Краткая история возникновения квадратных уравнений. Презентация «История развития решений квадратных уравнений. Уравнения в Древнем Вавилоне

История развития решений квадратных уравнений

Аристотель

Д.И.Менделеев

Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12 , а

Рассмотрим эту задачу.

Пусть х – длина поля, тогда – его ширина,
– его площадь.
Составим квадратное уравнение:
В папирусе дано правило его решения: «Разделим 12 на ».
12: .
Итак, .
«Длина поля равна 4», - указано в папирусе.

Приведенное квадратное уравнение
где – любые действительные числа.

В одной из вавилонских задач так же требовалось определить длину прямоугольного поля (обозначим ее) и его ширину ().

Сложив длину и две ширины прямоугольного поля, получишь 14, а площадь поля 24. Найти его стороны.

Составим систему уравнений:

Отсюда получаем квадратное уравнение.

Для его решения прибавим к выражению некоторое число,

чтобы получить полный квадрат:

Следовательно, .

Вообще же квадратное уравнение

Имеет два корня:

ДИОФАНТ
Древнегреческий математик, живший предположительно в III веке до н. э. Автор «Арифметики» - книги, посвящённой решению алгебраических уравнений.
В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел. Диофант также одним из первых развивал математические обозначения.

«Найдите два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96».

Одно из чисел будет больше половины их суммы, то есть 10+, другое же меньше, то есть 10-.

Отсюда уравнение ()()=96

Приведем одну из задач знаменитого

индийского математика XII века Бхаскары:

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам…

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее решение уравнения

Бхаскара записывает в виде и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляем к обеим частям 32 2 , получая

«АЛЬ-ДЖЕБР» – ВОССТАНОВЛЕНИЕМ - АЛЬ-ХОРЕЗМИ НАЗЫВАЛ ОПЕРАЦИЮ ИСКЛЮЧЕНИЯ ИЗ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧЛЕНОВ ПУТЕМ ДОБАВЛЕНИЯ РАВНЫХ ЧЛЕНОВ, НО ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ПО ЗНАКУ.

«АЛЬ-МУКАБАЛА» – ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЕ – СОКРАЩЕНИЕ В ЧАСТЯХ УРАВНЕНИЯ ОДИНАКОВЫХ ЧЛЕНОВ.

ПРАВИЛО «АЛЬ-ДЖЕБР»

ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ

ЕСЛИ В ЧАСТИ ОДНОЙ,

БЕЗРАЗЛИЧНО КАКОЙ,

ВСТРЕТИТСЯ ЧЛЕН ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ,

МЫ К ОБЕИМ ЧАСТЯМ

РАВНЫЙ ЧЛЕН ПРИДАДИМ,

ТОЛЬКО С ЗНАКОМ ДРУГИМ,

И НАЙДЕМ РЕЗУЛЬТАТ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ.

1) квадраты равны корням, то есть;

2)квадраты равны числу, то есть;

3)корни равны числу, то есть;

4)квадраты и числа равны корням, т. е. ;

5)квадраты и корни равны числу, т. е. ;

6)корни и числа равны квадратам, т. е. .

Задача . Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень.

Решение . Разделим пополам число корней – получишь 5, умножь 5 на само себя,

от произведения отними 21, останется 4.

Извлеки корень из 4 – получишь 2.

Отними 2 от 5 – получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Фибоначчи родился в итальянском торговом центре городе Пиза, предположительно в 1170-е годы. . В 1192 году он был назначен представлять пизанскую торговую колонию в Северной Африке. По желанию отца, он переехал в Алжир и изучал там математику. В 1200 году Леонардо вернулся в Пизу и принялся за написание своего первого труда «Книги абака» [ . По словам историка математики А. П. Юшкевича Книга абака“ резко возвышается над европейской арифметико-алгебраической литературой XII-XIV веков разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения… Последующие математики широко черпали из неё как задачи, так и приёмы их решения ».

Построим график функции

Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как

2) Координаты вершины параболы

У. Соейр говорил :

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решать одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различных задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».

«Город – единство не похожих»

Аристотель

«Число выраженное десятичным знаком, прочтет и немец, и русский, и араб, и янки одинаково»

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 - х . Разность между ними 2х .

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2 + b х = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишет под видом:

х 2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A - A 2 , равно BD , то A равно В и равноD ».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + b )х - х 2 = ab ,

х 2 - (а + b )х + а b = 0,

х 1 = а, х 2 = b .

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

Ковальчук Кирилл

Проект "Квадратные уравнения через века и страны" знакомит учащихся с учеными математики, открытия которых являются основой научно-технического прогресса, развивает интерес к математике как к предмету на основе знакомства с историческим материалом, расширяет кругозор учащихся, стимулирует их познавательную активность и творчество.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Проектная работа ученика 8 класса МОУ СОШ №17 с.Борисовка Ковальчука Кирилла Руководитель Мулюкова Г.В.

Квадратные уравнения через века и страны

Цель проекта: Познакомить учащихся с учеными математики, открытия которых являются основой научно-технического прогресса. Показать значимость работ ученых для развития геометрии и физики.??????????? Наглядно продемонстрировать применение научных открытий в жизни. Развивать интерес к математике как к предмету на основе знакомства с историческим материалом. Расширять кругозор учащихся, стимулировать их познавательную активность и творчество

Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Правила решения этих уравнений, изложенные в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, но в этих текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

. (ок. 365 - 300 г. до н.э.) - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Евклид, или Эвклид

Евклид Начала Там, где с морем Сливается Нил, В древнем жарком краю Пирамид Математик греческий жил - Многознающий, Мудрый Эвклид. Геометрию он изучал, Геометрии он обучал. Написал он великий труд. Эту книгу «Начала» зовут.

Евклид 3 век до н.э. Евклид решал квадратные уравнения, применяя геометрический способ. Вот одна из задач из древнегреческого трактата: «Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20бу(1бу=1,6м) от северных ворот стоит столб. Если пройти от южных ворот 14бу прямо, затем повернуть на запад и пройти еще 1775бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города? »

Чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение x ² +(k+l)x-2kd =0 . В данном случае уравнение имеет вид x ² +34x-71000=0 , откуда х=250бу l x d k

Квадратные уравнения в Индии Задачи на квадратные уравнения встречаются и в астрономическом трактате « Ариабхаттиам », составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта, изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax ² +bx=c , a>0 В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи».

Одна из задач знаменитого индийского математика XІІ века Бхаскары Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А двенадцать по лианам… Стали прыгать повисая… Сколько было обезьянок Ты скажи мне, в этой стае?.

Решение. () 2 +12 = х, х 2 - 64х +768 = 0, а =1, в = -64, с = 768, тогда Д = (-64) 2 -4·1·768 = 1024 > 0. Х 1 , 2 = , х 1 = 48, х 2 = 16. Ответ.Обезьян было 16 или 48. Давайте решим её.

Формула корней квадратного уравнения « переоткрывалась » неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте. Среднеазиатский ученый ал-Хорезми в трактате « Китаб аль-джерб валь-мукабала » получил эту формулу методом выделения полного квадрата.

Как же решал ал-Хорезми это уравнение. Он писал: "Правило таково: раздвои число корней, х=2х · 5 получите в этой задаче пять, 5 умножь на это равное ему, будет двадцать пять, 5 · 5=25 прибавь это к тридцати девяти, 25+39 будет шестьдесят четыре, 64 извлеки из этого корень, будет восемь, 8 и вычти из этого половину числа корней, т.е.пять, 8- 5 останется три- это и 3 Будет корень квадрата, который ты искал." А второй корень? Второй корень не находили, так как отрицательные числа не были известны. х 2 +10 х = 39

Квадратные уравнения в Европе 13-17вв. Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники 16-17вв. и частично 18.

Франсуа Виет – крупнейший математик 16 века

До Ф. Виета решение квадратного уравнения выполнялось по своим правилам в виде очень длинных словесных рассуждений и описаний, довольно громоздких действий. Даже само уравнение не могли записать, для этого требовалось довольно длинное и сложное словесное описание. Он ввел термин «коэффициент». Предложил искомые величины обозначать гласными, а данные – согласными. Благодаря символике Виета можно записать квадратное уравнение в виде: ax 2 + bx + c =0 . Теорема: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Несмотря на то, что эта теорема называется «Теорема Виета», она была известна и до него, а он только преобразовал ее в современный вид. Виета называют «отцом алгебры»

Человечество прошло длительный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным. Заключительное слово

Нас, живущих в начале XXI века, влечет старина. В своих предках мы замечаем прежде всего то, чего им не хватает с современной точки зрения, и обычно не замечаем того, что нам самим не хватает по сравнению с ними.

Не будем и мы забывать о них…

СПАСИБО ЗА внимание!

Из истории возникновения квадратных уравнений

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне . Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 2. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96».

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х. Другое же меньше, т. е. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение:

(10+x)(10-x) =96,

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если решить эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то можно прийти к решению уравнения:

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax2 + bх = с, а>

В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче 3 уравнение:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

x2 - б4х + 322 = -768 + 1024,

(х - 32)2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Приведем пример.

Задача 4. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Квадратные уравнения в Европе XII - XVII в.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид..

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX-VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI-Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI-XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Итак, ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики связано с тремя главными областями своего возникновения и функционирования.

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, надо знать:

· формулу нахождения дискриминанта;

· формулу нахождения корней квадратного уравнения;

· алгоритмы решения уравнений данного вида.

· решать неполные квадратные уравнения;

· решать полные квадратные уравнения;

· решать приведенные квадратные уравнения;

· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

· делать проверку.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

· преобразования данного уравнения к простейшим;

· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Обобщение способов деятельности учащихся при решении квадратных уравнений происходит постепенно. Можно выделить следующие этапы при изучении темы «Квадратные уравнения»:

I этап – «Решение неполных квадратных уравнений».

II этап – «Решение полных квадратных уравнений».

III этап – «Решение приведенных квадратных уравнений».

На первом этапе рассматриваются неполные квадратные уравнения. Так как сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать. Это уравнения вида: ах2 = 0, ах2 + с = 0, где с≠ 0, ах2 + bх = 0, где b ≠ 0. Рассмотрим решение несколько таких уравнений:

1. Если ах2 = 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) найти х2;

2) найти х.

Например, 5х2 = 0 . Разделив обе части уравнения на 5 получается: х2 = 0, откуда х = 0.

2. Если ах2 + с = 0, с≠ 0 Уравнения данного вида решаются по алгоритму:

1) перенести слагаемые в правую часть;

2) найти все числа, квадраты которых равны числу с.

Например, х2 - 5 = 0,Это уравнение равносильно уравнению х2 = 5. Следовательно, надо найти все числа, квадраты которых равны числу 5..gif" width="16" height="19">..gif" width="16" height="19 src="> и других корней не имеет.

3. Если ах2 + bх = 0, b ≠ 0. Уравнения такого вида решаются по алгоритму:

1) перенести общий множитель за скобки;

2) найти x1, x2.

Например, х2 - 3х = 0. Перепишем уравнение х2 – 3х = 0 в виде х (х – 3) = 0. Это уравнение имеет, очевидно, корни x1 = 0, x2 = 3. Других корней оно не имеет, ибо если в него подставить вместо х любое число, отличное от нуля и 3, то в левой части уравнения х (х – 3) = 0 получится число, не равное нулю.

Итак, данные примеры показывают, как решаются неполные квадратные уравнения:

1) если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0;

2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0..gif" width="16" height="41"> В случае, когда - < 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - > 0, т. е. - = m, где m>0, уравнение х2 = m имеет два корня

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (в этом случае допускается более короткая запись = .

Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень, ни одного корня.

На втором этапе осуществляется переход к решению полного квадратного уравнения. Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a, b,c – заданные числа, а ≠ 0, х – неизвестное.

Любое полное квадратное уравнение можно преобразовать к виду , для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассмотриваются следующие случаи решения полных квадратных уравнений: D < 0, D = 0, D > 0.

1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Например, 2х2 + 4х + 7 = 0. Решение: здесь а = 2, b = 4, с = 7.

D = b2 – 4ас = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40.

Так как D < 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Если D = 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет один корень, который находится по формуле .

Например, 4х – 20х + 25 = 0. Решение: а = 4, b = - 20, с = 25.

D = b2 – 4ас = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.

Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

Составляется алгоритм решения уравнения вида ах2 + bx + c = 0.

1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b2 – 4ас.

2. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле

4..gif" width="101" height="45">.

Это алгоритм универсален, он применим как к неполным, так и к полным квадратным уравнениям. Однако неполные квадратные уравнения обычно по этому алгоритму не решают.

Математики – люди практичные, экономные, поэтому пользуются формулой: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src=">, имеющее тот же знак, что и D..gif" width="89" height="49"> то уравнение (3) имеет два корня;

2) если то уравнение имеет два совпадающих корня;

3) если то уравнение не имеет корней.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Иначе говоря, если x1 и x2 - корни уравнения х2 +px + q = 0, то

Данные формулы называют формулами Виета в честь французского математика Ф. Виета (), который ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений.

Например, приведенное уравнение х2 - 7х +10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Справедлива также теорема, обратная теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета. Если для чисел x1, x2, p, q справедливы формулы (5), то x1 и x2 - корни уравнения х2 +px + q = 0 .

Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.

Например. Напишем приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1 и -3.

По формулам Виета

– p = x1 + x2 = - 2,

Следовательно, искомое уравнение имеет вид х2 + 2х – 3 = 0.

Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной - только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета.

Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения. Отсюда уравнение: (10+х)(10 -х) =96 или же: 100 - х2 =96 х2 - 4=0 (1) Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1) "> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)

Квадратные уравнения у ал – Хорезми. 1) «Квадраты равны корнями» , т. е. ах2 + с = bх. 2) «Квадраты равны числу» , т. е. ах2 = с. 3) «Корни равны числу» , т. е. ах = с. 4) «Квадраты и числа равны корням» , т. е. ах2 + с = bх. 5) «Квадраты и корни равны числу» , т. е. ах2 + bx = с. 6) «Корни и числа равны квадратам» , т. е. bx + с = ах2.

Квадратные уравнения в Европе ХIII ХVII вв. х2 +bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

О теореме Виета. «Если В + D, умноженное на А - А 2, равно ВD, то А равно В и равно D» . На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место (а + b)х - х2 = ab, т. е. х2 - (а + b)х + аb = 0, то х1 = а, х2 = b.

Способы решения квадратных уравнений. 1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10 х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители: х2 + 10 х - 24 = х2 + 12 х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х - 2) = 0 Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10 х - 24 = 0.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата. Решим уравнение х2 + 6 х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х2 + 6 х в следующем виде: х2 + 6 х = х2 + 2 х 3. полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как х2 + 2 х 3 + 32 = (х + 3)2. Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6 х - 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем: х2 + 6 х - 7 = х2 + 2 х 3 + 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16. Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16. Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле. Умножим обе части уравнения ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0 на 4 а и последовательно имеем: 4 а 2 х2 + 4 аbх + 4 ас = 0, ((2 ах)2 + 2 ах b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 ax + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 ax + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 ax = - b ± √ b 2 - 4 ac,

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид х2 + px + c = 0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p а) x 2 – 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 0 и p= 8 > 0. б) x 2 + 4 x – 5 = 0; x 1 = - 5 и x 2 = 1, так как q= - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 и x 2 = - 1, так как q = - 9

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски» . Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0, равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = у1/а и х1 = у2/а.

Пример. Решим уравнение 2 х2 – 11 х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у2 – 11 у + 30 = 0. Согласно теореме Виета у1 = 5 у2 = 6 х1 = 5/2 x 2 = 6/2 Ответ: 2, 5; 3. x 1 = 2, 5 x 2 = 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения. А. Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. 1) Если, а+ b + с = 0 (т. е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1, х2 = с/а. Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + b/a x + c/a = 0. Согласно теореме Виета x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом, x 1 + x 2 = - а + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), т. е. х1 = -1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать.

Б. Если второй коэффициент b = 2 k – четное число, то формулу корней В. Приведенное уравнение х2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения. Если в уравнении х2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х2 = - px - q. Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.

Пример 1) Решим графически уравнение х2 - 3 х - 4 = 0 (рис. 2). Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3 х + 4. Построим параболу у = х2 и прямую у = 3 х + 4. Прямую у = 3 х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Ответ: х1 = - 1; х2 = 4

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. нахождения корней квадратного циркуля и линейки (рис. 5). уравнения Тогда по теореме о секущих имеем OB OD = OA OC, откуда OC = OB OD/ OA= х1 х2/ 1 = c/a. ах2 + bх + с = 0 с помощью

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 6, в), в этом случае уравнение не имеет решения.

9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы. z 2 + pz + q = 0. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис. 11): Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), Из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

Примеры. 1) Для уравнения z 2 - 9 z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8, 0 и z 2 = 1, 0 (рис. 12). 2) Решим с помощью номограммы уравнение 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0, 5. 3) Для уравнения z 2 - 25 z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t, получим уравнение t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0, 6 и t 2 = 4, 4, откуда z 1 = 5 t 1 = 3, 0 и z 2 = 5 t 2 = 22, 0.

10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений. Примеры. 1) Решим уравнение х2 + 10 х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис. 15). Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

у2 + 6 у - 16 = 0. Решение представлено на рис. 16, где у2 + 6 у = 16, или у2 + 6 у + 9 = 16 + 9. Решение. Выражения у2 + 6 у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6 у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = - 8 (рис. 16).