ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания. В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.
Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной . Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,… , постоянные – a, b, c,…
Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.
Областью изменения переменной величины называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Область изменения может состоять как из одного или нескольких промежутков, так и из одной точки.
УПОРЯДОЧЕННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
x есть упорядоченная переменная величина , если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее.
Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Для таких величин при i < j, i, j N , значение x i считается предшествующим, а x j – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать . Отдельные числа последовательности называются ее элементами .
Например, числовую последовательность образуют следующие величины:
ФУНКЦИЯ
При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус формулой S = πr 2 . Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S также принимает различные числовые значения, т.е. изменение одной переменной влечет изменение другой.
Если каждому значению переменной x , принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y , то y называется функцией переменной х . Символически будем записывать y=f(x) . При этом переменная x называетсянезависимой переменной или аргументом .
Запись y=C , где C – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении x одно и то же и равно C .
Множество значений x , для которых можно определить значения функции y по правилу f(x) , называется областью определения функции .
Заметим, что числовая последовательность также является функцией, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел.
К основным элементарным функциям относятся все функции, изучаемые в школьном курсе математики:
Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана основными элементарными функциями и постоянными при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа – производная, интеграл и др.
Начнем с понятия предела числовой последовательности.
Число a называется пределом последовательности x = {x n }, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n>N выполняется неравенство |x n - a| < ε.
Если число a есть предел последовательности x = {x n }, то говорят, что x n стремится к a , и пишут .
Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие.
Окрестностью точки x 0 называется произвольный интервал (a, b ), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x 0 , для которой x 0 является серединой, тогда x 0 называется центром окрестности, а величина (b –a )/2 – радиусом окрестности.
Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде
Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).
Следовательно,
постоянное число a
есть
предел числовой последовательности
{x
n
},
если для любой малой окрестности с
центром в точке a
радиуса
ε (ε – окрестности точки a
)
найдется такой элемент последовательности
с номером N
,
что все последующие элементыс
номерами n>N
будут
находиться внутри этой окрестности.
Примеры.
Пусть переменная величина x последовательно принимает значения
Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число ε. Нам нужно найти такое натуральное число N , что при всех n>N выполняется неравенство |x n - 1| < ε. Действительно, т.к.
,
то
для выполнения соотношения |x n -
a| < ε достаточно, чтобы или .
Поэтому, взяв в качестве N
любое
натуральное число, удовлетворяющее
неравенству ,
получим что нужно. Так если взять,
например, ,
то, положив N=
6,
для всех n
>6
будем иметь 
.
Возьмем произвольное ε > 0. Рассмотрим
Тогда , если или , т.е. . Поэтому выберем любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству .
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение x n = c , то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство |x n - c | = |c - c | = 0 < ε.
Замечание
2.
Из
определения предела следует, что
последовательность не может иметь двух
пределов. Действительно, предположим,
что x
n
→
a
и
одновременно x
n
→
b
.
Возьмем любое и
отметим окрестности точек a
и b
радиуса
ε (см. рис.). Тогда по определению предела,
все элементы последовательности, начиная
с некоторого, должны находиться как в
окрестности точки а
,
так и в окрестности точки b
,
что невозможно.
Замечание
3.
Не
следует думать, что каждая числовая
последовательность имеет предел. Пусть,
например, переменная величина принимает
значения 
.
Несложно заметить, что эта последовательность
не стремится ни к какому пределу.
|
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a . Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a . Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие кa , но не равные a . Будем обозначать это так x → a . Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b .Тогда говорят, что числоb есть предел функции f(x) при x → a . Введем строгое определение предела функции. Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a , если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a | < δ, имеет место неравенство |f(x) - b | < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a , то пишут или f(x) → b при x → a . Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства |x - a | < δ должно следовать неравенство |f(x) - b | < ε, т.е. при x (a - δ, a + δ) соответствующие значения функции f(x) (b - ε, b + ε), то, взяв произвольное ε > 0, мы можем подобрать такое число δ, что для всех точек x , лежащих в δ – окрестности точки a , соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = b – ε и y = b + ε. Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при x → a функция имеет предел, то он единственный. Примеры. Используя график заданной функции, несложно заметить, . |
|
ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
В БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКЕ
До сих пор мы рассматривали пределы для случая, когда переменная величина x стремилась к определенному постоянному числу.
Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности , если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х 0 , начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M .
Например, пусть переменная х принимает значения x 1 = –1, x 2 = 2, x 3 = –3, …, x n =(–1) n n, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M .
Переменная величина x → +∞ , если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M .
Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M .
Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M , что для всех значений x |x|>M , выполняется неравенство |f(x) - b | < ε.
Обозначают .
Примеры.
Нужно
доказать, что при произвольном ε будет
выполняться неравенство ,
как только |x|>M
,
причем число М
должно
определяться выбором ε. Записанное
неравенство эквивалентно следующему ,
которое будет выполняться, если |x|>
1/ε=M
.
Это и значит, что (см.
рис.).
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ
Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при x → a или x → ∞.
Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) некотором способе изменения аргумента.
Функция f(x) стремится к бесконечности при x → a , т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М , как бы велико оно ни было, можно найти такое δ > 0, что для всех значений х ≠a , удовлетворяющих условию |x-a | < δ, имеет место неравенство |f(x) | > M .
Если f(x) стремится к бесконечности при x → a , то пишут или f(x) →∞ при x → a .
Сформулируйте аналогичное определение для случая, когда x →∞.
Если f(x) стремится к бесконечности при x → a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или .
Примеры.
ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть задана функция y=f(x) , определенная на некотором множестве D значений аргумента.
Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D , если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M . Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D .
Примеры.
Функция y =sin x , определенная при -∞<x <+∞, является ограниченной, так как при всех значениях x |sin x |≤1 = M .
Функция y =x 2 +2 ограничена, например, на отрезке , так как при всех x из этого отрезка |f(x)| ≤f (3) = 11.
Рассмотрим функцию y =ln x при x (0; 1). Эта функция неограниченна на указанном отрезке, так как при x →0 ln x →-∞.
Функция y=f(x) называется ограниченной при x → a , если существует окрестность с центром в точке а , в которой функция ограничена.
Функция y=f(x) называется ограниченной при x → ∞ , если найдется такое число N> 0, что при всех значениях х , удовлетворяющих неравенству |x|>N , функция f(x) ограничена.
Установим связь между ограниченной функцией и функцией, имеющей предел.
Теорема 1. Если и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x → a .
Доказательство
.
Т.к. ,
то при любом ε>0 найдется такое число
δ>0, что при вех значениях х
,
удовлетворяющих неравенству |x-a|<
δ,
выполняется неравенство |f(x)
–b|<
ε.
Воспользовавшись свойством модуля |f(x)
– b|≥|f(x)| - |b|
,
последнее неравенство запишем в
виде |f(x)|<|b|+
ε.
Таким образом, если положить M=|b|+
ε,
то при x
→
a
|f(x)|
Замечание. Из определения ограниченной функции следует, что если , то она является неограниченной. Однако обратное неверно: неограниченная функция может не быть бесконечно большой. Приведите пример.
Теорема 2. Если , то функция y=1/f(x) ограничена при x → a .
Доказательство
.
Из условия теоремы следует, что при
произвольном ε>0 в некоторой окрестности
точки a
имеем |f(x)
– b|<
ε.
Т.к. |f(x)
– b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|
,
то |b|
- |f(x)|<
ε.
Следовательно, |f(x)|>|b|
-
ε
>0. Поэтому и 
.
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x → a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Примеры.
Установим следующее важное соотношение:
Теорема. Если функция y=f(x) представима при x → a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .
Обратно, если , то f (x)=b+α(x) , где a(x) – бесконечно малая при x → a.
Доказательство .
Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство . Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x) , где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε> 0 найдется δ> 0, такое, что для x , удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ , выполняется|f(x)|< ε.
Итак, зафиксируем произвольное число ε> 0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ 1 > 0, что при |x – a|< δ 1 имеем |α(x)|< ε/ 2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ 2 > 0, что при |x – a|< δ 2 имеем| β(x)|< ε/ 2.
Возьмем δ=min{ δ 1 , δ 2 } .Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/ 2 и | β(x)|< ε/ 2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=| α(x)+β(x) | ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,
т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x → a (или при x → ∞ ) есть бесконечно малая функция.
Доказательство . Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x → a , то для произвольного ε> 0 найдется окрестность точки a , в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M . Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M = ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x → ∞ доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие 1. Если и , то .
Следствие 2. Если и c= const, то .
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x) , предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство . Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ
И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ
Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x → a , то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x → a .
Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x , для которых |x – a|<δ , выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x → a , то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ , так |f(x)|> 1/ ε. Но тогда для тех же x .
Примеры.
Можно доказать и обратную теорему.
Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x → a (или x → ∞) и не обращается в нуль, то y= 1/f(x) является бесконечно большой функцией.
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
Объектом исследования в курсе математического анализа являются различные величины, исследуются возможности описания с помощью этих величин реально происходящих явлений или процессов.
Величины могут быть переменными и постоянными , то есть меняющимися, или не меняющимися в процессе исследования. Эти заключения являются условными, покажем это на примере. Координаты нашего города, конечно, являются постоянными величинами, по их значениям легко находится местоположение города на карте. Однако, это утверждение является истинным только для находящихся на Земле. Если наблюдать за местоположением нашего города с космической станции, его координаты будут меняться с вращением Земли. Изучая земные дела, мы уверенно можем считать эти величины постоянными.
Переменные величины могут быть независимыми и зависимыми , меняющимися в зависимости от каких-то других величин. Эти понятия также условны. К примеру, время меняется независимо от чего либо, и его следует считать переменной величиной. Однако, с позиций общей теории относительности Эйнштейна это совсем не так.
Если рассмотреть уравнение окружности , в нем участвует две переменные величины и . Одной из них можно придавать в некоторой области любые значения, другая находится из приведенного уравнения. Следовательно, одну из них можно считать независимой, другую - зависимой переменной. При этом независимой переменной может считаться любая из них, тогда вторая будет зависимой.
Для работы с величинами необходимо задать множество , то есть совокупность значений, которые могут принимать эти величины в процессе их использования. В школе вас знакомили с несколькими множествами. Рассмотрим только некоторые из них.
Пусть множество является множеством натуральных чисел, это множество содержит бесконечное количество элементов, обозначение показывает, что элемент принадлежит множеству натуральных чисел.
Обозначим - множество действительных (вещественных) чисел, тогда множество является подмножеством множества , то есть полностью расположено на множестве и является его частью. Обозначение .
Множество всех действительных чисел обычно располагается на некоторой оси, называемой вещественной (числовой) осью. Каждому числу множества соответствует точка на оси.
Для краткой записи используются следующие обозначения:
– «для любого», «для всякого»,
– «существует», «найдется»,
– «следует»,
– «равносильно»,
– «ставится в соответствие»,
: – «имеет место».
Например, выражение
читается «для всякого x из A имеет место ».
Функция. Способы ее задания
Вернемся к независимым и зависимым переменным. Независимую переменную часто называют аргументом, зависимую – функцией.
ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания. В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.
Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной . Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,… , постоянные – a, b, c,…
Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.
Областью изменения переменной величины называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Область изменения может состоять как из одного или нескольких промежутков, так и из одной точки.
УПОРЯДОЧЕННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
Будем говорить, что переменная x есть упорядоченная переменная величина , если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее.
Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Для таких величин при i < j, i, j Î N , значение x i считается предшествующим, а x j – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать . Отдельные числа последовательности называются ее элементами .
Например, числовую последовательность образуют следующие величины:
ФУНКЦИЯ
При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус формулой S = πr 2 . Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S также принимает различные числовые значения, т.е. изменение одной переменной влечет изменение другой.
Если каждому значению переменной x , принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y , то y называется функцией переменной х . Символически будем записывать y=f(x) . При этом переменная x называется независимой переменной или аргументом .
Запись y=C , где C – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении x одно и то же и равно C .
Множество значений x , для которых можно определить значения функции y по правилу f(x) , называется областью определения функции .
Постоянные и переменные величины
Под величиной будем понимать все то, что выражает свойства предмета, явления или процесса. Площадь земельного участка, масса животного, себестоимость продукции, процент жира в молоке и т. д. – все это примеры величин. Каждая из величин может быть измерена с помощью прибора или вычислена, в результате чего получают число, называемое числовым значением величины . Величины выражаются в определенных единицах. Такие величины называются размерными . Каждой величине свойственна своя единица. Единицы величин образуют систему. Общепринятой является Международная система (СИ). Ее основными единицами являются: метр (м) – единица длины; килограмм (кг) – единица массы; секунда (с) – единица времени; кельвин (к) – единица температуры; кандела (кд) – единица силы света; моль – единица количества вещества. Величины могут быть безразмерными. Например, доля опытов, в которых наблюдаемое явление произошло.
Когда мы наблюдаем какой-нибудь процесс или явление из области физики, экономики, агрономии или другой области знаний, то видим, что одни величины сохраняют свои значения, другие же принимают различные значения. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость постоянна. Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной .
Обозначения: x, y, z, t,… - переменные величины; a, b, c, d,… - постоянные величины.
Совокупность всех числовых значений переменной величины называется областьюизменения этой переменной.
Области изменения переменной величины:
(a, b) = {x : a < x < b } – промежуток или интервал;
[a, b ] = {x : a ≤ x ≤ b } – отрезок или замкнутый интервал;
(a , b ] = {x : a < x ≤ b },
[a , b ) = {x : a ≤ x < b } – полуоткрытые интервалы;
(-∞, b ] = {x: x ≤ b },
(-∞, b) = {x: x < b},
[a , +∞) = {x: x ≥ a },
(a , +∞) = {x: x > a },
(-∞, +∞) = {x: -∞ < x < +∞} – бесконечные интервалы.
Произвольный интервал (a, b ), содержащий внутри себя точку , называется окрестностью точки : a < < b .
Если точка - середина окрестности, то она называется центром окрестности , величина называется радиусом окрестности .
Значение переменных в математике велико, ведь за время ее существования ученые успели совершить множество открытий в данной области, и, чтобы кратко и ясно изложить ту или иную теорему, мы пользуемся переменными для записи соответствующих формул. Например, теорема Пифагора о прямоугольном треугольнике: a 2 = b 2 + c 2 . Чем каждый раз при решении задачи писать: по теореме Пифагора - мы записываем это формулой, и все сразу становится понятно.
Итак, в этой статье пойдет речь о том, что такое переменные, об их видах и свойствах. Также будут рассмотрены разные неравенства, формулы, системы и алгоритмы их решения.
Понятие переменной
Для начала узнаем, что такое переменная? Это численная величина, которая может принимать множество значений. Она не может быть постоянной, так как в разных задачах и уравнениях для удобства решения мы принимаем за переменную разные числа, то есть, например, z - это общее обозначение для каждой из величин, за которые ее принимают. Обычно их обозначают буквами латинского или греческого алфавита (x, y, a, b и так далее).
Есть разные виды переменных. Ими задаются как некоторые физические величины - путь (S), время (t), так и просто неизвестные значения в уравнениях, функциях и других выражениях.
Например, есть формула: S = Vt. Здесь переменными обозначаются определенные величины, имеющие отношение к реальному миру - путь, скорость и время.
А есть уравнение вида: 3x - 16 = 12x. Здесь уже за x принимается абстрактное число, которое имеет смысл в данной записи.
Виды величин
Под величиной имеется в виду то, что выражает свойства определенного предмета, вещества или явления. К примеру, температура воздуха, масса животного, процентное содержание витаминов в таблетке - это все величины, числовые значения которых можно вычислить.
Для каждой величины есть свои единицы измерения, которые все вместе образуют систему. Ее называют системой исчисления (СИ).
Что такое переменные и постоянные величины? Рассмотрим их на конкретных примерах.
Возьмем прямолинейное равномерное движение. Точка в пространстве движется с одинаковой скоростью на каждом промежутке времени. То есть изменяются время и расстояние, а скорость остается одинаковой. В данном примере время и расстояние - переменные величины, а скорость - постоянная.
Или, например, “пи”. Это иррациональное число, которое продолжается без повторяющейся последовательности цифр и не может быть записано полностью, поэтому в математике оно выражается общепринятым символом, который принимает только значение данной бесконечной дроби. То есть “пи” - это постоянная величина.
История
История обозначения переменных начинается в семнадцатом веке с ученого Рене Декарта.
Известные величины он обозначил первыми буквами алфавита: a, b и так далее, а для неизвестных предложил использовать последние буквы: x, y, z. Примечательным является то, что такие переменные Декарт считал неотрицательными числами, а при столкновении с отрицательными параметрами ставил знак минус перед переменной или, если было неизвестно, каким по знаку является число, многоточие. Но со временем наименованиями переменных стали обозначать числа любого знака, и началось это с математика Иоганна Худде.
С переменными вычисления в математике решаются проще, ведь как, например, сейчас мы решаем биквадратные уравнения? Вводим переменную. Например:
x 4 + 15x 2 + 7 = 0
За x 2 принимаем некое k, и уравнение приобретает понятный вид:
x 2 = k, при k ≥ 0
k 2 + 15k + 7 = 0
Вот какую пользу в математику несет введение переменных.
Неравенства, примеры решения
Неравенство представляет собой запись, в которой два математических выражения или два числа связаны знаками сравнения: <, >, ≤, ≥. Они бывают строгими и обозначаются знаками < и > или нестрогими со знаками ≤, ≥.
Впервые эти знаки ввел Томас Гарриот. После смерти Томаса вышла его книга с этими обозначениями, математикам они понравились, и со временем их стали повсеместно употреблять в математических вычислениях.
Существует несколько правил, которые нужно соблюдать при решении неравенств с одной переменной:
- При переносе числа из одной части неравенства в другую меняем его знак на противоположный.
- При умножении или делении частей неравенства на отрицательное число их знаки меняются на противоположные.
- Если умножить или разделить обе части неравенства на положительное число, то получится неравенство, равное исходному.
Решить неравенство - значит найти все допустимые значения переменной.
Пример с одной переменной:
10x - 50 > 150
Решаем, как обычное линейное уравнение - переносим слагаемые с переменной влево, без переменной - вправо и приводим подобные члены:
Делим обе части неравенства на 10 и получаем:
Для наглядности в примере решения неравенства с одной переменной изображаем числовую прямую, отмечаем на ней проколотую точку 20, так как неравенство строгое, и данное число не входит в множество его решений.
Решением этого неравенства будет промежуток (20; +∞).
Решение нестрогого неравенства осуществляется так же, как и строгого:
Но есть одно исключение. Запись вида x ≥ 5 нужно понимать так: икс больше или равно пяти, значит число пять входит во множество всех решений неравенства, то есть, записывая ответ, мы ставим квадратную скобку перед числом пять.
Квадратные неравенства
Если взять квадратное уравнение вида ax 2 + bx +c = 0 и изменить в нем знак равно на знак неравенства, то соответственно получим квадратное неравенство.
Чтобы решить квадратное неравенство, надо уметь решать квадратные уравнения.
y = ax 2 + bx + c - это квадратичная функция. Ее мы можем решить с помощью дискриминанта, либо используя теорему Виета. Вспомним, как решаются подобные уравнения:
1) y = x 2 + 12x + 11 - функция является параболой. Ее ветви направлены вверх, так как знак коэффициента "a" положительный.
2) x 2 + 12x + 11 = 0 - приравниваем к нулю и решаем с помощью дискриминанта.
a = 1, b = 12, c = 11
D = b 2 - 4ac= 144 - 44 = 100 > 0, 2 корня
По уравнения получаем:
x 1 = -1, x 2 = -11
Или можно было решить это уравнение по теореме Виета:
x 1 + x 2 = -b/a, x 1 + x 2 = -12
x 1 x 2 = c/a, x 1 x 2 = 11
Методом подбора получаем такие же корни уравнения.
Парабола
Итак, первый способ решения квадратного неравенства - это парабола. Алгоритм ее решения таков:
1. Определяем, куда направлены ветви параболы.
2. Приравниваем функцию к нулю и находим корни уравнения.
3. Строим числовую прямую, отмечаем на ней корни, проводим параболу и находим нужный нам промежуток в зависимости от того, какой у неравенства знак.
Решим неравенство x 2 + x - 12 > 0
Выписываем в виде функции:
1) y = x 2 + x - 12 - парабола, ветви вверх.
Приравниваем к нулю.
x 1 = 3, x 2 = -4
3) Изображаем числовую прямую и на ней точки 3 и -4. Парабола пройдет через них, ветвями вверх и ответом к неравенству будет множество положительных значений, то есть (-∞; -4), (3; +∞).
Метод интервалов
Второй способ - это метод интервалов. Алгоритм его решения:
1. Находим корни уравнения, при которых неравенство равно нулю.
2. Отмечаем их на числовой прямой. Таким образом она делится на несколько интервалов.
3. Определяем знак любого интервала.
4. Расставляем знаки у остальных интервалов, меняя их через один.
Решим неравенство (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≤ 0
1) Нули неравенства: 4, 5 и -7.
2) Изображаем их на числовой прямой.
3) Определяем знаки интервалов.
Ответ: (-∞; -7]; .
Решим еще одно неравенство: x 2 (3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0
1. Нули неравенства: 0, 2, -2 и 1.
2. Отмечаем их на числовой прямой.
3. Определяем знаки интервалов.
Прямая делится на промежутки - от -2 до 0, от 0 до 1, от 1 до 2.
Возьмем значение на первом промежутке - (-1). Подставляем в неравенство. При данном значении неравенство становится положительным, значит и знак на этом промежутке будет +.
Неравенство больше нуля, то есть надо найти множество положительных значений на прямой.
Ответ: (-2; 0), (1; 2).
Системы уравнений
Системой уравнений с двумя переменными называют два уравнения, объединенных фигурной скобкой, для которых необходимо найти общее решение.
Системы могут являться равносильными, если общее решение одной из них является решением другой, или они обе не имеют решений.
Мы изучим решение систем уравнений с двумя переменными. Есть два способа их решения - метод подстановки или алгебраический метод.
Алгебраический метод
Чтобы решить систему, изображенную на картинке, данным методом, необходимо сначала помножить одну из ее частей на такое число, чтобы потом иметь возможность взаимно уничтожить одну переменную из обеих частей уравнения. Здесь мы умножаем на три, подводим черту под системой и складываем ее части. В итоге иксы становятся одинаковы по модулю, но противоположны по знаку, и мы их сокращаем. Далее получаем линейное уравнение с одной переменной и решаем его.
Игрек мы нашли, но на этом мы не можем остановиться, ведь мы еще не нашли икс. Подставляем игрек в ту часть, из которой удобно будет вывести икс, например:
X + 5y = 8 , при y = 1
Решаем получившееся уравнение и находим икс.
Главное в решении системы - правильно записать ответ. Многие школьники делают ошибку и пишут:
Ответ: -3, 1.
Но это неверная запись. Ведь, как уже писалось выше, решая систему уравнений, мы ищем общее решение для его частей. Правильным будет ответ:
Метод подстановки
Это, пожалуй, самый простой метод, в котором трудно совершить ошибку. Возьмем систему уравнений номер 1 с этой картинки.
В первой ее части икс уже приведен к нужному нам виду, поэтому нам остается только подставить его в другое уравнение:
5y + 3y - 25 = 47
Переносим число без переменной вправо, приводим подобные слагаемые к общему значению и находим игрек:
Затем, как и в алгебраическом методе, подставляем значение игрека в любое из уравнений и находим икс:
x = 3y - 25, при y = 9
