>> Закон радиоактивного распада. Период полураспада
§ 101 ЗАКОН РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА. ПЕРИОД ПОЛУРАСПАДА
Радиоактивный распад подчиняется статистическому закону. Резерфорд , исследуя превращения радиоактивных веществ, установил опытным путем, что их активность убывает с течением времени. Об этом говорилось в предыдущем параграфе. Так, активность радона убывает в 2 раза уже через 1 мин. Активность таких элементов, как уран, торий и радий, тоже убывает со временем, но гораздо медленнее. Для каждого радиоактивного вещества существует определенный интервал времени, на протяжении которого активность убывает в 2 раза. Этот интервал носит название период полураспада. Период полураспада Т - это время, в течение которого распадается половина начального числа радиоактивных атомов.
Спад активности, т. е. числа распадов в секунду, в зависимости от времени для одного из радиоактивных препаратов изображен на рисунке 13.8. Период полураспада этого вещества равен 5 сут.
Выведем теперь математическую форму закона радиоактивного распада. Пусть число радиоактивных атомов в начальный момент времени (t= 0) равно N 0 . Тогда по истечении периода полураспада это число будет равно
Спустя еще один такой же интервал времени это число станет равным:
В результате всех видов радиоактивных превращений количество ядер данного изотопа постепенно уменьшается. Убывание количества распадающихся ядер происходит по экспоненте и записывается в следующем виде:
N=N 0 е – t , (10)
где N 0 – количество ядер радионуклида в момент начала отсчета времени (t=0); - постоянная распада, которая для различных радионуклидов разная;N – количество ядер радионуклида спустя времяt ; е – основание натурального логарифма (е = 2,713….). Это и есть основной закон радиоактивного распада.
Вывод формулы (10). Естественный радиоактивный распад ядер протекает самопроизвольно, без всякого воздействия извне. Этот процесс статистический, и для отдельно взятого ядра можно лишь указать вероятность распада за определенное время. Поэтому скорость распада можно характеризовать временемt. Пусть имеется числоN атомов радионуклида. Тогда, число распадающихся атомовdN за времяdt пропорционально числу атомовN и промежутку времениdt:
Знак минус показывает, что число N исходных атомов уменьшается во времени. Экспериментально показано, что свойства ядер со временем не меняются. Отсюда следует, чтоlесть величина постоянная и носит название – постоянная распада. Из (11) следует, чтоl= –dN/N=const, приdt= 1, т.е. постояннаяlравна вероятности распада одного радионуклида за единицу времени.
В уравнении (11) поделим правую и левую части на N и проинтегрируем:
dN/N = – l dt (12)
(13)
ln N/N 0 = – λt и N = N 0 е – λt , (14)
где N 0 есть начальное число распадающихся атомов (N 0 приt=0).
Формула (14) имеет два недостатка. Для определения числа распадающихся ядер необходимо знать N 0 . Прибора для его определения не существует. Второй недостаток – хотя постоянная распадаλ имеется в таблицах, но прямой информации о скорости распада она не несет.
Чтобы избавиться от величины λ вводится понятиепериод полураспада Т (иногда в литературе обозначается Т 1/2). Периодом полураспада называется промежуток времени, в течение которого исходное число радиоактивных ядер уменьшается вдвое, а число распадающихся ядер за времяТ остается постоянным (λ=const).
В уравнении (10) правую и левую часть поделим на N , и приведем к виду:
N 0 /N = е t (15)
Полагая, что N 0 / N = 2, приt = T , получимln 2 = Т , откуда:
ln 2 = 0,693 = 0,693/ T (16)
Подставив выражение (16) в (10) получим:
N = N 0 е –0.693t/T (17)
На графике (рис.2.) показана зависимость числа распадающихся атомов от времени распада. Теоретически кривая экспонента никогда не может слиться с осью абсцисс, но на практике можно считать, что примерно через 10–20 периодов полураспада радиоактивное вещество распадается полностью.
Для того, чтобы избавиться от величин NиN 0, пользуются следующим свойством явления радиоактивности. Есть приборы, которые регистрируют каждый распад. Очевидно, что можно определить количество распадов за определенный промежуток времени. Это есть не что иное, как скорость распада радионуклида, которую можно назвать активностью: чем больше распадается за одно и тоже время ядер, тем больше активность.
Итак, активность – это физическая величина, характеризующая число радиоактивных распадов в единицу времени:
А = dN / dt (18)
Исходя из определения активности, следует, что она характеризует скорость ядерных переходов в единицу времени. С другой стороны, количество ядерных переходов зависит от постоянной распада l . Можно показать, что:
A = A 0 е –0,693t/T (19)
Вывод формулы (19). Активность радионуклида характеризует число распадов в единицу времени (в секунду) и равна производной по времени от уравнения (14):
А = d N/ dt = l N 0 е –- t = l N (20)
Соответственно начальная активность в момент времени t = 0 равна:
А o = l N o (21)
Исходя из уравнения (20) и с учетом (21), получим:
А = А o е – t илиА = А 0 е – 0,693 t / T (22)
Единицей активности в системе СИ принят 1 распад/с=1 Бк (назван Беккерелем в честь французского ученого (1852–1908 г), открывшего в 1896 году естественную радиоактивность солей урана). Используют также кратные единицы: 1 ГБк=10 9 Бк – гигабеккерель, 1 МБк=10 6 Бк – мегабеккерель, 1 кБк=10 3 Бк – килобеккерель и др.
Существует и внесистемная единица Кюри, которая изымается из употребления согласно ГОСТ 8.417-81 и РД 50-454-84. Однако на практике и в литературе она используется. За1Кu принята активность 1г радия.
1Кu = 3,7 10 10 Бк; 1Бк = 2,7 10 –11 Ки (23)
Используют также кратную единицу мегакюри 1Мки=110 6 Ки и дольные – милликюри, 1мКи=10 –3 Ки; микрокюри, 1мкКи=10 –6 Ки.
Радиоактивные вещества могут находиться в различном агрегатном состоянии, в том числе аэрозольном, взвешенном состоянии в жидкости или в воздухе. Поэтому в дозиметрической практике часто используют величину удельной, поверхностной или объемной активности или концентрации радиоактивных веществ в воздухе, жидкости и в почве.
Удельную, объемную и поверхностную активность можно записать соответственно в виде:
А m = А/m; А v = А/v; А s = A/s (24)
где: m – масса вещества;v – объем вещества;s – площадь поверхности вещества.
Очевидно, что:
А m = A / m = A / s r h = А s / r h = A v / r (25)
где: r – плотность почвы, принимается в Республике Беларусь равной 1000кг/м 3 ;h – корнеобитаемый слой почвы, принимается равным 0,2м;s – площадь радиоактивного заражения, м 2 . Тогда:
А m = 5 10 –3 А s ; А m = 10 –3 A v (26)
А m может быть выражена в Бк/кг или Кu/кг;A s может быть выражена в Бк/м 2 ,Кu/ м 2 , Кu/км 2 ;A v может быть выражена в Бк/м 3 или Кu/м 3 .
На практике могут быть использованы как укрупненные, так и дробные единицы измерения. Например: Кu/ км 2 , Бк/см 2 , Бк/г и др.
В нормах радиационной безопасности НРБ-2000 дополнительно введены еще несколько единиц активности, которыми удобно пользоваться при решении задач радиационной безопасности.
Активность минимально значимая (МЗА) – активность открытого источника ионизирующего излучения в помещении или на рабочем месте, при превышении которой требуется разрешение органов санитарно-эпидемиологической службы Министерства здравоохранения на использование этих источников, если при этом также превышено значение минимально значимой удельной активности.
Активность минимально значимая удельная (МЗУА) – удельная активность открытого источника ионизирующего излучения в помещении или на рабочем месте, при превышении которой требуется разрешение органов санитарно-эпидемиологической службы Министерства здравоохранения на использование этого источника, если при этом также превышено значение минимально значимой активности.
Активность эквивалентная равновесная (ЭРОА) дочерних продуктов изотопов радона 222 Rn и 220 Rn – взвешенная сумма объемных активностей короткоживущих дочерних продуктов изотопов радона – 218 Ро (RaA ); 214 Pb (RaB ); 212 Pb (ThB ); 212 В i (ThC ) соответственно:
(ЭРОА) Rn = 0,10 А RaA + 0,52 А RaB + 0,38 А RaC ;
(ЭРОА) Th = 0,91 А ThB + 0,09 А ThC ,
где А – объемные активности дочерних продуктов изотопов радона и тория.
Радиоактивный распад атомных ядер происходит самопроизвольно и приводит к непрерывному уменьшению числа атомов исходного радиоактивного изотопа и накоплению атомов продукта распада.
Скорость, с которой распадаются радионуклиды, определяется только степенью нестабильности их ядер и не зависит от любых факторов, обычно влияющих на скорость физических и химических процессов (давления, температуры, химической формы вещества и др.). Распад каждого отдельного атома - событие совершенно случайное, вероятностное и независимое от поведения других ядер. Однако при наличии в системе достаточно большого числа радиоактивных атомов проявляется общая закономерность, состоящая в том, что количество атомов данного радиоактивного изотопа, распадающихся в единицу времени, всегда составляет определенную, характерную для данного изотопа долю от полного числа еще не распавшихся атомов. Число атомов ДУУ, претерпевших распад за малый промежуток времени Д/, пропорционально общему числу нераспавшихся радиоактивных атомов УУ и величине интервала ДЛ Этот закон математически может быть представлен в виде соотношения:
-AN = X ? N ? Д/.
Знак минус указывает, что число радиоактивных атомов N убывает. Коэффициент пропорциональности X носит название постоянной распада и является константой, характерной для данного радиоактивного изотопа. Закон радиоактивного распада обычно записывают в виде дифференциального уравнения:
Итак, закон радиоактивного распада может быть сформулирован следующим образом: за единицу времени распадается всегда одна и та же часть имеющихся в наличии ядер радиоактивного вещества.
Постоянная распада X имеет размерность обратного времени (1/с или с -1). Чем больше X, тем быстрее происходит распад радиоактивных атомов, т.е. X характеризует относительную скорость распада для каждого радиоактивного изотопа или вероятность распада атомного ядра в 1 с. Постоянная распада - это доля атомов, распадающихся в единицу времени, показатель нестабильности радионуклида.
Величина-- абсолютная скорость радиоактивного распада -
называется активностью. Активность радионуклида (А) - это количество распадов атомов, происходящих в единицу времени. Она зависит от количества радиоактивных атомов в данный момент времени (И) и от степени их нестабильности:
А=Ы ( X.
Единицей измерения активности в СИ является беккерель (Бк); 1 Бк - активность, при которой происходит одно ядерное превращение в секунду, независимо от типа распада. Иногда используется внесистемная единица измерения активности - кюри (Ки): 1Ки = = 3,7-10 10 Бк (количество распадов атомов в 1 г 226 Яа за 1 с).
Поскольку активность зависит от числа радиоактивных атомов, то эта величина служит количественной мерой содержания радионуклидов в изучаемом образце.
На практике удобнее пользоваться интегральной формой закона радиоактивного распада, которая имеет следующий вид:
где УУ 0 - число радиоактивных атомов в начальный момент времени / = 0; - число радиоактивных атомов, оставшихся к моменту
времени /; X - постоянная распада.
Для характеристики радиоактивного распада часто вместо постоянной распада X используют другую величин, производную от нее - период полураспада. Период полураспада (Т ]/2) - это промежуток времени, в течение которого распадается половина начального количества радиоактивных атомов.
Подставляя в закон радиоактивного распада значения Г = Т 1/2 и И ( = Аф/2, получаем:
УУ 0 /2 = # 0 е~ хт ог-
1 /2 = е~ хт "/ 2 -, а е хт "/ 2 = 2 или ХТ 1/2 = 1п2.
Период полураспада и постоянная распада связаны следующим соотношением:
Т х/2 =1п2 А = 0,693 /X.
Используя эту зависимость, закон радиоактивного распада можно представить в другом виде:
ТУ, = УУ 0 е Апг, " т т
N = И 0 ? е-°’ т - { / т 02.
Из этой формулы следует, что чем больше период полураспада, тем медленнее происходит радиоактивный распад. Периоды полураспада характеризуют степень стабильности радиоактивного ядра и для разных изотопов меняются в широких пределах - от долей секунды до миллиардов лет (см. приложения). В зависимости от периода полураспада радионуклиды условно делятся на долгоживущие и короткоживущие.
Период полураспада, наряду с типом распада и энергией излучения, является важнейшей характеристикой любого радионуклида.
На рис. 3.12 изображена кривая распада радиоактивного изотопа. По горизонтальной оси отложено время (в периодах полураспада), а по вертикальной оси - число радиоактивных атомов (или активность, так как она пропорциональна количеству радиоактивных атомов).
Кривая является экспонентой и асимптотически приближается к оси времени, никогда не пересекая ее. Через промежуток времени, равный одному периоду полураспада (Г 1/2) количество радиоактивных атомов уменьшается в 2 раза, через два периода полураспада (2Г 1/2) количество оставшихся атомов вновь уменьшается в два раза, т.е. в 4 раза от начального их числа, через 3 7" 1/2 - в 8 раз, через
4Г 1/2 - в 16 раз, через т периодов полураспада Г ]/2 - в 2 т раз.
Теоретически совокупность атомов с нестабильными ядрами будет уменьшаться до бесконечности. Однако с практической точки зрения следует обозначить некий предел, когда условно все радиоактивные нуклиды распались. Считается, что для этого необходим отрезок времени протяженностью 107^ , 2 , по истечении которого от исходного количества останется менее 0,1 % радиоактивных атомов. Таким образом, если принимать во внимание только физический распад, для полного очищения биосферы от 90 Бг (= 29 лет) и |37 Сз (Т|/ 2 = 30 лет) чернобыльского происхождения потребуется соответственно 290 и 300 лет.
Радиоактивное равновесие. Если при распаде радиоактивного изотопа (материнского) образуется новый радиоактивный изотоп (дочерний), то говорят, что они генетически связаны между собой и образуют радиоактивное семейство (ряд).
Рассмотрим случай генетически связанных радионуклидов, из которых материнский - долгоживущий, а дочерний - короткожи-вущий. Примером может служить стронций 90 5г, превращающийся путем (3-распада (Т /2 = 64 ч) и превращается в стабильный нуклид цирконий ^Ъх (см. рис. 3.7). Поскольку 90 У распадается намного быстрее, чем 90 5г, то через некоторое время наступит момент, когда количество распадающегося 90 8г в любой момент будет равно количеству распадающегося 90 У. Другими словами, активность материнского 90 8г (Д,) будет равна активности дочернего 90 У (Л 2). Когда это происходит, считается, что 90 У находится в вековом равновесии с его материнским радионуклидом 90 8г. В этом случае выполняется соотношение:
А 1 =Л 2 или Х 1 ? = Х 2 ? УУ 2 или: Г 1/2(1) = УУ 2: Г 1/2(2) .
Из приведенного выше соотношения вытекает, что чем больше вероятность распада радионуклида (к) и, соответственно, меньше период полураспада (Т ]/2), тем меньше содержится его атомов в смеси двух изотопов (АО-
Для установления такого равновесия требуется время, равное примерно 7Т ]/2
дочернего радионуклида. В условиях векового равновесия суммарная активность смеси нуклидов вдвое больше активности материнского нуклида в данный момент времени. Например, если в начальный момент времени препарат содержит только 90 8г, то спустя 7Т /2
самого долгоживущего члена семейства (кроме родоначальника ряда), устанавливается вековое равновесие, и скорости распада всех членов радиоактивного семейства становятся одинаковыми. Учитывая, что периоды полураспада для каждого члена семейства различны, различны и относительные количества (в том числе и массовые) находящихся в равновесии нуклидов. Чем меньше Т }
