Эта фигура - один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха , которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».
Первые этапы построения кривой Коха
Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация - просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация - ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.
Основные свойства кривой Коха
1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана - как пример такого рода математических «уродцев».
2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3) n–1 . Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.
3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно - снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний - формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.
Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a
. Тогда его площадь . Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n
-м шаге будет достроено T n = 3 · 4 n–1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3) n . Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна 
. При больших значениях n
это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равенT n · S n = 3/4 · (4/9) n · S 0 . Поэтому после n
-го шага площадь фигуры будет равна сумме S 0 + T 1 · S 1 + T 2 · S 2 + ... +T n · S n = 
. Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n → ∞. Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: 
. Площадь снежинки равна.
4. Фрактальная размерность равна log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Аккуратное вычисление потребует немалых усилий и подробных разъяснений, поэтому здесь приведена, скорее, иллюстрация определения фрактальной размерности. Из формулы степенной зависимости N(δ) ~ (1/δ)D, где N - число пересекающихся квадратиков, δ - их размер, D - размерность, получаем, что D = log 1/δ N. Это равенство верно с точностью до прибавления константы (одной и той же для всех δ ). На рисунках изображена пятая итерация построения кривой Коха, зеленым закрашены квадратики сетки, которые с ней пересекаются. Длина исходного отрезка равна 1, поэтому на левом рисунке длина стороны квадратиков равна 1/9. Закрашено 12 квадратиков, log 9 12 ≈ 1,130929... . Пока не очень похоже на 1,261859... . Смотрим дальше. На среднем рисунке квадратики в два раза меньше, их размеры 1/18, закрашено 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Уже лучше. Справа квадратики еще вдвое меньше, закрашено уже 72 штуки. log 72 30 ≈ 1,193426... . Еще ближе. Дальше нужно увеличивать номер итерации и одновременно уменьшать квадратики, тогда «эмпирическое» значение размерности кривой Коха будет неуклонно приближаться к log 3 4, а в пределе и вовсе совпадет.
Варианты
Снежинка Коха «наоборот»
получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.
Линии Чезаро
. Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.
Квадратный вариант
. Тут достраиваются квадраты.
Трехмерные аналоги
. Пространство Коха.
Фракталы Многие природные объекты и явления имеют не гладкий, а изломанный характер. Среди них листья деревьев, береговая линия, молния и др. Для описания этих объектов не подходят обычные дифференцируемые функции, с которыми имеет дело классический математический анализ. В последние десятилетия возникло и развивается новое направление в математике – фрактальная геометрия. Слово "фрактал" ввел в 1975 г. Б. Мандельброт (от латинского слова "fractus", означающего изломанный, дробный). В 2010 году престижную премию Филдса по математике (аналог Нобелевской премии) получил российский ученый С. Смирнов за открытие новых свойств фракталов. Особенностью фракталов является не только их изломанность, но и самоподобность, означающая, что каждая часть фрактала подобна целому. Свойство самоподобности также отражает особенность природных объектов, когда отдельная клетка растения или животного несет в себе полную информацию обо всем организме. Звезда Коха Один из первых примеров фракталов был придуман еще в начале 20-го века немецким математиком Х. фон Кох (1870-1924) и называется звезда Коха (снежинка Коха). Для ее построения берется равносторонний треугольник и последовательно добавляются к нему новые, подобные ему, треугольники. В результате получаются все более сложные многоугольники, приближающиеся к предельному положению – звезде Коха. Упражнение 1 Найдите площадь звезды Коха, если площадь исходного треугольника равна 1. Решение. На первом шаге построения звезды Коха мы добавляем три равносторонних треугольника, со сторонами в три раза меньшими исходных. Площадь каждого такого треугольника равна 1/9. Следовательно, площадь правильного звездчатого шестиугольника равна 1+3/9=4/3. На следующем шаге добавляется двенадцать треугольников, суммарной площади 12/81. Поскольку длины сторон треугольников на каждом шаге уменьшаются в три раза, то их площадь уменьшается в девять раз. Число добавляемых треугольников равно числу сторон многоугольника и на каждом шаге увеличивается в четыре раза. Поэтому площадь S звезды Коха представляет собой площадь исходного треугольника плюс сумма геометрической прогрессии с начальным членом 3/9 и знаменателем 4/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим S=1+3/5=8/5. Упражнение 2 Найдите длину кривой, ограничивающей звезду Коха, считая стороны исходного треугольника равными 1. Решение. На первом шаге каждая сторона треугольника заменяется на ломаную, состоящую из четырех отрезков длины 1/3. Таким образом, длина ломаной увеличивается в 4/3 раза и равна 4. То же самое происходит на следующих шагах. Каждый раз длина ломаной увеличивается в 4/3 раза. Так как последовательность (4/3)n стремится к бесконечности, то и длина кривой Коха равна бесконечности. Салфетка Еще один вариант звезды Коха можно построить из квадратов, последовательным добавлением к исходному квадрату подобных ему квадратов. Упражнение 3 Найдите площадь салфетки, полученной последовательным добавлением к данному единичному квадрату квадратов со сторонами 1/3, 1/9, и т.д. Ответ: 2. Упражнение 4 Найдите площадь фрактальной фигуры, полученной последовательным добавлением к данному кругу радиуса 1 кругов радиусов ½, ¼, и т.д. Ответ: 5. Ковер Серпинского Еще один пример самоподобной фигуры, придумал польский математик В. Серпинский (1882-1969). Она называется ковром Серпинского и получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. То, что остается после всех вырезаний, и будет искомым ковром Серпинского. Отметим, что поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, то в результате на ковре Серпиского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без дырки. Упражнение 5 Найдите площадь ковра Серпинского, считая стороны исходного квадрата равными 1. Решение. Для нахождения площади квадрата Серпинского достаточно вычислить площадь вырезаемых квадратов. На первом шаге вырезается квадрат площади 1/9. На втором шаге вырезается восемь квадратов, каждый из которых имеет площадь 1/81. На каждом следующем шаге число вырезаемых квадратов увеличивается в восемь раз, а площадь каждого из них уменьшается в девять раз. Таким образом, общая площадь вырезаемых квадратов представляет собой сумму геометрической прогрессии с начальном членом 1/9 и знаменателем 8/9. По формуле суммы геометрической прогрессии находим, что это число равно единице. Следовательно, площадь ковра Серпинского равна нулю. Салфетка Серпинского Начиная не с квадрата, а с правильного треугольника, и вырезая центральные треугольники, получим самоподобную фигуру, аналогичную ковру Серпинского и называемую салфеткой Серпинского. Упражнение 6 Найдите площадь салфетки полученной из правильного площади 1. Ответ: 0. Серпинского, треугольника Кривая Пеано Пример кривой, имеющий фрактальный характер, был получен Д.Пеано (1858-1932) и называется кривой Пеано. Для ее построения разобьем данный квадрат на четыре равные квадрата и соединим их центры тремя отрезками, как показано на рисунке а). Повторяя описанную процедуру, будем получать все более сложные ломаные, приближающиеся к кривой Пеано. Отметим, что ломаные, участвующие в построении кривой Пеано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата. Поэтому кривая Пеано будет проходить через все точки исходного квадрата. Конечно, она будет иметь бесконечную длину. Кривая дракона Интересным примером самоподобной кривой является «кривая дракона», придуманная Э.Хейуэем. Для ее построения возьмем отрезок. Повернем его на 90о вокруг одной из вершин и добавим полученный отрезок к исходному. Повернем полученный угол на 90о вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной. Повторяя описанную процедуру, будем получать все более сложные ломаные, напоминающие дракона. Дерево Пифагора Фрактал 1 Фрактал 2 Фрактал 3 Фрактал 4 Фрактал 5 Фрактал 6 Фрактал 7 Фрактал 8
Тема: Фракталы.
1.Введение. Краткая историческая справка о фракталах. 2.Фракталы – элементы геометрии в природе.
3.Объекты, обладающие фрактальными свойствами, в природе. 4.Определение терминологии «фракталы».
5.Классы фракталов.
6.Описание фрактальных процессов. 7.Процедуры получения фрактальных множеств.
8.1 Ломаная Коха (процедура получения).
8.2 Снежинка Коха (Фрактал Коха).
8.3 Губки Менгера.
9. Примеры применения фракталов.
Введение. Краткая историческая справка о фракталах.
Фракталы – молодой раздел дискретной математики.
В 1904 году швед Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной – кривая Коха.
В 1918 году француз Жюлиа описал целое семейство фракталов.
В 1938 году Пьер Леви опубликовал статью «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому».
В 1982 Бенуа Мандельброта опубликовал книгу «Фрактальная геометрия природы».
С помощью простых конструкций и формул получаются изображения. Появилась «фрактальная живопись».
С 1993 г. Из-во World Scientific издаёт журнал «Фракталы».
Фракталы – элементы геометрии в природе.
Фракталы - средства для описания таких объектов как модели горных хребтов, изрезанной береговой линии, систем кровообращения множества капилляров и сосудов, кроны деревьев, каскадных водопадов, морозные узоры на стекле.
Или такие: лист папоротника, облака, клякса.
Изображения таких предметов можно представить с помощью фрактальной графики.
Объекты, обладающие фрактальными свойствами, в природе.
КораллыМорские звезды и ежиМорские раковины
Цветы и растения (брокколи ,капуста )Плоды (ананас )
Кроны деревьев и листья растений Кровеносная система ибронхи людей и животных В неживой природе:
Границы географических объектов (стран, областей, городов)Береговые линии Горные хребты Снежинки Облака Молнии
Образующиеся на стеклах узорыКристаллы Сталактиты, сталагмиты ,геликтиты .
Определение терминологии «фракталы».
Фракталы - это геометрические фигуры, которые удовлетворяют одному или нескольким из следующих свойств:
Обладает сложной нетривиальной структурой при любом увеличении (на всех масштабах);Является (приближённо) самоподобной.
Обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью или превосходящей топологическую;Может быть построена рекурсивными процедурами.
Для регулярных фигур таких, как окружность ,эллипс ,график гладкой функции небольшой фрагмент в очень крупном масштабе похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, для всех масштабов мы увидим одинаково сложные картины.
Классы фракталов
Фрактал – структура, состоящая из частей (субструктур), подобных целому.
Часть фракталов, как элементов природы, можно отнести к классу геометрических (конструктивных) фракталов.
Остальная часть может быть отнесена к классу динамических фракталов (алгебраических).
Процедуры получения фрактальных множеств.
Это простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых: задают произвольную ломаную с конечным числом звеньев – генератор. Далее, заменяют в ней каждый отрезок генератор. Затем вновь заменяют в ней каждый отрезок генератором и так до бесконечности.
Изображено: деление единичного отрезка на 3 части (а), единичной квадратной площадки на 9 частей (б), единичного куба на 27 частей (в) и на 64 части (г). Число частей n, коэффициент масштабирования - k, а размерность пространства - d. Имеем следующие соотношения: n = kd,
если n = 3, k = 3, то d = 1; если n = 9, k = 3, то d = 2; если n = 27, k = 3, то d = 3.
если n = 4, k = 4, то d = 1; если n = 16, k = 4, то d = 2; если n = 64, k = 4, то d = 3. Размерность пространства выражается целыми числами: d = 1, 2, 3; для n = 64, величина d равна
Показано пять шагов построения ломаной Коха: отрезок единичной длины (а), делится на три части (k = 3), из четырех частей (n = 4) – ломаная (б); каждый прямой отрезок делится на три части (k2 = 9) и из 16 частей (n2 = 16) – ломаная (в); процедура повторяется для k3 = 27 и n3 = 64 – ломаная (г); для k5 = 243 и n5 = 1024 – ломаную (д).
Размерность
Это дробная, или фрактальная размерность.
Ломаная Коха, предложенная Гельгом фон Кохом в 1904 г., выступает в роли фрактала, который подходит для моделирования изрезанности береговой линии. Мандельброт в алгоритм построения береговой линии внес элемент случайности, который, однако, не повлиял на основной вывод в отношении длины береговой линии. Поскольку предел
длина береговой линии за счет бесконечной изрезанности берега стремится к бесконечности.
Процедура сглаживания береговой линии при переходе от более детального масштаба к менее детальному, т.е.
Снежинка Коха (фрактал Коха)
В Качестве основы построения можно брать не отрезки единичной длины, а равносторонний треугольник, на каждую сторону которого распространить процедуру умножения изрезанности. В этом случае получим снежинку Коха (рис.), причем трех видов: вновь образующиеся треугольники направлены только наружу от предыдущего треугольника (а) и (б); только внутрь (в); случайным образом либо наружу, либо внутрь (г) и (д). Как можно задавать процедуру построения фрактала Коха.
Рис. Снежинка Коха
На рис. показаны две векторные диаграммы; числа, стоящие над стрелками, видимо, вызовут вопрос: что бы они значили? Вектор 0 совпадает с положительным направлением оси абсцисс, так как его фазовый множитель exp (i2πl/6) при l = 0 сохраняет его направление. Вектор 1 повернут относительно вектора 0 на угол 2π/6, когда l= 1. Вектор 5 имеет фазовый множитель exp (i2π5/6), l = 5. Последний вектор имеет тот же фазовый множитель, что и первый (l = 0). Целые числа l характеризуют угол фазового множителя единичного вектора.
Первый шаг (рис.), задает рекурсивную процедуру для всех последующих шагов и, в частности, для второго шага (рис.). Как перейти от набора чисел φ1 = {0 1 5 0} к φ2 = {0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0}? Ответ: через прямое перемножение матриц, когда каждый элемент одной матрицы умножается на исходную матрицу. Поскольку в данном случае мы имеем дело с одномерным массивом, т.е. матрицы представляют собой векторы, то здесь производится умножение каждого элемента одной матрицы-вектора на все элементы другой матрицы-вектора. Кроме того, элементы матрицы-вектора φ1 состоят из показательных функций exp (i2πl/6), следовательно,10 при перемножении числа h нужно будет складывать по mod (6), а не умножать.
Эта фигура - один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха , которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».
Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация - просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация - ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.
Основные свойства кривой Коха
1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана - как пример такого рода математических «уродцев».
2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3) n –1 . Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.
3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно - снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний - формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.
Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a
. Тогда его площадь . Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n
-м шаге будет достроено T n
= 3 · 4 n
–1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3) n
. Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна 
. При больших значениях n
это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равен T n
· S n
= 3/4 · (4/9) n
· S
0 . Поэтому после n
-го шага площадь фигуры будет равна сумме S
0 + T
1 · S
1 + T
2 · S
2 + ... +T n
· S n
= 
. Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n
→ ∞. Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: 
. Площадь снежинки равна .
4. Фрактальная размерность равна log4/log3 = log 3 4 ≈ 1,261859... . Аккуратное вычисление потребует немалых усилий и подробных разъяснений, поэтому здесь приведена, скорее, иллюстрация определения фрактальной размерности. Из формулы степенной зависимости N (δ ) ~ (1/δ ) D , где N - число пересекающихся квадратиков, δ - их размер, а D - размерность, получаем, что D = log 1/ δ N . Это равенство верно с точностью до прибавления константы (одной и той же для всех δ ). На рисунках изображена пятая итерация построения кривой Коха, зеленым закрашены квадратики сетки, которые с ней пересекаются. Длина исходного отрезка равна 1, поэтому на верхнем рисунке длина стороны квадратиков равна 1/9. Закрашено 12 квадратиков, log 9 12 ≈ 1,130929... . Пока не очень похоже на 1,261859... . Смотрим дальше. На среднем рисунке квадратики в два раза меньше, их размеры 1/18, закрашено 30. log 18 30 ≈ 1,176733... . Уже лучше. Внизу квадратики еще вдвое меньше, закрашено уже 72 штуки. log 72 30 ≈ 1,193426... . Еще ближе. Дальше нужно увеличивать номер итерации и одновременно уменьшать квадратики, тогда «эмпирическое» значение размерности кривой Коха будет неуклонно приближаться к log 3 4, а в пределе и вовсе совпадет.
Copyright © 2003 by Herman Koch
Published in 2009 by Ambo | Anthos Uitgevers, Amsterdam
All rights reserved
© И. Бассина, перевод, 2016
© Издание на русском языке. ООО «Издательская Группа „Азбука-Аттикус“», 2016
Издательство АЗБУКА®
В молодости я прочел почти всех русских и французских классиков XIX века, но в то же время читал очень много триллеров. Например, на меня повлиял Чехов. Когда я впервые прочел его тексты, то подумал, что именно так я бы и хотел писать свои книги. Однажды я даже взял его рассказ «Палата № 6» и просто перепечатал на машинке только для того, чтобы уяснить для себя его стиль. Мне хотелось разобраться, где он ставит запятые, а где заканчивает предложение. В тот момент он мне казался просто гениальным. Сегодня же, когда я пишу свои романы, иногда немного подражаю Гоголю. Если я прочитываю готовый кусок и он мне не нравится, я его не исправляю, а просто выбрасываю и пишу новый. Подобное занимает больше времени, но для писателя очень полезно.
Герман Кох
Глубокое и лишенное иллюзий понимание человеческой природы роднит Германа Коха с Чеховым… А в умении пощекотать читательские нервы автор не уступает ни Стивену Кингу, ни Стигу Ларссону.
Dagbladet
Кох имеет смелость задаться вопросом глубоким и страшным, находящим в политике лишь одно из воплощений. Так ли современный европеец отличается от своего пещерного предка, готового пожирать представителей соседнего племени на ужин, обед и завтрак? Оказали европейские гуманистические традиции хотя бы какое-то влияние на сознание рядового обывателя? На какие жестокие мерзости в отношении чужих мы готовы пойти ради тех, кого считаем своими?
Известия
Герман Кох сумел открыть новый жанр – крайне остросюжетную историю, выстроенную – нет, не на окровавленных трупах и прочих неотъемлемых признаках криминальных бестселлеров, не на шпионских страстях, не на мировых заговорах… Герман Кох умудрился подергать за другие, не менее отзывчивые струны читательских душ – за струны любви к своим ближним, но подергал их совершенно особенным образом: нервозным, конфликтным, патологическим.
Герман Кох мастерски нагнетает мрачное напряжение, его персонажи пугающе убедительны, а перо – остро, правдиво и беспощадно.
Weekendavisen
У Макса Г. был черный кот, который прыгал вам на голову, стоило только просунуть нос в дверь. Кот был большим и толстым – гораздо тяжелее любого другого кота, которого мне доводилось держать на коленях. Впрочем, его-то я держал на коленях лишь однажды: никогда не забуду холодный пот, выступивший на ладонях и на лбу, когда кот медленно потянулся и положил переднюю лапу мне на колено. Когти ощущались даже через ткань джинсов, но вставать было уже поздно.
– Сиди спокойно, – сказал Макс. – Если сидеть спокойно, он ничего тебе не сделает.
Я только что вернулся с Кюрасао, где принял несколько важных решений. Например, я собирался поменять прежний круг знакомств на новый. Все прежние знакомства продолжались более чем достаточное время. Конечно, я пришел к такому решению в основном из-за удаленности места и того простого факта, что на Кюрасао было нечего – в самом деле, совсем нечего – делать, но в один из тех жарких и томительных послеобеденных часов, когда вентиляторы в баре на Схоттегатской дороге, казалось, постепенно останавливались, до меня вдруг дошло: с прежними знакомствами надо покончить. Как должен выглядеть новый круг друзей, с Кюрасао виделось очень смутно: так выглядит полоска земли на горизонте, показавшаяся из тумана после долгих месяцев, проведенных в открытом море. Новый круг друзей находился еще, так сказать, на стадии эскизов и набросков, но в него непременно вошел бы Макс Г.: это не подлежало никакому сомнению.
Кот у меня на коленях испустил низкий и мрачный рык, который отдался в коленях дрожью, пришедшей, казалось, совсем издалека, – словно в глубине подвала многоэтажного дома запустили отопительный бойлер.
– Он очень славный, – сказал Макс. – Не дергайся. Очень славный кот.
Я не был уверен, надо ли мне погладить кота – вдруг это станет последней каплей, за которой последует all-out attack ? Я представил себе, как он одновременно запускает мне в лицо когти всех четырех лап: два – в самую нежную часть нижней губы, один – в веко, один – в кожу под глазом, а остальные – изо всех сил – в волосы и щеки. Когда я в последней отчаянной попытке сброшу его – яростно шипящий и фырчащий черный клубок бешенства, – клочки моей кожи, губы и веки оторвутся вместе с ним; глазное яблоко будет взрезано и разорвано. С глухим шлепком кот ударится об оклеенную обоями стену, а потом о пол, откуда он, все еще фырча, рыча и царапаясь, снова прыгнет мне на голову, чтобы довершить начатое.
Макс встал. Кроме белых кроссовок, все у него было черным: волосы, рубашка, брюки – как и обои, и дощатый пол его комнаты, и его кот…
– Кис-кис-кис, – позвал он.
Макс частенько играл с котом в такую игру: кот сидел в комнате, на полу, а Макс из коридора просовывал голову в дверь. Максова голова была своего рода приманкой: он медленно двигал ею туда-сюда, и она то убиралась в коридор, то оказывалась в поле зрения кота. Между тем кот сидел на деревянном полу и внимательно следил за движениями головы Макса. Свою голову он попеременно наклонял то влево, то вправо. С виду он казался неподвижным, но сильные удары хвоста по полу показывали, что его сосредоточенность уже ничем не нарушить. Он разглядывал голову Макса, как ребенок на карусели разглядывает кисточку или пучок перьев на веревочке в руках распорядителя: тот поднимает и опускает предмет, разрешая проехать еще один круг.
Кот всегда очень точно выбирал момент: была ведь скрытая логика в том, как голова исчезала и снова показывалась из-за дверного косяка. Расчет был таким же, что и при подкрадывании к птице. Птицу тоже надо ввести в заблуждение: мол, кот лежит на полянке просто так, греясь на солнышке, не интересуется птицей и подползает поближе только затем, чтобы понюхать торчащие из травы маргаритки.
Все заканчивалось тем, что кошачье тело приходило в напряжение: это продолжалось не больше десятой доли секунды и не было заметно для невооруженного глаза. Вот кот сидит на полу, а в следующий момент там, где он только что сидел, образуется пустое место. Появляясь словно ниоткуда, кот внезапно оказывался на уровне глаз или, точнее, в нескольких сантиметрах от головы Макса.
Примерно посреди прыжка раздавалось короткое и грубое фырканье, и это было единственным предупреждением. Весь фокус состоял в том, чтобы быстро отдернуть голову, убрав ее за дверной косяк: тогда кот пролетал мимо, чуть не задев Макса, и шлепался о стену на противоположной стороне коридора. Обычно все заканчивалось хорошо. Но не всегда. С некоторой гордостью Макс показывал мне царапины с подсыхающей кровью на своих предплечьях и пальцах, полученные при защите лица от выпущенных когтей.
Однажды субботним вечером я задержался у Макса так надолго, что остался ночевать. Он положил для меня матрас в гостиной. Плохо помню, что меня тогда настолько воодушевило, но, когда Макс ушел спать, мне захотелось самому устроить игру с головой и дверным косяком; в то время кот, благодаря моим регулярным появлениям, уже немного привык к моему присутствию в доме.
