До сих пор в курсе рассматривались случайные величины, каждое значение которых определяется одним числом. Такие случайные величины иногда называют одномерными.

Кроме одномерных случайных величин существуют случайные величины, значения которых определяются парой чисел. Такие случайные величины называют двумерными и обозначаются Двумерную случайную величину можно рассматривать, как систему двух случайных величин и , каждую из которых при этом называют составляющей двумерной случайной величины.

Рассмотрим сначала случай, когда случайные величины и , составляющие двумерную случайную величину, является дискретными.

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, то есть пар () и их вероятностей .

Закон распределения показан в таблице 4.2.1:

Таблица 4.2.1

			…
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
			…

Запишем условие нормировки закона распределения двумерной случайной величины. Учитывая, что события при условии ; образуют полную группу несовместных событий, получим, что . Практически это означает, что сумма вероятностей, содержащихся во всех клетках таблицы 4.2.1, составляет 1.

Поставим задачу определения законов распределения составляющих и на основе двумерного закона распределения. Рассмотрим вероятность . Событие можно представить как сумму несовместных событий ,…. Поэтому:

Что означает, что равна сумме элементов соответствующей -ой строки таблицы 4.1.

Используя аналогичные рассуждения, получим:

То есть вероятность равна сумме элементов соответствующего j-го столбца таблицы 1.1

Пример 4.2.1. Найти законы распределений составляющих двумерной случайной величины, заданной законом распределения:

Таблица 4.2.2

	0,2	0,3	0,5
	0,3	0,2	0,5
	0,5	0,5

Решение:

Вероятности, определяющие закон распределения составляющей , представлены в крайнем правом столбце таблицы 4.2.2

Аналогично вычисляется закон распределения составляющей (нижняя строка таблицы 4.2.2).

Определим понятие независимости двух случайных величин и . Ранее независимость двух случайных величин определялась как независимость распределения одной случайной величины от значения, которое принимает другая случайная величина.

Для дискретных независимых случайных величин события и - независимые события для всех возможных значений и . Поэтому, две дискретные случайные величины независимы, если для всех возможных значений и :

Например, случайные величины и , закон распределения которых приведен в таблице 4.2.3, независимы.

Таблица 4.2.3

	0,08	0,12	0,2
	0,24	0,42	0,8
	0,4	0,6

Рассмотрим две случайные величины , и оценим степень зависимости между этими случайными величинами. Существуют два крайних случая: с одной стороны, случайные величины могут быть независимыми, с другой стороны зависимость между двумя случайными величинами может быть функциональной, то есть по значению одной случайной величины можно однозначно определить значение другой случайной величины. Обычно, для произвольных случайных величин степень зависимости занимает некое промежуточное между перечисленными случаями значение.

Например, если - оценка, полученная студентом на экзамене по некоторому предмету, а - число лекций, которые он посетил, то случайные величины и . имеют некоторую зависимость.

Поставим задачу оценки зависимости (или степени связи) двух случайных величин и . Рассмотрим центральный смешанный момент двух случайных величин и :

Называемый коэффициентом ковариации, или коэффициентом связи, двух случайных величин.

Заметим, что формула для коэффициента ковариации может быть преобразована к более простому виду: . Применим этот коэффициент для оценки связи двух случайных величин. Однако величина зависит от единиц измерения случайных величин и , и поэтому сама по себе не может служить оценкой связи случайных величин и .

Рассмотрим стандартные случайные величины ; , где , , , . Данные случайные величины представляют собой нормированные отклонения, записанные для исходных случайных величин.

а величина называется коэффициентом корреляции пары случайных величин.

Пример 4.2.2. Найти коэффициент корреляции для случайных величин, заданных таблицей 4.2.2.

Решение:

Воспользуемся для вычисления коэффициента корреляции формулой: . Учитывая, что распределения составляющих и вычислены, получим:

Используя коэффициент ковариации можно записать формулу для дисперсии суммы (разности) произвольных случайных величин и :

Записывая последнюю формулу для стандартных величин и и учитывая, что дисперсия случайной величины не может быть отрицательной, получим: .случайная величина имеет тенденцию к увеличению. В этом случае прямая , аппроксимирующая зависимость между двумя случайными величинами, имеет положительный угловой коэффициент (а >0).

Пара (X , Y ) – где X и Y – случайные величины, называется системой двух случайных величин . Если X и Y – дискретные случайные величины, то законом распределения системы двух случайных величин (X , Y ) является множество всех пар возможных значений величин X и Y и вероятностей их совместного появления. Такой закон удобно задавать в виде таблицы, которая носит название таблицы распределения двумерной случайной величины (X , Y ).

События, состоящие в том, что случайная величина Х примет значение (i = 1, 2, …, n ), а случайная величина Y примет значение (j = 1, 2, …, m ), несовместны и единственно возможны, т.е. образуют полную группу попарно несовместных событий, поэтому сумма всех вероятностей таблицы равна единице: .

Y	X
x 1	x 2	…	x n
y 1	P (x 1 , y 1)	P (x 2 , y 2)	…	P (x n , y 1)
…	…	…	…	…
y m	P (x 1 , y m )	P (x 2 , y m )	…	P (x n , y m )

По закону распределения двумерной случайной величины (X , Y ) можно найти законы распределения каждой случайной величины X и Y . Для того, чтобы найти вероятность Х примет значение , надо просуммировать вероятности столбца : . Аналогично, для того, чтобы найти вероятность того, что случайная величина Y примет значение , надо просуммировать вероятности строки : .

Вероятность - это вероятность того, что случайная величина Х примет значение , а случайная величина Y примет значение . Эту вероятность по теореме умножения вероятностей можно записать в виде: . Из этого равенства можно получить формулы:

, .

Функцией распределения системы двух случайных величин (X , Y ) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств Х < х , Y < y :

Y и вычисляемое по формуле:

.

x , называют функцией регрессии Y на X .

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Х при называется число, обозначаемое и вычисляемое по формуле:

.

Функцию , как функцию аргумента y , называют функцией регрессии X на Y .

Корреляционным моментом (или ковариацией ) случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий:

Корреляционный момент можно найти по формуле:

Для независимых случайных величин X и Y .

Для дискретных случайных величин X и Y корреляционный момент равен:

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется безразмерная величина:

,

Где , .

Свойства коэффициента корреляции

1. Коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление корреляционной связи.

3. Если Х и Y - независимые случайные величины, то коэффициент корреляции равен 0.

4. Если , то между величинами Х и Y имеет место функциональная зависимость, а именно, линейная. Отсюда следует, что коэффициент корреляции измеряет тесноту линейной связи между величинами Х и Y .

5. Если , то связь между величинами прямая (положительная корреляция), т.е. при увеличении значений одного признака значения другого признака увеличиваются. Если , то связь обратная (отрицательная корреляция), т.е. при увеличении значений одного признака значения другого признака уменьшаются.

6. Если , то корреляционная связь очень слабая;

если , то корреляционная связь слабая;

если

если , то корреляционная связь умеренная;

если , то корреляционная связь тесная или сильная.

Две случайные величины называются коррелированными , если их коэффициент корреляции отличен от нуля, и некоррелированными, если он равен нулю.

При рассмотрении двумерной случайной величины (X , Y ), где X и Y – зависимые случайные величины, используются различные приближения одной случайной величины с помощью другой. Важнейшим из них является линейное приближение.

Представим случайную величину Y в виде линейной функции величины Х :

,

где α и β – параметры, подлежащие определению. Если числа a и b подобраны так, что величина будет наименьшей, то числовая функция называется линейной средней квадратической регрессией Y на X . Нахождение такой прямой называют наилучшим приближением Y по методу наименьших квадратов. Коэффициент a называется коэффициентом регрессии Y на X . Известно, что

, .

Уравнение с учетом предыдущих формул можно записать в виде:

.

Аналогично, уравнение называется линейной средней квадратической регрессией X на Y записывается в виде:

,

где , .

Задача. Система дискретных случайных величин задана таблицей:

X
Y

1) корреляционный момент;

2) коэффициент корреляции;

3) функцию линейной регрессии Y на X ;

4) функцию линейной регрессии X на Y .

Решение. 1) Корреляционный момент находится по формуле .

; ;

2) По формуле .

P +p

E − λ

E − λ e λ = 1.

p k=

−λ

На рисунке 3.6 показаны графики функции

от k )

значений

параметра

λ = 0,5 (сплошная линия), 1

(пунктир) и 2 (штрих-

пунктир). Каждый график представляет собой дискрет-

ный ряд точек; для большей наглядности точки соедине-

ны последовательно ломаной линией (так называемый

многоугольник распределения).

Одна из причин, обусловливающих важную роль

Рис . 3.6

пуассоновского распределения для практики, заключает-

ся в его тесной связи с биномиальным распределением. Напомним (§ 2.5), что если в формуле Бернулли

P n (k )= C n k p k (1− p )n − k

мы зафиксируем значение k и станем устремлять число опытовп к бесконечности, а вероятностьр – к нулю, притом так, чтобы их произведение оставалось равным постоянному числуλ (np = λ ) , то будем иметь:

Соотношение (3.17) показывает, что при описанном выше предельном переходе таблица (3.15) биномиального распределения переходит в таблицу (3.16) распределения Пуассона. Таким образом, распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения при указанных выше условиях. Заметим, что с этим свойством распределения Пуассона – выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события – связано часто применяемое для него название:закон редких явлений .

§ 3.5. Системы дискретных случайных величин

До сих пор мы рассматривали случайные величины изолированно друг от друга, не касаясь вопроса об их взаимоотношениях. Однако в практических задачах часто встречаются ситуации, когда те или иные случайные величины приходится изучать совместно . В таких случаях говорят осистеме нескольких случайных величин. Более точно: случайные величины образуют систему, если они определены на одном и том же пространстве элементарных событийΩ .

Систему двух случайных величин (X ,Y ) можно истолковывать как случайную точку на плоскости, систему трех случайных величин (X ,Y ,Z ) – как случайную точку в трехмерном пространстве. Мы ограничимся в основном двумерным случаем.

Интуитивный подход к понятию системы двух случайных величин связан с представлением об опыте, результатом которого является пара чисел X ,Y . Поскольку исход опыта мыслится как случайное событие, то предсказать заранее значения чиселX иY невозможно (при повторении опыта они меняются непредвиденным образом). Приведем несколько примеров.

Пример 3.7. Дважды бросается игральная кость. Обозначим черезX число очков при первом бросании, черезY – число очков во втором. Пара (X ,Y ) будет системой двух случайных величин.

Пример 3.8. Из некоторой аудитории наугад выбирается один студент;X – его рост (скажем, в сантиметрах),Y – вес (в килограммах).

Пример 3.9. В данном сельскохозяйственном районе выбирается произвольно участок посева пшеницы площадью 1 га;X – количество внесенных на этом участке удобрений,Y – урожай, полученный с участка.

Пример 3.10. Сравниваются письменные работы по математике и русскому языку;X – оценка за работу по математике,Y – за работу по русскому языку.

Список подобных примеров легко продолжить.

§ 3.6. Независимые дискретные случайные величины

1 ° . Общие замечания . Примеры . При рассмотрении системы двух случайных величин (X ,Y ) необходимо иметь в виду, что свойства системы не всегда исчерпываются свойствами самих величинX иY . Иначе говоря, если мы знаемвсе о величинеX ивсе о величинеY , то это еще не значит, что мы знаемвсе о системе (X ,Y ). Дело в том, что между величинамиX иY может существовать зависимость, и без учета этой зависимости нельзя построить закон распределения системы (X ,Y ).

Зависимость между случайными величинами в реальных условиях может быть различной. В некоторых случаях она оказывается столь сильной, что, зная, какое значение приняла величина X , можно в точности указать значениеY . Применяя традиционную терминологию, можно сказать, что в этих случаях зависимость междуX иY функциональная (впрочем, понятие функции от случайной величины еще нуждается в уточнениях, последние будут даны в § 3.7). С примерами такой зависимости мы постоянно встречаемся в природе и технике.

В то же время можно указать и примеры другого рода – когда зависимость между случайными величинами существует, но не носит строго выраженного функционального характера. Подобные примеры особенно характерны для таких областей науки и практики, как агротехника, биология, медицина, экономика и т. д., где развитие явлений, как правило, зависит от многих трудно поддающихся учету факторов. Известно, например, что обилие осадков в период созревания пшеницы приводит к повышению урожайности; однако это еще не означает, что связь между количеством X осадков и урожайностьюY (скажем, в расчете на 1 га) является функциональной; кроме осадков на урожайность оказывают влияние и другие факторы: тип почвы, количество внесенных удобрений, число солнечных дней и т. д. В подобных случаях, когда изменение одной величины влияет на другую лишь статистически,в среднем , принято говорить овероятностной связи между величинами. Не приводя пока точных определений, рассмотрим несколько примеров. Они иллюстрируют разные степени зависимости между случайными величинами – от сильной, почти функциональной зависимости до практической независимости.

Пример 3.11. ПустьX – рост наугад выбранного взрослого человека (скажем, в сантиметрах), аY – его вес (в килограммах). Зависимость между ростом и весом является весьма сильной, в первом приближении ее можно даже считать функциональной. Формула, приближенно выражающая эту зависимость, пишется обычно:

Y (кг) =X (см) – 100.

Пример 3.12. X – высота выбранного наугад дерева в лесу,Y – диаметр его основания. И здесь зависимость следует признать сильной, хотя и не в такой степени, как в предыдущем примере.

Пример 3.13. Из груды камней неправильной формы выбирают наугад один камень. ПустьX – его масса, аY – наибольшая длина. Зависимость междуX иY носит сугубо вероятностный характер.

Пример 3.14. X – рост выбранного наугад взрослого человека,Y – его возраст. Наблюдения показывают, что эти величины практически независимы.

2 ° . Определение независимости случайных величин. Оставим пока в стороне вопрос о том,

какими числами можно выразить степень зависимости между величинами X иY . Ограничимся строгим определениемнезависимости случайных величин.

Определение . Пусть задана система(X, Y). Мы скажем, что величины X и Yнезависимы , если

независимы события X А и Y В, где А и В– любые два отрезка[ a1 , a2 ] и[ b1 , b2 ].

Иными словами выполняется равенство

где x i – любое возможное значение величиныX , аy j – любое возможное значение величиныY . Действительно, из (3.18) очевидным образом следует (3.19). Проверим, что и обратно, из (3.19)

следует (3.18).

Пусть система (X ,Y ) характеризуется таблицей

	р 11	р 12
	р 21	р 22

Положим A = [ a 1 ,a 2 ] ,B = [ b 1 ,b 2 ] . Тогда

p ij = P (X = x i )P (Y = y j ) (i ,j = 1, 2, ...) (написанное равенство и есть как раз условие (3.19)). Отсюда

P(X A, Y B) =								∑ p ij=		∑ P(X= xi ) P(Y= yj ) =
				{ i, j				xi A, yj B} { i, j		xi A, yj B}
= ∑ P (X =x i )				∑ P(Y= yj ) = P(X A) P(Y B) ,
		xi A}				y j B}

т.е. величины X иY независимы.

§ 3.7. Функция от случайной величины. Действия над случайными величинами

Пусть X – случайная величина. Часто возникает необходимость в рассмотрении случайных величинY вида:

Y = g(X) ,

где g (x ) – заданная числовая функция. Какой смысл вкладывается в запись (3.20), т. е. в понятие

функции от случайной величины?

Предположим, что в результате опыта наступило событие

X = x

т. е. величина X приняла значениех . Тогда,по определению , мы считаем, что в данном опыте величинаY приняла значениеg (x ). Ясно, что длядискретной случайной величины такое соглашение вполне определяет новую случайную величинуY . Что касаетсянепрерывной случайной величины, то справедливо следующее утверждение.

Предложение 3.1. Если g(x) непрерывная функция, то соотношение(3.20) определяет случайную величину Y.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Мы воспользуемся условием (3.2), эквивалентным определению случайной величины. Тем самым нам надо проверить, что для любого открытого множестваU на числовой прямой множество элементарных событий, для которых

Но по определению (3.2) множество элементарных событий, определенного условием (3.22), является событием. Поэтому и условие (3.21) определяет событие, что и требовалось доказать.

Для любой функции (3.20) случайная величина

Y = g(X) ,

подобно X , имеет свой закон распределения. Каков этот закон? Ограничимся рассмотрением того случая, когда случайная величинаX – дискретного типа. Пусть закон распределенияX задан таблицей (3.11). По определению, закон распределения случайной величиныY задается таблицей (3.23), в кото-

рой первую строку (3.11) мы заменили на соответствующие значения функции g (x ), оставив без изменения вторую строку.

		g(x1 )	g(x2 )

Если среди значений Y имеются равные, то надо объединить соответствующие столбцы в один столбец, сложив соответствующие вероятности.

Пример 3.15. Пусть случайная величинаX задана законом распределения:

Найти закон распределения случайной величины Y =X 2 .

Р е ш е н и е . Для того чтобы найти закон распределенияY =X 2 , возведем все значения в квадрат и получим следующую таблицу

Очень часто для случайных величин X иY , образующих систему, приходится рассматривать их сумму и произведение. Поскольку закон распределения таких и подобных им операций над случайными величинами определяется аналогичным образом, будем считать, что мы рассматриваем случайную величину

Z =g (X ,Y ),

где g (x ,y ) – некоторая числовая функция.

Итак, пусть система (X ,Y ) характеризуется таблицей
		р 11	р 12
		р 21	р 22

смысл которой читателю известен. Величина

Z = g(X, Y)

также будет дискретной. Ее возможными значениями будут числа z 11 = g (x 1 ,y 1 ),z 12 = g (x 1 ,y 2 ), ... .

Разберем два случая.

1. Все числа z ij различны. Тогда событиеZ =z ij , т.е.

g (X ,Y )= z ij ,

наступает только тогда, когда одновременно наступают события X = x i иY = y j , следовательно, его вероятность будет равна

P(X= xi , Y= yj ) = pij . 1 ,Y = y 2 ) и(X = x 3 ,Y = y 5 ) ,

следовательно, его вероятность будет

р 12+ р 35.

Подводя итог, можно сказать, что закон распределения величины g (X ,Y ) будет выражаться

таблицей (3.25), в которой столбцы с одинаковыми значениями z ij следует объединить в один, сложив стоящие в них вероятностиp ij .

Пример 3.16. Пусть закон распределения системы случайных величин (X ,Y ) задается таблицей. Найти закон распределения их произведения.

Р е ш е н и е . Числаz ij в данном случае будут

z 11= − 2 z 12= − 4 z 13= − 6

z 21= − 1 z 22= − 2 z 23= − 3

z 31= 0 z 32= 0 z 33= 0 .

Поэтому "предварительный" закон распределения для X Y будет

а окончательный

Понятие о системе случайных величин

Функция распределения системы двух случайных величин

1. Определение

   Свойства функции распределения системы случайных величин

Плотность распределения системы двух случайных величин

1. Определение

   Геометрическая и «механическая» интерпретация плотности распределения системы двух случайных величин

   Свойства плотности распределения системы

Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения

1. Определения

   Теорема умножения законов распределения

Зависимые и независимые случайные величины

1. Определение независимых случайных величин

Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

1. Эквивалентно ли понятие некоррелированности случайных величин понятию независимости?

Система произвольного числа случайных величин

Понятие функции распределения системыn случайных величин

Определение плотности распределения системыn непрерывныхслучайных величин

Числовые характеристики системы нескольких случайных величин

1. Понятие о системе случайных величин

В практических применениях теории вероятностей очень часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более случайными величинами, образующими комплекс или систему. Например, точка попадания снаряда определяется не одной случайной величиной, а двумя: абсциссой и ординатой - и может быть рассмотрена как комплекс двух случайных величии. Аналогично точка разрыва дистанционного снаряда определяется комплексом трех случайных величин. При стрельбе группой из выстрелов совокупность точек попадания на плоскости может рассматриваться как комплекс или система случайных величин: абсцисс и ординат точек попадания. Осколок, образовавшийся при разрыве снаряда, характеризуется рядом случайных величин: весом, размерами, начальной скоростью, направлением полета и т. д. Условимся систему нескольких случайных величин обозначать .

Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами, отдельных величин, ее составляющих: помимо этого, они включают также взаимные связи (зависимости) между случайными величинам.

При рассмотрении вопросов, связанных с системами случайных величин, удобно пользоваться геометрической интерпретацией системы. Например, систему двух случайных величин можно изображать, случайной точкой на плоскости с координатами и (рис.1.1). Аналогично система трех случайных величин может быть изображена случайной точкой в трехмерном пространстве. Часто бывает удобно говорить о системе случайных величин как о «случайной точке в пространстве измерений». Несмотря на то, что последняя интерпретация не обладает непосредственной наглядностью, пользование ею дает некоторый выигрыш в смысле общности терминологии и упрощения записей.

Часто вместо образа случайной точки для геометрической интерпретации системы случайных величин пользуются образом случайного вектора. Систему двух случайных величин при этом рассматривают как случайный вектор на плоскости , составляющие которого по осям представляют собой случайные величины (рис.1.2). Система трех случайных величин изображается случайным вектором в трехмерном пространстве, система случайных величин – случайным вектором в пространстве измерений. При этом теория систем случайных чиселрассматривается как теория случайных векторов.

Рис.1.1. Рис.1.2

В данном курсе мы будем в зависимости от удобства наложения пользоваться как одной, так и другой интерпретацией.

Занимаясь системами случайных величин, мы будем рассматривать как полные, исчерпывающие вероятностные характеристики - законы распределения, так и неполные - числовые характеристики.

Изложение начнем с наиболее простого случая системы двух случайных величин.

В статистической радиотехнике частот приходится иметь дело одновременно с несколькими случайными величинами, например, мгновенные значения напряжения на выходах антенной решетки при воздействии на ее вход сигналов и помех и т.д. Свойства системы нескольких СВ не исчерпываются свойствами отдельной СВ, так как при этом необходимо описание связи между составляющими системы СВ.

1. Функции распределения системы из двух случайных величин

Функцией распределения системы из двух СВ

называется вероятность совместного выполнения двух неравенств и : .

По определению, функция распределения

есть вероятность попадания случайной точки с координатами в квадрат с бесконечными размерами, расположенный левее и ниже этой точки на плоскости . Отдельно для каждой СВ X и Y можно определить одномерную функцию распределения, например, есть вероятность попадания в полуплоскость, расположенную левее точки с координатой x . Также и есть вероятность попадания в полуплоскость ниже точки y .

Свойства

: есть неубывающая функция обоих своих аргументов;

2) на - ¥ по обеим осям она равна нулю;

3) при равенстве +¥ одного из аргументов согласно другому аргументу она превращается в одномерную функцию распределения;

4) если оба аргумента равны +¥, то

= 1.

Вероятность попадания случайной точки в квадрат R с координатами

по оси x и по оси y равна . существует как для непрерывных, так и для дискретных СВ.

2. Двумерная плотность вероятности

Двумерная плотность вероятности есть предел следующего отношения:

. не только непрерывна, но и дифференцируема, то двумерная плотность вероятности есть вторая смешанная частная производная функции по x и по y .

Размерность

обратна произведению размерностей СВ X и Y.

Таким образом, двумерная плотность вероятности есть предел отношению вероятности попадания точки в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба размера прямоугольника стремятся к нулю. Геометрически

можно представить как некоторую поверхность.

Если рассечь эту поверхность плоскостью, параллельной плоскости x 0y , и спроецировать полученное сечение на плоскость x 0y , то получится кривая, называемая "кривой равной плотности вероятности".

Иногда удобно рассматривать семейства кривых равной плотности при разных уровнях сечения. Как и для одномерной плотности вероятности, здесь вводится понятие элемента вероятности

.

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область G определяется двумерным интегралом от

по этой области. Геометрически это объем, ограниченный и областью G .

Если G есть прямоугольник с координатами вершин по оси x :

и , а по оси y : и , то вероятность попадания случайной точки в этот прямоугольник определяется интегралом .

Свойства двумерной плотности вероятности:

есть неотрицательная величина;

свойство нормировки аналогично одномерной плотности вероятности, но при двумерном интегрировании в бесконечных пределах.

3. Условные законы распределения отдельных СВ, входящих в систему СВ

Имея закон распределения системы двух СВ, всегда можно определить законы распределения отдельных СВ, входящих в систему. Например,

и . Если известна плотность вероятности , то .

Аналогично определяется

.

Таким образом, зная двумерную плотность вероятности, всегда можно определить одномерную плотность вероятности. Обратную задачу в общем случае решить невозможно. Ее можно решить, если известны условные плотности вероятности или функции распределения.

Условным законом распределения СВ, входящей в систему, называется ее закон распределения, определенный при условии, что другая СВ приняла определенное значение:

. В этом случае можно найти двумерную плотность вероятности по формуле . Из этих выражений следует: , .

4. Статистическая взаимозависимость и независимость

СВ X называется независимой от СВ Y , если закон распределения величины X не зависит от того, какое значение приняла СВ Y. В этом случае

при любом y . Необходимо заметить, что если СВ X не зависит от СВ Y , то и СВ Y не зависит от СВ X . Для независимых СВ теорема умножения законов распределения имеет вид: .

Это условие рассматривается как необходимое и достаточное условие независимости СВ. Различают понятия функциональной и статистической зависимостей. При статистической зависимости нельзя указать точно значение, которое принимает одна из СВ, если известно значение другой, можно лишь определить влияние в среднем. Но по мере увеличения взаимозависимости статистическая зависимость превращается в функциональную.