Затухающие колебания
Затухающие колебания пружинного маятника
Затухающие колебания - колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.
В акустике: затухание - уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.
Затухающие колебания пружинного маятника
Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m . Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).
Корни которого вычисляются по следующей формуле
Решения
В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.
- Апериодичность
Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:
В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.
- Граница апериодичности
Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:
В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом - экспоненциальное затухание.
- Слабое затухание
Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня
Тогда решением исходного дифференциального уравнения является
Где - собственная частота затухающих колебаний.
Константы и в каждом из случаев определяются из начальных условий:
См. также
- Декремент затухания
Литература
Лит.: Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Затухающие колебания" в других словарях:
Затухающие колебания - Затухающие колебания. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ, колебания, амплитуда которых A уменьшается с течением времени вследствие потерь энергии: превращения энергии колебаний в тепло в результате трения в механических системах (например, в точке подвеса… … Иллюстрированный энциклопедический словарь
Собственные колебания, амплитуда А которых убывает со временем t по закону экспоненты А(t) = Аоexp (?t) (? показатель затухания из за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний и омическому… … Большой Энциклопедический словарь
Колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается, напр. колебания маятника, испытывающего сопротивление воздуха и трение в подвесе. Все свободные колебания, происходящие в природе, являются в большей или меньшей мере З. К. Электрические З. К.… … Морской словарь
затухающие колебания - Механические колебания с уменьшающимися во времени значениями размаха обобщенной координаты или ее производной по времени. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 106. Механические колебания. Академия наук СССР. Комитет научно технической… … Справочник технического переводчика
Затухающие колебания - (ВИБРАЦИЯ) колебания (вибрация) с уменьшающимися значениями размаха … Российская энциклопедия по охране труда
Собственные колебания системы, амплитуда А которых убывает со временем t по закону экспоненты А(t) = А0ехр(?α t) (α показатель затухания) из–за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механических затухающих колебаний и омическому… … Энциклопедический словарь
Затухающие колебания - 31. Затухающие колебания Колебания с уменьшающимися значениями размаха Источник … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Собственные колебания системы, амплитуда А к рых убывает со временем t по закону экспоненты A(t) = = Аоехр(at) (a показатель затухания) из за диссипации энергии благодаря силам вязкого трения для механич. 3. к. и омическому сопротивлению для эл … Естествознание. Энциклопедический словарь
затухающие колебания - silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. damped oscillation vok. gedämpfte Schwingung, f rus. затухающие колебания, n pranc. oscillations amorties, f; oscillations décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas
затухающие колебания - slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. damped oscillations; damped vibrations; dying oscillations vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, f rus. затухающие колебания, n pranc. oscillations amorties, f … Fizikos terminų žodynas
Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.
Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. В электромагнитном контуре к уменьшению энергии колебаний приводят тепловые потери в проводниках, образующих систему. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.
Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:
Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.
Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.
Частота и период зависят от степени затухания колебаний.
Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.
3.1. Механические затухающие колебания
Механическая система : пружинный маятник с учетом сил трения.
Силы, действующие на маятник :
Упругая сила . , где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия.
Сила сопротивления . Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак "минус" показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела:
Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона:
ma = F упр. + F сопр.
Учитывая, что и 
, запишем второй закон Ньютона в виде:
.
Разделив все члены уравнения на m, перенеся их все в правую часть, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
Обозначим , где β – коэффициент затухания , , где ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе.
В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:
.
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Уравнение затухающих колебаний есть решение такого дифференциального уравнения:
В приложении 1 показано получение решения дифференциального уравнения затухающих колебаний методом замены переменных.
Частота затухающих колебаний :
(физический смысл имеет только вещественный корень, поэтому ).
Период затухающих колебаний :
.
Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее: .
Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.
Для механической системы пружинного маятника имеем:
, 
.
Амплитуда затухающих колебаний :
Для пружинного маятника .
Амплитуда затухающих колебаний – величина не постоянная, а изменяющаяся со временем тем быстрее, чем больше коэффициент β. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.
При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.
Графики зависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 3.1 и 3.2.
Рисунок 3.1 – Зависимость смещения от времени для затухающих колебаний
Рисунок 3.2 – Зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний
3.2. Электромагнитные затухающие колебания
Электромагнитные затухающие колебания возникают в электромагнитной колебательной систему , называемой LCR – контур (Рисунок 3.3).
Рисунок 3.3.
Дифференциальное уравнение
получим с помощью второго закона Кирхгофа для замкнутого LCR – контура: сумма падений напряжения на активном сопротивлении (R) и конденсаторе (С) равна ЭДС индукции, развиваемой в цепи контура: 
Падение напряжения:
На активном сопротивлении: , где I – сила тока в контуре;
На конденсаторе (С): , где q – величина заряда на одной из обкладок конденсатора.
ЭДС, развиваемая в контуре – это ЭДС индукции, возникающая в катушке индуктивности при изменении тока в ней, а следовательно, и магнитного потока сквозь ее сечение: 
(закон Фарадея).
Подставим значения U R , U C , в уравнение, отражающее закон Кирхгофа, получим:
.
Сила тока определяется как производная от заряда , тогда , и дифференциальное уравнение примет вид:
.
Обозначим , , получим в этих обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний в виде:
Решение дифференциального уравнения или уравнение колебаний для заряда на обкладках конденсатора имеет вид:
Амплитуда затухающих колебаний заряда имеет вид:
Частота затухающих колебаний в LCR – контуре:
.
Период затухающих электромагнитных колебаний:
.
Возьмем уравнение для заряда в виде , тогда уравнение для напряжения
на обкладках конденсатора можно записать так
.
Величина называется амплитудой напряжения на конденсаторе .
Ток в контуре меняется со временем. Уравнение для силы тока в контуре можно получить, используя соотношение и векторную диаграмму.
Окончательное уравнение для силы тока таково:
где 
- начальная фаза.
Она не равна α, так как сила тока изменяется не по синусу, что дала бы производная от заряда, а по косинусу.
Энергия колебаний в контуре складывается из энергии электрического поля
и энергии магнитного поля
Полная энергия в любой момент времени:
где W 0 – полная энергия контура в момент времени t=0.
3.3. Характеристики затухающих колебаний
1. Коэффициент затухания β.
Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:
Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в "e " раз ("е" – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, 
, а с другой стороны, расписав амплитуды А зат. (t) и А зат. (t+τ), имеем 
. Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда
Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в "е" раз, называется временем релаксации .
Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.
2. Логарифмический декремент затухания δ - физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период.
1.21. 3АТУХАЮЩИЕ, ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический дек ремент затухания. Добротность колеба тельной системы. Апериодический процесс. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Процесс установления колебаний. Случай резонанса. Автоколебания.
Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.
Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.
Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:
Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.
Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.
Частота и период зависят от степени затухания колебаний.
Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.
Механические затухающие колебания.
Механическая система : пружинный маятник с учетом сил трения.
Силы, действующие на маятник :
Упругая сила. , где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия.
Сила сопротивления . Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак “минус” показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела:
Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона:
ma = F упр. + F сопр.
Учитывая,
что
и
,
запишем второй закон Ньютона в виде:
. (21.1)
Разделив все члены уравнения на m, перенеся их все в правую часть, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
Обозначим , где β – коэффициент затухания , , где ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе.
В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:
.
(21.2)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.
Это линейное дифференциальное уравнение решается заменой переменных. Представим функцию х, зависящую от времени t, в виде:
.
Найдем первую и вторую производную этой функции от времени, учитывая, что функция z также является функцией времени:
,
.
Подставим выражения в дифференциальное уравнение:
Приведем подобные члены в уравнении и сократим каждый член на , получим уравнение:
.
Обозначим
величину
.
Решением
уравнения
являются
функции
,
.
Возвращаясь к переменной х, получим формулы уравнений затухающих колебаний:
Таким образом, уравнение затухающих колебаний есть решение дифференциального уравнения (21.2):
Частота затухающих колебаний :
(физический
смысл имеет только вещественный корень,
поэтому
).
Период затухающих колебаний :
(21.5)
Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее: .
Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.
Для механической системы пружинного маятника имеем:
,
.
Амплитуда затухающих колебаний :
Для пружинного маятника .
Амплитуда затухающих колебаний – величина не постоянная, а изменяющаяся со временем тем быстрее, чем больше коэффициент β. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.
При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.
Графики зависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 21.1 и 21.2.
Рисунок 21.1 – Зависимость смещения от времени для затухающих колебаний.
Рисунок 21.2 – Зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний
Характеристики затухающих колебаний.
1. Коэффициент затухания β .
Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:
Пусть за
время τ
амплитуда колебаний уменьшится в “e
” раз (“е” – основание натурального
логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны,
,
а с другой стороны, расписав амплитуды
А зат. (t)
и А зат. (t+τ),
имеем
.
Из этих соотношений следует βτ
= 1, отсюда
.
Промежуток времени τ , за который амплитуда уменьшается в “е” раз, называется временем релаксации.
Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.
2. Логарифмический декремент затухания δ - физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период.
Если затухание невелико, т.е. величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так:
,
где А зат. (t) и А зат. (t+NT) – амплитуды колебаний в момент времени е и через N периодов, т.е.в момент времени (t + NT).
3. Добротность Q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии W(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний:
.
Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то
При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна
,
где N e – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в “е” раз.
Так, добротность пружинного маятника - .Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание, тем дольше будет длиться периодический процесс в такой системе. Добротность колебательной системы - безразмерная величина, которая характеризует диссипацию энергии во времени.
4. При увеличении коэффициента β, частота затухающих колебаний уменьшается, а период увеличивается. При ω 0 = β частота затухающих колебаний становится равной нулю ω зат. = 0, а Т зат. = ∞. При этом колебания теряют периодический характер и называются апериодическими.
При ω 0 = β параметры системы, ответственные за убывание колебательной энергии, принимают значения, называемые критическими . Для пружинного маятника условие ω 0 = β запишется так:, откуда найдем величину критического коэффициента сопротивления:
.
Рис. 21.3. Зависимсть амплитуды апериодических колебаний от времени
Вынужденные колебания.
Все реальные колебания являются затухающими. Чтобы реальные колебания происходили достаточно долго нужно периодически пополнять энергию колебательной системы, действуя на нее внешней периодически изменяющейся силой
Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы. Такие колебания называются вынужденными .
Общие признаки вынужденных механических колебаний.
1. Рассмотрим
вынужденные механические колебаний
пружинного маятника, на который действует
внешняя (вынуждающая
)
периодическая сила
.
Силы, которые действуют на маятник,
однажды выведенный из положения
равновесия, развиваются в самой
колебательной системе. Это сила упругости
и
сила сопротивления
.
Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:
(21.6)
Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
Обозначим (β – коэффициент затухания ), (ω 0 – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:
(21.7)
Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений
.
–общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы:
Где
.
Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.
Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 21.2), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение .
Решение - это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т.е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части:
где А ампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ 0 –сдвиг фаз , т.е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда А ампл. , и сдвиг фаз φ 0 зависят от параметров системы (β, ω 0) и от частоты вынуждающей силы Ω.
Период вынужденных колебаний равен (21.9)
График вынужденных колебаний на Рисунке 4.1.
Рис.21.3. График вынужденных колебаний
Установившиеся вынужденные колебания являются так же гармоническими.
Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс.
1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид:
,
.
Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение.
Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить .
Рисунок 21.4.
, (21.10)
. (21.11)
Учитывая значение , ,, получим формулы для φ 0 и А ампл. механической системы:
,
.
2. Исследуем
зависимость амплитуды вынужденных
колебаний от частоты вынуждающей силы
и величины силы сопротивления в
колеблющейся механической системе, по
этим данным построим график
.
Результаты исследования отражены в
Рисунке 21.5, по ним видно, что при некоторой
частоте вынуждающей силы
амплитуда
колебаний резко возрастает. И это
возрастание тем больше, чем меньше
коэффициент затухания β.
При
амплитуда
колебаний становится бесконечно большой
.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной , называется резонансом.
(21.12)
Кривые
на Рисунке 21.5 отражают зависимость
и
называются амплитудными
резонансными кривыми
.
Рисунок 21.5 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.
Амплитуда резогансных колебаний примет вид:
Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными , а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями .
В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента – колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).
Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 21.6 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.
Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 21.7.). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной.
|
|
|
Рисунок 21.7. Часовой механизм с маятником. |
Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод.
Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.
Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.
Механическое движение всегда сопровождается трением. Трение приводит к рассеянию (диссипации) механической энергии. Диссипация энергии имеется в любых не идеализированных колебательных системах, она вызывает затухание собственных колебаний.
Определение
Затухающими колебаниями называют колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается со временем из-за потерь энергии колебательной системой.
Уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием
Иногда, если тело движется в веществе, силу сопротивления (${\overline{F}}_{tr}$), которая действует на рассматриваемое тело, при маленьких скоростях его движения, считают прямо пропорциональной скорости ($\overline{v}$):
\[{\overline{F}}_{tr}=-\beta \overline{v}\left(1\right),\]
где $\beta $ - коэффициент сопротивления.
Данную силу учитывают в уравнении второго закона Ньютона при описании движения. Так, уравнение, которое описывает линейные колебания по вертикали (колебания по оси X) пружинного маятника, учитывающее силу трения принимает вид:
где $\dot{x}=v_x.$ Принимая во внимание равенства:
\[{\omega }^2_0=\frac{k}{m};;2\gamma =\frac{\beta }{m}\left(3\right),\]
(где ${\omega }_0$- циклическая частота свободных незатухающих колебаний (собственная частота колебаний при $\gamma $=0) той же колебательной системы; $\gamma $ - коэффициент затухания) уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием (2) преобразуем к виду:
\[\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+{\omega }^2_0x=0\ \left(4\right).\]
Малые собственные колебания, затухающие вследствие сопротивления среды в любой физической системе (математический маятник, физический маятник, электрические колебания...) описывают при помощи уравнения формы (4).
Уравнение затухающих колебаний имеет точное решение:
где $\omega =\sqrt{{\omega }^2_0-{\gamma }^2}$; $A_0$ - начальная амплитуда колебаний, задаваемая начальными условиями; $\varphi $ - постоянная из начальных условий. При $\gamma \ll {\omega }_0$, $\omega \approx {\omega }_0$, параметр $A_0e^{-\gamma t}$ можно считать медленно изменяющейся во времени амплитудой колебаний.
Затухание колебаний по экспоненте связано с тем, что силу сопротивления мы приняли пропорциональной скорости. Если использовать другую зависимость силы трения от скорости, то закон затухания изменится.
Диссипация энергии при затухающих колебаниях
Пусть затухание мало, при этом потеря энергии колебательной системой за один период много меньше, чем энергия колебаний.
Рассеяние энергии за период колебаний происходит не равномерно, ввиду осцилляции кинетической энергии ($E_k$). Уравнение убывания энергии при затухающих колебаниях будет иметь вид:
\[\frac{dE}{dt}=-\frac{2\beta }{m}\left\langle E_k\right\rangle \left(6\right),\]
где $\frac{dE}{dt}$ - скорость изменения энергии колебаний; $\left\langle E_k\right\rangle $ - средняя величина кинетической энергии за период колебаний. Уравнение (6) не применяют для промежутков времени, которые меньше периода колебаний.
Так как мы считаем затухание малым, то $\left\langle E_k\right\rangle $ можно принять равным (как при свободных колебаниях) половине полной энергии осциллятора:
\[\left\langle E_k\right\rangle =\frac{E}{2}\left(7\right).\]
В таком случае уравнение (6) можно записать в виде:
\[\frac{dE}{dt}=-2\gamma E\ \left(8\right).\]
Выражение (8) отображает «сглаженное» поведение энергии колебаний (в случае, если детали изменения энергии за один период колебаний не интересны). Оно показывает, что скорость изменения энергии пропорциональна самой энергии. Решением уравнения (8) является функция:
где $E_0$ - величина энергии колебательной системы в начальный момент времени.
Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды ($E\sim A^2$), изменение амплитуды колебаний за большие отрезки времени (в сравнении с периодом колебаний) запишем в виде функции:
$A_0$ - начальная амплитуда колебаний.
Время жизни колебаний. Период затухающих колебаний. Декремент затухания
Из формулы (10) видно, что амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненте. За время $\tau =\frac{1}{\gamma }$ амплитуда убывает в $e$ раз и это не зависит от $A_0$. Время $\tau $ в этом случае называют временем жизни колебаний (или временем релаксации) (не смотря на то, что в соответствии с выражением (9) колебания должны длиться бесконечно). Тезис о малости затухания означает, что время жизни колебаний не бесконечно, а много больше, чем их период ($\tau \gg T$). За время жизни происходит много колебательных движений.
Строго говоря, затухающие колебания не являются строго периодическими движениями. Периодом в данном случае считают промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от положения равновесия.
Период затухающих колебаний считают равным:
Пусть $A\left(t\right)\ и\ A(t+T)$ - амплитуды двух последовательных колебаний, моменты времени которых отличаются на период. Отношение этих амплитуд, следуя (10) равно:
\[\frac{A\left(t\right)}{A(t+T)}=e^{\gamma T}(12)\]
называют декрементом затухания. Натуральный логарифм декремента затухания ($\theta $):
\[\theta ={\ln \left(\frac{A\left(t\right)}{A\left(t+T\right)}\right)\ }=\gamma T=\frac{T}{\tau }=\frac{1}{N_e}(13)\]
называют логарифмическим декрементом затухания. Для колебательной системы $\theta $ постоянная величина.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Каков коэффициент затухания маятника ($\gamma $), если за $\Delta t$ амплитуда его колебаний уменьшилась в $n$ раз?
Решение. За основу решения задачи примем уравнение затухающих колебаний в виде:
По условию задачи имеем:
\[\frac{A_1}{A_2}=n.\]
С другой стороны:
где $t_2-t_1=\Delta t$. Найдем натуральный логарифм от правой и левой части выражения (1.2), получим:
\[{\ln \left(\frac{A_1}{A_2}\right)\ }=\gamma \Delta t\left(1.3\right).\]
Выразим $\gamma $ из (1.3) учтем, что $\frac{A_1}{A_2}=n$:
\[\gamma =\frac{{\ln \left(\frac{A_1}{A_2}\right)\ }}{\Delta t}=\gamma =\frac{{\ln n\ }}{\Delta t}.\]
Ответ. $\gamma =\frac{{\ln n\ }}{\Delta t}$
Пример 2
Задание. Что представляет собой фазовая траектория затухающего колебания?
Решение. Фазовой траекторией называют траекторию движения в плоскости $\left(x;;v\right).$ По оси абсцисс откладывается отклонение $x$, по оси ординат откладывают скорость $v$. Каждому движению в момент времени $t$ соответствует изображающая точка, на указанной плоскости координаты ее $\left(x,v\right),$ они однозначно определены мгновенными значениями отклонения и скорости. Точка со временем движется и описывает траекторию (рис.1). В данном случае время выступает как параметр, уравнение фазовой траектории задет функция:
Фазовая траектория затухающего колебания, если
\[{\overline{F}}_{tr}=-\beta \overline{v}\left(2.2\right),\]
представляет собой незамкнутую спираль, которая закручивается вокруг начала координат (рис.1). Если затухание колебаний малое, то есть за время жизни колебательная система совершает множество колебаний, количество витков спирали в фазовой плоскости будет таким же.
§6 Затухающие колебания
Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.
Свободные колебания технических систем в реальных условиях протекают, когда на них действуют силы сопротивления. Действие этих сил приводит к уменьшению амплитуды колеблющейся величины.
Колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы уменьшается с течением времени, называются затухающими .
Наиболее часто встречается случаи, когда сила сопротивления пропорциональна скорости движения
где r - коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что F C направлена в сторону противоположную скорости.
Запишем уравнение колебаний в точке, колеблющийся в среде, коэффициент сопротивлений которой r . По второму закону Ньютона
где β - коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.
- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.
Уравнение затухающих колебаний.
ω - частота затухающих колебаний:
Период затухающих колебаний:
Затухающие колебания при строгом рассмотрении не являются периодическими. Поэтому о периоде затухаюших колебаний можно гово-рить, когда β мало.
Если затухания выражены слабо (β→0), то . Затухающие колебания можно
рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по экспоненциальному закону
В уравнении (1) А 0 и φ 0 - произвольные константы, зависящие от выбора момента времени, начиная е которого мы рассматриваем колебания
Рассмотрим колебание в течение, некоторого времени τ, за которое амплитуда уменьшится в е раз
τ - время релаксации.
Коэффициент затихания β обратно пропорционален времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Однако коэффициента затухания недостаточна для характеристики затуханий колебаний. Поэтому необходимо ввести такую характеристику для затухания колебаний, в которую входит время одного колебаний. Такой характеристикой является декремент (по-русски: уменьшение) затухания D , который равен отношению амплитуд, отстоящих по времени на период:
Логарифмический декремент затухания равен логарифму D :
Логарифмический декремент затухания обратно пропорционален числу колебаний, в результате которых амплитуда колебаний умень-шилась в е раз. Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной системы величина.
Еще одной характеристикой колебательной система является добротность Q .
Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой, за время релаксации τ.
Q колебательной системы является мерой относительной диссипации (рассеивания) энергии.
Q колебательной системы называется число, показывающее во сколько раз сила упругости больше силы сопротивления.
§7 Вынужденные колебания.
Резонанс
В целом ряде случаев возникает необходимость создания систем, совершающих незатухающие колебания. Получить незатухающие колебания в системе можно, если компенсировать потери энергии, воздействуя на систему периодически изменяющейся силой.
Пусть
Запишем выражение для уравнения движения материальной точки, совершающей гармоническое колебательное движение под действием вынуждающей силы.
По второму закону Ньютона:
(1)
Дифференциальное уравнение вынуж-денных колебаний.
Это дифференциальное уравнение является линейным неоднородным.
Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого перепишем уравнение (1) в следующем виде:
(2)
Частное решение этого уравнения будем искать в виде:
Тогда
Подставим в (2):
т.к. выполняется для любого t , то должно выполняться равенство γ = ω , следовательно,
Это комплексное число удобно представить в виде
где А определяется по формуле (3 ниже), а φ - по формуле (4), следовательно, решение (2),в комплексной форме имеет вид
Его вещественная часть, являвшаяся решением уравнения (1) равна:
где
(3)
(4)
Слагаемое Х о.о. играет существенную роль только в начальной стадии при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения определяемого равенством (3). В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой ω и являются гармоническими. Амплитуда (3) и фаза (4) вынужденных колебаний зависят от частоты вынуждающей силы. При определенной частоте вынуждающей силы амплитуда может достигнуть очень больших значений. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте механи-ческой системы, называется резонансом .
Частота ω вынуждающей силы, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной. Для того чтобы найти значение ω рез, необходимо найти условие максимума амплитуды. Для этого нужно определить условие минимума знаменателя в (3) (т.е. исследовать (3) на экстремум).
Зависимость амплитуды колеблющейся величины от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой . Резонансная кривая будет тем выше, чем меньше коэффициент затухания β и с уменьшением β, максимум резонансных кривых смешается вправо. Если β = 0, то
ω рез = ω 0 .
При ω→0 все кривые приходят к значению - статическое отклонение.
Параметрический резонанс возникает в том случае, когда периодическое изменение одного из параметров система приводит к резкому увеличению амплитуды колеблющейся системы. Например, кабины, делающие "солнышко" за счет изменения положения центра тяжести система.(То же в "лодочках".) См. §61 .т. 1 Савельев И.В.
Автоколебаниями называются такие колебания, энергия которых периодически пополняется в результате воздействия самой системы за счет источника энергии, находящегося в этой же системе. См. §59 т.1 Савельев И.В.
