необходимо добиться равенства, поскольку до реакции их участвовало два атома, а после реакции стало три атома. Составим следующую схему:
до реакции после реакции
О 2 О 3
Определим наименьшее кратное между данными количествами атомов, это будет «6».
О 2 О 3
\ 6 /
Разделим это число в левой части уравнения по кислороду на «2». Получим число «3», поставим его в решаемое уравнение:
N 2 + 3О 2 →N 2 О 3
Так же разделим число «6» для правой части уравнения на «3». Получим число «2», так же поставим его в решаемое уравнение:
N 2 + 3О 2 → 2N 2 О 3
Количества атомов кислорода и в левой и в правой частях уравнения стали равны, соответственно по 6 атомов:
Но количество атомов азота в обеих частях уравнения не будут соответствовать друг другу:
В левой – два атома, в правой – четыре атома. Следовательно, что бы добиться равенства, необходимо удвоить количество азота в левой части уравнения, поставив коэффициент «2»:
Таким образом, равенство по азоту соблюдено и в целом, уравнение примет вид:
2N 2 + 3О 2 → 2N 2 О 3
Теперь в уравнении можно вместо стрелки поставит знак равенства:
2N 2 + 3О 2 = 2N 2 О 3 (20)
Приведём другой пример. Дано следующее уравнение реакции:
Р + Cl 2 → РCl 5
В левой части уравнения имеется 1 атом фосфора (Р) и два атома хлора (Cl 2), а в правой – один атом фосфора (Р) и пять атомов кислорода (Cl 5). По количеству атомов фосфора его уравнивать не надо, но по хлору необходимо добиться равенства, поскольку до реакции их участвовало два атома, а после реакции стало пять атома. Составим следующую схему:
до реакции после реакции
Cl 2 Cl 5
Определим наименьшее кратное между данными количествами атомов, это будет «10».
Cl 2 Cl 5
\ 10 /
Разделим это число в левой части уравнения по хлору на «2». Получим число «5», поставим его в решаемое уравнение:
Р + 5Cl 2 → РCl 5
Так же разделим число «10» для правой части уравнения на «5». Получим число «2», так же поставим его в решаемое уравнение:
Р + 5Cl 2 → 2РCl 5
Количества атомов хлора и в левой и в правой частях уравнения стали равны, соответственно по 10 атомов:
Но количество атомов фосфора в обеих частях уравнения не будут соответствовать друг другу:
Следовательно, что бы добиться равенства, необходимо удвоить количество фосфора в левой части уравнения, поставив коэффициент «2»:
Таким образом, равенство по фосфору соблюдено и в целом, уравнение примет вид:
2Р + 5Cl 2 = 2РCl 5 (21)
При составлении уравнений по валентностям необходимо дать определение валентности и установить значения для наиболее известных элементов. Валентность – это одно из ранее применяемых понятий, в настоящее время в ряде школьных программ не используется. Но при его помощи легче объяснить принципы составления уравнений химических реакций. Под валентностью понимают число химических связей, которые тот или иной атом может образовывать с другим, или другими атомами . Валентность не имеет знака (+ или -) и обозначается римскими цифрами, как правило, над символами химических элементов, например:
Откуда берутся эти значения? Как их применять при составлении химических уравнений? Числовые значения валентностей элементов совпадают с их номером группы Периодической системы химических элементов Д. И. Менделеева (Таблица 1).
Для других элементов значения валентностей могут иметь иные значения, но никогда не больше номера группы, в которой они расположены. Причём для чётных номеров групп (IV и VI) валентности элементов принимают только чётные значения, а для нечётных – могут иметь как чётные, так и нечётные значения (Таблица.2).
Конечно же, в значениях валентностей для некоторых элементов имеются исключения, но в каждом конкретном случае эти моменты обычно оговариваются. Теперь рассмотрим общий принцип составления химических уравнений по заданным валентностям для тех или иных элементов. Чаще всего данный метод приемлем в случае составления уравнений химических реакций соединения простых веществ, например, при взаимодействии с кислородом (реакции окисления ). Допустим, необходимо отобразить реакцию окисления алюминия . Но напомним, что металлы обозначаются единичными атомами (Al), а неметаллы, находящиеся в газообразном состоянии – с индексами «2» - (О 2). Сначала напишем общую схему реакции:
Al + О 2 →AlО
На данном этапе ещё не известно, какое правильное написание должно быть у оксида алюминия. И вот именно на данном этапе нам на помощь придёт знание валентностей элементов. Для алюминия и кислорода проставим их над предполагаемой формулой этого оксида:
III II
Al О
После чего «крест»-на-«крест» у этих символов элементов поставим внизу соответствующие индексы:
III II
Al 2 О 3
Состав химического соединения Al 2 О 3 определён. Дальнейшая схема уравнения реакции примет вид:
Al+ О 2 →Al 2 О 3
Остаётся только уравнять левую и правую его части. Поступим таким же способом, как в случае составления уравнения (19). Количества атомов кислорода уравняем, прибегая к нахождению наименьшего кратного:
до реакции после реакции
О 2 О 3
\ 6 /
Разделим это число в левой части уравнения по кислороду на «2». Получим число «3», поставим его в решаемое уравнение. Так же разделим число «6» для правой части уравнения на «3». Получим число «2», так же поставим его в решаемое уравнение:
Al + 3О 2 → 2Al 2 О 3
Что бы добиться равенства по алюминию, необходимо скорректировать его количество в левой части уравнения, поставив коэффициент «4»:
4Al + 3О 2 → 2Al 2 О 3
Таким образом, равенство по алюминию и кислороду соблюдено и в целом, уравнение примет окончательный вид:
4Al + 3О 2 = 2Al 2 О 3 (22)
Применяя метод валентностей, можно прогнозировать, какое вещество образуется в процессе химической реакции, как будет выглядеть его формула. Допустим, в реакцию соединения вступили азот и водород с соответствующими валентностями III и I. Напишем общую схему реакции:
N 2 + Н 2 → NН
Для азота и водорода проставим валентности над предполагаемой формулой этого соединения:
Как и прежде «крест»-на-«крест» у этих символов элементов поставим внизу соответствующие индексы:
III I
N Н 3
Дальнейшая схема уравнения реакции примет вид:
N 2 + Н 2 → NН 3
Уравнивая уже известным способом, через наименьшее кратное для водорода, равное «6»,получим искомые коэффициенты, и уравнение в целом:
N 2 + 3Н 2 = 2NН 3 (23)
При составлении уравнений по степеням окисления реагирующих веществ необходимо напомнить, что степенью окисления того или иного элемента называется число принятых или отданных в процессе химической реакции электронов. Степень окисления в соединениях в основном, численно совпадает со значениями валентностей элемента. Но отличаются знаком. Например, для водорода валентность равна I, а степень окисления (+1) или (-1). Для кислорода валентность равна II, а степень окисления (-2). Для азота валентности равны I,II,III,IV,V, а степени окисления (-3), (+1), (+2), (+3), (+4), (+5) и т.д. Степени окисления наиболее часто применяемых в уравнениях элементов, приведены в таблице 3.
В случае реакций соединения принцип составления уравнений по степеням окисления такой же, как и при составлении по валентностям. Например, приведём уравнение реакции окисления хлора кислородом, в которой хлор образует соединение со степенью окисления +7. Запишем предполагаемое уравнение:
Cl 2 + О 2 → ClО
Поставим над предполагаемым соединением ClО степени окисления соответствующих атомов:
Как и в предыдущих случаях установим, что искомая формула соединения примет вид:
7 -2
Cl 2 О 7
Уравнение реакции примет следующий вид:
Cl 2 + О 2 → Cl 2 О 7
Уравнивая по кислороду, найдя наименьшее кратное между двумя и семи, равное «14», установим в итоге равенство:
2Cl 2 + 7О 2 = 2Cl 2 О 7 (24)
Несколько иной способ необходимо применять со степенями окисления при составлении реакций обмена, нейтрализации, замещения. В ряде случаев предоставляется затруднительным узнать: какие соединения образуются при взаимодействии сложных веществ?
Как узнать: что получится в процессе реакции?
Действительно, как узнать: какие продукты реакции могут возникнут в ходе конкретной реакции? К примеру, что образуется при взаимодействии нитрата бария и сульфата калия?
Ва(NО 3) 2 + К 2 SO 4 → ?
Может быть ВаК 2 (NО 3) 2 + SO 4 ? Или Ва + NО 3 SO 4 + К 2 ? Или ещё что-то? Конечно же, в процессе этой реакции образуются соединения: ВаSO 4 и КNО 3 . А откуда это известно? И как правильно написать формулы веществ? Начнём с того, что чаще всего упускается из вида: с самого понятия «реакция обмена». Это значит, что при данных реакциях вещества меняются друг с другом составными частями. Поскольку реакции обмена в большинстве своём осуществляются межу основаниями, кислотами или солями, то частями, которыми они будут меняться, являются катионы металлов (Na + , Mg 2+ ,Al 3+ ,Ca 2+ ,Cr 3+), ионов Н + или ОН - , анионов – остатков кислот, (Cl - , NO 3 2- ,SO 3 2- , SO 4 2- , CO 3 2- , PO 4 3-). В общем виде реакцию обмена можно привести в следующей записи:
Kt1An1 + Kt2An1 = Kt1An2 + Kt2An1 (25)
Где Kt1 и Kt2 – катионы металлов (1) и (2), а An1 и An2 – соответствующие им анионы (1) и (2). При этом обязательно надо учитывать, что в соединениях до реакции и после реакции на первом месте всегда устанавливаются катионы, а анионы – на втором. Следовательно, если в реакцию вступит хлорид калия и нитрат серебра , оба в растворённом состоянии
KCl + AgNO 3 →
то в процессе её образуются вещества KNO 3 и AgClи соответствующее уравнение примет вид:
KCl + AgNO 3 =KNO 3 + AgCl (26)
При реакциях нейтрализации протоны от кислот (Н +) будут соединяться с анионами гидроксила (ОН -) с образованием воды (Н 2 О):
НCl + КОН = КCl + Н 2 O (27)
Степени окисления катионов металлов и заряды анионов кислотных остатков указаны в таблице растворимости веществ (кислот, солей и оснований в воде). По горизонтали приведены катионы металлов, а по вертикали – анионы кислотных остатков.
Исходя из этого, при составлении уравнения реакции обмена, необходимо вначале в левой его части установить степени окисления принимающих в этом химическом процессе частиц. Например, требуется написать уравнение взаимодействия между хлоридом кальция и карбонатом натрия.Составим исходную схему этой реакции:
СаCl + NаСО 3 →
Са 2+ Cl - + Nа + СО 3 2- →
Совершив уже известное действие «крест»-на-«крест», определим реальные формулы исходных веществ:
СаCl 2 + Nа 2 СО 3 →
Исходя из принципа обмена катионами и анионами (25), установим предварительные формулы образующихся в ходе реакции веществ:
СаCl 2 + Nа 2 СО 3 → СаСО 3 + NаCl
Над их катионами и анионами проставим соответствующие заряды:
Са 2+ СО 3 2- + Nа + Cl -
Формулы веществ записаны правильно, в соответствии с зарядами катионов и анионов. Составим полное уравнение, уравняв левую и правую его части по натрию и хлору:
СаCl 2 + Nа 2 СО 3 = СаСО 3 + 2NаCl (28)
В качестве другого примера приведём уравнение реакции нейтрализации между гидроксидом бария и ортофосфорной кислотой:
ВаОН + НРО 4 →
Над катионами и анионами проставим соответствующие заряды:
Ва 2+ ОН - + Н + РО 4 3- →
Определим реальные формулы исходных веществ:
Ва(ОН) 2 + Н 3 РО 4 →
Исходя из принципа обмена катионами и анионами (25), установим предварительные формулы образующихся в ходе реакции веществ, учитывая, что при реакции обмена одним из веществ обязательно должна быть вода:
Ва(ОН) 2 + Н 3 РО 4 → Ва 2+ РО 4 3- + Н 2 O
Определим правильную запись формулы соли, образовавшейся в процессе реакции:
Ва(ОН) 2 + Н 3 РО 4 → Ва 3 (РО 4) 2 + Н 2 O
Уравняем левую часть уравнения по барию:
3Ва (ОН) 2 + Н 3 РО 4 → Ва 3 (РО 4) 2 + Н 2 O
Поскольку в правой части уравнения остаток ортофосфорной кислоты взят дважды, (РО 4) 2 , то слева необходимо также удвоить её количество:
3Ва (ОН) 2 + 2Н 3 РО 4 → Ва 3 (РО 4) 2 + Н 2 O
Осталось привести в соответствие количество атомов водорода и кислорода в правой части у воды. Так как слева общее количество атомов водорода равно 12, то справа оно так же должно соответствовать двенадцати, поэтому перед формулой воды необходимо поставить коэффициент «6» (поскольку в молекуле воды уже имеется 2 атома водорода). По кислороду так же соблюдено равенство: слева 14 и справа 14. Итак, уравнение имеет правильную форму записи:
3Ва (ОН) 2 + 2Н 3 РО 4 → Ва 3 (РО 4) 2 + 6Н 2 O (29)
Возможность осуществления химических реакций
Мир состоит из великого множества веществ. Неисчислимо так же количество вариантов химических реакций между ними. Но можем ли мы, написав на бумаге то или иное уравнение утверждать, что ему будет соответствовать химическая реакция? Существует ошибочное мнение, что если правильно расставить коэффициенты в уравнении, то оно будет осуществимо и на практике. Например, если взять раствор серной кислоты и опустить в него цинк , то можно наблюдать процесс выделения водорода:
Zn+ H 2 SO 4 = ZnSO 4 + H 2 (30)
Но если в этот же раствор опустить медь, то процесс выделения газа наблюдаться не будет. Реакция не осуществима.
Cu+ H 2 SO 4 ≠
В случае, если будет взята концентрированная серная кислота, она будет реагировать с медью:
Cu + 2H 2 SO 4 = CuSO 4 + SO 2 + 2Н 2 O (31)
В реакции (23) между газами азотом и водородом наблюдается термодинамическое равновесие, т.е. сколько молекул аммиака NН 3 образуется в единицу времени, столько же их и распадётся обратно на азот и водород. Смещение химического равновесия можно добиться повышением давления и понижением температуры
N 2 + 3Н 2 = 2NН 3
Если взять раствор гидроксида калия и прилить к нему раствор сульфата натрия , то никаких изменений наблюдаться не будет, реакция будет не осуществима:
КОН + Na 2 SO 4 ≠
Раствор хлорида натрия при взаимодействии с бромом не будет образовывать бром, несмотря на то, что данная реакция может быть отнесена к реакции замещения:
NаCl + Br 2 ≠
В чём же причины таких несоответствий? Дело в том, что оказывается недостаточно только правильно определять формулы соединений , необходимо знать специфику взаимодействия металлов с кислотами, умело пользоваться таблицей растворимости веществ, знать правила замещения в ряду активности металлов и галогенов. В этой статье излагаются только самые основные принципы как расставить коэффициенты в уравнениях реакций , как написать молекулярные уравнения , как определить состав химического соединения.
Химия, как наука, чрезвычайно разнообразна и многогранна. В приведённой статье отражена лишь малая часть процессов, происходящих в реальном мире. Не рассмотрены типы , термохимические уравнения, электролиз, процессы органического синтеза и многое, многое другое. Но об этом в следующих статьях.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Поговорим о том, как составить химическое уравнение, ведь именно они являются основными элементами данной дисциплины. Благодаря глубокому осознанию всех закономерностей взаимодействий и веществ, можно управлять ими, применять их в различных сферах деятельности.
Теоретические особенности
Составление химических уравнений - важный и ответственный этап, рассматриваемый в восьмом классе общеобразовательных школ. Что должно предшествовать данному этапу? Прежде чем педагог расскажет своим воспитанникам о том, как составить химическое уравнение, важно познакомить школьников с термином «валентность», научить их определять данную величину у металлов и неметаллов, пользуясь таблицей элементов Менделеева.
Составление бинарных формул по валентности
Для того чтобы понять, как составить химическое уравнение по валентности, для начала нужно научиться составлять формулы соединений, состоящих из двух элементов, пользуясь валентностью. Предлагаем алгоритм, который поможет справиться с поставленной задачей. Например, необходимо составить формулу оксида натрия.
Сначала важно учесть, что тот химический элемент, который в названии упоминается последним, в формуле должен располагаться на первом месте. В нашем случае первым будет записываться в формуле натрий, вторым кислород. Напомним, что оксидами называют бинарные соединения, в которых последним (вторым) элементом обязательно должен быть кислород со степенью окисления -2 (валентностью 2). Далее по таблице Менделеева необходимо определить валентности каждого из двух элементов. Для этого используем определенные правила.
Так как натрий - металл, который располагается в главной подгруппе 1 группы, его валентность является неизменной величиной, она равна I.
Кислород - это неметалл, поскольку в оксиде он стоит последним, для определения его валентности мы из восьми (число групп) вычитаем 6 (группу, в которой находится кислород), получаем, что валентность кислорода равна II.
Между определенными валентностями находим наименьшее общее кратное, затем делим его на валентность каждого из элементов, получаем их индексы. Записываем готовую формулу Na 2 O.
Инструкция по составлению уравнения
А теперь подробнее поговорим о том, как составить химическое уравнение. Сначала рассмотрим теоретические моменты, затем перейдем к конкретным примерам. Итак, составление химических уравнений предполагает определенный порядок действий.
- 1-й этап. Прочитав предложенное задание, необходимо определить, какие именно химические вещества должны присутствовать в левой части уравнения. Между исходными компонентами ставится знак «+».
- 2-й этап. После знака равенства необходимо составить формулу продукта реакции. При выполнении подобных действий потребуется алгоритм составления формул бинарных соединений, рассмотренный нами выше.
- 3-й этап. Проверяем количество атомов каждого элемента до и после химического взаимодействия, в случае необходимости ставим дополнительные коэффициенты перед формулами.
Пример реакции горения
Попробуем разобраться в том, как составить химическое уравнение горения магния, пользуясь алгоритмом. В левой части уравнения записываем через сумму магний и кислород. Не забываем о том, что кислород является двухатомной молекулой, поэтому у него необходимо поставить индекс 2. После знака равенства составляем формулу получаемого после реакции продукта. Им будет в котором первым записан магний, а вторым в формуле поставим кислород. Далее по таблице химических элементов определяем валентности. Магний, находящийся во 2 группе (главной подгруппе), имеет постоянную валентность II, у кислорода путем вычитания 8 - 6 также получаем валентность II.
Запись процесса будет иметь вид: Mg+O 2 =MgO.
Для того чтобы уравнение соответствовало закону сохранения массы веществ, необходимо расставить коэффициенты. Сначала проверяем количество кислорода до реакции, после завершения процесса. Так как было 2 атома кислорода, а образовался всего один, в правой части перед формулой оксида магния необходимо добавить коэффициент 2. Далее считаем число атомов магния до и после процесса. В результате взаимодействия получилось 2 магния, следовательно, в левой части перед простым веществом магнием также необходим коэффициент 2.
Итоговый вид реакции: 2Mg+O 2 =2MgO.
Пример реакции замещения
Любой конспект по химии содержит описание разных видов взаимодействий.
В отличие от соединения, в замещении и в левой, и в правой части уравнения будет два вещества. Допустим, необходимо написать реакцию взаимодействия между цинком и Алгоритм написания используем стандартный. Сначала в левой части через сумму пишем цинк и соляную кислоту, в правой части составляем формулы получаемых продуктов реакции. Так как в электрохимическом ряду напряжений металлов цинк располагается до водорода, в данном процессе он вытесняет из кислоты молекулярный водород, образует хлорид цинка. В результате получаем следующую запись: Zn+HCL=ZnCl 2 +H 2 .
Теперь переходим к уравниванию количества атомов каждого элемента. Так как в левой части хлора был один атом, а после взаимодействия их стало два, перед формулой соляной кислоты необходимо поставить коэффициент 2.
В итоге получаем готовое уравнение реакции, соответствующее закону сохранения массы веществ: Zn+2HCL=ZnCl 2 +H 2 .
Заключение
Типичный конспект по химии обязательно содержит несколько химических превращений. Ни один раздел этой науки не ограничивается простым словесным описанием превращений, процессов растворения, выпаривания, обязательно все подтверждается уравнениями. Специфика химии заключается в том, что с все процессы, которые происходят между разными неорганическими либо органическими веществами, можно описать с помощью коэффициентов, индексов.
Чем еще отличается от других наук химия? Химические уравнения помогают не только описывать происходящие превращения, но и проводить по ним количественные вычисления, благодаря которым можно осуществлять лабораторное и промышленное получение разных веществ.
Рано или поздно любому школьнику на уроках алгебры встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения. Поначалу появление букв вместо привычных цифр и действия с ними ставят в тупик даже самых одарённых, но если разобраться, всё далеко не так сложно, как кажется на первый взгляд.
Алгоритм решения
Перед тем как перейти к конкретным примерам, необходимо понять алгоритм решения задач с помощью уравнений. В любом уравнении есть неизвестное, чаще всего обозначаемое буквой Х. Также и в каждой задаче есть то, что необходимо найти, то же самое неизвестное. Именно его и нужно обозначать как Х. А потом, следуя условию задачи, прибавлять, отнимать, умножать и делить - совершать любые необходимые действия.
После нахождения неизвестного обязательно выполнение проверки, чтобы быть уверенными, что задача решена правильно. Стоит заметить, что дети уже в начальной школе начинают решение задач с помощью уравнений. Примеры этому - те задачи, которые нужно решать отрезками, являющимися полнейшими аналогами буквенных неизвестных.
Основа основ - задача про корзины
Итак, попробуем же на практике применить решение задач с помощью уравнений, объяснение алгоритма которых было дано чуть выше.
Дана задача: Собрали некоторое количество корзин с яблоками. Сначала 3 корзины продали, потом дособирали ещё 8 корзин. В итоге получилось 12 корзин. Сколько корзин яблок собрали первоначально ?
Начнём решение задачи с того, что обозначим неизвестное - то есть первоначальное количество корзин - буквой Х. Теперь начинаем составлять уравнение: Х (первоначальное количество) - 3 (проданные корзины) + 8 (те, которые собрали позже) = 12 (итоговое число корзин), то есть Х - 3 + 8 = 12. Решив простое уравнение, получим, что Х = 7. Обязательно выполняем проверку, то есть подставляем найденное число в равенство: 7 - 3 + 8 действительно равно 12, то есть задача решена верно.
Закрепление: концертные залы
Дана следующая задача: В двух концертных залах 450 мест. Известно, что в одном зале мест в 4 раза больше, чем в другом. Нужно узнать, сколько мест в каждом зале .
Для того чтобы решать подобные задачи по алгебре, снова нужно применить уравнение. Мы знаем, что сумма двух чисел, одно из которых в 4 раза больше другого, равна 450. Пусть число мест в меньшем зале, неизвестное, будет равно Х, тогда число мест в большем зале - 4 * Х = 4Х. Следовательно, 450 = Х + 4Х = 5Х. А дальше нужно решить стандартное уравнение 450 = 5Х, где Х = 450 / 5 = 90, то есть в меньшем зале 90 мест, значит в большем - 90 * 4 = 360. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, можно проверить неравенство: 360 + 90 = 450, то есть ответ верный.
Классика: полки с книгами
Но задачи, решаемые с помощью уравнения, могут быть и посложнее. Например, есть три полки с книгами. На первой полке книг на 8 больше, чем на второй, а на третьей - в 3 раза больше, чем на второй, причём количество книг на первой и третьей полках равное. Сколько книг на каждой полке?
Понятно, что отталкиваться здесь нужно от второй полки, которая встречается в обоих условиях. Если мы обозначаем количество книг на ней за Х, то тогда на первой полке Х + 8 книг, а на третьей - Х * 3 книг, при этом Х + 8 = 3Х. Решив уравнение, получаем Х = 4. Выполняем проверку, подставляя неизвестное в равенство: 4 + 8 действительно равно 3 * 4, то есть задача решена правильно.
Практикуемся дальше: бобры
Как видите, решение задач с помощью уравнения гораздо легче, чем кажется на первый взгляд. Закрепим навыки работы с уравнениями ещё одной задачей. Первый бобр сгрыз за день какое-то количество деревьев. Второй бобр сгрыз в 6 раз больше. Третий бобр сгрыз в 2 раза больше деревьев, чем первый, но в 3 раза меньше, чем второй. Сколько деревьев сгрыз каждый бобр?
Задача не такая запутанная, какой кажется на первый взгляд. Для начала найдём неизвестное - в этой задаче это количество деревьев, сгрызенных первым бобром. Следовательно, второй бобр уничтожил 6 * Х деревьев, а третий - 2 * Х, причём это число в 3 раза меньше 6 * Х. Составляем уравнение: 6Х = 3 * 2Х. Решив его, получаем, что первый бобр погрыз всего одно дерево, тогда второй - 6, а третий - 2. Подставив числа в уравнение, понимаем, что задача решена верно.
Соотносим уравнения и условия
Если вам скажут: "К каждой задаче подберите соответствующее уравнение", - не пугайтесь - это целиком и полностью реально.
Даны следующие уравнения:
- 6 + Х = 2Х;
- 6 = 2Х;
- 2 + Х = 6 .
Условия задач следующие:
- У мальчика было 6 яблок, а у девочки в два раза меньше, сколько было яблок у девочки?
- На столе лежат ручки и карандаши, известно, что ручек на столе 6, а карандашей на 2 меньше, сколько ручек и сколько карандашей на столе?
- У Вани на шесть монет больше, чем у Тани, а у Тани в два раза меньше, чем у Ани, сколько монет у каждого ребёнка, если у Вани и Ани одинаковое количество монет?
Составим уравнения по каждой из задач.
- В первом случае нам не известно число яблок у девочки, то есть оно равно Х, мы знаем, что Х в 2 раза меньше 6, то есть 6 = 2Х, следовательно, к этому условию подходит уравнение №2.
- Во втором случае за Х обозначается количество карандашей, тогда количество ручек Х + 2, но при этом мы знаем, что ручек 6, то есть Х + 2 = 6, значит сюда подходит третье уравнение.
- Что касается последней задачи, под номером 3, количество Таниных монет, которое встречается в двух условиях, является искомым неизвестным, тогда у Вани 6 + Х монет, а у Ани 2Х монет, то есть 6 + Х = 2Х - очевидно, что сюда подходит первое уравнение.
Если у вас есть задачи, решаемые с помощью уравнения, к которым необходимо подобрать соответствующее равенство, то составьте уравнение для каждой из задач, а потом уже соотносите то, что получилось у вас, с данными уравнениями.
Усложняем: система уравнений - конфеты
Следующий этап применения буквенных равенств в алгебре - это задачи, решаемые системой уравнений. В них имеется два неизвестных, причём одно из них выражается через другое на основании имеющихся данных. Известно, что у Паши и Кати вместе 20 конфет. Ещё известно, что если бы у Паши было на 2 конфеты больше, то у него было бы 15 конфет, сколько конфет у каждого?
В данном случае мы не знаем ни количество Катиных конфет, ни количество Сашиных конфет, следовательно, у нас два неизвестных, Х и Y соответственно. Вместе с тем, мы знаем, что Y + 2 = 15.
Составив систему, получаем два уравнения:
- Х + Y = 20;
- Y + 2 = 15.
А дальше действуем по правилам решения систем: выводим Y из второго уравнения, получая Y = 15 - 2, а потом подставляем его в первое, то есть Х + Y = Х + (15 - 2) = 20. Решив уравнение, получаем Х = 7, тогда Y = 20 - 7 = 13. Проверяем правильность решения, подставив Y во второе уравнение: 13 + 2 действительно равно 15, то есть у Кати 7 конфет, а у Паши - 13.
Ещё сложнее: квадратные уравнения и земельный участок
Встречаются также и задачи по алгебре, решаемые квадратным уравнением. В них нет ничего сложного, просто стандартная система преобразовывается в квадратное уравнение в ходе решения. Например, дан участок земли площадью в 6 гектаров (60000 квадратных метров), забор, огораживающий его, имеет длину 1000 метров. Каковы длина и ширина участка?
Составляем уравнения. Длина забора является периметром участка, следовательно, если длину обозначить Х, а ширину Y, то 1000 = 2 * (Х + Y). Площадь же, то есть Х * Y = 60000. Из первого уравнения выводим Х = 500 - Y. Подставляя его во второе уравнение, получаем (500 - Y) * Y = 60000, то есть 500Y - Y 2 = 60000. Решив уравнение, получаем стороны равные 200 и 300 метрам - квадратное уравнение имеет два корня, один из которых зачастую не подходит по условию, например, является отрицательным, тогда как ответ должен быть числом натуральным, поэтому проверку проводить обязательно.
Повторяем: деревья в саду
Закрепляя тему, решим ещё одну задачу. В саду есть несколько яблонь, 6 груш и несколько вишнёвых деревьев. Известно, что общее количество деревьев в 5 раз больше, чем количество яблонь, при этом вишневых деревьев в 2 раза больше, чем яблоневых. Сколько деревьев каждого вида в саду и сколько в саду всего деревьев?
За неизвестное Х, как, наверное, уже понятно, обозначаем яблоневые деревья, через которые мы сможем выразить остальные величины. Известно, что Y = 2X, а Y + Х + 6 = 5Х. Подставив Y из первого уравнения, получаем равенство 2Х + Х + 6 = 5Х, откуда Х = 3, следовательно в саду Y = 3 * 2 = 6 вишнёвых деревьев. Проводим проверку и отвечаем на второй вопрос, складывая получившиеся величины: 3 + 6 + 6 = 3 * 5, то есть задача решена верно.
Контрольная: сумма чисел
Решение задач с помощью уравнения далеко не такое сложное, как кажется на первый взгляд. Главное - не ошибиться в выборе неизвестного и, что ещё важнее, правильно его выразить, особенно если речь идёт о системе уравнений. В завершение даётся последняя задача, гораздо более запутанная, чем представленные выше.
Сумма трёх чисел - 40. Известно, что Х = 2Y + 3Z, а Y = Z - 2 / 3. Чему равны Х, Y и Z?
Итак, начнём с избавления от первого неизвестного. Вместо Х подставляем в равенство соответствующее выражение, получаем 2Y + 3Z + Z + Y = 3Y + 4Z = 40. Далее заменяем также известный Y, получая равенство 3Z - 2 + 4Z = 40, откуда Z = 6. Возвращаясь к Y, находим, что он равен 5.2, а Х, в свою очередь, равен 18. С помощью проверки убеждаемся в истинности выражения, следовательно задача решена правильно.
Заключение
Итак, что же такое задачи, решаемые с помощью уравнения? Так ли они страшны, как кажется на первый взгляд? Ни в коем случае! При должной усидчивости разобраться в них не составляет никакого труда. А однажды поняв алгоритм, в дальнейшем вы сможете щёлкать подобные задачки, даже самые запутанные, как семечки. Главное - внимательность, именно она поможет правильно определить неизвестное и путём решения порой множества уравнений найти ответ.
Линейные уравнения. Решение, примеры.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Линейные уравнения.
Линейные уравнения - не самая сложная тема школьной математики. Но есть там свои фишки, которые могут озадачить даже подготовленного ученика. Разберёмся?)
Обычно линейное уравнение определяется, как уравнение вида:
ax + b = 0 где а и b – любые числа.
2х + 7 = 0. Здесь а=2, b=7
0,1х - 2,3 = 0 Здесь а=0,1, b=-2,3
12х + 1/2 = 0 Здесь а=12, b=1/2
Ничего сложного, правда? Особенно, если не замечать слова: "где а и b – любые числа" ... А если заметить, да неосторожно задуматься?) Ведь, если а=0, b=0 (любые же числа можно?), то получается забавное выражение:
Но и это ещё не всё! Если, скажем, а=0, а b=5, получается совсем уж что-то несусветное:
Что напрягает и подрывает доверие к математике, да...) Особенно на экзаменах. А ведь из этих странных выражений ещё и икс найти надо! Которого нету вообще. И, что удивительно, этот икс очень просто находится. Мы научимся это делать. В этом уроке.
Как узнать линейное уравнение по внешнему виду? Это, смотря какой внешний вид.) Фишка в том, что линейными уравнениями называются не только уравнения вида ax + b = 0 , но и любые уравнения, которые преобразованиями и упрощениями сводятся к этому виду. А кто ж его знает, сводится оно, или нет?)
Чётко распознать линейное уравнение можно в некоторых случаях. Скажем, если перед нами уравнение, в которых есть только неизвестные в первой степени, да числа. Причём в уравнении нет дробей с делением на неизвестное , это важно! А деление на число, или дробь числовая – это пожалуйста! Например:
Это линейное уравнение. Здесь есть дроби, но нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., и нет иксов в знаменателях, т.е. нет деления на икс . А вот уравнение
нельзя назвать линейным. Здесь иксы все в первой степени, но есть деление на выражение с иксом . После упрощений и преобразований может получиться и линейное уравнение, и квадратное, и всё, что угодно.
Получается, что узнать линейное уравнение в каком-нибудь замудрёном примере нельзя, пока его почти не решишь. Это огорчает. Но в заданиях, как правило, не спрашивают о виде уравнения, правда? В заданиях велят уравнения решать. Это радует.)
Решение линейных уравнений. Примеры.
Всё решение линейных уравнений состоит из тождественных преобразований уравнений. Кстати, эти преобразования (целых два!) лежат в основе решений всех уравнений математики. Другими словами, решение любого уравнения начинается с этих самых преобразований. В случае линейных уравнений, оно (решение) на этих преобразованиях и заканчивается полноценным ответом. Имеет смысл по ссылке сходить, правда?) Тем более, там тоже примеры решения линейных уравнений имеются.
Для начала рассмотрим самый простой пример. Безо всяких подводных камней. Пусть нам нужно решить вот такое уравнение.
х - 3 = 2 - 4х
Это линейное уравнение. Иксы все в первой степени, деления на икс нету. Но, собственно, нам без разницы, какое это уравнение. Нам его решать надо. Схема тут простая. Собрать всё, что с иксами в левой части равенства, всё, что без иксов (числа) - в правой.
Для этого нужно перенести - 4х в левую часть, со сменой знака, разумеется, а - 3 - в правую. Кстати, это и есть первое тождественное преобразование уравнений. Удивлены? Значит, по ссылке не ходили, а зря...) Получим:
х + 4х = 2 + 3
Приводим подобные, считаем:
Что нам не хватает для полного счастья? Да чтобы слева чистый икс был! Пятёрка мешает. Избавляемся от пятёрки с помощью второго тождественного преобразования уравнений. А именно - делим обе части уравнения на 5. Получаем готовый ответ:
Пример элементарный, разумеется. Это для разминки.) Не очень понятно, к чему я тут тождественные преобразования вспоминал? Ну ладно. Берём быка за рога.) Решим что-нибудь посолиднее.
Например, вот это уравнение:
С чего начнём? С иксами - влево, без иксов - вправо? Можно и так. Маленькими шажочками по длинной дороге. А можно сразу, универсальным и мощным способом. Если, конечно, в вашем арсенале имеются тождественные преобразования уравнений.
Задаю вам ключевой вопрос: что вам больше всего не нравится в этом уравнении?
95 человек из 100 ответят: дроби ! Ответ правильный. Вот и давайте от них избавимся. Поэтому начинаем сразу со второго тождественного преобразования . На что нужно умножить дробь слева, чтобы знаменатель сократился напрочь? Верно, на 3. А справа? На 4. Но математика позволяет нам умножать обе части на одно и то же число . Как выкрутимся? А умножим обе части на 12! Т.е. на общий знаменатель. Тогда и тройка сократится, и четвёрка. Не забываем, что умножать надо каждую часть целиком . Вот как выглядит первый шаг:
Раскрываем скобки:
Обратите внимание! Числитель (х+2) я взял в скобки! Это потому, что при умножении дробей, числитель умножается весь, целиком! А теперь дроби и сократить можно:
Раскрываем оставшиеся скобки:
Не пример, а сплошное удовольствие!) Вот теперь вспоминаем заклинание из младших классов: с иксом – влево, без икса – вправо! И применяем это преобразование:
Приводим подобные:
И делим обе части на 25, т.е. снова применяем второе преобразование:
Вот и всё. Ответ: х =0,16
Берём на заметку: чтобы привести исходное замороченное уравнение к приятному виду, мы использовали два (всего два!) тождественных преобразования – перенос влево-вправо со сменой знака и умножение-деление уравнения на одно и то же число. Это универсальный способ! Работать таким образом мы будем с любыми уравнениями! Совершенно любыми. Именно поэтому я про эти тождественные преобразования всё время занудно повторяю.)
Как видим, принцип решения линейных уравнений простой. Берём уравнение и упрощаем его с помощью тождественных преобразований до получения ответа. Основные проблемы здесь в вычислениях, а не в принципе решения.
Но... Встречаются в процессе решения самых элементарных линейных уравнений такие сюрпризы, что могут и в сильный ступор вогнать...) К счастью, таких сюрпризов может быть только два. Назовём их особыми случаями.
Особые случаи при решении линейных уравнений.
Сюрприз первый.
Предположим, попалось вам элементарнейшее уравнение, что-нибудь, типа:
2х+3=5х+5 - 3х - 2
Слегка скучая, переносим с иксом влево, без икса - вправо... Со сменой знака, всё чин-чинарём... Получаем:
2х-5х+3х=5-2-3
Считаем, и... опаньки!!! Получаем:
Само по себе это равенство не вызывает возражений. Нуль действительно равен нулю. Но икс-то пропал! А мы обязаны записать в ответе, чему равен икс. Иначе, решение не считается, да...) Тупик?
Спокойствие! В таких сомнительных случаях спасают самые общие правила. Как решать уравнения? Что значит решить уравнение? Это значит, найти все значения икса, которые, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство.
Но верное равенство у нас уже получилось! 0=0, куда уж вернее?! Остаётся сообразить, при каких иксах это получается. Какие значения икса можно подставлять в исходное уравнение, если эти иксы всё равно посокращаются в полный ноль? Ну же?)
Да!!! Иксы можно подставлять любые! Какие хотите. Хоть 5, хоть 0,05, хоть -220. Они всё равно сократятся. Если не верите - можете проверить.) Поподставляйте любые значения икса в исходное уравнение и посчитайте. Всё время будет получаться чистая правда: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 и так далее.
Вот вам и ответ: х - любое число.
Ответ можно записать разными математическими значками, суть не меняется. Это совершенно правильный и полноценный ответ.
Сюрприз второй.
Возьмём то же элементарнейшее линейное уравнение и изменим в нём всего одно число. Вот такое будем решать:
2х+1=5х+5 - 3х - 2
После тех же самых тождественных преобразований мы получим нечто интригующее:
Вот так. Решали линейное уравнение, получили странное равенство. Говоря математическим языком, мы получили неверное равенство. А говоря простым языком, неправда это. Бред. Но тем, не менее, этот бред - вполне веское основание для правильного решения уравнения.)
Опять соображаем, исходя из общих правил. Какие иксы, при подстановке в исходное уравнение, дадут нам верное равенство? Да никакие! Нет таких иксов. Чего ни подставляй, всё посократится, останется бред.)
Вот вам и ответ: решений нет.
Это тоже вполне полноценный ответ. В математике такие ответы частенько встречаются.
Вот так. Сейчас, надеюсь, пропажа иксов в процессе решения любого (не только линейного) уравнения вас нисколько не смутит. Дело уже знакомое.)
Теперь, когда мы разобрались со всеми подводными камнями в линейных уравнениях, имеет смысл их порешать.
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
