Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром.

Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Поэтому знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного выполнения ЕГЭ и вступительной экзаменационной работы.

Многочисленные задачи из совсем иных, на первый взгляд, областей математики (исследование экстремальных свойств функций, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения, системы уравнений и неравенств) зачастую сводятся к решению квадратных уравнений или исследованию квадратного трехчлена.

В данной работе рассмотрены теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и показаны приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических изображений.

Понятие квадратного трехчлена и его свойства.

Квадратным трехчленом называется выражение вида ax 2 +bx+c, где a0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола. При a<0 ветви параболы направлены вниз; при a>0 ветви направлены вверх.

Выражение x 2 +px+q называется приведенным квадратным трехчленом.

В зависимости от величины дискриминанта D=b 2 - 4ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:

при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);

при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);

при D<0 точек пересечения с осью Ох нет (и корней трехчлена нет).

В последнем случае при а>0 парабола лежит целиком выше оси Ох, при а<0- целиком ниже оси Ох (см. приложение 1 , приложение 2 и приложение 3).

Знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимым условием успешного решения многочисленных задач элементарной математики.

Рассмотрим некоторые свойства квадратного трехчлена.

Важнейшей теоремой о корнях квадратного трехчлена является теорема Виета.

Теорема Виета. Между корнями квадратного трехчлена ax 2 +bx+c и коэффициентами этого

трехчлена существуют соотношения: x 1 +x 2 = -b/a,

Данная теорема справедлива и для приведенного квадратного трехчлена x 2 +px+q: x 1 +x 2 = -p,

Теорема, обратная теореме Виета , применяется лишь для приведенного квадратного трехчлена.

Если числа x 1 и x 2 таковы, что x 1 +x 2 = -p, x 1 x 2 =q, то x 1 и x 2 – корни приведенного

квадратного трехчлена.

Теорема Виета успешно применяется при решении различных задач, в частности, задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.

Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и

достаточно выполнения соотношений: D=b 2 -4ac0; x 1 x 2 =c/a>0.

При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие:

x 1 +x 2 = -b/a>0 ,

а оба корня будут отрицательны, если x 1 +x 2 = -b/a<0.

Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и

остаточно выполнения соотношения x 1 x 2 =c/a<0.

В данном случае нет необходимости проверять знак дискриминанта, поскольку при выполнении условия c/a<0 будет выполняться и условие c a<0, а это значит, что дискриминант D=b 2 -4ac>0.

Расположение корней квадратного трехчлена (см. приложение).

Дидактический материал для учащихся.

1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни квадратного трехчлена х 2 +ах+1 различны и лежат на отрезке .

2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-1)х+1-а=0 имеет два различных положительных корня?

3. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-6)+3а+9=0 имеет корни разных знаков?

4. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения х 2 +(а+1)х-2а(а-1)=0 меньше, чем 1 .

5. Найдите все значения параметра а, при которых один из корней уравнения х 2 -2(а+1)х+4а+1=0 меньше 1, а другой – больше 1?

6. При каких значениях параметра а уравнение 2х 2 +(3а+1)х+а 2 +а=2=0 имеет хотя бы один корень?

7. При каких значениях параметра а уравнение (а 2 +а+1)х 2 + (2а-3)х+а-5=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

8. При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х 2 -2ах +а=3=0 положительны?

9. Существуют ли такие значения параметра а, при которых оба корня уравнения х 2 -2(а-3)х-а+3=0 заключены в интервале (-3; 0)?

10. При каких значениях параметра а корни уравнения х 2 -2ах+(а+1) (а-1)=0 принадлежат отрезку [-5; 5]?

11. При каких значениях параметра а один корень квадратного уравнения х 2 +(а+1)х-а 2 =0 больше числа 1/2 , а другой меньше 1/2?

12. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -4х+(2-а) (2+а)=0 имеет корни разных знаков?

13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +2(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?

14. Найти все значения параметра а при которых все корни уравнения (2-а)х 2 -3ах+2а=0 больше 1/2?

15. При каких значениях параметра а все корни уравнения х 2 -2ах+а 2 -а=0 расположены на отрезке [-2; 6]?

16. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения х 2 -2ах+2(а+1)=0 равна 20?

17. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения х 2 -2а(х-1)-1=0 равна сумме квадратов его корней?

18. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (а-3)х 2 -2ах+6а=0 положительны?

19. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (1+а)х 2 -3ах+4а=0 больше 1?

Литература

Цыганов Ш. “Квадратный трехчлен и параметры”/ Математика- № 5, 1999.

Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики”, Москва. Педагогический университет “первое сентября”, 2006.

Астров К., “квадратичная функция и ее применение”, М.: Педагогика, 1986.

Задачи с параметрами / Математика- № 43, 2003.

Сканави М.И. “Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы”, М.: “Оникс 21 век”, 2003.

ВВЕДЕНИЕ

Тема «Квадратный трехчлен» занимает в курсе алгебры одно из центральных мест. Задания по этой теме - непременный атрибут любого экзамена, и вступительных экзаменов в вуз, в частности.

Главной целью занятий по математике является расширение и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей. Процесс обучения основан на совместной исследовательской деятельности учащихся.

Большую роль в развитии математического мышления учащихся на занятиях играет изучение темы «Квадратный трехчлен». Это понятие вообще является одной из основных в школьном курсе математики. Но в реализации этой линии в частности, как? и когда? знакомить учащихся с понятием «квадратный трехчлен», возможны различные подходы и точки зрении.

Впервые о квадратном трехчлене говорится в 7 классе. После этого линия квадратного трехчлена постоянно поддерживается.

Поэтому квадратный трехчлен играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в учебных заведениях. Задачи по этой теме так же непременно включают в варианты вступительных экзаменов в ВУЗы. И хочется отметить важность этого небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения.

Тема моей курсовой работы: «Методические особенности изучения квадратного трехчлена на уроках алгебры в 7 - 9 классах».

Цель исследования: Проанализировать степень усвоения квадратного трехчлена на примерах заданий на повторение.

Область исследования - элементарная математика.

Объект исследования - алгебра.

Предмет исследования - квадратичная функция.

Задачи исследования:

Рассмотреть тематическое планирование по разным учебникам.

Проанализировать степень трудности заданий по одному из учебников.

Проанализировать степень усвоения данной темы на примерах заданий на повторение.

Гипотеза: Если на каждом уроке алгебры выполнять с учащимися задания, связанные с квадратным трехчленом, то степень усвоения квадратного трехчлена значительно улучшится.

Квадратныи трехчлен

Понятие квадратного трехчлена и квадратичной функции

В различных источниках, понятие «квадратного трехчлена», дается по - разному. В одних, квадратный трехчлен - это многочлен второй степени с одной переменной

ax 2 + bx + c, (1)

где x- переменная; a,b - коэффициенты, с- свободный член, a0. В других, квадратным трехчленом относительно x называется выражение вида ax 2 +bx+c, где a,b,c - некоторые числа, причем a0. Числа a,b,c называются коэффициентами квадратного трехчлена. В дальнейшем будем предполагать, что a,b,c - действительные числа.

Значения x, при которых квадратный трехчлен ax 2 + bx + c обращается в нуль, называются корнями трехчлена. Таким образом, для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение:

ax 2 + bx + c = 0. (2)

Напомним, каким образом находятся корни квадратного уравнения; при этом мы несколько уточним факты, обычно излагаемые в школьном курсе. Для решения квадратного уравнения пользуются приемом «выделение полного квадрата», то есть записывают его в виде (напомним, что a 0):

ax 2 + bx + c = a(x 2 + x) + c = a (x 2 + 2x) + c = a (x 2 + 2x +) + c - = a (x +) 2 -

Таким образом, уравнение ax2 + bx + c=0 можно записать в виде:

Или (перенося дробь в правую часть и поделив на a) в виде:

При этом уравнение (3) равносильно уравнению ax 2 + bx + c = 0, то есть имеет те же корни, что и уравнение ax 2 + bx + c.

В самом деле, если некоторое число x удовлетворяет уравнению

ax 2 + bx + c = 0

то как показывают проведенные выкладки, оно удовлетворяет и уравнению (3) . Но эти выкладки можно провести и в обратном порядке, то есть если число x удовлетворяет уравнению (3), то оно удовлетворяет и уравнению

ax 2 + bx + c = 0.

Иными словами, равенство ax 2 + bx +c = 0 представляет собой неопределенное высказывание, которое для одних значений x (а именно для корней трехчлена) является истинным, а для других - ложным. Эквивалентность уравнений

ax 2 + bx + с = 0 и (3) заключается в том, что эти два неопределенных высказывания одновременно истинны и ложны. Итак, остается решить уравнение (3). Обычно число b 2 - 4ac обозначают через «D» и его называют дискриминантом квадратного трехчлена.

Таким образом, уравнение (3) можно записать так:

(x +) 2 =, где D=b 2 - 4ac (4)

Теперь предлагаются три различных случая - в зависимости от того, каким является число D:

А) Если число D положительно, то положительно и число. Поэтому существуют два числа, квадрат каждого из которых равен: это будут числа и -(где, как всегда, - арифметический корень из положительного числа D). Но согласно (4) x+ как раз есть такое число, квадрат которого равен. Значит, x удовлетворяет уравнению (4) в двух случаях:

1) если x + = (и тогда x =)

2) если x + = (и тогда х =)

Итак, при D>0 уравнение (4), а значит и уравнение ax 2 + bx + c = 0, имеет два корня:

X 1 =, X 2 =, Где D=b 2 -4ac (5)

Заметим, что в этом случае оба корня x 1 , x 2 действительны, причем x 1 x 2 (то есть уравнение в самом деле имеет два корня).

Б) если число D равно нулю, то уравнение (4) принимает вид:

Но квадрат числа равен нулю только в том случае, если само число равно нулю, и поэтому мы отсюда получаем

x = 0, или x = -.

Итак, при D=0 уравнение (4), а значит и уравнение x 2 + bx + c = 0, имеет только один корень x = -, то есть существует только одно число (а именно -), удовлетворяющее этому уравнению. Однако в целях единообразия считают, что и в этом случае уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два корня, только они оба совпадают. Иными словами, условно считают, что и при D = 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два корня:

Заметим, что то же получается и из формул (5), поскольку D = 0. Таким образом, если мы условимся при D = 0 считать корень X = - два раза (или, как еще говорят, уславливаемся считать его двукратным корнем), то формулы (5) для корней сохраняют силы и в этом случае. Мы увидим, что и во многих дальнейших случаях это соглашение (считать при D = 0 корень двукратным) оказывается очень удобным: иначе во многих теоремах приходилось бы делать специальные оговорки, относящиеся к этому случаю. Поэтому в математике всегда принято считать, что при D = 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два совпадающих корня. Однако отдаем себе ясный отчет в том, что это лишь условное соглашение: при D = 0 из всех действительных чисел только одно (а именно -) удовлетворяет уравнению ax 2 + bx + c = 0.

В) Осталось рассмотреть случай, когда D отрицательно. В этом случаи и число отрицательно. А так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, то, значит, в этом случае уравнение ax 2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней . Как мы знаем, существует два комплексных числа, квадрат каждого из которых равен отрицательному числу D. Эти числа являются чисто мнимыми и притом сопряженными. Если мы условимся одно из них (безразлично, какое) обозначать через, то другое будет равно

Тогда числами, квадрат каждого из которых равен отрицательному числу,будут чисто мнимые числа и - (а других таких чисел не существует). Но согласно (4) x + есть число, квадрат которого равен.

Следовательно, x удовлетворяет уравнению (4), а значит и уравнению

ax 2 + bx + c = 0, в двух случаях:

1)Если x + (и тогда x =);

2)Если x + (и тогда x =).

Таким образом, и в этом случае (то есть при D < 0) уравнение ax 2 + bx +c = 0

Имеет два корня, вычисляемые по формулам (5) и являющиеся комплексно сопряженными числами. Еще раз подчеркну, что это утверждение имеет лишь условный смысл - если мы уславливаемся через обозначать какое-либо одно из комплексных чисел, квадрат которого равен отрицательному числу D. Это, в самом деле, лишь условное соглашение, так как знак «» используется, по определению, для обозначения арифметического корня из положительного действительного числа, а в комплексной области этот знак однозначного смысла не имеет. Тем не менее, уславливаются при решении квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом всегда считать, что обозначает одно из двух чисел, квадрат которого равен D. Тогда формулы (5) для корней сохраняют смысл и при D <0.

Квадратный трехчлен тесно связан с квадратичной функцией.

Функция вида

f (x) = ax 2 + bx + c (6)

где a ?0, b и c - постоянные, а переменная x принадлежит множеству R действительных чисел, называется квадратичной функцией.

Из определения ясно, что квадратичной является и каждая из функций

F(x) = ax 2 + bx, (где b0, с?0),

y = ax 2 + c , (где b=0, c = 0)

УТВЕРЖДЕНИЕ №1

Если a?0, то

ax 2 +bx +c= a x+ (7)

Это тождество легко доказать преобразованием правой части. Немного труднее преобразование левой части путем выделения точного квадрата. Используя это утверждение и равенство (6), можно записать такую схему:

На основании равенства (7) легко доказать следующее утверждение:

УТВЕРЖДЕНИЕ № 2

Квадратичная функция при:

А) a>0 имеет глобальный минимум

y 0 = , при x 0 = -;

Б) a<0 имеет глобальный максимум

y 0 = , при x 0 = -

Ясно, что в каждом из двух случаев соответствующий экстремум является единственным и совпадает с наибольшим или наименьшим значением функции на R. Утверждение № 2 можем толковать и в связи с графиком квадратичной функции: при традиционном расположении координатной системы на плоскость. (-;) при a>0 является самой нижней точкой графика функции, а при a<0 - самой верхней точкой графика.

УТВЕРЖДЕНИЕ №3

Квадратичная функция при:

a) a >0 убывает на промежутке

D 1 = (- ?; -] и возрастает на промежутке

D 2 = [- ; + ?);

б) a<0 возрастает на промежутке D 1 и убывает на промежутке D 2 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Докажем, что при a 0 на интервале D 1 убывает. Дадим произвольные различные значения x 1 и x 2 переменной, и для определенности пусть

Обозначим a (x 1 +) + через f (x 1), а a(x 2 +) 2 +

через f (x 2). Тогда достаточно доказать, что f (x 1) f (x 2).

На основании (8) последовательно находим

-(x 1 +) -(x 2 +) 0, (x 1 +) 2 (x 2 +) 2 ,

a (x 1 +) 2 + a (x 2 +) 2 + ,

то есть f (x 1) f (x 2). Следовательно, на интервале D 1 квадратичная функция убывает.

К этому выводу короче можно прийти следующими рассуждениями:

f (x 2) - f (x 1) = a (x - x) + b (x 2 - x 1) =

(x 2 - x 1) (a (x 2 + x 1) + b) (x 2 - x 1) (a (x 2 - x 1) (a (-) + b) = 0,

откуда, f (x 1) f (x 2).

Аналогичным образом рассматриваем и остальные случаи. При помощи производной функции утверждения 3 можем доказать, используя необходимое и достаточное условие убывания или возрастания функции. Утверждение 2 доказывается с использованием производной функции, точнее, с помощью достаточного условия существования локального экстремума.

УТВЕРЖДЕНИЕ № 4

График квадратичной функции f(x) = ax 2 + bx + c симметричен относительно прямой q 0 , которая проходит через точку А (-; 0) и параллельна оси ординат (или совпадает с ней).

Чтобы доказать это утверждение, даем два произвольных значения x 1 и x 2 переменной, симметричных относительно точки x 0 = -, и, используя равенство (7), находим, что соответствующие значения функции равны. Можем также дать произвольное значение x 3 переменной, получив точку P(x 3 ; f(x 3)) графика функции, и показываем, что точка Q, симметричная точке P относительно прямой q 0 , тоже принадлежит графику.

График квадратичной функции является кривой линией, которая называется параболой. Прямая q 0 и (-;) называются соответственно осью и вершиной параболы. Известно, что ось абсцисс содержит те и только те точки, ординаты которых равны 0. Значит, чтобы установить, при каких значениях аргумента x квадратичная функция принимает значения, равное 0, нужно проверить, имеет ли парабола хотя бы одну общую точку с осью абсцисс тогда и только тогда, когда ордината ее вершины? 0, то есть когда b 2 -4ac ? 0. Число b 2 - 4ac обозначается через D и называется дискриминантом, как квадратичной функции, так и квадратного уравнения:

ax 2 + bx + c = 0 (9)

Следовательно, если a>0, то:

При D>0 уравнение (9) имеет различные действительные корни x 1 и x 2 ;

При D=0 уравнение (9) имеет один действительный корень;

При D<0 уравнение (9) не имеет действительных корней.

Если a 0, парабола имеет хотя бы одну общую точку с осью абсцисс тогда и только тогда, когда ордината ее вершины? 0, то есть когда

4ac - b 2 ? 0 или когда D ? 0.

Таким образом, снова получаем тот же вывод.

Из этих рассуждений и утверждений 2 и 3 следует, что при a 0 возможны такие случаи:

А) При D 0 и x 1 x 2 функция принимает значения, равные 0, для значений переменной x 1 и x 2 , положительные значения для каждого

x (- , x 1) (x 2 ; +),

отрицательные значения для каждого x (x 1 ; x 2).

Б) При D = 0 функция принимает значение, равное 0, только для значений переменной x 1 и x 2 = -, положительные значения для каждого x - ; В) При D 0 функция принимает положительное значение для каждого значения переменной. Аналогично, если a 0, то:

А) При D 0 и x 1 x 2 функция принимает значение, равное 0, для значений переменной x 1 и x 2 , отрицательные значения для каждого

x (- ; x 1) (x 2 ; +), положительные значения для каждого

x (- ; x 1) (x 2 ; +), положительные значения для каждого x (x 1 ;x 2).

Б) При D = 0 функция принимает значение, равное 0, только для значения переменной x 1 = x 2 = -, отрицательные значения для каждого x - ;

В) При D 0 функция принимает отрицательные значения для каждого значения переменной.

Можно особо отметить, что если D 0, то для каждого значения переменной знак значения функции совпадает со знаком коэффициента a.

Все эти свойства, содержащиеся в утверждениях 1 - 3, могут быть отражены в схеме, изображенной на рисунке (на каждом из чертежей ось ординат не показана, поэтому, что это обычно не имеет существенного значения при рассмотрении указанных свойств).

Таким образом, тема: «квадратный трехчлен» является основной в курсе алгебры, которая теснейшим образом связана с квадратичной функцией. Изложенный выше материал полезен для дальнейшей работы с квадратными неравенствами (по одному возможному способу при помощи графика квадратичной функции) и до некоторой степени с квадратными уравнениями.

	Контрольная работа № 1 ВАРИАНТ 1			Контрольная работа № 1 «Функции и их свойства. Квадратный трехчлен» ВАРИАНТ 1
3 Сократите дробь . g 5. Сумма положительных чисел а и b равна 50. При каких значениях а и b		1 Дана функция . При каких значениях аргумента ? Является ли эта функция возрастающей или убывающей? 2 Разложите на множители квадратный трехчлен: 3 Сократите дробь . 4. Область определения функции f – отрезок . Найдите нули функции, промежутки возрастания и убывания, область значений функции. 5. Сумма положительных чисел с и d равна 70. При каких значениях c и d их произведение будет наибольшим?

	Контрольная работа № 2 «Квадратичная функция» ВАРИАНТ 1		Контрольная работа № 2 «Квадратичная функция» ВАРИАНТ 2
а) значение у при х = 0,5; б) значения х , при которых у = – 1; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y г) промежуток, на котором функция возрастает. 2 Найдите наименьшее значение функции .		1 Постройте график функции . Найдите с помощью графика: а) значение у при х = 1,5; б) значения х , при которых у = 2; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y г) промежуток, на котором функция убывает. 2 Найдите наибольшее значение функции 3. Найдите область значений функции , где . 4. Не выполняя построения, определите, пересекаются ли парабола и прямая . Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты. 5. Найдите значение выражения

	Контрольная работа № 3 ВАРИАНТ 1		Контрольная работа № 3 «Уравнения и неравенства с одной переменной» ВАРИАНТ 2
1. Решите уравнение: а) ; б) . 2. Решите неравенство: 5. При каких значениях т уравнение имеет два корня?		1. Решите уравнение: а) ; б) . 2. Решите неравенство: 3. Решите неравенство методом интервалов: 4. Решите биквадратное уравнение 5. При каких значениях п уравнение не имеет корней? 6. Найдите область определения функции . 7. Найдите координаты точек пересечения графиков функций и .

	Контрольная работа № 4 ВАРИАНТ 1		Контрольная работа № 4 «Уравнения и неравенства с двумя переменными» ВАРИАНТ 2
2. Периметр прямоугольника равен 28 м, а его площадь равна 40 м 2 . Найдите стороны прямоугольника. 4. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы и прямой . 5. Решите систему уравнений	1. Решите систему уравнений 2. Одна из сторон прямоугольника на 2 см больше другой стороны. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 120см 2 . 3. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств 4. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения окружности и прямой . 5. Решите систему уравнений

	Контрольная работа № 5 «Арифметическая прогрессия» ВАРИАНТ 1		Контрольная работа № 5 «Арифметическая прогрессия» ВАРИАНТ 2
1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии , если и . 2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0; … . 3. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности , заданной формулой . 4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии , в которой и ? 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.		1. Найдите восемнадцатый член арифметической прогрессии , если и . 2. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии: – 21; – 18; – 15; … . 3. Найдите сумму сорока первых членов последовательности , заданной формулой . 4. Является ли число 30,4 членом арифметической прогрессии , в которой и ? 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 150.

	Контрольная работа № 6 «Геометрическая прогрессия» ВАРИАНТ 1		Контрольная работа № 6 «Геометрическая прогрессия» ВАРИАНТ 2
1. Найдите седьмой член геометрической прогрессии , если и . 2. Первый член геометрической прогрессии равен 2, а знаменатель равен 3. Найдите сумму шести первых членов этой прогрессии. 24; –12; 6; … . 4. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии с положительными членами, зная, что и . 5. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: а) 0,(27); б) 0,5(6).		1. Найдите шестой член геометрической прогрессии , если и . 2. Первый член геометрической прогрессии равен 6, а знаменатель равен 2. Найдите сумму семи первых членов этой прогрессии. 3. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: – 40; 20; – 10; … . 4. Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии с положительными членами, зная, что и . 5. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь: а) 0,(153); б) 0,3(2).

	Контрольная работа № 7 ВАРИАНТ 1		Контрольная работа № 7 «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» ВАРИАНТ 2
1. Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне автобуса на 5 свободных местах? 2. Сколько трехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, 9? 3. Победителю конкурса книголюбов разрешается выбрать две книги из 10 различных книг. Сколькими способами он может осуществить этот выбор? 4. В доме 90 квартир, которые распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется квартира на первом этаже, если таких квартир 6? 5. Из 8 мальчиков и 5 девочек надо выделить для работы на пришкольном участке 3 мальчиков и 2 девочек. Сколькими способами это можно сделать? 6. На четырех карточках записаны цифры 1, 3, 5, 7. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад последовательно положили эти карточки в ряд одну за другой и открыли. Какова вероятность того, что в результате получится число 3157?		1. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 9 без повторений цифр? 2. Из 8 учащихся класса, успешно выступивших на школьной олимпиаде, надо выбрать двух для участия в городской олимпиаде. Сколькими способами можно сделать этот выбор? 3. Из 15 туристов надо выбрать дежурного и его помощника. Какими способами это можно сделать? 4. Из 30 книг, стоящих на полке, 5 учебников, а остальные художественные произведения. Наугад берут с полки одну книгу. Какова вероятность того, что она не окажется учебником? 5. Из 9 книг и 6 журналов надо выбрать 2 книги и 3 журнала. Сколькими способами можно сделать этот выбор? 6. На пяти карточках написаны буквы а, в, и, л, с. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад последовательно положили эти карточки в ряд одну за другой и открыли. Какова вероятность того, что в результате получится слово «слива»?

	Контрольная работа № 8 «Итоговая» ВАРИАНТ 1		Контрольная работа № 8 «Итоговая» ВАРИАНТ 2

В которой были рассмотрены функции в составе которых имеется квадратный трёхчлен. Задания на нахождение точек максимума (минимума) или на вычисление наибольшего (наименьшего) значения функции.

Недавно меня попросили рассказать и показать каким образом такие задания можно решить по стандартному алгоритму, то есть через производную. Сразу скажу, что такой подход к решению нерационален, требует больше времени и он «неудобен». Привожу его для вас (чтобы знали).

Рекомендую посмотреть статью « » , также помните, что функций нужно знать наизусть, в теме производной без этого никак нельзя. Также необходимо понимание того, что такое сложная функция, в указанной выше статье имеется видео.

Рассмотрим задачи:

Найдите точку максимума функции

Сначала определим, при каких х функция имеет смысл (найдём область определения функции). Так как подкоренное выражение есть число неотрицательное, то решаем неравенство:

13 + 6х – х 2 ≥ 0

*Как решается квадратное неравенство подробно можно посмотреть .

Данные корни разбивают ось х на три интервала.

Проверим при каких значениях х неравенство будет верным. Подставим из каждого интервала любое значение х в неравенство:

Значит решением неравенства будут являться все значения х принадлежащие интервалу (включая границы):

* Приближенно полученные выражения равны:

Область определения данной функции найдена.

Вычислим производную функции. Это сложная функция:

Найдем нули производной:

Дробь равна нулю тогда, когда её числитель равен нулю, значит:

6 – 2х = 0

х = 3

Полученное значение х входит в область определения и разбивает её на два отрезка. Определим знаки производной на каждом из них (подставим выборочно любые значения в выражение производной), например 2 и 4:

Получили, что в точке х = 3 производная функции меняет свой знак с положительного на отрицательный, а это означает, что данная точка есть точка максимума.

Ответ: 3

Комментарий: представленное решение – это полное, математически грамотное решение, то есть такое как должно быть. О чем я? Дело в том, что для составления «полной картины», в первую очередь необходимо найти область определения. Конечно, можно поспорить. Дело в том, можно сразу находить производную, затем её «нули» и далее установить имеет ли функция значение при этом х. Затем определить знаки в «соседних» точках и станет понятно является ли эта точка точкой максимума (или минимума). Да, можно и так.

Кто проанализировал все типы таких примеров из единого банка заданий ЕГЭ по математике, тот справедливо может сказать, что достаточно вообще найти нули производной, полученное (целое) значение х и будет являться искомым. Согласен! Но понимать суть всего процесса решения «от и до» необходимо.

Если в подобном задании на ЕГЭ будет стоять вопрос о вычислении наибольшего (наименьшего) значения, то оно будет в точке х, полученной при решении f ′(х) = 0 , то есть в «нуле функции».

Найдите точку максимума функции у =log 7 (–2 – 12х – х 2 ) + 10.

Вычислим производную функции, используем формулу производной логарифма и производной сложной функции:

Найдем нули производной:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю:

– 2х –12 = 0

х = – 6

Данное значение обращает подлогарифмическое выражение в положительное:

–2 – 12∙(–6) – (–6) 2 = 34

то есть оно принадлежит области определения функции.

Определим знаки производной в «соседних» точках, например возьмем точки –7 и –5:

Получили, что в точке х = – 6 производная функции меняет свой знак с положительного на отрицательный, а это означает, что данная точка есть точка максимума функции.

Ответ: –6