Правило деления десятичных дробей на натуральные числа.
Четыре одинаковых игрушки в сумме стоят 921 рубль 20 копеек. Сколько стоит одна игрушка (см. Рис. 1)?
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Решение
Для нахождения стоимости одной игрушки необходимо разделить данную сумму на четыре. Переведём сумму в копейки:
Ответ: стоимость одной игрушки 23030 копеек, то есть 230 рублей 30 копеек, или 230,3 рубля.
Можно решить данную задачу не переводя рубли в копейки, то есть разделить десятичную дробь на натуральное число: .
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, нужно делить дробь на это число, как делят натуральные числа, и поставить в частном запятую тогда, когда закончится деление целой части.
Делим в столбик так, как делят натуральные числа. После того как сносим цифру 2 (число десятых - первая цифра после запятой в записи делимого 921,20), в частном ставим запятую и продолжаем деление:
Ответ: 230,3 рубля.
Делим в столбик так, как делят натуральные числа. После того как сносим цифру 6 (число десятых - цифра после запятой в записи делимого 437,6), в частном ставим запятую и продолжаем деление:
Если делимое меньше делителя, то частное будет начинаться с нуля.
1 на 19 не делится, поэтому в частном ставим ноль. Деление целой части окончено, в частном ставим запятую. Сносим 7. 17 на 19 не делится, в частном пишем ноль. Сносим 6 и продолжаем деление:
Делим так, как делят натуральные числа. В частном поставим запятую сразу, как снесем 8 - первую цифру после запятой в делимом 74,8. Продолжаем деление дальше. При вычитании получаем 8, но деление не окончено. Мы знаем, что в конце десятичной дроби можно приписывать нули - от этого значение дроби не изменится. Приписываем ноль и делим 80 на 10. Получаем 8 - деление окончено.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.
На данном уроке мы научились делить десятичную дробь на натуральное число. Мы рассмотрели вариант с обычным натуральным числом, а также вариант, при котором происходит деление на разрядную единицу (10, 100, 1000 и т. д.).
Решите уравнения:
Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное. То есть .
Делим в столбик. После того как сносим цифру 4 (число десятых - первая цифра после запятой в записи делимого 134,4), в частном ставим запятую и продолжаем деление:
Деление на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число.
Правило деления числа на десятичную дробь
Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо и в делимом, и в делителе запятую перенести на столько цифр вправо, сколько их в делителе после запятой. После этого выполнить деление на натуральное число.
Примеры.
Выполнить деление на десятичную дробь:
Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно и в делимом, и в делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, то есть, на один знак. Получаем: 35,1: 1,8 =351: 18. Теперь выполняем деление уголком. В итоге получаем: 35,1: 1,8 = 19,5.
2) 14,76: 3,6
Чтобы выполнить деление десятичных дробей, и в делимом, и в делителе переносим запятую вправо на один знак: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Теперь выполняемна натуральное число. Результат: 14,76: 3,6 = 4,1.
Чтобы выполнить деление на десятичную дробь натурального числа, надо и в делимом, и в делителе перенести на столько знаков вправо, сколько их в делителе после запятой. Поскольку в делителе в этом случае запятая не пишется, недостающее количество знаков заполняем нулями: 70: 1,75 = 7000: 175. Делим уголком полученные натуральные числа: 70: 1,75 = 7000: 175 =40.
4) 0,1218: 0,058
Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, переносим запятую вправо и в делимом, и в делителе на столько знаков, сколько их в делителе после запятой, то есть на три знака. Таким образом, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Деление на десятичную дробь заменили делением на натуральное число. Делим уголком. Имеем: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.
5) 0,0456: 3,8
Вы знаете, что разделить натуральное число a на натуральное число b − значит найти такое натуральное число c, которое при умножении на b дает число a. Это утверждение остается верным, если хотя бы одно из чисел a, b, c является десятичной дробью.
Рассмотрим несколько примеров, в которых делителем является натуральное число.
1,2 : 4 = 0,3 , так как 0,3 * 4 = 1,2 ;
2,5 : 5 = 0,5 , так как 0,5 * 5 = 2,5 ;
1 : 2 = 0,5 , так как 0,5 * 2 = 1 .
А как быть в тех случаях, когда деление не удается выполнить устно?
Например, как разделить 43,52 на 17 ?
Увеличив делимое 43,52 в 100 раз, получим число 4 352 . Тогда значение выражения 4 352 : 17 в 100 раз больше значения выражения 43,52 : 17 . Выполнив деление уголком, вы легко установите, что 4 352 : 17 = 256 . Здесь делимое увеличено в 100 раз. Значит, 43,52 : 17 = 2,56 . Заметим, что 2,56 * 17 = 43,52 , что подтверждает правильность выполнения деления.
Частное 2,56 можно получит иначе. Будем делить 4352 на 17 уголком, не обращая внимания на запятую. При этом запятую в частном следует поставить непосредственно перед тем, как будет использована первая цифра после запятой в делимом:
Если делимое меньше делителя, то целая часть частного равна нулю. Например:
Рассмотрим еще один пример. Найдем частное 3,1 : 5 . Имеем:
Мы остановили процесс деления, потому что цифры делимого закончились, а в остатке нуль не получили. Вы знаете, что десятичная дробь не изменится, если к ней справа приписать любое количество нулей. Тогда становится понятным, что цифры делимого закончиться не могут. Имеем:
Теперь мы можем находить частное двух натуральных чисел, когда делимое не делится нацело на делитель. Например, найдем частное 31 : 5 . Очевидно, что число 31 не делится нацело на 5 :
Мы остановили процесс деления, потому что цифры делимого закончились. Однао если представить делимое в виде десятичной дроби, то деление можно продолжить.
Имеем: 31 : 5 = 31,0 : 5 . Далее выполним деление уголком:
Следовательно, 31 : 5 = 6,2 .
В предыдущем параграфе мы выяснили, что если запятую перенести вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры, то дробь увеличится соответственно в 10, 100, 1 000 и т. д. раз, а если запятую перенести влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры, то дробь уменьшится соответственно в 10, 100, 1 000 и т. д. раз.
Поэтому в тех случаях, когда делитель равен 10, 100, 1 000 и т. д., пользуются следующим правилом.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1 000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т. д. цифры .
Например: 4,23 : 10 = 0,423 ; 2 : 100 = 0,02 ; 58,63 : 1 000 = 0,05863 .
Итак, мы научились делить десятичную дробь на натуральное число.
Покажем, как деление на десятичную дробь можно свести к делению на натуральное число.
$\frac{2}{5} км = 400 м$
,$\frac{20}{50} км = 400 м$
,$\frac{200}{500} км = 400 м$
.Получаем, что
$\frac{2}{5} = \frac{20}{50} = \frac{200}{500}$
Т.е. 2 : 5 = 20 : 50 = 200 : 500 .
Этот пример иллюстрирует следующее: если делимое и делитель увеличить одновременно в 10, 100, 1 000 и т.д. раз, то частное не изменится .
Найдем частное 43,52 : 1,7 .
Увеличим одновременно делимое и делитель в 10 раз. Имеем:
43,52 : 1,7 = 435,2 : 17 .
Увеличим одновременно делимое и делитель в 10 раз. Имеем: 43,52 : 1,7 = 25,6 .
Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную надо:
1 ) перенести в делимом и в делителе запятые вправо на столько цифр, сколько их содержится после запятой в делителе;
2 ) выполнить деление на натуральное число .
Пример 1 . Ваня собрал 140 кг яблок и груш, из них 0,24 составляли груши. Сколько килограммов груш собрал Ваня?
Решение. Имеем:
$0,24=\frac{24}{100}$
.1 ) 140 : 100 = 1,4 (кг) − составляет
Яблок и груш.
2 ) 1,4 * 24 = 33,6 (кг) − груш было собрано.
Ответ: 33,6 кг.
Пример 2 . На завтрак Винни−Пух съел 0,7 бочонка меда. Сколько килограммов меда было в бочонке, если Винни−Пух съел 4,2 кг?
Решение. Имеем:
$0,7=\frac{7}{10}$
.1 ) 4,2 : 7 = 0,6 (кг) − составляет
Всего меда.
2 ) 0,6 * 10 = 6 (кг) −меда было в бочонке.
Ответ: 6 кг.
Запишем правило и рассмотрим его применение на примерах.
При делении десятичной дроби на натуральное число:
1) делим, не обращая внимания на запятую;
2) когда заканчивается деление целой части, в частном ставим запятую.
Если целая часть меньше делителя, то целая часть частного равна нулю.
Примеры деления десятичных дробей на натуральные числа.
Делим, не обращая внимания на запятую, то есть 348 делим на 6. При делении 34 на 6 берём по 5. 5∙6=30, 34-30=4, то есть остаток равен 4.
Отличие деления десятичной дроби на натуральное число от деления целых чисел только в том, что, когда деление целой части закончилось, в частном ставим запятую. То есть при переходе через запятую, прежде чем снести к остатку от деления целой части, 4, число 8 из дробной части, в частном пишем запятую.
Сносим 8. 48:6=8. В частное пишем 8.
Итак, 34,8:6=5,8.
Так как 5 на 12 не делится, в частном пишем нуль. Деление целой части окончено, в частном ставим запятую.
Сносим 1. При делении 51 на 12 берём по 4. В остатке — 3.
Сносим 6. 36:12=3.
Таким образом, 5,16:12=0,43.
3) 0,646:38=?
В целой части делимого стоит нуль. Так как нуль на 38 не делится, в частном ставим 0. Деление целой части окончено, в частном пишем запятую.
Сносим 6. Так как 6 на 38 не делится, в частном пишем ещё один нуль.
Сносим 4. При делении 64 на 38 берём по 1. В остатке — 26.
Сносим 6. 266:38=7.
Итак, 0,646:38=0,017.
4) 14917,5:325=?
При делении 1491 на 325 берём по 4. В остатке получаем 191. Сносим 7. При делении 1917 на 325 берём по 5. Остаток — 292.
Поскольку деление целой части закончено, в частном пишем запятую.
Каждой части.
Решение. Чтобы решить задачу, выразим длину ленты в дециметрах: 19,2 м = 192 дм. Но 192: 8 = 24. Значит, длина каждой части равна 24 дм,
то есть 2,4 м. Если умножить 2,4 на 8, получим 19,2. Значит, 2,4 является частным от деления 19,2 на 8.
Пишут: 19,2: 8 = 2,4.
Тот же ответ можно получить, не переводя метры в дециметры . Для этого надо разделить 19,2 на 8, не обращая внимания на запятую, и поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части:
Разделить десятичную дробь на натуральное число - значит найти такую дробь, которая при умножении на это натуральное число дает делимое.
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;
2) поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части;
Если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых:
Разделим 96,1 на 10. Если частное умножить на 10, должно получиться снова 96,1.
Другими словами, с помощью деления обращают обыкновенную дробь в десятичную.
Пример.
Обратим дробь в десятичную.
Решение. Дробь является частным от деления 3 на 4. Деля 3 на 4, получаем десятичную дробь 0,75. Значит, = 0,75.
Что значит разделить десятичную дробь на натуральное число?
Как делят десятичную дробь на натуральное число?
Как разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000?
Как обратить обыкновенную дробь в десятичную?
1340. Выполните деление:
а) 20,7: 9;
б) 243,2: 8;
в) 88,298: 7;
г) 772,8: 12;
д) 93,15: 23;
е) 0,644: 92;
ж) 1: 80;
з) 0,909: 45;
и) 3: 32;
к) 0,01242: 69;
л) 1,016: 8;
м) 7,368: 24.
1341. В самолет для полярной экспедиции загрузили 3 трактора, массой 1,2 т каждый, и 7 аэросаней. Масса всех аэросаней на 2 т больше массы тракторов. Какова масса одних аэросаней?
а) 4х - х = 8,7; в) а + а + 8,154 = 32;
б) Зу + bу = 9,6; г) 7k - 4k - 55,2 = 63,12.
1349. В двух корзинах 16,8 кг помидоров. В одной корзине в 2 раза больше помидоров, чем в другой. Сколько килограммов помидоров в каждой корзине?
1350. Площадь первого поля в 5 раз больше площади второго. Чему равна площадь каждого поля, если площадь
второго на 23,2 га меньше площади первого?
1351. Для приготовления компота составили смесь из 8 частей (по массе) сухих яблок, 4 частей урюка и 3 частей изюма. Сколько килограммов каждого из сухофруктов понадобилось для 2,7 кг такой смеси?
1352. В двух мешках 1,28 ц муки. В первом мешке на 0,12 ц муки больше, чем во втором. Сколько центнеров муки в каждом мешке?
1353. В двух корзинах 18,6 кг яблок. В первой корзине яблок на 2,4 кг меньше, чем во второй. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?
1354. Представьте в виде десятичной дроби:
1355. Чтобы собрать 100 г меда, пчела доставляет в улей 16 тыс. нош нектара. Какова одной ноши нектара?
1356. В пузырьке 30 г лекарства. Найдите массу одной капли лекарства, если в пузырьке 1500 капель.
1357. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и выполните действия:
1358. Решите уравнение:
а) (х - 5,46) -2 = 9;
б) (у + 0,5) : 2 = 1,57.
1359. Найдите значение выражения:
а) 91,8: (10,56 - 1,56) + 0,704; д) 15,3 -4:9 + 3,2;
б) (61,5 - 5,16) : 30 + 5,05; е) (4,3 + 2,4: 8) 3;
в) 66,24 - 16,24: (3,7 + 4,3); ж) 280,8: 12 - 0,3 24;
г) 28,6 + 11,4: (6,595 + 3,405); з) (17,6 13 - 41,6) : 12.
1360. Вычислите устно:
а) 2,5 - 1,6; б) 1,8 + 2,5; в) 3,4 - 0,2; г) 5 + 0,35;
3,2 - 1,4; 2,7 + 1,6; 2,6 - 0,05; 3,7 + 0,24;
0,47 - 0,27; 0,63 + 0,17; 4,52 - 1,2; 0,46 + 1,8;
0,64-0,15; 0,38 + 0,29; 4-0,8; 0,57 + 3;
0,71 - 0,28; 0,55 + 0,45; 1 - 0,45; 1,64 + 0,36.
а) 0,3 2; г) 2,3 3; ж) 3,7 10; и) 0,18 5;
б) 0,8 3; д) 0,21 4; з) 0,09 6; к) 0,87 0.
в) 1,2 2; е) 1,6 5;
1362. Догадайтесь, каковы корни уравнения:
а) 2,9x = 2,9; в) 3,7x = 37; д) а 3 = а;
б) 5,25x = 0; г) х 2 = х е) m 2 = m 3 .
1363. Как изменится значение выражения 2,5а, если а: увеличить на 1? увеличить на 2? увеличить в 2 раза?
1364. Расскажите, как на координатном луче отметить число: 0,25; 0 5; 0,75. Подумайте, какие из данных чисел равны. Какой дроби со знаменателем 4 равны 0,5? Сложите:
1365. Подумайте, по какому правилу составлен ряд чисел, и запишите еще два числа этого ряда:
а) 1,2; 1,8; 2,4; 3; ... в) 0,9; 1,8; 3,6; 7,2; ...
б) 9,6; 8,9; 8,2; 7,5; ... г) 1,2; 0,7; 2,2; 1,4; 3,2; 2,1; ...
1366. Выполните действия:
а) (37,8 - 19,1) 4; в) (64,37 + 33,21 - 21,56) 14;
б) (14,23 + 13,97) 31; г) (33,56 - 18,29) (13,2 + 24,9 - 38,1).
а) 3,705; 62,8; 0,5 в 10 раз;
б) 2,3578; 0,0068; 0,3 в 100 раз.
1368. Округлите число 82 719,364:
а) до единиц; в) до десятых; д) до тысяч.
б) до сотен; г) до сотых;
1369. Выполните действие:
1370. Сравните:
1371. Коля, Петя, Женя и Сеня взвесились на весах. Получились результаты: 37,7 кг; 42,5 кг; 39,2 кг; 40,8 кг. Найдите массу каждого мальчика, если звестно, что Коля тяжелее Сени и легче Пети, а Женя легче Сени.
1372. Упростите выражение и найдите его значение:
а) 23,9 - 18,55 - mt если т = 1,64;
б) 16,4 + k + 3,8, если k = 2,7.
1373. Решите уравнение:
а) 16,1 - (х - 3,8) = 11,3;
б) 25,34 - (2,7 + у) = 15,34.
1374. Найдите значение выражения:
1) (1070 - 104 040: 2312) 74 + 6489;
2) (38 529 + 205 87) : 427 - 119.
1375. Выполните деление:
а) 53,5: 5; д) 0,7: 25; и) 9,607: 10;
б) 1,75: 7; е) 7,9: 316; к) 14,706: 1000;
в) 0,48: 6; ж) 543,4: 143; л) 0,0142: 100;
г) 13,2: 24; з) 40,005: 127; м) 0,75: 10 000.
1376. Автомашина шла по шоссе 3 ч со скоростью 65,8 км/ч, а затем 5 ч она шла по грунтовой дороге. С какой скоростью она шла по грунтовой дороге, если весь ее путь равен 324,9 км?
1377. На складе было 180,4 т угля. Для отопления школ отпущено этого угля. Сколько тонн угля осталось на складе?
1378. Вспахали поля. Найдите площадь этого поля, если вспахали 32,5 га.
1379. Решите уравнение:
а) 15х = 0,15; е) 8р - 2р - 14,21 = 75,19;
б) 3,08: у = 4; ж) 295,1: (n - 3) = 13;
в) За + 8а = 1,87; з) 34 (m + 1,2) = 61,2;
г) 7z - 3z = 5,12; и) 15 (k - 0,2) = 21.
д) 2t + 5t + 3,18 = 25,3;
1380. Найдите значение выражения:
а) 0,24: 4 + 15,3: 5 + 12,4: 8 + 0,15: 30;
б) (1,24 + 3,56) : 16;
в) 2,28 + 3,72: 12;
г) 3,6 4- 2,4: (11,7 - 3,7).
1381. С трех лугов собрали 19,7 т сена. С первого и второго лугов собрали сена поровну, а с третьего собрали на 1,1 т больше, чем с каждого из первых двух. Сколько сена собрали с каждого луга?
1382. Магазин за 3 дня продал 1240,8 кг сахара. В первый день было продано 543 кг, во второй - в 2 раза больше, чем в третий. Сколько килограммов сахара продано в третий день?
1383. Машина прошла первый участок пути за 3 ч, а второй участок - за 2 ч. Длина обоих участков вместе 267 км. С какой скоростью шла машина на каждом участке, если скорость на втором участке была на 8,5 км/ч больше, чем на первом?
1384. Обратите в десятичные дроби;
1385. Постройте фигуру, равную фигуре, изображенной на рисунке 151.
1386. Из города выехал велосипедист со скоростью 13,4 км/ч. Через 2 ч вслед за ним выехал другой велосипедист, скорость которого 17,4 км/ч. Через
сколько часов после своего выезда второй велосипедист догонит первого?
1387. Катер, двигаясь против течения, за 6 ч прошел 177,6 км. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 2,8 км/ч.
1388. Кран, который подает в минуту 30 л воды, за 5 мин наполнил ванну. Потом кран закрыли и открыли сливное отверстие, через которое вся вода вылилась за б мин. Сколько литров воды выливалось за 1 мин?
1389. Решите уравнение:
а) 26 (х + 427) = 15 756; в) 22 374: (k - 125) = 1243;
б) 101 (351 + у) = 65 549; г) 38 007: (4223 - t) = 9.
Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений
Видео по математикескачать , домашнее задание, учителям и школьникам на помощь
