При формировании линейчатой поверхности с помощью плоскости параллелизма образующие должны быть параллельны. этой плоскости, поэтому они пересекаются с ней в несобственных точках, множество которых определяет несобственную прямую; эту прямую следует рассматривать как третью направляющую линейчатой поверхности, т. е. плоскость параллелизма является как бы собственным представителем несобственной прямой. Образование линейчатой поверхности с помощью плоскости параллелизма является частным случаем общего способа формирования линейчатой поверхности с двумя направляющими.

Определитель для группы поверхностей Каталана имеет вид

Ф(g ; d 1 , d 2 , γ);

Для задания поверхности этой группы на эпюре Монжа достаточно указать проекции направляющих d 1 и d 2 и положение плоскости параллелизма γ (табл. 5, рис. 140 ... 142).

* По имени бельгийского математика Каталана (Katalan), исследовавшего свои ства этих поверхностей.

Таблица 5. Линейчатые понерхноети с двумя направляющими и плоскостью параллелизма. Группа Б II ; Ф(g ; d 1 , d 2 , γ);

1. Поверхность прямого цилиндроида (см. табл. 5, рис. 140). Поверхность прямого цилиндроида образуется в том случае, когда направляющие d 1 и d 2 гладкие кривые линии, причем одна из них должна принадлежать плоскости, перпендикулярной плоскости параллелизма.

Для определения проекций прямолинейных образующих поверхности прямого цилиндроида достаточно провести прямые, параллельные плоскости параллелизма. На рис. 143 показано построение образующей g j .

Вначале проводим g" j -, определяем точки М" и N", по ним находим М" и N". (MN) проводим параллельно плоскости параллелизма γ; для этого достаточно, чтобы (М"N") || h 0γ .

Поверхность прямого цилиндроида находит применение в инженерной практике, в частности, она используется при изготовлении воздухопроводов большого диаметра.

2. Поверхность прямого коноида (см. табл. 5, рис. 141). Отличие поверхности коноида от цилиндроида состоит только в том, что одна из направляющих линий коноида - прямая. Поэтому для задания поверхности коноида на эпюре Монжа необходимо указать проекции: кривой ᵭ 2 (одна направляющая), прямой d 1 , (вторая направляющая) и плоскости параллелизма γ. Е1сли прямолинейная направляющая перпендикулярна плоскости параллелизма, то мы будем иметь дело с частным случаем поверхности, которая называется прямым коноидом .

Для получения проекционного чертежа (эпюра Монжа), обладающего наглядностью, следует указать проекции не одной, а ряда прямолинейных образующих этой поверхности. Для этого проводим несколько прямых, параллельных плоскости параллелизма γ и пересекающих направляющие d 1 и d 2 . На рис. 144 показано построение произвольной образующей g j . Чтобы прямая g j была параллельна плоскости параллелизма γ, необходимо, чтобы она была параллельна прямой, принадлежащей плоскости γ. Так как плоскость γ горизонтально проецирующая, то горизонтальные проекции всех прямых, принадлежащих этой плоскости, совпадают с горизонтальным следом плоскости h 0γ . Поэтому построение частной образующей поверхности коноида начинаем

с проведения ее горизонтальной проекции g" j , причем g" j || h 0γ (на основании инвариантного свойства 2г (см. § 6) ортогонального проецирования] . Отмечаем точки М" и N", в которых горизонтальная проекция образующей g" j пересекает горизонтальные проекции направляющих d" 1 и d" 2 , по М" и N" находим точки М" и N", которые определяют фронтальную проекцию прямой g" j .

Поверхность прямого коноида используется в гидротехническом строительстве для формирования поверхности устоев мостовых опор.

3. Поверхность гиперболического параболоида - косая плоскость (см. табл. 5, рис. 142). Гиперболический параболоид может быть получен при скольжении прямой по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим, при этом образующая все время остается параллельной. плоскости параллелизма. Гиперболический параболоид имеет две плоскости параллелизма, соответствующие двум семействам прямолинейных направляющих. Если плоскости параллелизма перпендикулярны друг другу, то гиперболический параболоид называют прямым. В инженерной практике гиперболический параболоид часто называют косой плоскостью .

Для задания на чертеже косой плоскости достаточно указать проекции двух скрещивающихся прямых d 1 , и d 2 и положение плоскости параллелизма γ. Для получения проекционного чертежа, обладающего наглядностью, обычно указывают проекции нескольких прямолинейных образующих, для этого:

1) на направляющих d 1 и d 2 выделяют отрезки |АВ| и |CD| ;

2) делят проекции отрезков |АВ| и |CD| на произвольное число равных частей (на рис. 145 проекции точек деления обозначены 1", ... , 6";1", ... , 6" и 1" 1 , ... , 6" 1 ;1" 1 , ... , 6" 1

3) одноименные проекции точек деления соединяют прямыми.

Задавая таким путем косую плоскость, мы не пользовались плоскостями параллелизма. Если требуется определить их положение, то достаточно через произвольную точку К провести прямые е и f, параллельные соответственно прямым d 2 и d 1 . Вторая плоскость паралле

лизма (для семейства направляющих g 1 и g 2) определяется пересекающимися прямыми l и m (l || g 1 , m || g 2).

Косая плоскость находит широкое применение и инженерно-строительной практике для формирования поверхностей откосов насыпей железных и автомобильных дорог, набережных гидротехнических сооружений в местах сопряжения откосов, имеющих различные углы наклона.

4. Плоскость. Коли направляющие прямые d 1 , и d 2 пересекаются или параллельны, то гтри движении по ним прямолинейной образующей g получается плоскость. Изображение плоскости на знюре Монжа и различные варианты ее расположения по отношению к плоскостям проекций были подробно рассмотрены в § 8 гл. I.

Глава 8. ПОВЕРХНОСТИ

§ 45. Образование поверхностей

Поверхностью называют множество последовательных положений линий, перемещающихся в пространстве. Эта линия может быть прямой или кривой и называется образующей поверхности. Если образующая кривая, она может иметь постоянный или переменный вид. Перемещается образующая по направляющим, представляющим собой линии иного направления, чем образующие. Направляющие линии задают закон перемещения образующим. При перемещении образующей по направляющим создается каркас поверхности (рис. 84), представляющий собой совокупность нескольких последовательных положений образующих и направляющих. Рассматривая каркас, можно убедиться, что образующие l и направляющие т можно поменять местами, но при этом по верхность получается одна и та же.

Любую поверхность можно получить различными способами. Так, прямой круговой цилиндр (рис. 85) можно создать вращением образующей l вокруг оси г, ей параллельной. Тот же цилиндр образуется

перемещением окружности т с центром в точке О, скользящим по оси i . Любая кривая k, лежащая на поверхности цилиндра, образует эту поверхность при своем вращении вокруг оси /".

На практике из всех возможных способов образования поверхности выбирают наиболее простой.

В зависимости от формы образующей все поверхности можно разделить на линейчатые, у которых образующая прямая линия, и нелинейчатые, у которых образующая кривая линия.

В линейчатых поверхностях выделяют поверхности развертывающиеся, совмещаемые всеми своими точками с плоскостью без разрывов и складок, и неразвертывающиеся, которые нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок.

К развертывающимся поверхностям относятся поверхности всех многогранников, цилиндрические, конические и торсовые поверхности. Все остальные поверхности - неразвертывающиеся. Нелинейчатые поверхности могут быть с образующей постоянной формы (поверхности вращения и трубчатые поверхности) и с образующей переменной формы (каналовые и каркасные поверхности).

Для задания поверхностей выбирают такую совокупность независимых геометрических условий, которая однозначно определяет данную поверхность в пространстве. Эта совокупность условий называется определителем поверхности. Определитель состоит из двух частей: геометрической, в которую входят основные геометрические элементы и соотношения между ними, и алгоритмической, содержащей последовательность и характер операций перехода от основных постоянных элементов и величин к переменным элементам поверхности, т. е. закон построения отдельных точек и линий данной поверхности.

Поверхность на комплексном чертеже задается проекциями геометрической части ее определителя с указанием способа построения ее образующих. На чертеже поверхности для любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Графическое задание элементов определителя поверхности обеспечивает обратимость чертежа, но не делает его наглядным. Для наглядности прибегают к построению проекций достаточно плотного каркаса образующих и к построению очерковых линий поверхности (рис. 86). При проецировании поверхности Q на плоскость проекций проецирующие лучи прикасаются к этой поверхности в точках, образующих на ней некоторую линию l , которая называется контурной линией. Проекция контурной линии называется очерком поверхности. На комплексном чертеже любая поверхность имеет: на П 1 - горизонтальный очерк, на П 2 - фронтальный очерк, на П 3 - профильный очерк поверхности. Очерк включает в себя, кроме проекций линии контура, также проекции линий обреза.

Из существенного множества поверхностей в курсе инженерной графики будут рассмотрены все развертывающиеся поверхности, к которым относятся гранные, конические, цилиндрические, торсовые поверхности, некоторые поверхности вращения и винтовые.

Простейшей поверхностью, широко используемой в инженерной графике, является плоскость, представляющая собой поверхность, образованную перемещением прямолинейной образующей (рис. 87) по двум параллельным или пересекающимся прямым m 1 и m 2 .

84.gif

Изображение:

85.gif

Изображение:

86.gif

Изображение:

87.gif

Изображение:

12. Вопросы для самопроверки

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

14. Какие линии характерны для поверхности вращения и какова их роль в построении изображений поверхности?

46. Изображение плоскости на чертеже

§ 46. Изображение плоскости на чертеже

Плоскость на чертеже может быть задана различными способами: тремя точками, не лежащими на одной прямой Q(A, В, С) (рис. 88, а);

прямой и точкой, не лежащей на одной прямой Q(aA; A не принадлежит а) (рис. 88, б);

двумя пересекающимися прямыми Q(a || b) (рис. 88, в);

двумя параллельными прямыми Q(a ^ b) (рис. 88, г);

любой плоской фигурой, например, треугольником Q(ABC) (рис. 88, д).

Плоскости, заданные на чертеже одним из таких способов, не ограничиваются проекциями определяющих ее элементов.

Рассматривая комплексный чертеж плоскости, можно убедиться, что каждый из названных способов задания ее допускает возможность перехода от одного из них к другому.

88.gif

Изображение:

47. Расположение плоскости относительно плоскостей проекций. Взаимное расположение двух плоскостей

§ 47. Расположение плоскости относительно плоскостей проекций. Взаимное расположение двух плоскостей

По расположению относительно плоскостей проекций плоскости делят на плоскости общего и частного положения.

К плоскостям общего положения относятся плоскости, непараллельные и неперпендикулярные ни одной из плоскостей проекций. На комплексном чертеже (см. рис. 88) проекции элементов, которыми задана плоскость, как правило, занимают общее положение.

К плоскостям частного положения относятся плоскости, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций.

В свою очередь, плоскости частного положения делятся на проецирующие плоскости и плоскости уровня. К проецирующим плоскостям относятся плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций. Все проецирующие плоскости будем обозначать буквой Е. Проецирующие плоскости могут быть перпендикулярны П 1 , П 2 или П 3 . В зависимости от этого различают горизонтально проецирующие плоскости, когда Sum_|_ П 1 ; фронтально проецирующие плоскости, когда Sum_|_П 2 ; профильно проецирующие плоскости, когда Sum_|_П 3 ;

Проецирующая плоскость отличается тем, что проекция ее на плоскость проекций, ей перпендикулярную, всегда изображается в виде прямой линии и фигур, лежащих в проецирующей плоскости. Проекция плоскости, выраженной в прямой, вполне определяет положение плоскости относительно плоскостей проекций. Например, на рис. 89, а приведен комплексный чертеж плоскости I, заданной двумя параллельными прямыми. Из рисунка видно, что I (а \\ Ъ) является горизонтально проецирующей плоскостью и расположена под углом Р к фронтальной плоскости проекций и под углом у с фронтальной плоскостью проекций.

На рис. 89, б приведен комплексный чертеж плоскости Sum, составляющей угол а с горизонтальной плоскостью проекций и угол у с фронтальной плоскостью проекций. Это можно записать так: AВС ~ A 2 ~ Sum 2 , B 2 ~ Sum 2 , C 2 ~ Sum 2 .

Наличие вырожденной проекции дает возможность задавать проецирующие плоскости на комплексном чертеже только одной проекцией. На рис. 89, в через точку А проведена профильно проецирующая плоскость (Sum_|_П 3) под углом а к П 1 .

Все изображения, расположенные в заданной плоскости, на плоскости, не перпендикулярные ей, проецируются с искажением.

К плоскостям уровня относятся плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций. Их можно считать дважды проецирующими

плоскостями, так как у них на комплексном чертеже две проекции имеют вид прямой, расположенной под прямым углом к линии связи, а третья проекция дает изображение всех элементов, лежащих в этой плоскости, в натуральную величину. Плоскости уровня обычно обозначаются: Г - горизонтальная плоскость уровня; Ф - фронтальная плоскость уровня; U - профильная

плоскость уровня. На рис. 90, а дан комплексный чертеж плоскости горизонтального уровня (Г || П 1); на рис. 90, б приведен комплексный чертеж плоскости фронтального уровня (Ф || П 2), Ф э АВС, А 2 В 2 С 2 - истинная величина треугольника ABC; на рис. 90, в показан комплексный чертеж профильно проецирующей плоскости (U || П 3 , u аА; А ~ а).

Плоскости уровня отличаются тем, что на плоскости проекций, им перпендикулярную, они проецируются в прямую линию, на которой располагаются точки, прямые и фигуры, расположенные в плоскости уровня. Эти прямые являются вырожденными проекциями заданной плоскости. На плоскость проекций, параллельную заданной плоскости, все изображения этой плоскости проецируются без искажений, т. е. в натуральную величину.

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекаться. Параллельными будут плоскости, если одна из них задана пересекающимися прямыми, параллельными пересекающимся, за-

дающим вторую плоскость; на рис. 91 показаны параллельные плоскости: Sum (ахb) и Sum 2 (cxd), причем а || с, ab || d.

Если плоскости пересекаются, то линия их пересечения - прямая. Плоскости, перпендикулярные между собой, представляют случай их пересечения, когда угол между плоскостями составляет 90°.

Построение линий пересечения плоскостей рассматривается в §62.

89.gif

Изображение:

90.gif

Изображение:

91.gif

Изображение:

48. Особые линии в плоскости

§ 48. Особые линии в плоскости

К особым линиям в плоскости можно отнести линии, параллельные плоскости проекций. Их называют линиями уровня.

Линию, принадлежащую плоскости и параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонталью плоскости (рис. 92, а). Построение горизонтали всегда начинают с ее фронтальной проекции: h(A 1 1)~ Q(ABC);h 2 ~ A 2 ;h 2 _|_ A 2 A l ;h 2 ^ B 2 C 2 = l 2 ,l 2 l 1 || A 2 A 1 .

Линию, принадлежащую плоскости и параллельную фронтальной плоскости проекций, называют фронталью плоскости (рис. 92, б). Построение фронтали начинают с горизонтальной проекции: f(F 1 1) ~ ^(DFE); F 1 ~f 1 , f 1 ,_|_F 1 F 2 ; f1^D 1 E 1 =l 1 ; l 1 l 2 || F 1 F 2 ;

l 1 l 2 ^D 2 E 2 =l 2 ^F 2 =l 2 .

Рассматривая особые линии в плоскостях частного положения, можно убедиться, что соответствующие линии уровня в этом случае будут и проецирующими.

На рис. 92, в показана горизонталь h фронтально проецирующей плоскости Sum. В данном случае она будет также фронтальной проецирующей прямой, т. е. h э Sum; Sum _|_ П 2 .

92.gif

Изображение:

49. Взаимное расположение точки, прямой и плоскости

§ 49. Взаимное расположение точки, прямой и плоскости

Прямая может принадлежать и не принадлежать плоскости. Она принадлежит плоскости, если хотя бы две точки ее лежат на плоскости. На рис. 93 показана плоскость Sum (axb). Прямая l принадлежит плоскости Sum, так как ее точки 1 и 2 принадлежат этой плоскости.

Если прямая не принадлежит плоскости, она может быть параллельной ей или пересекать ее.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна другой пря-

Рис. 94

мой, лежащей в этой плоскости. На рис. 93 прямая m || Sum , так как она параллельна прямой l , принадлежащей этой плоскости.

Прямая может пересекать плоскость под различными углами и, в частности, быть перпендикулярной ей. Построение линий пересечения прямой с плоскостью приведено в §61.

Точка по отношению к плоскости может быть расположена следующим образом: принадлежать или не принадлежать ей. Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, расположенной в этой плоскости. На рис. 94 показан комплексный чертеж плоскости Sum, заданной двумя параллельными прямыми l и п. В плоскости расположена линия m. Точка A лежит в плоскости Sum, так как она лежит на прямой m. Точка В не принадлежит плоскости, так как ее вторая проекция не лежит на соответствующих проекциях прямой.

93.gif

Изображение:

94.gif

Изображение:

50. Коническая и цилиндрическая поверхности

§ 50. Коническая и цилиндрическая поверхности

К коническим относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по криволинейной направляющей m. Особенностью образования конической поверхности является то, что

Рис. 96

при этом одна точка образующей всегда неподвижна. Эта точка является вершиной конической поверхности (рис. 95, а). Определитель конической поверхности включает вершину S и направляющую m, при этом l "~S; l "^ m.

К цилиндрическим относятся поверхности, образованные прямой образующей /, перемещающейся по криволинейной направляющей т параллельно заданному направлению S (рис. 95, б). Цилиндрическую поверхность можно рассматривать как частный случай конической поверхности с бесконечно удаленной вершиной S.

Определитель цилиндрической поверхности состоит из направляющей т и направления S, образующих l , при этом l" || S; l" ^ m.

Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны плоскости проекций, то такую поверхность называют проецирующей. На рис. 95, в показана горизонтально проецирующая цилиндрическая поверхность.

На цилиндрической и конической поверхностях заданные точки строят с помощью образующих, проходящих через них. Линии на поверхностях, например линия а на рис. 95, в или горизонтали h на рис. 95, а, б, строятся с помощью отдельных точек, принадлежащих этим линиям.

95.gif

Изображение:

96.gif

Изображение:

51. Торсовые поверхности

§ 51. Торсовые поверхности

Торсовой называется поверхность, образованная прямолинейной образующей l , касающейся при своем движении во всех своих положениях некоторой пространственной кривой т, называемой ребром возврата (рис. 96). Ребро возврата полностью задает торс и является геометрической частью определителя поверхности. Алгоритмической частью служит указание касательности образующих к ребру возврата.

Коническая поверхность является частным случаем торса, у которого ребро возврата т выродилось в точку S - вершину конической поверхности. Цилиндрическая поверхность - частный случай торса, у которого ребро возврата - точка в бесконечности.

52. Гранные поверхности

§ 52. Гранные поверхности

К гранным относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей m. При этом если одна точка S образующей неподвижна, создается пирамидальная поверхность (рис. 97), если образующая при перемещении параллельна заданному направлению S, то создается призматическая поверхность (рис. 98).

Элементами гранных поверхностей являются: вершина S (у призматической поверхности она находится в бесконечности), грань (часть плоскости, ограниченная одним участком направляющей m и крайни-

ми относительно него положениями образующей l) и ребро (линия пересечения смежных граней).

Определитель пирамидальной поверхности включает в себя вершину S, через которую проходят образующие и направляющие: l" ~ S;

l ^ т.

Определитель призматической поверхности, кроме направляющей т, содержит направление S, которому параллельны все образующие l поверхности: l||S; l^ т.

Замкнутые гранные поверхности, образованные некоторым числом (не менее четырех) граней, называются многогранниками. Из числа многогранников выделяют группу правильных многогранников, у которых все грани правильные и конгруэнтные многоугольники, а многогранные углы при вершинах выпуклые и содержат одинаковое число граней. Например: гексаэдр - куб (рис. 99, а), тетраэдр - правильный четырехугольник (рис. 99, 6) октаэдр - многогранник (рис. 99, в). Форму различных многогранников имеют кристаллы.

Пирамида - многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани - треугольники с общей вершиной S.

На комплексном чертеже пирамида задается проекциями ее вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребра определяется с помощью конкурирующих точек (рис. 100).

Призма - многогранник, у которого основание - два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани - параллелограммы. Если ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, такую призму называют прямой. Если у призмы ребра перпендикулярны какой-либо плоскости проекций, то боковую поверхность ее называют проецирующей. На рис. 101 дан комплексный чертеж прямой четырехугольной призмы с горизонтально проецирующей поверхностью.

Рис. 100

При работе с комплексным чертежом многогранника приходится строить на его поверхности линии, а так как линия есть совокупность точек, то необходимо уметь строить точки на поверхности.

Любую точку на гранной поверхности можно построить с помощью образующей, проходящей через эту точку. На рис. 100 в грани ACS построена точка М с помощью образующей S-5.

97.gif

Изображение:

98.gif

Изображение:

99.gif

Изображение:

100.gif

Изображение:

101.gif

Изображение:

53. Винтовые поверхности

§ 53. Винтовые поверхности

К винтовым относятся поверхности, создаваемые при винтовом движении прямолинейной образующей. Линейчатые винтовые поверхности называют геликоидами.

Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей i по двум направляющим: винтовой линии т и ее оси i; при этом образующая l пересекает винтовую ось под прямым углом (рис. 102, а). Прямой геликоид используется при создании винтовых лестниц, шнеков, а также силовых резьбах, в станках.

Наклонный геликоид образуется движением образующей по винтовой направляющей т и ее оси i так, что образующая l пересекает ось i под постоянным углом ф, отличным от прямого, т. е. в любом положении образующая l параллельна одной из образующих направляющего конуса с углом при вершине, равным 2ф(рис. 102, б). Наклонные геликоиды ограничивают поверхности витков резьбы.

Рис. 102 Линейчатые винтовые поверхности - геликоиды.

Изображение:

54. Поверхности вращения

§ 54. Поверхности вращения

К поверхностям вращения относятся поверхности, образующиеся вращением линии l вокруг прямой i, представляющей собой ось вращения. Они могут быть линейчатыми, например конус или цилиндр вращения, и нелинейчатыми или криволинейными, например сфера. Определитель поверхности вращения включает образующую l и ось i. Криволинейная поверхность вращения образуется при вращении лю-

Каждая точка образующей при вращении описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности поверхности вращения называются параллелями. Наибольшую из параллелей называют экватором. Экватор.определяет горизонтальный очерк поверхности, если i _|_ П 1 . В этом случае параллелями являются горизонтали h этой поверхности.

Кривые поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Все меридианы одной поверхности конгруэнтны. Фронтальный меридиан называют главным меридианом; он определяет фронтальный очерк поверхности вращения. Профильный меридиан определяет профильный очерк поверхности вращения.

Строить точку на криволинейных поверхностях вращения удобнее всего с помощью параллелей поверхности. На рис. 103 точка М построена на параллели h 4 .

Поверхности вращения нашли самое широкое применение в технике. Они ограничивают поверхности большинства машиностроительных деталей.

Коническая поверхность вращения образуется вращением прямой i вокруг пересекающейся с ней прямой - оси i (рис. 104, а). Точка М на поверхности построена с помощью образующей l и параллели h. Эту поверхность называют еще конусом вращения или прямым круговым конусом.

Цилиндрическая поверхность вращения образуется вращением прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. 104, б). Эту поверхность называют еще цилиндром или прямым круговым цилиндром.

Сфера, образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 104, в). Точка A на поверхности сферы принадлежит главному

меридиану f, точка В - экватору h, а точка М построена на вспомогательной параллели h".

Тор образуется вращением окружности или ее дуги вокруг оси, лежащей в плоскости окружности. Если ось расположена в пределах образующейся окружности, то такой тор называется закрытым (рис. 105, а). Если ось вращения находится вне окружности, то такой тор называется открытым (рис. 105, б). Открытый тор называется еще кольцом.

Поверхности вращения могут быть образованы и другими кривыми второго порядка. Эллипсоид вращения (рис. 106, а) образуется вращением эллипса вокруг одной из его осей; параболоид вращения (рис. 106, б) - вращением параболы вокруг ее оси; гиперболоид вращения однополостный (рис. 106, в) образуется вращением гиперболы вокруг мнимой оси, а двуполостный (рис. 106, г) - вращением гиперболы вокруг действительной оси.

В общем случае поверхности изображаются не ограниченными в направлении распространения образующих линий (см. рис. 97, 98). Для решения конкретных задач и получения геометрических фигур ограничиваются плоскостями обреза. Например, чтобы получить круговой цилиндр, необходимо ограничить участок цилиндрической поверхности плоскостями обреза (см. рис. 104, б). В результате получим его верхнее и нижнее основания. Если плоскости обреза перпендикулярны оси вращения, цилиндр будет прямым, если нет - цилиндр будет наклонным.

Чтобы получить круговой конус (см. рис. 104, а), необходимо выполнить обрез по вершине и за пределами ее. Если плоскость обреза основания цилиндра будет перпендикулярна оси вращения - конус будет прямой, если нет - наклонный. Если обе плоскости обреза не проходят через вершину - конус получим усеченным.

С помощью плоскости обреза можно получить призму и пирамиду. Например, шестигранная пирамида будет прямой, если все ее ребра имеют одинаковый наклон к плоскости обреза. В других случаях она будет наклонной. Если она выполнена с помощью плоскостей обреза и ни одна из них не проходит через вершину - пирамида усеченная.

Призму (см. рис. 101) можно получить, ограничив участок призматической поверхности двумя плоскостями обреза. Если плоскость обреза перпендикулярна ребрам, например восьмигранной призмы, она прямая, если не перпендикулярна - наклонная.

Если линия не принадлежит поверхности, то они пересекаются. Простейшим случаем является пересечение с поверхностью прямой линии. Задача решается путем заключения данной линии в какую-либо проецирующую плоскость и построением натуральной величины сечения, из которого легко определить точку входа и выхода прямой. Задачи такого типа рассматриваются в § 63.

Точка может принадлежать поверхности и не принадлежать. Точка принадлежит поверхности, если она лежит на линии, расположенной на этой поверхности. На рис. 104, в точка М принадлежит сферической поверхности, так как она находится на линии окружности /г", лежащей на этой поверхности. Точки А и В тоже принадлежат сферической поверхности, так как они расположены на линиях очерковых окружностей, принадлежащих сферической поверхности. Примеры принадлежности точки поверхности можно привести и в случае наличия конической поверхности (точка М на рис. 104, а), поверхности тора (точка М на рис. 105) и поверхности более сложной формы (точка М на рис. 103).

Задача определения принадлежности точки поверхности решается следующим способом. Если заданы проекции элементов поверхности и точки, необходимо на одной из плоскостей проекций через заданную точку провести линию, принадлежащую поверхности, и построить проекцию этой линии на одной плоскости проекций. Если вторая проекция пройдет через вторую проекцию точки - точка принадлежит поверхности, если не пройдет - не принадлежит.

Эту задачу можно рассмотреть на примере рис. 104, а. На комплексном чертеже задана коническая поверхность очерковыми линиями. Задана также точка М горизонтальной и фронтальной проекций. Через горизонтальную проекцию точки проведем горизонтальную проекцию h 1 окружности, принадлежащей конической поверхности. Построив фронтальную проекцию h 2 этой окружности, убеждаемся, что она прошла через фронтальную проекцию точки. Это и подтверждает, что точка принадлежит конической поверхности.

Данная задача может быть решена и другим путем. При тех же исходных данных через фронтальную проекцию М 1 точки проводим проекцию одной из образующих f Построив горизонтальную проекцию h образующей, убеждаемся, что она прошла через горизонтальную проекцию М 1 точки М, и это позволяет сделать вывод о том, что точка М принадлежит конической поверхности.

Принципы построения точек и линий на поверхностях положены в основу построения линий пересечения, срезов, вырезов, проницаний и др., что определяет построение сложных геометрических тел, и в итоге - деталей, узлов, машин, зданий, сооружений.

Понятие о линейчатой поверхности

Линейчатой поверхностью называется поверхность, образованная при перемещении прямой линии в пространстве по какому-либо закону. Характер движения прямолинейной образующей определяет вид линейчатой поверхности. Обычно закон движения образующей задаётся с помощью направляющих линий. В общем случае для задания линейчатой поверхности необходимы три направляющие линии . Выделим на линейчатой поверхности три какие-нибудь линии a , b и c и примем их за направляющие. Покажем, что движение прямолинейной образующей l определится единственным образом (рис.11.1).

Возьмём на направляющей a некоторую точку K и проведём через неё пучок прямых, пересекающих направляющую с . Эти прямые образуют коническую поверхность с вершиной в точке K . Направляющая b будет пересекаться с конической поверхностью в некоторой точке N . Построенная точка N и точка K определят прямую l , пересекающую направляющую c в точке M . Таким образом, каждой точке К направляющей a будет соответствовать единственная образующая. Перемещая точку К вдоль направляющей a , можно получить другие положения образующей прямой, т.е. построить каркас линейчатой поверхности.

В зависимости от формы направляющих линий линейчатые поверхности с тремя направляющими подразделяются на:

косой цилиндр с тремя направляющими – все три направляющие кривые линии;

конусоид – две направляющие кривые линии, а третья – прямая;

однополостный гиперболоид – все направляющие прямые линии.

Для построения точки на линейчатой поверхности необходимо воспользоваться вспомогательной линией, в качестве которой используют прямолинейную образующую или произвольную кривую линию.

Помимо указанного общего способа образования линейчатой поверхности при помощи трёх направляющих существуют и другие способы, которые путём наложения дополнительных ограничений определяют закон движения прямолинейной образующей.

Линейчатой называется поверхность, которая образована перемещением прямой линии (образующей) в пространстве по какому-либо закону. В зависимости от вида направляющих линий и характера движения образующей, получаются виды линейчатых поверхностей: развертываемые и неразвертываемые.

А. Развертываемые линейчатые поверхности (торс, цилиндрическая, коническая).

1. Торс - поверхность с ребром возврата m, образуется движением прямолинейной образующей ℓ, касающейся во всех положениях некоторой пространственной кривой m – ребро возврата, (рис. 45). Задается определителем Ø (l ~ m).

2. Цилиндрическая поверхность. Ребро возврата удалено в бесконечность. Поверхность образуется движением прямой ℓ, имеющей построенное направление S по некоторой кривой n (рис. 46). Определитель поверхности: ∑(S~n).

3. Коническая поверхность. Ребро возврата выродилось в точку S. Поверхность образуется перемещением прямой ℓ, проходящей через точку S, по некоторой кривой n, может иметь две полости (рис. 47). Определитель поверхности Δ(S~n).

Б . Неразвертываемые линейчатые поверхности (цилиндроид, коноид, косая плоскость).

Этот вид поверхностей образуется перемещением прямой ℓ перемещающейся по двум направляющим и остающейся параллельной некоторой плоскости параллелизма, за которую обычно, принимают одну из плоскостей проекций П 1 или П 2 .

1. Цилиндроид образуется перемещением прямой ℓ по двум направляющим и остающейся параллельно некоторой плоскости параллелизма (рис. 48а, б). Определитель поверхности Σ (~a, ~b) и Δ перпендикулярно П 1 .

2. Коноид образуется перемещением прямолинейной образующей ℓ по двум направляющим: кривой и прямой, при этом ℓ остается параллельной некоторой плоскости параллелизма. Его определитель - Ø(b~a,∑) (рис. 49) .

Если прямолинейная образующая n перпендикулярна к плоскости параллелизма, то коноид называется прямым , а если криволинейная направляющая m является цилиндрической винтовой линией, коноид называется винтовым геликоидом.

3. Косая плоскость (гиперболический параболоид) получается перемещением прямой ℓ по двум скрещивающимся прямым и остающейся параллельной некоторой плоскости параллелизма. Определитель поверхности

Р(a b, ∑), (рис. 50).

В сечении гиперболического параболоида могут получиться гиперболы, параболы, прямые линии (рис.51).

В. Линейчатые винтовые поверхности – геликоиды. Линейчатой винтовой поверхностью называется поверхность у которой одна направляющая – винтовая линия, а другая – прямая (ось винтовой линии). Определителями поверхности является винтовая линия и ее ось: Ø (ί , m, ℓ).

Геликоид называется прямым , если образующая прямая ℓ перпендикулярная к оси ί винтовой линии и эта ось ί выполняет роль прямой направляющей (рис. 52).

Если прямая образующая не перпендикулярна к оси ί, то геликоид называют косым или наклонным – Архимедов винт (рис. 53). Геликоиды могут быть закрытыми и открытыми. Прямая ℓ при пересечении оси ί винтовой линии, образует закрытый геликоид, если ℓ не пересекает ось ί, то образуется открытый геликоид. В процессе образования поверхности наклонного геликоида образующие располагаются параллельно образующим поверхности некоторого конуса вращения, ось ί которого совпадает с осью ί винтовой линии, а образующие имеют тот же наклон к оси ί винтовой линии, что и образующие геликоида. Этот конус называется направляющим. Отсюда определитель наклонного геликоида состоит из направляющих: винтовой линии m(m 1 , m 2 , оси винтовой линии ί (ί 1 , ί 2) и образующей ℓ(ℓ 1 , ℓ 2), которая располагается под углом α к оси винтовой линии. Наведя каркас из образующих ℓ и проведя огибающую семейства фронтальных проекций образующих ℓ, на П 2 получаем очертание наклонного геликоида. Сечение геликоида плоскостью Σ (Σ 2) перпендикулярной оси геликоида (нормальное сечение) представляет собой спираль Архимеда, требует специального построения (см. рис. 53).

Пересечение поверхностей с плоскостью и прямой линией.

При пересечении какой-либо поверхности плоскостью получается плоская фигура, которая называется сечением. Если секущая плоскость - проецирующая, то построение сечения проводится не сложно. Так как одна из проекций секущей плоскости вырождается в прямую линию, то на основании собирательного свойства проецирующих плоскостей эта проекция вбирает в себя все точки плоскости, в том числе и сечение. Таким образом, задача сводится к построению другой проекции сечения. Выделяются общие точки, которые принадлежат как плоскости, так и пересекаемой поверхности. Затем на основании принадлежности этих точек к фигуре строятся их недостающие проекции.

При пересечении плоскостью многогранника в сечении получается многоугольник (ограниченный замкнутой ломаной линией). Число его сторон и вершин равно числу граней и ребер многогранника, пересекаемых секущей плоскостью.

Построение сечения многогранника можно осуществить двумя способами:

Отыскание вершин многоугольника сечения - способ ребер. При этом построение сводится к тому, что несколько раз решается задача нахождении точки пересечения прямой (ребро) с плоскостью (секущая плоскость) –. первая позиционная задача

Отыскание сторон многоугольника сечения - способ граней. При этом несколько раз решается задача - нахождение линии пересечения двух плоскостей (грани и секущей плоскости) - вторая позиционная задача.

При пересечении плоскостью кривых поверхностей сечение получается плоскими кривыми линиями. Как уже было сказано, если секущая плоскость проецируется в прямую линию, то вторую можно построить по отдельным точкам (рис. 54).

Среди точек кривой пересечения имеются такие, которые особенно расположены по отношению к плоскостям проекций или занимают особые места на кривой. Такие точки называются опорными, и при построении сечения эти точки определяют в первую очередь. К опорным точкам относятся экстремальные точки, очерковые точки и точки смены видимости.

Экстремальные точки – это высшая и низшая точка сечения, самая близкая и дальняя относительно плоскости проекции П 2 , самая левая и самая правая относительно П 3 .

Очерковыми называются точки, проекции которых лежат на очерках поверхности.

Точки смены видимости разграничивают проекцию линии пересечения на видимую и невидимую часть. Точки смены видимости всегда выбираются из очерковых точек. Часто бывает так, что одна и та же точка является одновременно и экстремальной, и очерковой, и точкой смены видимости.

После определения опорных точек при построении кривой линии, для того чтобы точнее определить ее характер, определяется ряд случайных точек.

Случайные точки – это точки, которые взяты произвольно. Часто вид сечения заранее известен. Рассмотрим, какие сечения получаются в наиболее часто встречающихся поверхностях.

Конус – поверхность, в которой получается пять видов различных сечений:

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то в сечении получается треугольник (все линии прямые). Если секущая плоскость не проходит через вершину, в сечении получаются кривые линии.

Если секущая плоскость расположена под непрямым углом к основанию и не параллельна ни одной из образующих, то в сечении получается эллипс (m).

Если секущая плоскость параллельна какой-либо одной образующей конуса, в сечении получается парабола (n).

Если секущая плоскость параллельна двум образующим, в сечении получается гипербола (k).

Если секущая плоскость параллельна основанию и в прямом конусе перпендикулярна оси, в сечении получается окружность (e), радиус окружности замеряется от оси до очерка (рис.55).

Цилиндр – поверность, в сечении которой получается три типа плоских фигур:

Если секущая плоскость расположена параллельно основанию и перпендикулярно оси, в сечении получается окружность, радиус окружности совпадает с радиусом основания.

Если секущая плоскость расположена параллельно оси, в сечении получается прямоугольник.

Если секущая плоскость расположена под углом к основанию и пересекает все образующие линии, в сечении получается эллипс (рис. 56).

Сфера – поверхность, в сечении которой всегда получается окружность, как бы ни располагалась секущая плоскость. Радиус окружности определяется следующим образом: из центра сферы на секущую плоскость опускается перпендикуляр, и радиус окружности замеряется от точки пересечения перпендикуляра с плоскостью до очерка сферы (рис.57) для (2), для (2) радиус берется от оси сферы до очерка.

Если секущая плоскость – общего положения, то для решения такой задачи удобно преобразовать комплексный чертеж так, чтобы секущая плоскость стала проецирующей, а затем продолжить решение по схеме, описанной выше (рис.58).

При пересечении поверхности с прямой линией необходимо определить две точки пересечения, которые называются точками входа и выхода прямой.

Задача решается по следующей схеме:

Одна из проекций прямой заключается в проецирующую плоскость, затем решается задача построения сечения поверхности проецирующей плоскостью. После того как построено сечение, находятся общие точки сечения с проекцией прямой.

Недостающие проекции точек пересечения строятся на основании принадлежности их к прямой при помощи линий связи.

Определяется видимость (без определения видимости задача считается нерешенной) (рис. 59).

При решении задачи на пересечение прямой линии с поверхностью могут быть широко использованы способы преобразования комплексного чертежа, в частности, способ замены плоскостей (рис.60).

Взаимное пересечение двух поверхностей.

При взаимном пересечении двух поверхностей образуется одна или две замкнутые пространственные линии (линии перехода), которые принадлежат одновременно каждой из пересекающихся поверхностей. Построение этих линий производится по отдельным точкам. Одна линия получается в случае врезки, т.е. когда обе поверхности участвуют в пересечении частично. Две линии получаются в случаи проницания, т.е. когда хотя бы одна из поверхностей полностью участвует в пересечении.

Если в пересечении участвуют два многогранника, то линия пересечения получается ломаная, состоящая из ряда прямолинейных отрезков. Если пересекаются многогранник с кривой поверхностью, то линия пересечения - ломаная кривая. Если пересекаются две кривые поверхности, результат - плавная кривая линия. Существует последовательность определения точек линии пересечения. В первую очередь определяются опорные точки. К ним относятся экстремальные, очерковые (определяются на каждом очерке каждой поверхности), точки смены видимости (выбираются среди очерковых). Если в пересечении участвует многогранник, то точки пересечения его ребер с другой поверхностью также относятся к опорным точкам.

После того, как найдены опорные точки, определяются случайные точки. Такие точки нужны, если в пересечении участвует кривая поверхность, так как если хотя бы одна из поверхностей кривая, то в результате получается кривая линия. Кривая линия строится тем точнее, чем больше взято случайных точек.

Задачи на взаимное пересечение двух поверхностей делятся на три группы сложности :

Первая группа сложности – обе поверхности проецирующие. В этом случае две проекции общего элемента (т.е. линии пересечения) заданы на исходном комплексном чертеже – они совпадают с главными (вырожденными) проекциями проецирующих поверхностей. Требуется их только обозначить. Иногда возникает необходимость построить третью недостающую проекцию. В этом случае одну из заданных проекций линий пересечения разбивают на точки, на второй проекции заданной линии находятся проекции обозначенных точек, и затем по двум проекциям точек при помощи линий связи строится третья проекция (рис.61).

Вторая группа сложности – одна поверхность проецирующая, другая общего положения. Одна проекция общего элемента задана на исходном чертеже – она совпадает с главной (вырожденной) проекцией проецирующей поверхности. Требуется её обозначить. Вторая проекция общего элемента определяется из условия его принадлежности к поверхности общего положения. Для этого необходимо разбить имеющуюся проекцию линии пересечения на точки (опорные и случайные), а затем строить недостающие проекции этих точек из условия принадлежности их поверхности общего положения. Если конус - поверхность общего положения (рис.62а), а призма – проецирующая поверхность, то фронтальная проекция линии пересечения, совпадающая с фронтальной проекцией призмы разбивается на точки и через них проводят параллели. Затем измеряют радиус параллели (от оси до очерка) и на другой проекции проводят окружность этого радиуса, после чего при помощи линий связи находятся недостающие проекции точек линии пересечения. Когда найдены все точки, их соединяют плавной кривой.

Так же решается задача, если фигурой общего положения является сфера (рис.62б).

Третья группа сложности – обе пересекающиеся поверхности общего положения. В этом случае ни одна из проекций линии пересечения поверхностей на исходном комплексном чертеже не задана. Такие задачи решаются способом введения посредников, что сводит решение каждой задачи к пересечению двух линий, полученных от пересечения посредника с заданными поверхностями.

Существует два способа решения такого типа задач: способ вспомогательных секущих плоскостей и способ сфер.

Способ вспомогательных секущих плоскостей применяется в том случае, если в сечении обоих поверхностей получаются простые по графическому построению линии (окружности или прямые). Секущие плоскости задаются обязательно частного положения, в большинстве случаев выбираются как посредники плоскости уровня. Рассмотрим этот способ решения задачи на примере.

Пример:

Построить линию пересечения полусферы Р и пирамиды Q (рис.63).

а) Анализ чертежа показывает, что это задача третьей группы сложности (пирамида и полусфера - фигуры общего положения). Задача решается при помощи посредников. За посредники выбираем горизонтальные плоскости уровня. Они пересекают Р по параллелям, а Q по треугольникам – графически простым линиям.

б) Определяем опорные точки на линии пересечения m. Находим точки пересечения ребер пирамиды с полусферой: M 1 , F 1 и Е 1 . Точку М=SBP находим с помощью плоскости ( 1) – плоскости главного меридиана полусферы Р. Точки Е и F получаются в результате пересечения ребер AS и SC и полусферой Р, найдены точки с помощью плоскости ( 2) – плоскость экватора полусферы. Точки М, Е, F являются экстремальными точками, а так же очерковыми на П 2 , точки Е и F очерковыми на П 1 , и они же точки смены видимости на П 1 .

в) Случайные точки определяем с помощью плоскостей уровня ( 2) и Г(Г 2); P=n(n 2 ,n 1) - параллель полусферы Q=l (l 2 ,l 1) – треугольник DTS; nL=точки 1 и 2. Аналогично с помощью плоскости Г(Г 2) находятся точки 3 и 4.

г) Соединяем найденные точки линии m с учетом видимости.

д) Определяем взаимную видимость Р и Q.

Способ вспомогательных сфер основан на одном свойстве поверхности вращения: если центр сферической поверхности расположен на оси поверхности вращения (сфера и поверхность вращения в этом случае называются соосными), то при их взаимном пресечении образуется окружность. Причем, плоскости этих окружностей располагаются перпендикулярно к оси поверхности вращения (рис.64а, б).

Благодаря этому свойству, сферические поверхности используются в качестве вспомогательных при определении точек линии пересечения между поверхностями двух тел вращения с пересекающимися осями. Способ, где посредником берется сфера, называется способом вспомогательных концентрических сфер . Применяется он, только если соблюдаются три условия:

Обе поверхности должны быть поверхностями вращения.

Обе поверхности должны иметь общую ось симметрии (т.е. должны быть соосными).

Оси симметрии пересекающихся поверхностей должны быть прямыми линиями, и эти оси должны пересекаться.

Рассмотри применение этого способа на практическом примере.

Пример:

Построить линию пересечения между поверхностями цилиндра и конуса, оси которых пересекаются под углом (рис.65). Общая плоскость симметрии обоих тел Р(Р 1) расположена параллельна плоскости П 2 .

Поэтому высшая и низшая точки линии пересечения М(М 1 , М 2) и N(N 1 , N 2) получаются в пересечении очерковых образующих. Все остальные точки линии пересечения находим с помощью вспомогательных сфер, проводим из точки пересечения осей конуса и цилиндра О(О 1 , О 2). Сферой наименьшего радиуса является сфера, вписанная в поверхность одного из пересекающихся тел. С поверхностью другого тела такая сфера должна пересекаться. Для того чтобы определить, в какую из пересекающихся фигур вписывается наименьшая сфера и точки пересечения осей О(О 2) на очерковые образующие фигуры опускаем перпендикуляры; тот из перпендикуляров, который окажется больше, и будет являться радиусом наименьшей сферы (R min =O 2 K 2). Проведенная из центра О(О 2) вписанная в поверхность конуса сфера Ф(Ф 2) касается поверхности конуса по окружности m(m 2 ,m 1) и пересекается с поверхностью цилиндра по окружности n(n 2). Обе эти окружности на П 2 проецируются в виде прямых отрезков К 2 К` 2 и A 2 A` 2 . Так как построенные окружности принадлежат одной и той же сфере Ф, то они пересекаются в двух точках Е(Е 1 , Е 2) и F(F 1 , F 2), которые являются общими для поверхностей конуса и цилиндра, и, следовательно, располагаются на линии их пересечения.

Произвольные точки 1, 2, 3, 4 определены с помощью концентрической сферы ( 2) радиусом произвольно несколько большим, чем радиус вписанной сферы. После того как все точки найдены в двух проекциях они соединяются плавной линией на П 2 , и на П 1 с учетом видимости.

Если две пересекающиеся поверхности являются фигурами вращения и имеют общую плоскость симметрии, но оси этих плоскостей не пересекаются, то в этом случае применяется способ эксцентрических сфер . При этом способе точки линии пересечения между двумя поверхностями определяются при помощи сфер, проводимых из различных центров.

Разберем применение этого способа на примере.

Пример :

Построить линию пересечения между поверхностями конуса и тора (рис.66).

Сначала определяем опорные точки. Общая плоскость симметрии обоих тел расположена параллельно плоскости П 2 . Поэтому высшая точка линии пересечения М(М 1 , М 2) получается в пересечении очерковых образующих. Плоскость основания обоих фигур также совпадает и параллельна П 1 . На П 1 оба основания проецируются от проведения плоскости ( 2) в виде окружностей и их пересечения дают две нижних точки линии пересечения Е(Е 1 , Е 2) и F(F 1 , F 2). Для определения произвольных точек 1, 2 проводят через ось тора вспомогательную фронтально проецирующую плоскость, которая пересечет тор по окружности с центром А(А 2) эта окружность проецируется на П 2 в виде отрезка В 2 В` 2 . из центра этой окружности (А 2) проводится перпендикуляр к отрезку В 2 В` 2 . Пересекаясь с осью конуса, он определяет центр сферы О(О 2). Из центра О(О 2) проводится вспомогательная сфера Ф(Ф 2) такого радиуса, чтобы она пересекала тор по окружности ВВ`(В 2 В` 2). Эта сфера пересекает конус по окружности СС`(C 2 C` 2). Обе найденные окружности пересекутся в двух точках 1(1 2 ,1 1) и 2(2 2 ,2 1), располагающихся на линии пересечения поверхностей конуса и тора.

Точки 3 и 4 определены при помощи вспомогательной сферы ( 2) из центра O`(O` 2), найденного аналогичным построением с помощью вспомогательной плоскости Q(Q 2). После того как все точки найдены, в двух проекциях они соединяются плавной кривой линией на П 2 и на П 1 . В заключение определяется взаимная видимость конуса и тора.

В некоторых случаях кривая, которая получается при пересечении поверхностей вращения, распадается на две плоские кривые , т.е. на кривые второго порядка. Условия, при которых происходит распадение линии пересечения на две плоские кривые, оговариваются в трех теоремах:

Теорема 1. Если две поверхности вращения (второго порядка) пересекаются по одной плоской кривой, то они пересекаются и еще по одной плоской кривой (рис. 67а, б).

Теорема 2. Если две поверхности вращения касаются в двух точках (рис. 68 N и М), то линия их пересечения распадается на две плоские кривые. Плоскости этих кривых пересекаются по прямой (рис. 68 MN), соединяющей точки касания поверхностей.

Теорема 3. (теорема Г. Монжа) Если поверхности вращения второго порядка вписаны или описаны около третьей поверхности вращения второго порядка (сферы), то в результате их пересечения образуется две плоские кривые второго порядка (рис.69).

Развертки поверхностей.

Разверткой называют плоскую фигуру, полученную при совмещении развертываемой поверхности с плоскостью.

Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися.

Рассмотрим различные виды разверток:

а) Точные развертки (гранные поверхности, конус и цилиндр) (рис. 70).

б) Приближенные (кривые развертываемые поверхности). Кривую поверхность заменяют гранной поверхностью. Точность развертки зависит от величины отсеков гранной поверхности, а значит от их количества (рис.71). Чтобы из приближенной развертки получить нужную поверхность, достаточно изогнуть тонкий лист на котором начерчена развертка.

в) Приближенно – условные развертки (не развертываемые кривые поверхности).

Теоретически у не развертываемых поверхностей разверток быть не может. Развертка получается условно, если эту поверхность заменить такими простыми развертывающимися поверхностями, как цилиндры и конусы. Последние в свою очередь заменяют многогранными поверхностями, которые и развертывают.

Существует несколько способов построения разверток поверхностей:

Способ треугольника (триангуляция). Этот способ применяется для построения разверток гранных поверхностей и всех линейчатых поверхностей. Кривую линейчатую поверхность заменяют вписанной гранной поверхностью (рис.70, 71).

Способ нормального сечения (рис.72).

Способ раскатки.

Способ вспомогательных цилиндров и конусов (для построения условно – приближенных разверток).

Рассмотрим несколько примеров построения разверток поверхностей:

Пример 1. Построить развертку поверхности пирамиды (рис. 70). Поскольку у пирамиды боковые грани являются треугольниками, то построение её развертки сводится к построению натуральных величин этих треугольников и натуральных величин основания. Натуральные величины ребер определены способом плоскопараллельного перемещения. Развертка пирамиды – это ряд пристроенных друг к другу граней и основания.

Пример 2. Построить развертку боковой поверхности усеченного конуса (рис. 71). Заменяем поверхность конуса восьмиугольной пирамидой, вписанной в конус. Натуральную величину образующих определяем способом плоскопараллельного перемещения.

Это построение можно выполнить на исходном чертеже, переместив все образующие и отрезки на них в положение крайней образующей, которая расположена параллельна П 2 . Дуги основания конуса заменяем рядом хорд и развертку строим аналогично развертке пирамиды (ряд треугольников). Затем полученные точки соединяем плавной кривой линией.

Пример 3 . Построить развертку наклонной призмы (рис. 72). Для определения расстояния между ребрами призмы нужно построить натуральную величину нормального сечения плоскостью Р(Р 2), перпендикулярной к боковым ребрам. Натуральную величину нормального сечения определяют заменой плоскостей проекции или плоскопараллельным перемещением. На развертке фигура нормального сечения представляет собой прямую линию, длина которой равна сумме сторон нормального сечения. Натуральные величины ребер AA`, BB`, CC`, ДД` снимают с П 2 , т.к. ребра данной призмы параллельны П 2 , то и натуральная величина их читается на П 2 . Если ребра призмы – прямые общего положения, то необходимо сначала определить их натуральную величину, затем натуру нормального сечения и строить развертку по описанной выше рекомендации.