(СЛАУ), состоящая из уравнений с неизвестными:
Предполагается, что существует единственное решение системы, то есть .
В данной статье будут рассмотрены причины погрешности, возникающей во время решения системы с помощью метода Гаусса, способы выявления и ликвидации(уменьшения) этой погрешности.
Описание метода
Процесс решения системы линейных уравнений
по методу Гаусса состоит из 2х этапов:
1. Предполагаем, что . Тогда первое уравнение системы делим на коэффициент , в результате получаем уравнение . Затем из каждого из оставшихся уравнений вычитается первое, умноженное на соответствующий коэффициент . В результате система преобразуются к виду: 2. В предположении, что , делим второе уравнение на коэффициент и исключаем неизвестное из всех последующих уравнений и т.д. 3. Получаем систему уравнений с треугольной матрицей:- Обратный ход Непосредственное определение неизвестных
Анализ метода
Данный метод относится к классу прямых методов решения системы уравнений, а это значит, что за конечное число шагов можно получить точное решение, при условии, что входные данные (матрица и правая часть уравнения - ) заданы точно и вычисление ведется без округлений. Для получения решения требуется умножений и делений, то есть порядка операций.
Условия, при которых метод выдает точное решение, на практике не выполнимы - неизбежны как ошибки входных данных, так и ошибки округления. Тогда встает вопрос: насколько точное решение можно получить, используя метод Гаусса, насколько метод корректен? Определим устойчивость решения относительно входных параметров. Наряду с исходной системой рассмотрим возмущенную систему:
Пусть введена некоторая норма . - называется числом обусловленности матрицы .
Возможны 3 случая:
Число обусловленности матрицы всегда . Если оно велико () , то говорят, что матрица плохо обусловлена. В этом случае малые возмущения правых частей системы , вызванные либо неточностью задания исходных данных, либо вызванные погрешностями вычисления, существенно влияют на решение системы. Грубо говоря, если погрешность правых частей , то погрешность решения будет .
Проиллюстрируем полученные результаты на следующем числовом примере: Дана система
Она имеет решение .
Теперь рассмотрим возмущенную систему:
Решением такой системы будет вектор .
При совсем малом возмущении правой части получили несоизмеримо большое возмущение решения. Объяснить такую "ненадежность" решения можно тем, что матрица почти вырожденная: прямые, соответствующие двум уравнениям, почти совпадают, что видно на графике:
Такой результат можно было предвидеть в силу плохой обусловленностью матрицы :
Вычисление является достаточно сложным, сравнимо с решением всей системы, поэтому для оценки пограшности применяются более грубые, но простые в реализации методы.
Способы оценки ошибок
1) Контрольная сумма: обычно применяется для предупреждения случайных погрешностей в процессе вычисления без помощи компьютеров.Составляем контрольный столбец , состоящий из контрольных элементов системы:
При преобразовании уравнений над контрольными элементами производятся те же операции, что и над свободными членами уравнеий. В результате этого контрольный элемент каждого нового уравнения должен равняться сумме коэффициентов этого уравнения. Большое расхождение между ними указывает на погрешности в вычислениях или на неустойчивость алгоритма вычислений по отношению к вычислительной погрешности.
2) Относительная погрешность известного решения позволяет без существенных дополнительных затрат получить суждение о погрешности решения.
Задается некоторый ветор с компонентами, имеющими по возможности тот же порядок и знак, что и компоненты искомого решения . Вычисляется вектор , и на ряду с исходной системой уравнения решается система .
Пусть и - реально получаемые решения этих систем. Суждение о погрешности искомого решения можно получить, основываясь на гипотезе: относительные погрешности при решении методом исключения систем с одной и той же матрицей и различными правыми частями, которыми являются соответственно величины и , отличаются не в очень большое число раз.
3) Изменение масштабов - прием, применяющийся для получения представления о реальной величине погрешности, возникающей за счет округлений при вычислениях.
Наряду с исходной системой тем же методом решается система
, где и - числаЕсли бы не было погрешности округления, то выполнялось бы равенство для решений исходной и масштабированной систем: . Поэтому при и , не являющихся степенями двойки, сравнение векторов и дает представление о величине вычислительной погрешности
Улучшение метода исключения Гаусса
Рассмотренные ниже модификации метода Гаусса позволяют уменьшить погрешность результата.
Выбор главного элемента
Основное увеличение ошибки в методе происходит во время прямого хода, когда ведущая -я строка умножается на коэффициенты .Если коэффициенты 1%20" alt=" >1 ">, то ошибки, полученные на предыдущих шагах накапливаются. Чтобы этого избежать, применяется модификация метода Гаусса с выбором главного элемента. На каждом шаге к обычной схеме добавляется выбор максимального элемента по столбцу следующим образом:
Пусть по ходу исключения неизвестных получена система уравнений:
, .Найдем такое , что и поменяем местами -е и -е уровнения.
Такое преобразование во многих случаях существенно уменьшает чувствительность решения к погрешностям округления при вычислениях.
Итеративное улучшение результата
Если есть подозрение, что полученное решение сильно искажено, то можно улучшить результат следующим образом. Величина называется невязкой. Погрешность удовлетворяет системе уравнений
.Решая эту систему, получаем приближение к и полагаем
.Если точность данного приближения неудовлетворительна, то повторяем эту операцию.
Процесс можно продолжать до тех пор, пока все компоненты не станут достаточно малыми. При этом нельзя останавливать вычисления только потому, что все компоненты вектора невязки стали достаточно малыми: это может быть результатом плохой обусловленности матрицы коэффициентов.
Числовой пример
Рассмотрим для примера матрицу Вандермонда размером 7х7 и 2 различные правые части:
Данные системы были решены двумя способами. Тип данных - float. B итоге получили следующие результаты:
| Обычный метод | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | ||
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 0.999991 | 1 | 0.999996 | 1 |
| 1.00019 | 1 | 7.4774e-005 | 2,33e-008 |
| 0.998404 | 1 | 0.999375 | 1 |
| 1.00667 | 1 | 0.00263727 | 1,12e-006 |
| 0.985328 | 1 | 0.994149 | 1 |
| 1.01588 | 1 | 0.00637817 | 3,27e-006 |
| 0.993538 | 1 | 0.99739 | 1 |
| 0,045479 | 2,9826e-006 | 0,01818 | 8,8362e-006 |
| 0,006497 | 4,2608e-007 | 0,0045451 | 2,209e-006 |
| 0,040152 | 4,344e-005 | 0,083938 | 2,8654e-006 |
| С выбором ведущего элемента по строке | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | ||
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | -3.57628e-005 | 1,836e-007 |
| 1.00001 | 1 | 1.00031 | 1 |
| 0.999942 | 1 | -0.00133276 | 7,16e-006 |
| 1.00005 | 1 | 1.00302 | 0,99998 |
| 1.00009 | 1 | -0.0033505 | 1,8e-005 |
| 0.99991 | 1 | 1.00139 | 0,99999 |
| 0,000298 | 4,3835e-007 | 0,009439 | 5,0683e-005 |
| 4,2571e-005 | 6,2622e-008 | 0,0023542 | 1,2671e-005 |
| 0,010622 | 9,8016e-007 | 0,29402 | 1,4768e-006 |
Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в следующем. При помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной (то же самое, что треугольной или ступенчатой) или близкой к трапециевидной (прямой ход метода Гаусса, далее - просто прямой ход). Пример такой системы и её решения - на рисунке сверху.
В такой системе последнее уравнение содержит только одну переменную и её значение можно однозначно найти. Затем значение этой переменной подставляют в предыдущее уравнение (обратный ход метода Гаусса , далее - просто обратный ход), из которого находят предыдущую переменную, и так далее.
В трапециевидной (треугольной) системе, как видим, третье уравнение уже не содержит переменных y и x , а второе уравнение - переменной x .
После того, как матрица системы приняла трапециевидную форму, уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.
Преимущества метода:
- при решении систем линейных уравнений с числом уравнений и неизвестных более трёх метод Гаусса не такой громоздкий, как метод Крамера , поскольку при решении методом Гаусса необходимо меньше вычислений;
- методом Гаусса можно решать неопределённые системы линейных уравнений, то есть, имеющие общее решение (и мы разберём их на этом уроке), а, используя метод Крамера, можно лишь констатировать, что система неопределённа;
- можно решать системы линейных уравнений, в которых число неизвестных не равно числу уравнений (также разберём их на этом уроке);
- метод основан на элементарных (школьных) методах - методе подстановки неизвестных и методе сложения уравнений, которых мы коснулись в соответствующей статье.
Чтобы все прониклись простотой, с которой решаются трапециевидные (треугольные, ступенчатые) системы линейных уравнений, приведём решение такой системы с применением обратного хода. Быстрое решение этой системы было показано на картинке в начале урока.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений, применяя обратный ход:
Решение. В данной трапециевидной системе переменная z однозначно находится из третьего уравнения. Подставляем её значение во второе уравнение и получаем значение переменой y :
Теперь нам известны значения уже двух переменных - z и y . Подставляем их в первое уравнение и получаем значение переменной x :
Из предыдущих шагов выписываем решение системы уравнений:
Чтобы получить такую трапециевидную систему линейных уравнений, которую мы решили очень просто, требуется применять прямой ход, связанный с элементарными преобразованиями системы линейных уравнений. Это также не очень сложно.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений
Повторяя школьный метод алгебраического сложения уравнений системы, мы выяснили, что к одному из уравнений системы можно прибавлять другое уравнение системы, причём каждое из уравнений может быть умножено на некоторые числа. В результате получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной. В ней уже одно уравнение содержало только одну переменную, подставляя значение которой в другие уравнений, мы приходим к решению. Такое сложение - один из видов элементарного преобразования системы. При использовании метода Гаусса можем пользоваться несколькими видами преобразований.
На анимации выше показано, как система уравнений постепенно превращается в трапециевидную. То есть такую, которую вы видели на самой первой анимации и сами убедились в том, что из неё просто найти значения всех неизвестных. О том, как выполнить такое превращение и, конечно, примеры, пойдёт речь далее.
При решении систем линейных уравнений с любым числом уравнений и неизвестных в системе уравнений и в расширенной матрице системы можно :
- переставлять местами строки (это и было упомянуто в самом начале этой статьи);
- если в результате других преобразований появились равные или пропорциональные строки, их можно удалить, кроме одной;
- удалять "нулевые" строки, где все коэффициенты равны нулю;
- любую строку умножать или делить на некоторое число;
- к любой строке прибавлять другую строку, умноженное на некоторое число.
В результате преобразований получаем систему линейных уравнений, эквивалентную данной.
Алгоритм и примеры решения методом Гаусса системы линейных уравнений с квадратной матрицей системы
Рассмотрим сначала решение систем линейных уравений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы - квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.
Пример 2. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений
Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы почленно умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.
Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицу системы :
В этой матрице слева до вертикальной черты расположены коэффициенты при неизвестных, а справа после вертикальной черты - свободные члены.
Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы . Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:
С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений . Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую строку, умноженную на (в нашем случае на ), к третьей строке – первую строку, умноженную на (в нашем случае на ).
Это возможно, так как
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго не содержат переменнную x :
Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на и получим вновь матрицу системы уравнений, эквивалентной данной системе:
Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую строку, умноженную на (в нашем случае на ).
Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.
В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:
Мы получили эквивалентную данной трапециевидную систему линейных уравнений:
Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем демо-примере.
Решение найдём "с конца" - обратный ход
. Для этого из последнего уравнения определим z
:
.
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдём y
:
Из первого уравнения найдём x
:
Ответ: решение данной системы уравнений - 
.
: в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение. Если же система имеет бесконечное множество решений, то таков будет и ответ, и это уже предмет пятой части этого урока.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса самостоятельно, а затем посмотреть решение
Перед нами вновь пример совместной и определённой системы линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных. Отличие от нашего демо-примера из алгоритма - здесь уже четыре уравнения и четыре неизвестных.
Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Проведём подготовительные работы. Чтобы было удобнее с отношением коэффициентов, нужно получить единицу в во втором столбце второй строки. Для этого из второй строки вычтем третью, а полученную в результате вторую строку умножим на -1.
Проведём теперь собственно исключение переменной из третьего и четвёртого уравнений. Для этого к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на . Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.
Получили систему уравнений, которой эквивалентна заданная система:
Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Окончательное решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения непосредственно можем выразить значение переменной "икс четвёртое":
Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем
,
,
Наконец, подстановка значений
В первое уравнение даёт
,
откуда находим "икс первое":
Ответ: данная система уравнений имеет единственное решение 
.
Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан тот же ответ, если система имеет однозначное решение.
Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы
Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим одну из таких задач - на сплавы. Аналогичные задачи - задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.
Пример 5. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй - 30%, третий - 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.
Решение. Составляем систему линейных уравнений:
Умножаем второе и третье уравнения на 10, получаем эквивалентную систему линейных уравнений:
Составляем расширенную матрицу системы:
Внимание, прямой ход. Путём сложения (в нашем случае - вычитания) одной строки, умноженной на число (применяем два раза) с расширенной матрицей системы происходят следующие преобразования:
Прямой ход завершился. Получили расширенную матрицу трапециевидной формы.
Применяем обратный ход. Находим решение с конца. Видим, что .
Из второго уравнения находим
Из третьего уравнения -
Проверить решение системы можно и на калькуляторе, решающем методом Крамера : в этом случае будет выдан то же ответ, если система имеет однозначное решение.
О простоте метода Гаусса говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут. Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение "Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным" - своего рода краткая инструкция по совершению открытий.
Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот - неизвестных меньше, чем уравнений. К решению таких систем уравнений мы сейчас и приступим.
С помощью метода Гаусса можно установить, совместна или несовместна любая система n линейных уравнений с n переменными.
Метод Гаусса и системы линейных уравнений, имеющие бесконечное множество решений
Следующий пример - совместная, но неопределённая система линейных уравнений, то есть имеющая бесконечное множество решений.
После выполнения преобразований в расширенной матрице системы (перестановки строк, умножения и деления строк на некоторое число, прибавлению к одной строке другой) могли появиться строки вида
Если во всех уравнениях имеющих вид
Свободные члены равны нулю, то это означает, что система неопределённа, то есть имеет бесконечное множество решений, а уравнения этого вида – «лишние» и их исключаем из системы.
Пример 6.
Решение. Составим расширенную матрицу системы. Затем с помощью первого уравнения исключим переменную из последующих уравнений. Для этого ко второй, третьей и четвёртой строкам прибавим первую, умноженную соответственно на :
Теперь вторую строку прибавим к третьей и четвёртой.
В результате приходим к системе
Последние два уравнения превратились в уравнения вида . Эти уравнения удовлетворяются при любых значениях неизвестных и их можно отбросить.
Чтобы удовлетворить второму уравнению, мы можем для и
выбрать произвольные значения
, тогда значение для
определится уже однозначно: 
. Из первого уравнения
значение для также находится
однозначно: 
.
Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы
при произвольных и дают нам все решения заданной системы.
Метод Гаусса и системы линейных уравнений, не имеющие решений
Следующий пример - несовместная система линейных уравнений, то есть не имеющая решений. Ответ на такие задачи так и формулируется: система не имеет решений.
Как уже говорилось в связи с первым примером, после выполнения преобразований в расширенной матрице системы могли появиться строки вида
соответствующие уравнению вида
Если среди них есть хотя бы одно уравнение с отличным от нуля свободным членом (т.е. ), то данная система уравнений является несовместной, то есть не имеет решений и на этом её решение закончено.
Пример 7. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений:
Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на , к третьей строке - первую, умноженную на , к четвёртой - первую, умноженную на .
Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную из последующих уравнений. Чтобы получить целые отношения коэффициентов, поменяем местами вторую и третью строки расширенной матрицы системы.
Для исключения из третьего и четвёртого уравнения к третьей строке прибавим вторую, умноженную на , а к четвёртой - вторую, умноженную на .
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на .
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
Полученная система несовместна, так как её последнее уравнение не может быть удовлетворено никакими значениями неизвестных. Следовательно, данная система не имеет решений.
Рассмотрим один из самых распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений - метод Гаусса. Этот метод (который называют также методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.
Вычисления с помощью метода Гаусса состоят из двух основных этапов, называемых прямым ходом и обратным ходом (обратной подстановкой). Прямой ход метода Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных из системы (5.1) для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода.
1. Схема единственного деления.
Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления.
Прямой ход состоит из шагов исключения.
1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного из уравнений с номерами Предположим, что коэффициент Будем называть его главным (или ведущим) элементом 1-го шага.
Найдем величины
называемые множителями 1-ю шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, уравнений системы (5.1) первое уравнение, умноженное соответственно на Это позволит обратить в
нуль коэффициенты при во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему
в которой вычисляются по формулам
2-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного из уравнений с номерами Пусть где - коэффициент, называемый главным (или ведущим) элементом шага. Вычислим множители 2-го шага
и вычтем последовательно из третьего, четвертого, уравнений системы (5.30) второе уравнение, умноженное соответственно на . В результате получим систему
Здесь коэффициенты вычисляются по формулам
Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной шаг.
k-й шаг. В предположении, что главный (ведущий) элемент шага отличен от нуля, вычислим множители шага
и вычтем последовательно из уравнений полученной на предыдущем шаге системы уравнение, умноженное соответственно на
После шага исключения получим систему уравнений
матрица которой является верхней треугольной. На этом вычисления прямого хода заканчиваются.
Обратный ход. Из последнего уравнения системы (5.33) находим Подставляя найденное значение в предпоследнее уравнение, получим Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам
Трудоемкость метода. Оценим число арифметических операций, необходимых для реализации схемы единственного деления.
Вычисления 1-го шага исключения по формулам (5.29), (5.31) требуют выполнения деления, умножений и вычитаний, т. е. общее число арифметических операций составляет Аналогично, на шаге требуется операций, а на шаге - операций.
Подсчитаем теперь приближенно общее число арифметических операций прямого хода, считая размерность системы достаточно большой:
Как нетрудно видеть, для реализации обратного хода по формулам (5.34) нужно всего операций, что при больших пренебрежимо мало по сравнению с числом операций прямого хода.
Таким образом, для реализации метода Гаусса требуется примерно арифметических операций, причем подавляющее число этих действий совершается на этапе прямого хода.
Пример 5.7. Методом Гаусса решим систему
Прямой ход. 1-й шаг. Вычислим множители Вычитая из второго, третьего и четвертого уравнений системы (5.35) первое уравнение, умноженное на соответственно получим
2-й шаг. Вычислим множители Вычитая из третьего и четвертого уравнений системы (5.36) второе уравнение, умноженное на соответственно, приходим к системе
3-й шаг. Вычисляя множитель и вычитая из четвертого уравнения системы (5.37) третье уравнение, умноженное на приводим систему к треугольному виду:
Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим Подставляя значение в третье уравнение, находим
Результаты вычислений можно свести в следующую таблицу.
Таблица 5.2 (см. скан)
Необходимость выбора главных элементов. Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы Поэтому если один из главных элементов сказывается равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована. Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности.
Пример 5.8. Используя метод Гаусса, решим систему уравнений
на -разрядной десятичной ЭВМ.
Прямой ход. 1-й шаг. Вычисляем множители и преобразуем систему к виду
Все вычисления на этом шаге выполняются без округлений.
2-й шаг. После вычисления множителя последнее уравнение системы должно быть преобразовано к виду где Однако на используемой ЭВМ будет получено уравнение
Действительно, коэффициент определяется точно, так как при его вычислении не возникает чисел, мантиссы которых имеют более 6 разрядов. В то же время при вычислении умножение коэффициента 3.0001 на дает 7-разрядное число 105003.5, после округления которого до 6 разрядов получится 105004. Вычисление 62) завершается выполнением операции вычитания: . После округления последнего числа до 6 разрядов мантиссы приходим к уравнению (5.41).
Обратный ход. Из уравнения (5.41) находим и 1.00001. Сравнение с истинным значением показывает, что эта величина получена с очень высокой для используемой ЭВМ точностью. Дальнейшие вычисления дают
После округления имеем .
Как нетрудно видеть, найденные значения неизвестных имеют мало общего с истинными значениями решения
В чем же причина появления такой значительной погрешности? Говорить о накоплении ошибок округления не приходится, так как всего было выполнено 28 арифметических операций и лишь в 4 случаях потребовалось округление. Предположение о плохой обусловленности системы не подтверждается; вычисление дает значение и 100.
В действительности причина состоит в использовании на шаге малого ведущего элемента Следствием этого стало появление большого
множителя и существенное возрастание коэффициента в последнем уравнении системы.
Таким образом, изложенный выше вариант метода Гаусса (схема единственного деления) оказался некорректным и, следовательно, непригодным для вычислений на ЭВМ. Этот метод может привести к аварийному останову (если при некотором и вычисления по нему могут оказаться неустойчивыми.
2. Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора).
Описание метода. На шаге прямого хода коэффициенты уравнений системы с номерами преобразуются по формулам
Интуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей
В методе Гаусса с выбором главного элемента по столбцу гарантируется, что для всех к Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент а. при неизвестной в уравнениях с номерами Затем соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером меняют местами с уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента
После этой перестановки исключение неизвестного производят, как в схеме единственного деления.
Пример 5.9. Решим систему уравнений (5.39) методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу на -разрядной десятичной ЭВМ.
Прямой ход. 1-й шаг. Максимальный в первом столбце элемент матрицы находится в первой строке, поэтому перестановка уравнений не нужна. Здесь 1-й шаг проводится точно так же, как и в примере 5.8.
2-й шаг. Среди элементов матрицы системы (5.40) максимальный принадлежит третьему уравнению. Меняя местами второе и третье уравнения, получим систему
После вычисления последнее уравнение системы преобразуется к виду
Обратный ход. Из последнего уравнения находим Далее, имеем В данном случае ответ получился точным.
Заметим, что дополнительная работа по выбору главных элементов в схеме частичного выбора требует порядка действий, что практически не влияет на общую трудоемкость метода.
Вычислительная устойчивость схемы частичного выбора. Детальное исследование метода Гаусса показывает, что действительной причиной неустойчивости схемы единственного деления является возможность неограниченного роста элементов промежуточных матриц в процессе прямого хода. Так как на шаге схемы частичного выбора 1, то для вычисленных по формулам (5.42) элементов справедлива оценка Следовательно, максимальное по модулю значение элементов матрицы возрастает на одном шаге не более чем в 2 раза и в самом неблагоприятном случае шаг прямого хода даст коэффициент роста
Гарантия ограниченности роста элементов матрицы делает схему частичного выбора вычислительно устойчивой. Более того, для нее оказывается справедливой следующая оценка погрешности:
Здесь вычисленное на ЭВМ решение системы; его относительная погрешность; число обусловленности матрицы ем - машинное эпсилон; наконец, причем некоторая медленно растущая функция, зависящая от порядка системы (типа степенной функции с небольшим показателем), коэффициент роста.
Наличие в оценке (5.43) множителя указывает на то, что при большом схема частичного выбора может оказаться плохо обусловленной и возможна существенная потеря точности. Однако практика матричных вычислений показывает, что существенный рост элементов матрицы происходит крайне редко. В подавляющем большинстве случаев действительное значение коэффициента роста не превышает 8-10. Если система хорошо обусловлена, то погрешность вычисленного решения оказывается, как правило, малой.
Иногда для проверки качества приближенного решения х
вычисляют невязку и о степени близости приближенного решения к точному пытаются судить по тому, насколько мала невязка. Этот метод ненадежен по отношению к схеме частичного выбора, так как известно, что она гарантированно дает малые невдэки. Более точно это утверждение можно сформулировать так: справедлива оценка
где то же, что и в оценке (5.43). Заметим, что в неравенство (5.44) не входит число обусловленности.
3. Метод Гаусса с выборок главного элемента по всей матрице (схема полного выбора).
В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных.
На 1-м шаге метода среди элементов определяют максимальный по модулю элемент Первое уравнение системы и уравнение с номером меняют местами. Далее стандартным образом производят исключение неизвестного х, из всех уравнений, кроме первого. (что значительно меньше соответствующего значения для схемы частичного выбора). Подчеркнем, что до сих пор еще не найдено матрицы, для которой полный выбор дал бы значение Таким образом, для хорошо обусловленных систем этот вариант метода Гаусса является хорошо обусловленным.
Однако гарантия хорошей обусловленности достигается здесь ценой значительных затрат на выбор главных элементов. Для этого дополнительно к арифметических действий требуется произвести примерно операций сравнения, что может ощутимо замедлить процесс решения задачи на ЭВМ. Поэтому в большинстве случаев на практике предпочтение отдается все же схеме частичного выбора. Как уже отмечено, ситуации, когда при использовании этого варианта метода Гаусса происходит существенный рост элементов, встречаются чрезвычайно редко. Более того, эти ситуации могут быть легко выявлены с помощью заложенных в современных программах эффективных методов слежения за ростом элементов матриц.
4. Случаи, когда выбор главных элементов не нужен.
Известно, что для некоторых классов матриц при использовании схемы единственного деления главные элементы гарантированно располагаются на главной диагонали и потому применять частичный выбор нет необходимости. Так, например, обстоит дело для систем с положительно определенными матрицами, а также с матрицами, обладающими следующим свойством диагонального преобладания:
Матрицы, удовлетворяющие условию (5.45), таковы, что в каждой из строк модуль элемента расположенного на главной диагонали, больше суммы модулей всех остальных элементов строки.
5. Масштабирование.
Перед началом решения целесообразно масштабировать систему так, чтобы ее коэффициенты были величинами порядка единицы.
Существуют два естественных способа масштабирования системы Первый заключается в умножении каждого из уравнений на некоторый масштабирующий множитель Второй состоит в умножении на масштабирующий множитель каждого столбца матрицы, что соответствует замене переменных (фактически - это замена единиц измерения). В реальных ситуациях чаще всего масштабирование может быть выполнено без существенных трудностей. Однако подчеркнем, что в общем случае удовлетворительного способа масштабирования пока не найдено.
На практике масштабирование обычно производят с помощью деления каждого уравнения на его наибольший по модулю коэффициент. Это вполне удовлетворительный способ для большинства реально встречающихся задач.
Одним из простейших способов решения системы линейных уравнений является прием, основанный на вычислении определителей (правило Крамера ). Его преимущество состоит в том, что он позволяет сразу провести запись решения, особенно он удобен в тех случаях, когда коэффициенты системы являются не числами, а какими-то параметрами. Его недостаток – громоздкость вычислений в случае большого числа уравнений, к тому же правило Крамера непосредственно не применимо к системам, у которых число уравнений не совпадает с числом неизвестных. В таких случаях обычно применяют метод Гаусса .
Системы линейных уравнений, имеющие одно и то же множество решений, называются эквивалентными . Очевидно, что множество решений линейной системы не изменится, если какие-либо уравнения поменять местами, или умножить одно из уравнений на какое-либо ненулевое число, или если одно уравнение прибавить к другому.
Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных ) заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к эквивалентной системе ступенчатого вида. Сначала с помощью 1-го уравнения исключается x 1 из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью2-го уравнения исключается x 2 из 3-го и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса , продолжается до тех пор, пока в левой части последнего уравнения останется только одно неизвестное x n . После этого производится обратный ход метода Гаусса – решая последнее уравнение, находим x n ; после этого, используя это значение, из предпоследнего уравнения вычисляем x n –1 и т.д. Последним находим x 1 из первого уравнения.
Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицами их коэффициентов. Рассмотрим матрицу:
называемую расширенной матрицей системы, ибо в нее, кроме основной матрицы системы, включен столбец свободных членов. Метод Гаусса основан на приведении основной матрицы системы к треугольному виду (или трапециевидному виду в случае неквадратных систем) при помощи элементарных преобразованиях строк (!) расширенной матрицы системы.
Пример 5.1. Решить систему методом Гаусса:
Решение . Выпишем расширенную матрицу системы и, используя первую строку, после этого будем обнулять остальные элементы:
получим нули во 2-й, 3-й и 4-й строках первого столбца:
Теперь нужно чтобы все элементы во втором столбце ниже 2-й строки были равны нулю. Для этого можно умножить вторую строку на –4/7 и прибавить к 3-й строке. Однако чтобы не иметь дело с дробями, создадим единицу во 2-й строке второго столбца и только
Теперь, чтобы получить треугольную матрицу, нужно обнулить элемент четвертой строки 3-го столбца, для этого можно умножить третью строку на 8/54 и прибавить ее к четвертой. Однако чтобы не иметь дело с дробями поменяем местами 3-ю и 4-ю строки и 3-й и 4-й столбец и только после этого произведем обнуление указанного элемента. Заметим, что при перестановке столбцов меняются местами, соответствующие переменные и об этом нужно помнить; другие элементарные преобразования со столбцами (сложение и умножение на число) производить нельзя!
Последняя упрощенная матрица соответствует системе уравнений, эквивалентной исходной:
Отсюда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x 3 = –1; из третьего x 4 = –2, из второго x 2 = 2 и из первого уравнения x 1 = 1. В матричном виде ответ записывается в виде
Мы рассмотрели случай, когда система является определенной, т.е. когда имеется только одно решение. Посмотрим, что получится, если система несовместна или неопределенна.
Пример 5.2. Исследовать систему методом Гаусса:
Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы
Записываем упрощенную систему уравнений:
Здесь, в последнем уравнении получилось, что 0=4, т.е. противоречие. Следовательно, система не имеет решения, т.е. она несовместна . à
Пример 5.3. Исследовать и решить систему методом Гаусса:
Решение . Выписываем и преобразуем расширенную матрицу системы:
В результате преобразований, в последней строке получились одни нули. Это означает, что число уравнений уменьшилось на единицу:
Таким образом, после упрощений осталось два уравнения, а неизвестных четыре, т.е. два неизвестных "лишних". Пусть "лишними", или, как говорят, свободными переменными , будут x 3 и x 4 . Тогда
Полагая x 3 = 2a и x 4 = b , получим x 2 = 1–a и x 1 = 2b –a ; или в матричном виде
Записанное подобным образом решение называется общим , поскольку, придавая параметрам a и b различные значения, можно описать все возможные решения системы. à
2. Модификации метода Гаусса
Метод Гаусса с выбором главного элемента. Основным ограничением метода Гаусса является предположение о том, что все элементы , на которые производится деление на каждом шаге прямого хода, не равны нулю. Эти элементы называются главными элементами и располагаются на главной диагонали матрицы A.
Если на некотором шаге прямого хода главный элемент = 0, то дальнейшее решение системы невозможно. Если главный элемент имеет малое значение, близкое к нулю, то возможен сильный рост погрешности из-за резкого возрастания абсолютной величины получаемых в результате деления коэффициентов. В таких ситуациях метод Гаусса становится неустойчивым.
Исключить возникновение подобных случаев позволяет метод Гаусса с выбором главного элемента.
Идея этого метода состоит в следующем. На некотором k-м шаге прямого хода из уравнений исключается не следующая по номеру переменная x k , а такая переменная, коэффициент при которой является наибольшим по абсолютной величине. Этим гарантируется отсутствие деления на нуль и сохранение устойчивости метода.
Если на k-м шаге в качестве главного элемента выбирается ¹ , то в матрице A¢ должны быть переставлены местами строки c номерами k и p и столбцы с номерами k и q.
Перестановка строк не влияет на решение, так как соответствует перестановке местами уравнений в системе, но перестановка столбцов означает изменение нумерации переменных. Поэтому информация обо всех переставляемых столбцах должна сохраняться, чтобы после завершения обратного хода можно было бы восстановить исходную нумерацию переменных.
Существуют две более простые модификации метода Гаусса:
С выбором главного элемента по столбцу;
С выбором главного элемента по строке.
В первом случае в качестве главного элемента выбирается наибольший по абсолютной величине элемент k-й строки (среди элементов , i = ). Во втором - наибольший по абсолютной величине элемент k-го столбца (среди элементов , i = ). Наибольшее распространение получила первый подход, поскольку здесь не изменяется нумерация переменных.
Следует заметить, что указанные модификации касаются только прямого хода метода Гаусса. Обратный ход выполняется без изменений, но после получения решения может потребоваться восстановить исходную нумерацию переменных.
LU-разложение. В современном математическом обеспечении ЭВМ метод Гаусса реализуется с использованием LU-разложения, под которым понимают представление матрицы коэффициентов A в виде произведения A = LU двух матриц L и U, где L – нижняя треугольная матрица, U - верхняя треугольная матрица
Если LU-разложение получено, то решение исходной системы уравнений (2) сводится к последовательному решению двух следующих систем уравнений с треугольными матрицами коэффициентов
линейный алгебраический уравнение численный
где Y = - вектор вспомогательных переменных.
Такой подход позволяет многократно решать системы линейных уравнений с разными правыми частями B. При этом наиболее трудоемкая часть (LU-разложение матрицы A) выполняется только один раз. Эта процедура соответствует прямому ходу метода Гаусса и имеет оценку трудоемкости O(n 3). Дальнейшее решение систем уравнений (6) и (7) может выполняться многократно (для различных B), причем решение каждой из них соответствует обратному ходу метода Гаусса и имеет оценку вычислительной сложности O(n 2).
Для получения LU-разложения можно воспользоваться следующим алгоритмом.
1. Для исходной системы (1) выполнить прямой ход метода Гаусса и получить систему уравнений треугольного вида (5).
2. Определить элементы матрицы U по правилу
u ij = C ij (i = ; j = )
3. Вычислить элементы матрицы L по правилам
Расчетные формулы для решения системы (6) имеют следующий вид:
y 1 = b 1 / l 11 ;
Расчетные формулы для решения системы (7)
(i = n - 1, n - 2, …, 1).
При этом собственно нахождение обратной матрицы – процесс достаточно трудоемкий и его программирование вряд ли можно назвать элементарной задачей. Поэтому на практике чаще применяют численные методы решения систем линейных уравнений. К численным методам решения систем линейных уравнений относят такие как: метод Гаусса, метод Крамера, итеративные методы. В методе Гаусса, например, работают над...
35437 x4=0.58554 5 x1=1.3179137 x2=-1.59467 x3=0.35371 x4=0.58462 6 x1=1.3181515 x2=-1.59506 x3=0.35455 x4=0.58557 5. Сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования 5.1 Методы численного дифференцирования 5.1.1 Описание метода Предположим, что в окрестности точки xiфункция F (x) дифференцируема достаточное число раз. ...
На языке Turbo Pascal 7.0 для решении систем линейных алгебраических уравнений, используя метод простой итерации. 1.2 Математическая формулировка задачи Пусть А – невырожденная матрица и нужно решить систему где диагональные элементы матрицы А ненулевые. 1.3 Обзор существующих численных методов решения задачи Метод Гаусса В методе Гаусса матрица СЛАУ с помощью равносильных...
Числа). Далее по формулам (2) последовательно находятся xn-1 , xn-2 ,…, x1 при i=n-1, n-2,...,1 соответственно. Таким образом, решение уравнений вида (1) описываем способом, называемым методом прогонки, сводится к вычислениям по трём простым формулам: нахождение так называемых прогоночных коэффициентов δi, λiпо формулам (3) при i=1,2,…,n (прямая прогонка) и затем неизвестных xi по...
