Задача нахождения производной от заданной функции является одной из основных в курсе математики старшей школы и в высших учебных заведениях. Невозможно полноценно исследовать функцию, построить ее график без взятия ее производной. Производную функции легко можно найти, зная основные правила дифференцирования, а также таблицу производных основных функций. Давайте разберемся, как найти производную функции.
Производной функции называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Понять это определение достаточно сложно, так как понятие предела в полной мере не изучается в школе. Но для того, чтобы находить производные различных функций, понимать определение не обязательно, оставим его специалистам математикам и перейдем сразу к нахождению производной.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием. При дифференцировании функции мы будем получать новую функцию.
Для их обозначения будем использовать латинские буквы f, g и др.
Существует много всевозможных обозначений производных. Мы будем использовать штрих. Например запись g" означает, что мы будем находить производную функции g.
Таблица производных
Для того чтобы дать ответ на вопрос как найти производную, необходимо привести таблицу производных основных функций. Для вычисления производных элементарных функций не обязательно производить сложные вычисления. Достаточно просто посмотреть ее значение в таблице производных.
- (sin x)"=cos x
- (cos x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Пример 1. Найдите производную функции y=500.
Мы видим, что это константа. По таблице производных известно, что производная константы, равна нулю (формула 1).
Пример 2. Найдите производную функции y=x 100 .
Это степенная функция в показателе которой 100 и чтобы найти ее производную нужно умножить функцию на показатель и понизить на 1 (формула 3).
(x 100)"=100 x 99
Пример 3. Найдите производную функции y=5 x
Это показательная функция, вычислим ее производную по формуле 4.
Пример 4. Найдите производную функции y= log 4 x
Производную логарифма найдем по формуле 7.
(log 4 x)"=1/x ln 4
Правила дифференцирования
Давайте теперь разберемся, как находить производную функции, если ее нет в таблице. Большинство исследуемых функций, не являются элементарными, а представляют собой комбинации элементарных функций с помощью простейших операций (сложение, вычитание, умножение, деление, а также умножение на число). Для нахождения их производных необходимо знать правила дифференцирования. Далее буквами f и g обозначены функции, а С - константа.
1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной
Пример 5. Найдите производную функции y= 6*x 8
Выносим постоянный коэффициент 6 и дифференцируем только x 4 . Это степенная функция, производную которой находим по формуле 3 таблицы производных.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Производная суммы равна сумме производных
(f + g)"=f" + g"
Пример 6. Найдите производную функции y= x 100 +sin x
Функция представляет собой сумму двух функций, производные которых мы можем найти по таблице. Так как (x 100)"=100 x 99 и (sin x)"=cos x. Производная суммы будет равна сумме данных производных:
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x
3. Производная разности равна разности производных
(f – g)"=f" – g"
Пример 7. Найдите производную функции y= x 100 – cos x
Эта функция представляет собой разность двух функции, производные которых мы также можем найти по таблице. Тогда производная разности равна разности производных и не забудем поменять знак, так как (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
Пример 8. Найдите производную функции y=e x +tg x– x 2 .
В этой функции есть и сумма и разность, найдем производные от каждого слагаемого:
(e x)"=e x , (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Тогда производная исходной функции равна:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Производная произведения
(f * g)"=f" * g + f * g"
Пример 9. Найдите производную функции y= cos x *e x
Для этого сначала найдем производного каждого множителя (cos x)"=–sin x и (e x)"=e x . Теперь подставим все в формулу произведения. Производную первой функции умножим на вторую и прибавим произведение первой функции на производную второй.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Производная частного
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
Пример 10. Найдите производную функции y= x 50 /sin x
Чтобы найти производную частного, сначала найдем производную числителя и знаменателя отдельно: (x 50)"=50 x 49 и (sin x)"= cos x. Подставив в формулу производной частного получим:
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Производная сложной функции
Сложная функция - это функция, представленная композицией нескольких функций. Для нахождения производной сложной функции также существует правило:
(u (v))"=u"(v)*v"
Давайте разберемся как находить производную такой функции. Пусть y= u(v(x)) - сложная функция. Функцию u назовем внешней, а v - внутренней.
Например:
y=sin (x 3) - сложная функция.
Тогда y=sin(t) - внешняя функция
t=x 3 - внутренняя.
Давайте попробуем вычислить производную этой функции. По формуле необходимо перемножить производные внутренней и внешней функции.
(sin t)"=cos (t) - производная внешней функции (где t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - производная внутренней функции
Тогда (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 - производная сложной функции.
В преддверии поступления в российские высшие учебные заведения, многих будущих студентов интересует вопрос — до какого числа подавать документы в ВУЗ.
Существует четкий график сроков подачи документов в ВУЗы, прописанный в правилах поступления, разработанные Минобрнауки РФ.
Сроки подачи документов на бюджетные места по программе бакалавриат и специалитет
Основная часть абитуриентов, выбирающих программы бакалавриата или специалитета смогут начать своё поступление с 20 июня . Аттестаты о среднем образовании выпускники школ получат лишь 24–25 июня, так что в действительности 20 июнямало кто понесёт документы в приемную комиссию ВУЗа. Основной поток выпускников отправится на подачу документов только после выпускного вечера, т. е. после 25-26-го июня.
Для абитуриентов, поступающих только на общих основаниях (по проходным баллам ЕГЭ, без вступительных профильных экзаменов ВУЗа), последний срок подачи документов - 26 июля .
Поступающие на факультеты, где предусмотрены дополнительные творческие испытания, к примеру, «журналистика», «актёрское мастерство», «история искусств», дизайн» и т. д. , сроки подачи документов укорачивается с 20 июня по 7 июля . Творческие испытания во всех вузах проходят в одни и те же сроки — примерно с 11 по 26 июля . Точную информацию узнавайте на сайте конкретного ВУЗа. Бывает так, что творческие испытания в двух выбранных вузах выпали на один день. Не стоит пугаться, для этого есть резервные дни.
Некоторые российские ВУЗы (к примеру, МГУ и МГИМО) проводят свои профильные экзамены. В этом году список учебных заведений, которые практикуют дополнительные испытания, может расшириться.
Когда вы подаете документы, не стоит сразу нести в приемную комиссию оригиналы документов. На данном этапе в них нет никакой необходимости, и на результаты зачисления они никак не повлияют. Оригинальные документы понадобятся после того, как вы окажетесь в списках зачисления.
Сроки зачисления: до какого числа подавать документы в ВУЗ
Правилами поступления в ВУЗы предусмотрено две волны зачисления на бакалавриат и специалитет.
- Первая волна зачисления предусматривает 80% заполнения бюджетных мест. Для того чтобы попасть в неё, документы и заявление о согласии на зачисление нужно принести до 1 августа . Приказ о зачислении первой волны, как правило, бывает сформирован уже 3 августа и находится в свободном доступе.
- Вторая волна зачисления заполняет оставшиеся 20% бюджетных мест. Согласие на зачисление и документы нужно отнести в приемную комиссию до 6 августа . Приказ о зачислении появляется 8 августа.
Сроки подачи документов в магистратуру (бюджетные места)
Магистратура - это следующая ступень высшего образования. После бакалавриата студент имеет право претендовать на бюджетное место в ВУЗе. Окончание программы специалитета такую возможность, к сожалению, не предусматривает.
Сроки подачи лучше уточнить в выбранном ВУЗе, так как в каждом учебном заведении они свои, но в любом случае, подать документы нужно будет не позже 10 августа .
Поступление в магистратуру всегда происходит на конкурсной основе. Вступительные испытания у каждого ВУЗа индивидуальные, поэтому уточняйте информацию на сайтах учебного заведения. Всю информацию для поступающих в магистратуру вузы обязаны предоставить до 1 июня .
Примерно в 20-х числах августа уже будут приказы о зачислении. Надо учесть, что бюджетных мест в магистратуру предоставляется очень мало. И если не удастся попасть в список счастливчиков на бюджет, то у вас останется возможность поступить на контрактной основе (на платное обучение). Бакалавры, получившие на руки российские дипломы о высшем образовании, могут попробовать поступить в магистратуру зарубежных ВУЗов.
Сегодня мы узнаем с вами, как подать документы в вуз. С данным процессом рано или поздно придется столкнуться почти каждому школьнику. Во всяком случае, коснется поступление в вуз тех, кому хочется получить высшее образование. Как осуществить данную задумку? Какие возможности есть у всех поступающих в высшие учебные заведения? На что стоит обратить внимание? И какие подводные камни могут ждать современных абитуриентов во время подачи документов на поступление?
Выбираем специальность
Итак, первое, что от вас потребуется - это решить, на какую специальность вы хотите поступить. Принимать данное решение следует еще задолго до выпуска из школы. Так что постарайтесь хорошенько подумать, кем хочется стать в будущем. От этого решения будет зависеть ваша жизнь в дальнейшем.
После того как решение будет принято (обойтись без него никак нельзя), придется перейти к следующему этапу. Не менее сложному, чем выбор специальности. И без него нельзя ответить в полной мере на вопрос о том, как подать документы в вуз. О чем идет речь?
Университет
Следующий этап - это выбор учебного заведения, куда вы будете подавать документы. Тоже немаловажный момент, который требует от вас серьезных решений. Изучите все возможные варианты, предлагающие выбранную специальность для обучения, желательно изучить отзывы о том или ином вузе.
После того как вы определитесь, нужно посмотреть на такой пункт, как экзамены, которые нужно сдавать. И там же вы увидите проходной балл. И для поступления на контрактную основу, и для бюджетного обучения.
Как подать документы в вуз? Для этого нужно сначала выбрать специальность и университет, а также ознакомиться с информацией об экзаменах. Здесь же вы сможете узнать, есть ли какие-то дополнительные конкурсы и вступительные испытания (на некоторых они действительно имеют место). Готовы? Теперь, когда сведения получены, можно отправляться на сдачу нужных предметов, получать те или иные "очки", которые после сформируются в проходной балл и дадут вам возможность обучения. Но это еще не все.
Условия
Поступление в вуз - дело ответственное. И если вы решили получать высшее образование, придется познакомиться с процессом поближе. Есть огромное множество нюансов, способных обременить поступление. На что стоит обратить внимание в первую очередь?
Например, на то, во сколько вузов можно подавать документы одновременно. Некоторые склонны полагать, что только в один. Это вовсе не так. Да, правила приема новых абитуриентов меняются из года в год. Но пока что они остаются аналогичными 2015 году. Современный школьник имеет право на подачу документов одновременно в 6 вузов. И не более того.
Также стоит учесть, что работать с вами будет приемная комиссия. Важный момент здесь - это то, что только абитуриент самостоятельно имеет право на подачу документов в высшее учебное заведение. Никаких родителей (почему-то именно они приходят со своими детьми в приемную комиссию, а также пытаются подать "бумаги" за самих поступающих). Это запрещено.
В обязательном порядке вы должны будете в установленные университетом сроки подать документы (в полном объеме) на обучение по той или иной специальности. Приемная комиссия заберет у вас все то, что вы оставите, а также будет оповещать о рейтинге поступающих. Именно здесь пригодятся ваши набранные по экзаменам баллы.
Сбор документов
Вот и начался прием документов в вузы. Обычно этот процесс начинается не позднее 20 июня и заканчивается приблизительно 25 июля. То есть на сбор и подачу у вас будет чуть больше месяца. Что теперь от вас потребуется?
Первым делом, чтобы ответить на вопрос о том, как подать документы в вуз, подготовьте ваши результаты ЕГЭ. В зависимости от того, сколько баллов вы набрали, вас смогут зачислить на контрактную или бюджетную основу. Только выяснится это лишь в конце отбора абитуриентов. Нужны только оригиналы свидетельств ЕГЭ.
Далее - аттестат. То есть документы о вашем образовании. На практике чаще всего это либо аттестат об окончании средней школы (11 классов), либо диплом о получении средне-специального образования ранее. Нужны и копии, и оригиналы. Чаще всего ксерокопии можно и не делать вовсе. Подробную информацию следует получить конкретно в вашем вузе - везде установлены свои правила.
Следующий документ, который поможет осуществить вашу мечту (поступление в вуз) - это удостоверение личности. Проще говоря, гражданский паспорт и его копия. Без данного документа вам вполне могут отказать в приеме документов.
Не забудьте фотографии. Их нужно 6 штук, формата 3 на 4. Сообщите в фотосалоне, что вам необходимо сделать фотографии для поступления в вуз. И там вам быстро их выдадут. Старые снимки не принимаются. Они должны быть не старше 1 года.
Заявление - последнее, что от вас потребуется. Оно составляется непосредственно в вузе, в приемной комиссии. Там указываются сведения о вас, данные ЕГЭ, а также выбранные вами направления для поступления.
Если было предусмотрено дополнительное испытание, принесите соответствующий документ для его прохождения. К примеру, фотографии (для обучения на фотографа), собственные рисунки на ту или иную тематику и так далее. В общем, портфолио. Иногда оно способно помочь "попасть" на бюджетное обучение. Если вы льготник - приложите "бумаги", подтверждающие ваши особые права.
Медкомиссия
Не торопитесь радоваться. Поступление в вуз и подготовка к данному процессу начинается еще задолго до того, как вы собрали полный перечень документов. Еще один важный момент, который остался без внимания - это представление в приемную комиссию справки формы 086-У.
Что это такое? Подтверждение состояния вашего здоровья. Как правило, получается после прохождения огромного списка врачей. И организуется проверка здоровья обычно массово, непосредственно в школе. Так что, у абитуриентов не будет никаких проблем с получением справки 086-У. Главное - не забыть представить ее в приемную комиссию.
Для прошлых лет
Иногда у поступающих могут возникнуть некоторые проблемы с данным процессом. Почему? Потому что у них уже не действительны результаты ЕГЭ. Как подать документы в вуз, если вы являетесь выпускником прошлых лет?
Для таких абитуриентов предусмотрены особые правила. Вы должны будете сдать нужные экзамены непосредственно во время приема документов. В определенный день (для каждого предмета он свой) приходите в вуз, куда поступаете, сдаете ЕГЭ, получаете результат. И его уже предъявляете непосредственно в высшее учебное заведение. Ничего сложного.
Основная проблема здесь - это вообще сдать экзамен. Нередко даже минимальный балл по предметам не удается получить. Таким образом, поступление выпускников прошлых лет несколько затруднено.
Рейтинги и волны
Нужно обратить внимание, что после окончания приема документов в вузах начинается непосредственное зачисление абитуриентов. Оно проиходит "в две волны". Первая, как правило, заканчивается 30 июля. Здесь все желающие получить высшее образование проходят на ту или иную специальность по общему конкурсу. Правда, зачастую речь идет только о приеме на бюджет.
Вторая волна "добирает" из оставшихся абитуриентов на основании набранных баллов по ЕГЭ тех, кто будет обучаться на бюджете. А после зачисляет кандидатов (из тех, кто остался) в определенном количестве на контрактное обучение. Обычно во время второй волны можно подать документы на поступление (если вы ранее не успели). Этот этап обычно начинается 4 августа.
Отсеивание
Нередко абитуриенты предпочитают подавать "бумаги" на обучение в несколько вузов сразу. Этого права у вас никто не может отобрать. Разумеется, куда-то уйдут оригиналы, а где-то у вас примут копии собранного пакета. Не пренебрегайте рейтингом поступающих - если имеете высокие баллы по ЕГЭ, скорее всего, нужно будет определиться, где именно вам хочется учиться.
Почему? Если к моменту окончания "первой волны" вы не принесете в "преимущественный" университет оригиналы документов, вас отсеют. И даже если вы могли пройти на бюджет, этого не произойдет. Для подачи оригиналов у вас останется еще "вторая волна". Будьте внимательны и не медлите со своими решениями. Теперь понятно, как подать документы в вуз и к чему готовиться.
