Криволинейный интеграл от вектор функции. Чему равно двойное векторное произведение? Как дифференцируется векторная функция

Задачи, возникающие при интегрировании векторных функций, обычно параллельны соответствующим задачам (гл. Радона, которые рассматриваются как непрерывные линейные отображения пространства непрерывных функций в отделимое локально выпуклое пространство.

При доказательстве этого утверждения используются некоторые факты из теории интегрирования векторных функций, выходящие за рамки данной книги .

Известны и весьма подробно изучены также многие другие подходы к интегрированию векторных функций; некоторые из них основаны на более прямом определении интеграла как предела сумм.

Случай векторных функций и скалярных мер представляет собой не столь уж коренное обобщение в отличие от случая векторных мер и скалярных функций. Около 30 лет тому назад задача интегрирования векторных функций по скалярной мере была очень популярна.

Если q - скалярная функция, то метод отыскания ее среднего значения хорошо известен. Если же это векторная функция, то нам следует отыскивать ее среднее значение, руководствуясь правилами интегрирования векторных функций.

Теперь мы покажем, что некоторые хорошо известные замкнутые подпространства некоторых других банаховых пространств не дополняемы. Не дополняемость будет установлена с помощью одной довольно общей теоремы о компактных группах операторов, имеющих общее инвариантное подпространство; доказательство этой теоремы использует интегрирование векторных функций по мере Хаара.

Понятие производной вектор функции позволяет дать определение неопределенного интеграла.

Пусть даны две вектор-функции A (t) и B (t). Тогда B (t) называется неопределенным интегралом (первообразной) A (t), если = A(t) и обозначается как:

В, С - постоянный вектор (векторная константа) и это выражение следует понимать как три независимых интеграла от функций в какой-либо системе координат, в частности, в декартовой.

Градиент скалярной функции (декартова система координат):

Градиент скалярной функции имеет геометрическую интерпретацию, вытекающую из следующих рассуждений. Приращение при изменении r на d r = i dx+ j dy + k dz равно с учетом:

Отсюда gradϕ перпендикулярен поверхности ϕ = const в любой точке. Если рассмотреть случай, когда dr направлен от одной поверхности ϕ = c1 к соседней ϕ = c2, то dϕ = 4c = gradϕ*dr. Для данного dϕ, |dr| - минимален, если dr параллелен gradϕ. Следовательно, градиент скалярной функции есть вектор, указывающий направление максимальной скорости изменения функции ϕ.

Дивергенция вектора (декартова система координат):

Ротор вектора (декартова система координат):

(2.5)

Среди интегральных соотношений важнейшее значение для векторного анализа имеют две теоремы. Теорема Остроградского - Гаусса:

Здесь S -поверхность, ограничивающая объем V , n - нормаль к поверхности. Интеграл по поверхности (в общем случае не замкнутой) вида ʃ b*ds называется потоком вектора b через поверхность.

Вторая теорема - теорема Стокса:

где S - поверхность, опирающаяся на контур L.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. К. Боярчук, Г. П. Головач, «Дифференциальные уравнения в примерах и задачах»; Эдиториал УРСС, 2001.

2. А. Н. Тихонов, В. А. Ильин, А. Г. Свешников, «Дифференциальные уравнения», выпуск 7; «Наука», 1980.

3. А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев, Н. А. Тихонов, Т. А. Уразгильдина, «Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах»; ФИЗМАТЛИТ, 2003.

4. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления. М.: Наука, 1970. -320 с.

5. В. В. Степанов, «Курс дифференциальных уравнений».

6. Кириченко Б.И., Суетина Н.Л. Дифференцирование и интегрирование.Ульяновск: УлГТУ, 2002, - 32 с.

7. М.Л. Краснов. Вся высшая математика, 2012.

8. Справочное пособие по высшей математике (Антидемидович). (В 5-ти томах) Боярчук А.К. и др. Том 2. Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента.-2003, 224 с.

9. Справочное пособие по высшей математике (Антидемидович). (В 5-ти томах) Боярчук А.К. и др. Том 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах.-2001, 384 с.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-20

векторное произведение не коммутативно.

Согласно вышеизложенному для векторного произведения ортов правой прямоугольной системы координат имеем:

Используя эти формулы, найдем выражение для векторного произведения векторов А и В через проекции сомножителей:

Очень удобно векторное произведение записывать в таком виде:

Для векторного произведения справедлив распределительный закон:

- Чему равно двойное векторное произведение?

Три вектора и можно различным образом перемножить. Одним из этих вариантов и является двойное векторное произведение, т.е. вектор умножить векторно на .

Двойное векторное произведение Векторное произведение вектора на вектор представляет собой вектор, компланарный с векторами и и перпендикулярный вектору .

Найдем проекции вектора на ось х:

Раскрывая определитель, прибавим к правой части, а затем вычтем из нее Ах Вх Сх, после преобразований получим:

Для двух других проекций находим:

На основании этих формул запишем векторное равенство:

Произведение четырех и более векторов можно свести к произведению трех векторов.

- Как дифференцируется векторная функция?

Дифференциал векторной функции является векторной величиной:

.

Значение дифференциала зависит от знака приращения независимой переменной dt . При вектор направлен по касательной к годографу в сторону возрастания аргумента t, при dt<0 направлен обратно.

Пусть дан радиус-вектор точки

дифференциал его определяется формулой

.

Модуль дифференциала описывается формулой:

Сравнив модуль дифференциала радиуса-вектора точки с дифференциалом дуги кривой ds:

- Как находится неопределенный интеграл векторной функции? Определенный интеграл?

Неопределенный интеграл есть векторная функция , производная от которой равна подынтегральной функции:

.

Определенный интеграл от векторной функции есть предел суммы векторов:

1.2. Основные характеристики скалярных и векторных полей. Графическое изображение полей. Уровенные поверхности, векторные линии и трубки. Градиент скалярного поля. Скорость изменения скалярного поля по заданному направлению. Выражение площади через вектор. Поток вектора через поверхность. Дивергенция вектора. Соленоидальные поля. Формула Остроградского-Гаусса. Циркуляция вектора. Ротор. Потенциальные поля. Формула Стокса. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка, лапласиан.

- Как графически изображаются скалярные и векторные поля?

Скалярные и векторные поля удобно изображать графически. Скалярное поле может быть изображено при помощи поверхностей уровня, т.е. поверхностей, во всех точках которых функция или сохраняет одинаковое значение.

Уравнение поверхности уровня или изоповерхности имеет вид:

Различные значения с соответствуют различным уровенным поверхностям. Совокупность таких поверхностей позволяет наглядно представить скалярное поле.

Векторное поле изображается при помощи векторных или силовых линий. Векторные линии имеют следующий физический смысл. В каждой точке линии вектор, характеризующий поле, направлен по касательной. О численной величине вектора в точке пространства судят по густоте силовых линий, проходящих через перпендикулярную к ним единицу площади.

Изучение скалярного и векторного полей ведется при помощи использования специальных понятий и формул.

- Что такое градиент скалярного поля?

Вектор, проекции которого на оси прямоугольных координат являются частными производными от скалярной функции по координатам точки, является градиентом скалярной функции в точке и обозначается Проекции градиента на оси координат определяются формулой:

.

Модуль gradU вычисляется по формуле:

.

Для случая плоского поля U(x,y) градиент

есть вектор, лежащий в плоскости x, y и перпендикулярный к линии уровня поля в каждой точке.

В предыдущей главе мы видели, что брать производные от поля можно по-разному. Одни теорема приводят к векторным полям; другие - к скалярным. Хотя формул было выведено довольно много, все их можно подытожить одним правилом: операторы и суть три компоненты векторного оператора . Сейчас нам хотелось бы лучше разобраться в значении производных поля. Тогда мы легче почувствуем смысл векторных уравнений поля.

Мы уже говорили о смысле операции градиента ( на скаляр). Обратимся теперь к смыслу опeраций вычисления дивергенции (расходимости) и ротора (вихря). Толкование этих величин лучше всего сделать на языке векторных интегралов и уравнений, связывающих эти интегралы. Но уравнения эти, к несчастью, нельзя вывести из векторной алгебры при помощи каких-либо легких подстановок, так что вам придется учить их как что-то новое. Одна из этих интегральных формул практически тривиальна, а другие две - нет. Мы выведем их и поясним их смысл. Эти формулы фактически являются математическими теоремами. Они полезны не только для толкования смысла и содержания понятий дивергенции и ротора, но и при разработке общих физических теорий. Для теории полей эти математические теоремы - все равно что теорема о сохранении энергии для механики частиц. Подобные теоремы общего характера очень важны для более глубокого понимания физики. Но вы увидите, что, за немногими простыми исключениями, они мало что дают для решения задач. К счастью, как раз в начале нашего курса многие простые задачи будут решаться именно этими тремя интегральными формулами. Позже, однако, когда задачи станут потруднее, этими простыми методами мы больше обойтись не сможем.

Мы начнем с той интегральной формулы, куда входит градиент. Мысль, которая содержится в ней, очень проста: раз градиент есть быстрота изменения величины поля, то интеграл от этой быстроты даст нам общее изменение поля. Пусть у нас есть скалярное поле . В двух произвольных точках (1) и (2) функция имеет соответственно значения и . [Используется такое удобное обозначение: (2) означает точку , а это то же самое, что .] Если (гамма) - произвольная кривая, соединяющая (1) и (2) (фиг. 3.1), то справедлива

Теорема 1

(3.1)

Фигура 3.1. Иллюстрация уравнения (3.1).Вектор вычисляется на линейном элементе

Интеграл, стоящий здесь, это криволинейный интеграл от (1) до (2) вдоль кривой от скалярного произведения вектора на другой вектор, , являющийся бесконечно малым элементом дуги кривой [направленной от (1) к (2)].

Напомним, что мы понимаем под криволинейным интегралом. Рассмотрим скалярную функцию и кривую , соединяющую две точки (1) и (2). Отметим на кривой множество точек и соединим их хордами, как на фиг. 3.2. Длина хорды равна , где пробегает значения . Под криволинейным интегралом

подразумевается предел суммы

где - значение функции где то на хорде. Предел - это то, к чему стремится сумма, когда растет число хорд (разумным образом, чтобы даже наибольшее ).

Фигура 3.2. Криволинейный интеграл есть предел суммы.

В нашей теореме (3.1) интеграл означает то же самое, хоть и выглядит чуть по-иному. Вместо стоит другой скаляр - составляющая направлении . Если обозначить эту составляющую через , то ясно, что

(3.2)

Интеграл в (3.1) и подразумевает сумму таких членов.

А теперь посмотрим, почему уравнение (3.1) правильно. В гл. 1 мы показали, что составляющая вдоль малого смещения равна быстроте изменения в направлении . Рассмотрим хорду кривой от точки (1) до точки на фиг. 3.2. По нашему определению

Из нашего доказательства видно, что, подобно тому как равенство не зависит и от выбора точек точно так же оно не зависит от выбора самой кривой . Теорема верна для любой кривой, соединяющей точки (1) и (2).

Два слова об обозначениях. Не будет путаницы, если писать для удобства

(3.7)

Тогда наша теорема примет такой вид:

Теорема 1

(3.8)

В общем случае векторы являются функциями скалярных или векторных величин. Например, зависимость A от скалярной величины t обозначают в виде A(t) и говорят, что задана вектор-функция A(t) от скалярного аргумента t. Изменение вектор-функции от скалярного аргумента графически изображаетсягодографом вектора - кривой, описываемой концом вектора A при изменении t.Производной от A(t) по скалярному аргументу t называется предел

Такая производная направлена по касательной к годографу вектора. Если базис ek не зависит от t, то

Правила дифференцирования вектор-функции следуют из определения производной и в простейших случаях имеют вид:

ϕ = ϕ(r), т.е. являются функциями x, y, z, то вводятся специальные приемы дифференцирования.

Градиент скалярной функции

Градиент скалярной функции имеет геометрическую интерпретацию, вытекающую из следующих рассуждений. Приращение d ϕ при изменении r на d r = i dx + j dy + k dz равно с учетом (13):

dϕ = 0, следовательно, на основании (14) grad ϕ · dr = 0. Отсюда grad ϕ перпендикулярен поверхности ϕ = const в любой точке. Если рассмотреть случай, когда dr направлен от одной поверхности ϕ = c1 к соседней ϕ = c2 , то dϕ = 4c = grad ϕ · dr. Для данного dϕ, |dr| - минимален, если dr параллелен grad ϕ. Следовательно,градиент скалярной функции есть вектор, указывающий направление максимальной скорости изменения функции ϕ.

Дивергенция вектора (декартова система координат):

Среди интегральных соотношений важнейшее значение для векторного

Здесь S -поверхность, ограничивающая объем V , n - нормаль к поверхности. Интеграл по поверхности (в общем случае не замкнутой) видаR b · ds называетсяпотоком вектора b через поверхность.

Вторая теорема - теорема Стокса

rot b · ds = b · dl, (18)

где S - поверхность, опирающаяся на контур L. Из (17) и(18) вытекают интегральные определения дивергенции вектора и проекции ротора вектора:

1.4 УПРАЖНЕНИЯ к п. 1

1.1 Найти косинус угла между векторами A = 3i + 4j + k, B = 3i − j + k.

1.2 Вычислить скалярное и векторное произведение векторов A = 2i + 4j + 6k, B = 3i − 3j − 5k .

1.3 Даны векторы A = 3i + 2j − k, B = −6i − 4j + 2k, C = i − 2j − k. Определить, какие два их них взаимно перпендикулярны, а какие параллельны или антипараллельны.

1.4 Определить вектор A, модуль которого равен единице, перпендикулярный векторам B = 2i + j − k, C = i − j + k.

1.5 Четыре вектора A, B, C, D лежат в одной плоскости.

Показать, что [ × = 0.

1.6 Показать, что ]+ ]+ ] = 0.

1.7 Даны три вектора A = 3i −2j + 2k, B = 6i + 4j −2k, = −3i −2j −4k. Найти: A · , ], ], ].

1.8 Даны векторы: A = i + 2j + 3k, B = 4i + 5j, = 3i + 2j + k.

Какую систему, правую или левую, образуют эти векторы?

1.9 Доказать, что базис декартовой системы координат правый.

1.10 Известны векторы A и B. Представить вектор A в виде суммы двух

векторов: Ak -параллельном и A перпендикулярном кB .

1.11 Вычислить градиент функции f(x2 + y2 + z2 ) ≡ f(r). 1.12 Вычислить div r (r -радиус-вектор).

1.13 Вычислить rot r (r -радиус-вектор).

1.14 Вычислить grad (sin(z) · x 2 + y2 ); grad (sin(x · y · z))

1.15 Вычислить div A и rot A, где