Косинус отношение. Основные формулы тригонометрии. Выражения через комплексные числа

Одним из разделов математики, с которыми школьники справляются с наибольшими трудностями, является тригонометрия. Неудивительно: для того чтобы свободно овладеть этой областью знаний, требуется наличие пространственного мышления, умение находить синусы, косинусы, тангенсы, котангенсы по формулам, упрощать выражения, уметь применять в вычислениях число пи. Помимо этого, нужно уметь применять тригонометрию при доказательстве теорем, а это требует либо развитой математической памяти, либо умения выводить непростые логические цепочки.

Истоки тригонометрии

Знакомство с данной наукой следует начать с определения синуса, косинуса и тангенса угла, однако прежде необходимо разобраться, чем вообще занимается тригонометрия.

Исторически главным объектом исследования данного раздела математической науки были прямоугольные треугольники. Наличие угла в 90 градусов дает возможность осуществлять различные операции, позволяющие по двум сторонам и одному углу либо по двум углам и одной стороне определять значения всех параметров рассматриваемой фигуры. В прошлом люди заметили эту закономерность и стали активно ею пользоваться при строительстве зданий, навигации, в астрономии и даже в искусстве.

Начальный этап

Первоначально люди рассуждали о взаимоотношении углов и сторон исключительно на примере прямоугольных треугольников. Затем были открыты особые формулы, позволившие расширить границы употребления в повседневной жизни данного раздела математики.

Изучение тригонометрии в школе сегодня начинается с прямоугольных треугольников, после чего полученные знания используются учениками в физике и решении абстрактных тригонометрических уравнений, работа с которыми начинается в старших классах.

Сферическая тригонометрия

Позже, когда наука вышла на следующий уровень развития, формулы с синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом стали использоваться в сферической геометрии, где действуют иные правила, а сумма углов в треугольнике всегда больше 180 градусов. Данный раздел не изучается в школе, однако знать о его существовании необходимо как минимум потому, что земная поверхность, да и поверхность любой другой планеты, является выпуклой, а значит, любая разметка поверхности будет в трёхмерном пространстве «дугообразной».

Возьмите глобус и нитку. Приложите нитку к двум любым точкам на глобусе, чтобы она оказалась натянутой. Обратите внимание - она обрела форму дуги. С такими формами и имеет дело сферическая геометрия, применяющаяся в геодезии, астрономии и других теоретических и прикладных областях.

Прямоугольный треугольник

Немного узнав про способы применения тригонометрии, вернемся к базовой тригонометрии, чтобы в дальнейшем разобраться, что такое синус, косинус, тангенс, какие расчёты можно с их помощью выполнять и какие формулы при этом использовать.

Первым делом необходимо уяснить понятия, относящиеся к прямоугольному треугольнику. Во-первых, гипотенуза - это сторона, лежащая напротив угла в 90 градусов. Она является самой длинной. Мы помним, что по теореме Пифагора её численное значение равно корню из суммы квадратов двух других сторон.

Например, если две стороны равны 3 и 4 сантиметрам соответственно, длина гипотенузы составит 5 сантиметров. Кстати, об этом знали ещё древние египтяне около четырех с половиной тысяч лет назад.

Две оставшиеся стороны, которые образуют прямой угол, носят название катетов. Кроме того, надо помнить, что сумма углов в треугольнике в прямоугольной системе координат равняется 180 градусам.

Определение

Наконец, твердо понимая геометрическую базу, можно обратиться к определению синуса, косинуса и тангенса угла.

Синусом угла называется отношение противолежащего катета (т. е. стороны, располагающейся напротив нужного угла) к гипотенузе. Косинусом угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Запомните, что ни синус, ни косинус не может быть больше единицы! Почему? Потому что гипотенуза - это по умолчанию самая длинная Каким бы длинным ни был катет, он будет короче гипотенузы, а значит, их отношение всегда будет меньше единицы. Таким образом, если у вас в ответе к задаче получился синус или косинус со значением, большим, чем 1, ищите ошибку в расчётах или рассуждениях. Этот ответ однозначно неверен.

Наконец, тангенсом угла называется отношение противолежащей стороны к прилежащей. Тот же самый результат даст деление синуса на косинус. Посмотрите: в соответствии с формулой мы делим длину стороны на гипотенузу, после чего делим на длину второй стороны и умножаем на гипотенузу. Таким образом, мы получаем то же самое соотношение, что и в определении тангенса.

Котангенс, соответственно, представляет собой отношение прилежащей к углу стороны к противолежащей. Тот же результат мы получим, разделив единицу на тангенс.

Итак, мы рассмотрели определения, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, и можем заняться формулами.

Простейшие формулы

В тригонометрии не обойтись без формул - как найти синус, косинус, тангенс, котангенс без них? А ведь именно это требуется при решении задач.

Первая формула, которую необходимо знать, начиная изучать тригонометрию, говорит о том, что сумма квадратов синуса и косинуса угла равна единице. Данная формула является прямым следствием теоремы Пифагора, однако позволяет сэкономить время, если требуется узнать величину угла, а не стороны.

Многие учащиеся не могут запомнить вторую формулу, также очень популярную при решении школьных задач: сумма единицы и квадрата тангенса угла равна единице, деленной на квадрат косинуса угла. Присмотритесь: ведь это то же самое утверждение, что и в первой формуле, только обе стороны тождества были поделены на квадрат косинуса. Выходит, простая математическая операция делает тригонометрическую формулу совершенно неузнаваемой. Помните: зная, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, правила преобразования и несколько базовых формул вы в любой момент сможете сами вывести требуемые более сложные формулы на листе бумаги.

Формулы двойного угла и сложения аргументов

Ещё две формулы, которые требуется выучить, связаны со значениями синуса и косинуса при сумме и разности углов. Они представлены на рисунке ниже. Обратите внимание, что в первом случае оба раза перемножается синус и косинус, а во втором складывается попарное произведение синуса и косинуса.

Также существуют формулы, связанные с аргументами в виде двойного угла. Они полностью выводятся из предыдущих - в качестве тренировки попробуйте получить их самостоятельно, приняв угол альфа равным углу бета.

Наконец, обратите внимание, что формулы двойного угла можно преобразовать так, чтобы понизить степень синуса, косинуса, тангенса альфа.

Теоремы

Двумя основными теоремами в базовой тригонометрии являются теорема синусов и теорема косинусов. С помощью этих теорем вы легко сможете понять, как найти синус, косинус и тангенс, а значит, и площадь фигуры, и величину каждой стороны и т. д.

Теорема синусов утверждает, что в результате деления длины каждой из сторон треугольника на величину противолежащего угла мы получим одинаковое число. Более того, это число будет равно двум радиусам описанной окружности, т. е. окружности, содержащей все точки данного треугольника.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора, проецируя её на любые треугольники. Оказывается, из суммы квадратов двух сторон вычесть их произведение, умноженное на двойной косинус смежного им угла - полученное значение окажется равно квадрату третьей стороны. Таким образом, теорема Пифагора оказывается частным случаем теоремы косинусов.

Ошибки по невнимательности

Даже зная, что такое синус, косинус и тангенс, легко совершить ошибку из-за рассеянности внимания или ошибки в простейших расчётах. Чтобы избежать таких ошибок, ознакомимся с наиболее популярными из них.

Во-первых, не следует преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные до получения окончательного результата - можно и ответ оставить в виде обыкновенной дроби, если в условии не оговорено обратное. Такое преобразование нельзя назвать ошибкой, однако следует помнить, что на каждом этапе задачи могут появиться новые корни, которые по задумке автора должны сократиться. В этом случае вы напрасно потратите время на излишние математические операции. Особенно это актуально для таких значений, как корень из трёх или из двух, ведь они встречаются в задачах на каждом шагу. То же касается округлений «некрасивых» чисел.

Далее, обратите внимание, что к любому треугольнику применима теорема косинусов, но не теорема Пифагора! Если вы по ошибке забудете вычесть удвоенное произведение сторон, умноженное на косинус угла между ними, вы не только получите совершенно неверный результат, но и продемонстрируете полное непонимание предмета. Это хуже, чем ошибка по невнимательности.

В-третьих, не путайте значения для углов в 30 и 60 градусов для синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов. Запомните эти значения, ведь синус 30 градусов равен косинусу 60, и наоборот. Их легко перепутать, вследствие чего вы неизбежно получите ошибочный результат.

Применение

Многие ученики не спешат приступать к изучению тригонометрии, поскольку не понимают её прикладного смысла. Что такое синус, косинус, тангенс для инженера или астронома? Это понятия, благодаря которым можно вычислить расстояние до далёких звёзд, предсказать падение метеорита, отправить исследовательский зонд на другую планету. Без них нельзя построить здание, спроектировать автомобиль, рассчитать нагрузку на поверхность или траекторию движения предмета. И это только самые очевидные примеры! Ведь тригонометрия в том или ином виде используется повсюду, начиная от музыки и заканчивая медициной.

В заключение

Итак, вы синус, косинус, тангенс. Вы можете использовать их в расчётах и успешно решать школьные задачи.

Вся суть тригонометрии сводится к тому, что по известным параметрам треугольника нужно вычислить неизвестные. Всего этих параметров шесть: длины трёх сторон и величины трёх углов. Всё различие в задачах заключается в том, что даются неодинаковые входные данные.

Как найти синус, косинус, тангенс исходя из известных длин катетов или гипотенузы, вы теперь знаете. Поскольку эти термины обозначают не что иное, как отношение, а отношение - это дробь, главной целью тригонометрической задачи становится нахождение корней обычного уравнения либо же системы уравнений. И здесь вам поможет обычная школьная математика.

Инструкция

Если необходимо найти косинус угла в произвольном треугольнике, необходимо воспользоваться теоремой косинусов:
если угол острый: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
если угол : cos? = (с2 – a2 – b2)/(2ab), где а, b – длины сторон прилежащих к углу, с – длина стороны противолежащей углу.

Полезный совет

Математическое обозначение косинуса – cos.
Значение косинуса не может быть больше 1 и меньше -1.

Источники:

  • как вычислить косинус угла
  • Тригонометрические функции на единичной окружности

Косинус - это базовая тригонометрическая функция угла. Умение определять косинус пригодится в векторной алгебре при определении проекций векторов на различные оси.

Инструкция

соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)

Имеется треугольник со сторонами а, b, с, равными 3, 4, 5 мм, соответственно.

Найти косинус угла, заключенного между большими сторонами.

Обозначим противоположный стороне а угол через?, тогда, согласно выведенной выше формуле, имеем:

соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0,8

Ответ: 0,8.

Если треугольник прямоугольный, то для нахождения косинус а угла достаточно знать длины всего двух любых сторон (косинус прямого угла равен 0).

Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, где с – гипотенуза.

Рассмотрим все варианты:

Найти соs?, если известны длины сторон а и b ( треугольника)

Воспользуемся дополнительно теоремой Пифагора:

соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а?)

Чтобы правильность полученной формулы, подставим в нее из примера 1, т.е.

Проделав элементарные вычисления, получаем:

Аналогично находится косинус в прямоугольном треугольнике в остальных случаях:

Известны а и с (гипотенуза и противолежащий катет), найти соs?

соs?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Подставляя значения а=3 и с=5 из примера, получаем:

Известны b и с (гипотенуза и прилежащий катет).

Найти соs?

Произведя аналогичные (показанные в примерах 2 и 3 преобразования), получим, что в этом случае косинус в треугольнике вычисляется по очень простой формуле:

Простота выведенной формулы объясняется элементарно: фактически, прилежащий к углу? катет является проекцией гипотенузы, его длина равна длине гипотенузы, умноженной на соs?.

Подставляя значения b=4 и с=5 из первого примера, получим:

Значит, все наши формулы верны.

Совет 5: Как найти острый угол в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник, вероятно, - одна из самых известных, с исторической точки зрения, геометрических фигур. Пифагоровым "штанам" конкуренцию может составить лишь "Эврика!" Архимеда.

Вам понадобится

  • - чертеж треугольника;
  • - линейка;
  • - транспортир.

Инструкция

Сумма углов треугольника составляет 180 градусов. В прямоугольном треугольнике один угол (прямой) всегда будет 90 градусов, а остальные острыми, т.е. меньше 90 градусов каждый. Чтобы определить, какой угол в прямоугольном треугольнике является прямым, измерьте с помощью линейки стороны треугольника и определите наибольшую. Она гипотенуза (AB) и располагается напротив прямого угла (C). Остальные две стороны образуют прямой угол и катетами (AC, BC).

Когда определили, какой угол является острым, вы можете либо величину угла при помощи транспортира, либо рассчитать с помощью математических формул.

Чтобы определить величину угла с помощью транспортира, совместите его вершину (обозначим ее буквой А) с специальной отметкой на линейке в центре транспортира, катет АС должен совпадать с ее верхним краем. Отметьте на полукруглой части транспортира точку, через которую гипотенуза AB. Значение в этой точке соответствует величине угла в градусах. Если на транспортире указаны 2 величины, то для острого угла нужно выбирать меньшую, для тупого - большую.

Полученное значение найдите в справочных Брадиса и определите какому углу соответствует полученное числовое значение. Этим методом пользовались наши бабушки.

В наше достаточно взять с функцией вычисления тригонометрических формул. Например, встроенный калькулятор Windows. Запустите приложение "Калькулятор", в пункте меню "Вид" выберете пункт "Инженерный". Вычислите синус искомого угла, например, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5

Переключите калькулятор в режим обратных функций, кликнув по кнопке INV на табло калькулятора, затем кликните по кнопке функции арксинуса (на табло обозначена, как sin в минус первой степени). В окошке расчета появится следующая надпись: asind (0.5) = 30. Т.е. значение искомого угла - 30 градусов.

Источники:

  • Таблицы Брадиса (синусы, косинусы)

Теорема косинусов в математике чаще всего используется в том случае, когда необходимо найти третью сторону по углу и двум сторонам. Однако, иногда условие задачи поставлено наоборот: требуется найти угол при заданных трех сторонах.

Инструкция

Представьте себе, что дан треугольник, у которого известны длины двух сторон и значение одного угла. Все углы этого треугольника не равны друг другу, а его стороны также являются различными по величине. Угол γ лежит напротив стороны треугольника, обозначенной, как AB, которая является этой фигуры. Через данный угол, а также через оставшиеся стороны AC и BC можно найти ту сторону треугольника, которая неизвестна, по теореме косинусов, выведя на ее основе представленную ниже формулу:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, где a=BC, b=AB, c=AC
Теорему косинусов иначе называют обобщенной теоремой Пифагора.

Теперь представьте себе, что даны все три стороны фигуры, но при этом ее угол γ неизвестен. Зная, что вид a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы искомой величиной стал угол γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Затем приведите показанное выше уравнение к несколько иному виду: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Затем данное выражение следует преобразовать в представленное ниже: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Осталось подставить в формулу числа и осуществить вычисления.

Чтобы найти косинус , обозначенного как γ, его необходимо выразить через обратную тригонометрическую , называемую арккосинусом. Арккосинусом числа m значение угла γ, для которого косинус угла γ равен m. Функция y=arccos m является убывающей. Представьте себе, например, что косинус угла γ равен одной второй. Тогда угол γ может быть определен через арккосинус следующим образом:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, где m = 1/2.
Аналогичным образом можно найти и остальные углы треугольника при двух других неизвестных его сторонах.

Синус и косинус - две тригонометрические функции, которые называют «прямыми». Именно их приходится вычислять чаще других и для решения этой задачи сегодня каждый из нас имеет немалый выбор вариантов. Ниже приведено несколько наиболее простых способов.

Инструкция

Используйте транспортир, карандаш и лист бумаги, если других средств вычисления нет под рукой. Одно из определений косинуса дается через острые углы в прямоугольном треугольнике - его равно соотношению между длиной катета, лежащего напротив этого угла и длиной . Нарисуйте треугольник, в котором один из углов будет прямым (90°), а другой углу, которого требуется вычислить. Длина сторон при этом не имеет значения - нарисуйте их такими, которые вам удобнее измерять. Измерьте длину нужного катета и гипотенузы и разделите первое на второе любым удобным способом.

Воспользуйтесь возможностью значения тригонометрических функций с помощью калькулятора, встроенного в поисковую систему Nigma, если у вас есть доступ в интернет. Например, если требуется вычислить косинус угла в 20°, то загрузив главную страницу сервиса http://nigma.ru наберите в поле поискового запроса «косинус 20 » и нажмите кнопку «Найти!». Можно «градусов» опустить, а слово «косинус» заменить на cos - в любом случае поисковик покажет результат с точностью до 15 знаков после запятой (0,939692620785908).

Откройте стандартную программу- , устанавливаемую вместе с операционной системой Windows, если нет доступа к интернету. Сделать это можно, например, одновременно нажав клавиши win и r, затем введя команду calc и щелкнув по кнопке OK. Для вычисления тригонометрических функций здесь интерфейс, с названием «инженерный» или «научный» (в зависимости от версии ОС) - выберите нужный пункт в разделе «Вид» меню калькулятора. После этого введите величину угла в и щелкните по кнопке cos в интерфейсе программы.

Видео по теме

Совет 8: Как определить углы в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный характеризуется определенными соотношениями между углами и сторонами. Зная значения одних из них, можно вычислять другие. Для этого используются формулы, основанные, в свою очередь, на аксиомах и теоремах геометрии.


Соотношения между основными тригонометрическими функциями – синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом - задаются тригонометрическими формулами . А так как связей между тригонометрическими функциями достаточно много, то этим объясняется и обилие тригонометрических формул. Одни формулы связывают тригонометрические функции одинакового угла, другие – функции кратного угла, третьи – позволяют понизить степень, четвертые – выразить все функции через тангенс половинного угла, и т.д.

В этой статье мы по порядку перечислим все основные тригонометрические формулы, которых достаточно для решения подавляющего большинства задач тригонометрии. Для удобства запоминания и использования будем группировать их по назначению, и заносить в таблицы.

Навигация по странице.

Основные тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества задают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Они вытекают из определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также понятия единичной окружности . Они позволяют выразить одну тригонометрическую функцию через любую другую.

Подробное описание этих формул тригонометрии, их вывод и примеры применения смотрите в статье .

Формулы приведения




Формулы приведения следуют из свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса , то есть, они отражают свойство периодичности тригонометрических функций, свойство симметричности, а также свойство сдвига на данный угол. Эти тригонометрические формулы позволяют от работы с произвольными углами переходить к работе с углами в пределах от нуля до 90 градусов.

Обоснование этих формул, мнемоническое правило для их запоминания и примеры их применения можно изучить в статье .

Формулы сложения

Тригонометрические формулы сложения показывают, как тригонометрические функции суммы или разности двух углов выражаются через тригонометрические функции этих углов. Эти формулы служат базой для вывода следующих ниже тригонометрических формул.

Формулы двойного, тройного и т.д. угла



Формулы двойного, тройного и т.д. угла (их еще называют формулами кратного угла) показывают, как тригонометрические функции двойных, тройных и т.д. углов () выражаются через тригонометрические функции одинарного угла . Их вывод базируется на формулах сложения.

Более детальная информация собрана в статье формулы двойного, тройного и т.д. угла .

Формулы половинного угла

Формулы половинного угла показывают, как тригонометрические функции половинного угла выражаются через косинус целого угла . Эти тригонометрические формулы следуют из формул двойного угла.

Их вывод и примеры применения можно посмотреть в статье .

Формулы понижения степени


Тригонометрические формулы понижения степени призваны содействовать переходу от натуральных степеней тригонометрических функций к синусам и косинусам в первой степени, но кратных углов. Иными словами, они позволяют понижать степени тригонометрических функций до первой.

Формулы суммы и разности тригонометрических функций


Основное предназначение формул суммы и разности тригонометрических функций заключается в переходе к произведению функций, что очень полезно при упрощении тригонометрических выражений. Указанные формулы также широко используются при решении тригонометрических уравнений, так как позволяют раскладывать на множители сумму и разность синусов и косинусов.

Формулы произведения синусов, косинусов и синуса на косинус


Переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности осуществляется посредством формул произведения синусов, косинусов и синуса на косинус .

  • Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

    • Copyright by cleverstudents

    Все права защищены.
    Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

    Примеры:

    \(\cos{⁡30^°}=\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
    \(\cos⁡\)\(\frac{π}{3}\) \(=\)\(\frac{1}{2}\)
    \(\cos⁡2=-0,416…\)

    Аргумент и значение

    Косинус острого угла

    Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника - он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

    Пример :

    1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.


    2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.


    3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.


    Косинус числа

    Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с : \(\frac{π}{2}\) , \(\frac{3π}{4}\) , \(-2π\).

    Например, для числа \(\frac{π}{6}\) - косинус будет равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) . А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\) он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (приблизительно \(-0,71\)).


    Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в .

    Значение косинуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.

    Косинус любого угла

    Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать - проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.


    Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

    Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.


    И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС ) - всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).


    Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) - целых семь.

    Как вы могли заменить, и косинус числа, и косинус произвольного угла определяется практически одинаково. Изменяются только способ нахождения точки на окружности.

    Знаки косинуса по четвертям

    С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по числовой (тригонометрической) окружности:

    Там, где значения на оси от \(0\) до \(1\), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
    - там, где значения на оси от \(0\) до \(-1\), косинус будет иметь знак минус (II и III четверти – фиолетовая область).


    Связь с другими тригонометрическими функциями:

    - того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
    - того же угла (или числа): формулой \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac{1}{\cos^2⁡x}\)
    - и синусом того же угла (или числа): формулой \(ctgx=\)\(\frac{\cos{x}}{\sin⁡x}\)
    Другие наиболее часто применяемые формулы смотри .

    Решение уравнения \(\cos⁡x=a\)

    Решение уравнения \(\cos⁡x=a\), где \(a\) – число не большее \(1\) и не меньшее \(-1\) т.е. \(a∈[-1;1]\):

    \(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)


    Если \(a>1\) или \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

    Пример . Решите тригонометрическое уравнение \(\cos⁡x=\)\(\frac{1}{2}\).
    Решение:

    Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого:
    1) Построим оси.
    2) Построим окружность.
    3) На оси косинусов (оси \(y\)) отметим точку \(\frac{1}{2}\) .
    4) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку.
    5) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
    6)Подпишем значения этих точек: \(\frac{π}{3}\) ,\(-\)\(\frac{π}{3}\) .
    7) Запишем все значения соответствующие этим точкам с помощью формулы \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
    \(x=±\)\(\frac{π}{3}\) \(+2πk\), \(k∈Z\);


    Ответ: \(x=±\frac{π}{3}+2πk\) \(k∈Z\)

    Функция \(y=\cos{x}\)

    Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) - соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:


    График данной называется и обладает следующими свойствами:

    Область определения – любое значение икса: \(D(\cos{⁡x})=R\)
    - область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно: \(E(\cos{x})=[-1;1]\)
    - четная: \(\cos⁡(-x)=\cos{x}\)
    - периодическая с периодом \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos{x}\)
    - точки пересечения с осями координат:
    ось абсцисс: \((\)\(\frac{π}{2}\) \(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\)
    ось ординат: \((0;1)\)
    - промежутки знакопостоянства:
    функция положительна на интервалах: \((-\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
    функция отрицательна на интервалах: \((\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
    - промежутки возрастания и убывания:
    функция возрастает на интервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
    функция убывает на интервалах: \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
    - максимумы и минимумы функции:
    функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\)
    функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).

    Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.

    К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.

    Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:

    сos px = a; sin gx = b; tg kx = c; ctg tx = d.

    Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:

    1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:

    сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;

    sin 2x = 2 sin x cos x;

    tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;

    ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;

    sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;

    cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;

    tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);

    ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);

    2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:

    sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;

    tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);

    ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);

    3. Введение вспомогательного аргумента:

    рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a 2 + b 2), cos y = a/v(a 2 + b 2), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.

    4. Формулы сложения и вычитания:

    sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;

    sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;

    cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;

    cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;

    tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);

    tg (a – b) = (tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);

    5. Универсальная тригонометрическая подстановка:

    sin a = 2 tg (a/2)/(1 + ( tg 2 (a/2));

    cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + ( tg 2 (a/2));

    tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));

    6. Некоторые важные соотношения:

    sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));

    cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));

    7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

    sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;

    cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;

    tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);

    tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).

    А также формулы приведения.

    В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.

    Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.

    Ознакомимся с методами решения уравнений:

    1. Сведение к виду аx 2 + bx + c = 0

    2. Однородность уравнений.

    3. Разложение на множители.

    4. Сведение к виду a 2 + b 2 + c 2 = 0

    5. Замена переменных.

    6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.

    7. Оценка левой и правой части.

    8. Метод пристального взгляда.

    9. Введение вспомогательного угла.

    10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.

    Рассмотрим примеры:

    1. Решить уравнение: sin x + cos 2 х = 1/4.

    Решение : Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos 2 х через sin 2 x

    sin x + 1 – sin 2 x = 1/4

    4 sin 2 x – 4 sin x – 3 = 0

    sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),

    т.е. х = (-1) к+1 arcsin 1/2 + k, k€z,

    Ответ : (-1) к+1 /6 + k, k€z.

    2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,

    решим способом разложения на множители

    2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х /2 + k, k€z,

    2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0

    (2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0

    2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0

    cos x = 1/2, tgx = 1,

    т.е х = ± /3 + 2k, k€z, х = /4 + m, m€z.

    Ответ : ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.

    3. Решить уравнение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0.

    Решение : sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos 2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x

    tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,

    tg x = 1 и tg x = 2,

    откуда х = /4 + m, m€z,

    х = arctg 2 + k, k€z.

    Ответ : /4 + m, m€z, arctg 2 + k, k€z.

    4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.

    Решение : Метод введения новой переменной

    Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 4 2 sin у = 4

    1 – 2 sin 2 у + 4 2 sin у – 4 = 0

    sin у = t, где t€[-1;1]

    2t 2 – 4 2t + 3 = 0

    t = 2/2 и t = 3 2/2 (не удовлетворяет условию t€[-1;1])

    sin (5x + 6) = 2/2,

    5x + 6 = (-1) к /4 + k, k€z,

    х = (-1) к /20 – 6/5 + k/5, k€z.

    Ответ : (-1) к?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.

    5. Решить уравнение: (sin х – cos у) 2 + 40х 2 = 0

    Решение: Используем а 2 +в 2 +с 2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:

    х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0, отсюда: х = 0, и у = /2 + k, k€z, также возможна запись (0; /2 + k) k€z.

    Ответ : (0; /2 + k) k€z.

    6. Решить уравнение: sin 2 х + cos 4 х – 2 sin х + 1 = 0

    Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”

    (sin 2 х – 2 sin х +1) + cos 4 х = 0;

    (sin х – 1) 2 + cos 4 х = 0; это возможно если

    (sin х – 1) 2 = 0, и cos 4 х = 0, отсюда:

    sin х – 1 = 0, и cos х = 0,

    sin х = 1, и cos х = 0, следовательно

    х = /2 + k, k€z

    Ответ : /2 + k, k€z.

    7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos 2 х.

    Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.

    – 1 sin 5х 1, и -1 sin х 1

    0 + 2 2 + cos 2 х 1 + 2

    2 2 + cos 2 х 3

    sin 5х + sin х 2, и 2 + cos 2 х 2

    2 sin 5х + sin х 2, т.е.

    sin 5х + sin х 2,

    имеем левая часть 2, а правая часть 2,

    равенство возможно если, они оба равны 2.

    cos 2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно

    х = /2 + k, k€z (обязательно проверить).

    Ответ : /2 + k, k€z.

    8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.

    Решение : Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.

    (В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.

    2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,

    cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,

    2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,

    Возникают три случая:

    Ответ : + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.

    Обратим внимание на то, что второй случай включает в себя первый. (Если во втором случае взять к = 4 + 5, то получим + 2n). Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае “культурнее и красивее” будет выглядеть ответ: х 1 = /5 + 2/5k, х 2 = /2 + k, k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа). Первый ответ также верен.

    Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:

    sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;

    sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;

    cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;

    cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.

    Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.

    Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.

    9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х -1)/(2sin 2х – 3) = 0.

    Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:

    2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,

    (cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.

    Получаем два уравнения:

    cos 3х + 1 = 0, х = /3 + 2/3k.

    Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего, заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом 2. Следовательно, достаточно найти решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 х < 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.

    Неравенству 0 х < 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.

    Первое не подходит, поскольку sin 2/3 = 3/2, знаменатель обращается в нуль.

    Ответ для первого случая: х 1 = + 2k, х 2 = 5/3 + 2k (можно х 2 = – /3 + 2k), k€z.

    Найдём решение этого уравнения, удовлетворяющие условию 0 х < 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.

    Ответ : + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.

    10. Найти корни уравнений: v(cos 2х + sin 3х) = v2 cos х.

    Решение этого уравнения распадается на два этапа:

    1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей;

    2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию cos х 0. При этом (как и в случае алгебраических уравнений) заботиться об условии cos 2х + sin 3х 0 нет необходимости. Все значения k, удовлетворяющие возведённому в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.

    Первый шаг приводит нас к уравнению sin 3х = 1, откуда х 1 = /6 + 2/3k.

    Теперь надо определить, при каких k будет иметь место cos (/6 + 2/3k) 0. Для этого достаточно для k рассмотреть значения 0, 1, 2, т.е. как обычно “обойти один раз круг”, поскольку дальше значения косинуса будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную 2.

    Ответ : /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.

    11. Решить уравнение: sin 8 х – cos 5 х = 1.

    Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 < a < 1 то a t убывает с ростом t.

    Значит, sin 8 х sin 2 х, – cos 5 х cos 2 х;

    Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:

    sin 8 х – cos 5 х sin 2 х + cos 2 х = 1.

    Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:

    sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,

    т.е. sin х может принимать значения -1, 0

    Ответ : /2 + k, + 2k, k€z.

    Для полноты картины рассмотрим ещё пример.

    12. Решить уравнение: 4 cos 2 х – 4 cos 2 3х cos х + cos 2 3х = 0.

    Решение : Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.

    Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:

    1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).

    Из неравенства D 0 следует cos 2 3х 0 или cos 2 3х 1.

    Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.

    Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0, откуда х = /2 + k.

    Эти значения х удовлетворяют уравнению.

    Если cos 3х = 1, то из уравнения cos х = 1/2 находим х = ± /3 + 2k. Эти значения также удовлетворяют уравнению.

    Ответ : /2 + k, /3 + 2k, k€z.

    13. Решить уравнение: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.

    Решение : Преобразуем выражение sin 4 x + cos 4 x,выделив полный квадрат: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 х cos 2 х + cos 4 x – 2 sin 2 х cos 2 х = (sin 2 х + cos 2 х) 2 – 2 sin 2 х cos 2 х, откуда sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде

    1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.

    обозначив sin 2х = t, -1 t 1,

    получим квадратное уравнение 2t 2 + 7t – 4 = 0,

    решая которое, находим t 1 = 1/2, t 2 = – 4

    уравнение sin 2х = 1/2

    2х = (- 1) к /6 + k, k€z, х = (- 1) к //12 + k /2, k€z .