Теория нечетких множеств представлена в разделе прикладной математики, который посвящен методам проведения анализа неопределенных данных, описывающих неопределенности реальных событий и процессов с использованием понятий о множествах без четких границ.
Классическая теория множеств определяет принадлежность конкретного элемента определенной совокупности. При этом под принадлежностью принимаются понятия в бинарном выражении, т.е. присутствует четкое условие: рассматриваемый элемент или принадлежит, или не принадлежит множеству.
Теория множеств относительно нечеткости предусматривает градуированное понимание принадлежности рассматриваемого элемента конкретному множеству, а степень его принадлежности подлежит описанию с помощью соответствующей функции. Другими словами, переход от принадлежности заданному множеству некоторых элементов к непринадлежности происходит не резко, а постепенно с использованием вероятностного подхода.
Достаточный опыт зарубежных и отечественных исследователей свидетельствует о ненадежности и неадекватности вероятностного подхода, используемого в качестве инструмента решения задач слабоструктурированного типа. Использование методов статистики при решении такого типа задач приводит к существенному искажению исходной постановки задачи. Именно недостатки и ограничения, связанные с применением классических методов решения задач слабоструктурированной формы, являются следствием «принципа несовместимости», который сформулирован в теории нечетких множеств, разработанной Л.А. Заде.
Поэтому некоторые зарубежные и отечественные исследователи разработали методы оценивания проектов и эффективности с использованием инструментов теории нечетких множеств. В них на замену метода распределения вероятностей пришло распределение возможностей, которое описывается функцией принадлежности числа нечеткого типа.
Основы теории множеств базируются на инструментах, которые имеют отношение к в неопределенных условиях. При их использовании предполагается формализация исходных параметров и показателей эффективности в качестве вектора нечеткого интервала (интервальных значений). Попадание в каждый такой интервал может быть охарактеризован степенью неопределенности.
Используя арифметику при работе с такими нечеткими интервалами, экспертами может быть получен в результате нечеткий интервал для конкретного целевого показателя. Основываясь на исходной информации, опыте и интуиции, эксперты могут дать качественную и количественную характеристики границ (интервалов) возможных значений области и параметров их возможных значений.
Теория множеств может быть активно использована на практике и в системами, в финансах и экономике для решения задач при условии неопределенности основных показателей. Например, такая техника, как фотоаппараты и некоторые стиральные машины, оборудована нечеткими контроллерами.
В математике теория множеств, предложенная Л.А. Заде, позволяет описать нечеткие знания и понятия, оперировать ими и делать нечеткие выводы. Благодаря основанным на данной теории методам построения нечетких систем с помощью компьютерных технологий значительно расширяются компьютеров. В последнее время управление нечеткими множествами является одной из результативных областей исследований. Полезность нечеткого управления проявляется в определенной сложности технологических процессов с позиции анализа с использованием количественных методов. Также управление нечеткими множествами применяется при качественной интерпретации различных источников информации.
Наивная теория множеств
До второй половины XIX-го века понятие «множества» не рассматривалось в качестве математического («множество книг на полке», «множество человеческих добродетелей» и т. д. - всё это чисто бытовые обороты речи). Положение изменилось, когда немецкий математик разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» - который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым . При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre ).
Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением , полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее - дело рук человеческих»). Тем не менее, некоторые другие математики - в частности, и - поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.
Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной. А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам , может быть «доказано» абсолютно любое утверждение!). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.
Аксиоматическая теория множеств
Особенностью аксиоматического подхода является отказ от, лежащего в основе программы Кантора, представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику, лишённой всякого содержания, игрой в символы. В частности, писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы , или же её отрицание.
В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC - теория Цермело-Френкеля с
Теория множеств – раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин; она оказала глубокое влияние на понимание предмета самой математики.Георг Кантор (1845 – † 1918), основатель теории множеств До второй половины 19 века понятие «множества» не рассматривался как математическое («множество книг на полке», «множество человеческих добродетелей» и т. д. – все это чисто бытовые обороты). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был быть тем или иным «множеством». Например, натуральное число за Кантором следует рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом», который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано. При этом общему понятию «множества», который рассматривался им как центрального для математики, Кантор давал весьма размытые определения, вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, что подчеркнуто называл свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позже), а «учением о множествах» (Mengenlehre).
Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему известных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, который считал, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а все остальное – дело рук человеческих »). Однако, некоторые другие математики – в частности, Готлоб Фреге и Давид Гильберт – поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык.
Однако вскоре выяснилось, что направление Кантора на неограниченный произвол при оперировании с множествами (выраженное им самим в принципе «сущность математики состоит в ее свободе») несовершенна изначально, а именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение). Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.
В начале 20 века Бертран Рассел, изучая наивную теорию множеств, пришел к парадоксу (с тех пор известному как парадокс Рассела). Таким образом была продемонстрирована противоречивость наивной теории множеств и связанной с ней канторовской программы стандартизации математики.
После обнаружения антиномии Рассела часть математиков (например, Л. Э. Я. Брауэр и его школа) решила полностью отказаться от использования теоретико-множественных представлений. Другая же часть математиков, возглавленная Д. Гильбертом, предприняла ряд попыток обосновать ту часть теоретико-множественных представлений, которая казалась им наиболее ответственной за возникновение антиномий, на основе заведомо надежной финитной математики. С этой целью были разработаны различные аксиоматизации теории множеств.
Особенностью аксиоматического подхода является отказ от заложенного в программу Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишенной всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек является некая единая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признается как аксиома континуум-гипотеза, или его отрицание.
Сейчас наиболее распространенной аксиоматической теорией множеств является ZFC – теория Цермело – Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более – о существовании модели для нее) остается нерешенным.
В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как – «x есть элемент множества A»). Среди производных понятий наиболее важными являются следующие:
Над множествами определены следующие операции:
Для множеств определены следующие бинарные отношения:
Георг Кантор (фото приведено далее в статье) - немецкий математик, который создал теорию множеств и ввел понятие трансфинитных чисел, бесконечно больших, но отличающихся друг от друга. Также он дал определение порядковым и кардинальным числам и создал их арифметику.
Георг Кантор: краткая биография
Родился в Санкт-Петербурге 03.03.1845. Его отцом был датчанин протестантского вероисповедания Георг-Вальдемар Кантор, занимавшийся торговлей, в т. ч. и на фондовой бирже. Его мать Мария Бем была католичкой и происходила из семьи выдающихся музыкантов. Когда в 1856 году отец Георга заболел, семья в поисках более мягкого климата переехала сперва в Висбаден, а затем во Франкфурт. Математические таланты у мальчика проявились еще до его 15-летия во время учебы в частных школах и гимназиях Дармштадта и Висбадена. В конце концов Георг Кантор убедил отца в своем твердом намерении стать математиком, а не инженером.
После недолгого обучения в Цюрихском университете в 1863 г. Кантор перевелся в Берлинский университет, чтобы изучать физику, философию и математику. Там ему преподавали:
- Карл Теодор Вейерштрасс, чья специализация на анализе, вероятно, оказала наибольшее влияние на Георга;
- Эрнст Эдуард Куммер, преподававший высшую арифметику;
- Леопольд Кронекер, специалист по теории чисел, который впоследствии выступал против Кантора.
Проведя один семестр в университете Геттингена в 1866 г., в следующем году Георг написал докторскую диссертацию под заголовком «В математике искусство задавать вопросы более ценное, чем решение задач», касающуюся проблемы, которую Карл Фридрих Гаусс оставил нерешенной в его Disquisitiones Arithmeticae (1801). После краткого преподавания в Берлинской школе для девочек Кантор начал работать в университете Галле, в котором оставался до конца своей жизни сначала как преподаватель, с 1872 года как доцент и с 1879-го в качестве профессора.
Исследования
В начале серии из 10 работ с 1869 по 1873 г. Георг Кантор рассмотрел теорию чисел. Работа отражала увлеченность предметом, его исследования Гаусса и влияние Кронекера. По предложению Генриха Эдуарда Гейне, коллеги Кантора в Галле, который признавал его математическое дарование, он обратился к теории тригонометрических рядов, в которых расширил понятие действительных чисел.
Отталкиваясь от работы по функции комплексной переменной немецкого математика Бернхарда Римана 1854 года, в 1870 г. Кантор показал, что такая функция может быть представлена только одним способом - тригонометрическими рядами. Рассмотрение совокупности чисел (точек), которые бы не противоречили такому представлению, привело его, во-первых, в 1872 году к определению в терминах рациональных чисел (дробей целых чисел) и далее к началу работы над трудом всей его жизни, теорией множеств и концепцией трансфинитных чисел.
Теория множеств
Георг Кантор, теория множеств которого зародилась в переписке с математиком технического института Брауншвейга Ричардом Дедекиндом, дружил с ним с детства. Они пришли к выводу, что множества, конечные или бесконечные, являются совокупностью элементов (например, чисел, {0, ±1, ±2 . . .}), которые обладают определенным свойством, сохраняя при этом свою индивидуальность. Но когда Георг Кантор применил для изучения их характеристик взаимно однозначное соответствие (например, {А, B, C} к {1, 2, 3}), он быстро понял, что они отличаются по степени их принадлежности, даже если это были бесконечные множества, т. е. множества, часть или подмножество которых включает столько же объектов, сколько оно само. Его метод вскоре дал удивительные результаты.
В 1873 году Георг Кантор (математик) показал, что рациональные числа, хотя и бесконечны, являются счетными, потому что могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с натуральными (т. е. 1, 2, 3 и т. д.). Он показал, что множество действительных чисел, состоящее из иррациональных и рациональных, бесконечное и несчетное. Что более парадоксально, Кантор доказал, что множество всех алгебраических чисел содержит столько же элементов, сколько множество всех целых, и что трансцендентные числа, не являющиеся алгебраическими, которые представляют собой подмножество иррациональных чисел, несчетные и, следовательно, их количество больше, чем целых чисел, и должно рассматриваться как инфинитное.
Противники и сторонники
Но работа Кантора, в которой он впервые выдвинул эти результаты, не была опубликована в журнале «Крелль», так как один из рецензентов, Кронекер, был категорически против. Но после вмешательства Дедекинда она была опубликована в 1874 году под названием «О характерных свойствах всех действительных алгебраических чисел».
Наука и личная жизнь
В этом же году во время проведения медового месяца со своей женой Валли Гутман в Кантор встретил Дедекинда, который благожелательно отозвался о его новой теории. Жалование Георга было небольшим, но на деньги отца, который умер в 1863 г., он построил для своей жены и пятерых детей дом. Многие из его работ были опубликованы в Швеции в новом журнале Acta Mathematica, редактором и основателем которого был Геста Миттаг-Леффлер, в числе первых признавший талант немецкого математика.
Связь с метафизикой
Теория Кантора стала совершенно новым предметом исследований, касающимся математики бесконечного (например, ряда 1, 2, 3 и т. д., и более сложных множеств), который в значительной степени зависел от взаимно однозначного соответствия. Разработка Кантором новых методов постановки вопросов, касающихся непрерывности и бесконечности, придала его исследованиям неоднозначный характер.
Когда он утверждал, что бесконечные числа реально существуют, он обратился к древней и средневековой философии в отношении актуальной и потенциальной бесконечности, а также к раннему религиозному воспитанию, которое дали ему родители. В 1883 году в своей книге «Основы общей теории множеств» Кантор объединил свою концепцию с метафизикой Платона.
Кронекер же, утверждавший, что «существуют» только целые числа («Бог создал целые числа, остальное - дело рук человека»), в течение многих лет горячо отвергал его рассуждения и препятствовал его назначению в Берлинском университете.
Трансфинитные числа
В 1895-97 гг. Георг Кантор полностью сформировал свое представление о непрерывности и бесконечности, включая бесконечные порядковые и кардинальные числа, в его самой известной работе, опубликованной под названием «Вклад в создание теории трансфинитных чисел» (1915). Это сочинение содержит его концепцию, к которой его привела демонстрация того, что бесконечное множество может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с одним из его подмножеств.
Под наименьшим трансфинитным кардинальным числом он подразумевал мощность любого множества, которое можно поставить во взаимно однозначное соответствие с натуральными числами. Кантор назвал его алеф-нулем. Большие трансфинитные множества обозначаются алеф-один, алеф-два и т. д. Далее он развил арифметику трансфинитных чисел, которая была аналогична конечной арифметике. Таким образом, он обогатил понятие бесконечности.
Оппозиция, с которой он столкнулся, и время, которое понадобилось на то, чтобы его идеи были полностью приняты, объясняются сложностями переоценки древнего вопроса о том, чем является число. Кантор показал, что множество точек на линии обладает более высокой мощностью, чем алеф-нуль. Это привело к известной проблеме гипотезы о континууме - никаких кардинальных чисел между алеф-нулем и мощностью точек на линии нет. Эта задача в первой и второй половине 20-го века вызывала большой интерес и изучалась многими математиками, в т. ч. Куртом Геделем и Полом Коэном.
Депрессия
Биография Георга Кантора с 1884 г. была омрачена начавшимся у него психическим заболеванием, но он продолжал активно работать. В 1897 г. он помог провести в Цюрихе первый международный математический конгресс. Отчасти потому, что ему оппонировал Кронекер, он часто сочувствовал молодым начинающим математикам и стремился найти способ избавить их от притеснений со стороны преподавателей, чувствующих угрозу со стороны новых идей.
Признание
На рубеже веков его работа была полностью признана в качестве основы для теории функций, анализа и топологии. Кроме того, книги Кантора Георга послужили толчком для дальнейшего развития интуитивистских и формалистических школ логических основ математики. Это существенно изменило систему преподавания и часто ассоциируется с «новой математикой».
В 1911 г. Кантор был в числе приглашенных на празднование 500-летия Сент-Эндрюсского университета в Шотландии. Он отправился туда в надежде встретиться с который в своей недавно опубликованной работе Principia Mathematica неоднократно ссылался на немецкого математика, но этого не произошло. Университет присвоил Кантору почетную степень, но из-за болезни он не смог принять награду лично.
Кантор вышел на пенсию в 1913 г., жил в бедности и во время Первой мировой войны голодал. Торжества в честь его 70-летия в 1915 г. были отменены по причине войны, но небольшая церемония состоялась у него дома. Он умер 06.01.1918 г. в Галле, в психиатрической лечебнице, где провел последние годы своей жизни.
Георг Кантор: биография. Семья
9 августа 1874 г. немецкий математик женился на Валли Гутман. У супругов родилось 4 сына и 2 дочери. Последний ребенок родился в 1886 г. в приобретенном Кантором новом доме. Содержать семью ему помогло наследство отца. На состоянии здоровья Кантора сильно отразилась смерть его младшего сына в 1899 г. - с тех пор его не покидала депрессия.
История
Наивная теория множеств
Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия .
В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879-1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen» ). Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» - который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано . При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre ).
Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер , полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее - дело рук человеческих»). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре . Тем не менее, другие крупные математики - в частности, Готлоб Фреге , Рихард Дедекинд и Давид Гильберт - поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла , топологии и функционального анализа .
Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с бесконечными множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной (см. Кризис математических основ). А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий : оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний , может быть «доказано» абсолютно любое утверждение).
Аксиоматическая теория множеств
Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза , или же её отрицание.
В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC - теория Цермело - Френкеля с аксиомой выбора . Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более - о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.
Не всеми математиками аксиома выбора принимается безоговорочно. Так, например Эмиль Борель и Анри Лебег считают, что доказательства, полученные при помощи этой аксиомы, имеют другую познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё. Другие же математики, такие как Феликс Хаусдорф и Адольф Френкель, принимают аксиому выбора безоговорочно, признавая за ней ту же степень очевидности, что и за другими аксиомами Цермело - Френкеля.
Основные понятия
В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как - «x есть элемент множества A», «x принадлежит множеству A»). Среди производных понятий наиболее важны следующие:
- пустое множество , обычно обозначается символом ;
- семейство множеств;
- операции:
Для множеств определены следующие бинарные отношения :
- править] Расширения
Основная статья: Теория комплектов
Теория комплектов - естественное расширение (обобщение) теории множеств. Подобно множеству, комплект - набор элементов из некоторой области. Отличие от множества: комплекты допускают присутствие нескольких экземпляров одного и того же элемента (элемент входит от нуль раз, то есть, не входит в комплект, до любого заданного числа раз) . (см. например, Мультисочетания).
Приложения
См. также
Примечания
Литература
- К. Куратовский , А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. - М .: Мир, 1970. - 416 с.
- Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
- А. Френкель, И. Бар-Хиллел Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина . - М .: Мир, 1966. - 556 с.
- править] Расширения
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Теория множеств" в других словарях:
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ, раздел математики, начало которому было положено работами Джорджа БУЛЯ в области математической логики, но в настоящее время больше связанный с изучением МНОЖЕСТВ абстрактных или реальных объектов, а не с логическими… … Научно-технический энциклопедический словарь
теория множеств - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN set theory … Справочник технического переводчика
Теория, в к рой изучаются множества (классы) элементов произвольной природы. Созданная прежде всего трудами Кантора (а также Р. Дедекинда и К. Вейерштрасса), Т. м. к концу 19 в. стала основой построения сложившихся к тому времени математич.… … Философская энциклопедия
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ - раздел математики, исследующий общие свойства множеств. Множеством называется любое объединение в одно целое некоторых определенных и различных между собой объектов нашего восприятия или мысли. В Т. м. изучаются общие свойства различных операций… … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике
- … Википедия
- … Википедия
