Гамма-излучение и его свойства

Гамма-излучение представляет собой коротковолновое электромагнитное излучение с чрезвычайно малой длиной волны l < 10 -10 м и вследствие этого – ярко выраженными корпускулярными свойствами, т.е. является потоком частиц – g-квантов, или фотонов, с энергией hn (n – частота излучения, h – постоянная Планка). На шкале электромагнитных волн гамма-излучение граничит с жестким рентгеновским излучением, занимая область более высоких частот.

Экспериментально установлено, что g-излучение не является самостоятельным видом радиоактивности. Оно сопровождает a- и b-распады и также возникает при ядерных реакциях, при торможении заряженных частиц, их распаде и т.п.

Сопровождающее распад радиоактивных ядер, гамма-излучение, испускается при переходах ядра из более возбужденного энергетического состояния в менее возбужденное или в основное. Энергия g-кванта равна разности энергий De состояний, между которыми происходит переход.

Возбужденное состояние

Основное состояние ядра Е1

Испускание ядром g-кванта не ведет к изменению атомного номера или массового числа. Ширина линий гамма-излучения очень мала (~10 -2 эВ). Поскольку расстояние между уровнями во много раз больше ширины линий, спектр гамма-излучения является линейчатым, т.е. состоит из ряда дискретных линий. При помощи исследования спектров гамма-излучения можно установить энергии возбужденных состояний ядер. Гамма-кванты больших энергий испускаются при распадах некоторых элементарных частиц. Так, при распаде покоящегося p 0 - мезона возникает гамма-излучение с энергией ~70 МэВ. Гамма-излучение при распаде элементарных частиц также обладает линейчатым спектром. Однако распадающиеся элементарные частицы очень часто движутся со скоростями, равными, примерно, скорости света, вследствие чего возникает доплеровское уширение спектральных линий и спектр гамма-излучения оказывается размытым в широком интервале энергий. Возникающее при прохождении быстрых заряженных частиц через вещество, гамма-излучение вызывается их торможением в кулоновском поле атомных ядер вещества. Тормозное гамма-излучение, также как и тормозное рентгеновское излучение, характеризуется сплошным спектром, верхняя граница которого совпадает с энергией заряженной частицы, например электрона. В ускорителях заряженных частиц получают тормозное гамма-излучение с максимальной энергией, достигающей несколько десятков ГэВ.

В межзвёздном пространстве гамма-излучение возникает в результате соударений квантов более мягкого длинноволнового электромагнитного излучения, например света, с электронами, ускоренными магнитными полями космических объектов. При этом быстрый электрон передает свою энергию электромагнитному излучению и видимый свет превращается в более жесткое гамма-излучение.

Подобное явление встречается и на Земле при столкновении электронов большой энергии, получаемых на ускорителях, с фотонами видимого света в интенсивных пучках света, создаваемых лазерами. Электрон передает энергию световому фотону, который превращается в g-квант. Можно на практике превращать отдельные фотоны света в кванты гамма-излучения высокой энергии.

Гамма-излучение не отклоняется электрическим и магнитным полями, обладает относительно слабой ионизирующей способностью и очень большой проникающей способностью (например, проходит через слой свинца толщиной 5 см). Основные процессы, происходящие при взаимодействии гамма-излучения с веществом, – фотоэлектрическое поглощение (фотоэффект), комптоновское рассеяние (комптон-эффект) и образование пар электрон-позитрон. Фотоэффект – это процесс, при котором атом поглощает гамма-квант и испускает электрон. Так как электрон выбивается из одной из внутренних оболочек атома. То освобождающееся место заполняется электронами из вышележащих оболочек. И фотоэффект сопровождается характеристическим рентгеновским излучением. Вероятность фотоэффекта прямо пропорциональна пятой степени атомного номера элемента и обратно пропорциональна 3-й степени энергии гамма-излучения. Таким образом, фотоэффект преобладает в области малых энергии g-квантов (~ 100 кэВ) на тяжелых элементах (Pb, U).

При комптон-эффект происходит рассеяние g-кванта на одном из электронов, слабо связанных в атоме. В отличие от фотоэффекта, при комптон-эффекте g-квант не исчезает, а лишь изменяет энергию (длину волны) и направление распространения. Узкий пучок гамма-лучей в результате комптон-эффекта становится более широким, а само излучение – более мягким (длинноволновым). Интенсивность комптоновского рассеяния пропорциональна числу электронов в 1 см 3 вещества, и поэтому вероятность этого процесса пропорциональна атомному номеру вещества. Комптон-эффект становится заметным в веществах с малым атомным номером и при энергиях гамма-излучения, превышающих энергию связи электронов в атомах. Так, в случае Pb вероятность комптоновского рассеяния сравнима с вероятностью фотоэлектрического поглощения при энергии ~ 0,5 МэВ. В случае Al комптон-эффект преобладает при гораздо меньших энергиях.

При энергии гамма-кванта > 10 МэВ основным процессом взаимодействия гамма-излучения в любом веществе является образование электронно-позитронных пар в электрическом поле ядер. Вероятность образования пар пропорциональна квадрату атомного номера и увеличивается с ростом hn . Поэтому при hn ~10 МэВ основным процессом в любом веществе оказывается образование пар.

0,1 0,5 1 2 5 10 50

Энергия γ-лучей (МэВ)

Обратный процесс аннигиляции электрон-позитронной пары является источником гамма-излучения.

Для характеристики ослабления гамма-излучения в веществе обычно пользуются коэффициентом поглощения, показывающим, на какой толщине Х поглотителя интенсивность I 0 падающего пучка гамма-излучение ослабляется в е раз:

Здесь μ 0 – линейный коэффициент поглощения гамма-излучения. Иногда вводят массовый коэффициент поглощения, равный отношению μ 0 к плотности поглотителя.

Этот закон ослабления гамма-излучения справедлив только для узко направленного пучка гамма-лучей, при котором любой процесс, как поглощения, так и рассеяния, выводит гамма-излучение из состава первичного пучка. Пир высоких же энергиях процесс прохождения гамма-излучения через вещество несколько усложняется. Вторичные электроны и позитроны обладают большой энергией и, значит, могут, в свою очередь, создавать гамма-излучение благодаря процессам торможения и аннигиляции. Таким образом, в веществе возникает ряд чередующихся поколений вторичного гамма-излучения, электронов и позитронов, то есть происходит развитие каскадного ливня. Число вторичных частиц в таком ливне вначале возрастает с ростом толщины вещества, достигая максимума. Однако затем процессы поглощения начинают преобладать над процессами размножения частиц и ливень затухает. Способность гамма-излучения развивать ливни зависит от соотношения между его энергией и так называемой критической энергией, после которой каскадный ливень в данном веществе практически теряет способность развиваться.

В экспериментальной физике для изменения энергии гамма-излучения применяются гамма-спектрометры различных типов, которые основаны, в основном, на измерении энергии вторичных электронов. Типы спектрометров гамма-излучения: магнитные, сцинтиляционные, полупроводниковые и кристалл-дифракционные.

Изучение спектров ядерных гамма-излучений дает важную информацию о структуре ядер. Наблюдение эффектов, связанных с влиянием внешней среды на свойства ядерного гамма-излучения используется для изучения свойств твёрдых тел.

Гамма-излучение широко применяется в технике, например, для обнаружения дефектов в металлах используется гамма-дефектоскопия. Этот метод основан на различном поглощении гамма-излучения при распространении его на одинаковые расстояния в разных средах. Местоположение и размеры дефектов определяются по различию в интенсивностях излучения. Прошедшего через разные участки просвечиваемого изделия.

В радиационной химии гамма-излучение применяется для инициирования химических превращений, например процессов полимеризации. В пищевой промышленности гамма-излучение используется для стерилизации продуктов питания. Основными источниками гамма-излучения служат естественные и искусственные радиоактивные изотопы, а также электронные ускорители.

Воздействие на организм гамма-излучения подобно действию других видов ионизирующих излучений. Гамма-излучение может вызывать лучевое поражение организма, вплоть до его гибели. Характер влияния гамма-излучения зависит от энергии g-квантов и пространственных особенностей облучения, например, он различен для случая внешнего и внутреннего облучения. Относительная биологическая эффективность гамма-излучения составляет 0,7–0,9. В производственных условиях (хроническое воздействие в малых дозах) относительная биологическая эффективность гамма-излучения принята равной 1.

Гамма-излучение используется в медицине для лечения опухолей, для стерилизации помещений, аппаратуры и лекарственных препаратов. Гамма-излучение применяют также для получения мутаций с последующим отбором хозяйственно-полезных форм. Так выводят высокопродуктивные сорта микроорганизмов (например, для получения антибиотиков) и растений.

Возможности лучевой терапии значительно расширились за счёт средств и методов дистанционной гамма-теропии. Успехи дистанционной гамма-терапии достигнуты в результате большой работы в области использования мощных искусственных радиоактивных источников гамма-излучения (кобальт-60, цезий-137), а также новых гамма-препаратов.

Большое значение дистанционной гамма-терапии объясняется также сравнительной доступностью и удобствами использования гамма-аппаратов. Гамма-аппараты, так же как и рентгеновские аппараты, конструируют для статического и подвижного облучения. С помощью подвижного облучения стремятся создать большую дозу в опухоли при рассредоточенном облучении здоровых тканей. Разработаны конструктивные усовершенствования гамма-аппаратов, направленные на уменьшение полутени, улучшение гомогенности полей, использование фильтров типа жалюзи и поиски дополнительных возможностей защиты.

В растениеводстве использование ядерных излучений дает обширные возможности для изменения обмена веществ у сельскохозяйственных растений, повышение их урожайности, ускорения развития и улучшения качества.

Уже в первых исследованиях радиобиологов было установлено, что ионизирующая радиация – мощный фактор воздействия на рост, развитие и обмен веществ в живых организмах. Под влиянием гамма-облучения у растений, животных или микроорганизмов меняется слаженный обмен веществ, ускоряется или замедляется (в зависимости от дозы) течение физиологических процессов, наблюдаются сдвиги в росте, развитии, формировании урожая.

Нужно подчеркнуть, что при гамма-облучении в семена не поступают радиоактивные вещества. Облученные семена, как и выращенный из них урожай, нерадиоактивны. Оптимальные дозы облучения только ускоряют нормальные процессы, происходящие в растении, и поэтому совершенно необоснованны какие-либо опасения и предостережения против использования в пищу урожая, полученного из семян, подвергавшихся предпосевному облучению.

Ионизирующие излучения применяются для повышения сроков хранения сельскохозяйственных продуктов и уничтожения различных насекомых-вредителей. Например, если зерно перед загрузкой в элеватор пропустить через бункер, где установлен мощный источник радиации, то возможность размножения насекомых-вредителей будет исключена и зерно сможет храниться длительное время без каких-либо потерь. Употребление его в качестве корма не вызвало никаких отклонений в росте, способности к размножению и других патологических отклонений от нормы у четырех поколений экспериментальных животных.

Реферат

Целью данной курсовой работы является изучение особых свойств Гамма-функции Эйлера. В ходе работы была изучена Гамма-функция, её основные свойства и составлен алгоритм вычисления с разной степенью точности. Алгоритм был написан на языке высокого уровня - Си. Результат работы программы сверен с табличным. Расхождений в значениях обнаружено не было.

Пояснительная записка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2 рисунка.

Для написания курсовой работы было использовано 7 источников.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

Благодаря её введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.

Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.

1. Бэта-функци я Эйлера

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

Он представляет функцию от двух переменных параметров и : функцию B . Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и

Интеграл (1.1) сходятся при .Полагая получим:

= - =

т.e. аргумент и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда получаем

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

при целых = m,= n, имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

и в результате подстановки , получаем

полагая в(1.1) ,откуда , получим

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

2. Гамма-функция

2.1 Определение

Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:

n! = 1·2·3·...·n.

Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n.

Рассмотрим разностное уравнение

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.

2.2 Интегральное представление

Перейдем к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:

В этом случае правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:

Эта формула справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не известно поведение образа [(G)\tilde](p) при p®±¥. Предположим, что образ гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном слагаемом, иначе придется искать G(z) как-нибудь по-другому.

Левая часть равенства (2.1) записывается следующим образом:

Тогда уравнение (2.1) для образа гамма-функции имеет вид:

Это уравнение легко решить:

Нетрудно заметить, что найденная функция [(Г)\tilde](p) на самом деле такова, что внеинтегральный член в формуле (2.2) равен нулю.

Зная образ гамма-функции, легко получить и выражение для прообраза:

Это неканоническая формула, для того, чтобы привести ее к виду, полученному Эйлером, надо сделать замену переменной интегрирования: t = exp(-p), тогда интеграл примет вид:

Постоянная C выбирается так, чтобы при целых значениях z гамма-функция совпадала с функцией факториал: Г(n+1) = n!, тогда:

следовательно C = 1. Окончательно, получаем формулу Эйлера для гамма-функции:

Эта функция очень часто встречается в математических текстах. При работе со специальными функциями, пожалуй, даже чаще, чем восклицательный знак.

Проверить, что функция, определенная формулой (2.3), действительно удовлетворяет уравнению (2.1), можно, проинтегрировав интеграл в правой части этой формулы по частям:

2.3 Область определения и полюсы

В подынтегральной функции интеграла (2.3) при экспонента exp(-tz ) при R(z ) > 0 убывает гораздо быстрее, чем растет алгебраическая функция t (z-1) . Особенность в нуле - интегрируемая, поэтому несобственный интеграл в (2.3) сходится абсолютно и равномерно при R (z) > 0. Более того, последовательным дифференцированием по параметру z легко убедиться, что Г(z ) - голоморфная функция при R (z ) > 0. Однако, непригодность интегрального представления (2.3) при R (z ) 0 не означает, что там не определена сама гамма-функция - решение уравнения (2.1).

Рассмотрим поведение Г(z) в окрестности нуля. Для этого представим:

где - голоморфная функция в окрестности z = 0 . Из формулы (2.1) следует:

то есть Г(z) имеет полюс первого порядка при z = 0.

Также легко получить:

то есть в окрестности точки функция Г(z ) также имеет полюс первого порядка.

Таким же образом можно получить формулу:

Из этой формулы следует, что точки z = 0,-1,-2,... - простые полюсы гамма-функции и других полюсов на вещественной оси эта функция не имеет. Нетрудно вычислить вычет в точке z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Представление Ганкеля через интеграл по петле

Выясним, имеет ли гамма-функция нули. Для этого рассмотрим функцию

Полюсы этой функции и есть нули функции Г(z).

Разностное уравнение для I(z ) легко получить, воспользовавшись выражением для Г(z ):

Выражение для решения этого уравнения в виде интеграла можно получить так же, как было получено интегральное выражение для гамма-функции - через преобразование Лапласа. Ниже приведены вычисления.ни такие же, как и в п.1).ии теграла будут точки ____________________________________________________________________________

После разделения переменных получим:

Проинтегрировав получаем:

Переход к прообразу Лапласа дает:

В полученном интеграле сделаем замену переменной интегрирования:

Тогда

Здесь важно заметить, что подынтегральная функция при нецелых значениях z имеет точку ветвления t = 0. На комплексной плоскости переменной t проведем разрез по отрицательной вещественной полуоси. Интеграл по этой полуоси представим как сумму интеграла по верхнему берегу этого разреза от до 0 и интеграла от 0 до по нижнему берегу разреза. Чтобы интеграл не проходил через точку ветвления, устроим вокруг нее петлю.

Рис1: Петля в интегральном представлении Ганкеля.

В результате получим:

Чтобы выяснить значение постоянной, вспомним, что I(1) = 1, с другой стороны:

Интегральное представление

называется представлением Ганкеля по петле.

Легко видеть, что функция 1/Г(z ) не имеет полюсов в комплексной плоскости, следовательно, гамма-функция не имеет нулей.

С помощью этого интегрального представления можно получить формулу для произведения гамма-функций. Для этого в интеграле сделаем замену переменной , тогда:

2.5 Предельная форма Эйлера

Гамма-функцию можно представить в виде бесконечного произведения. Это можно заметить, если в интеграле (2.3) представить

Тогда интегральное представление гамма-функции:

В этой формуле мы можем поменять пределы - предел интегрирования в несобственном интеграле и предел при внутри интеграла. Приведем результат:

Возьмем по частям этот интеграл:

Если провести эту процедуру n раз, получим:

Переходя к пределу, получим предельную форму Эйлера для гамма-функции:

2.6 Формула для произведения

Ниже понадобится формула, в которой произведение двух гамма-функций представляется через одну гамма-функцию. Выведем эту формулу, используя интегральное представление гамма-функций.

Повторный интеграл представим как двойной несобственный интеграл. Это можно сделать, воспользовавшись теоремой Фубини. В результате получим:

Несобственный интеграл равномерно сходится. Его можно рассматривать, например, как интеграл по треугольнику, ограниченному осями координат и прямой x+y = R при R. В двойном интеграле сделаем замену переменных:

Якобиан этой замены

Пределы интегрирования: u меняется от 0 до ∞, v при этом меняется от 0 до 1. В результате получим:

Перепишем опять этот интеграл как повторный, в результате получим:

где Rp > 0, Rv > 0.

2. Производная гамма функции

Интеграл

сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится.

В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можно применить признак Вейрштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области где произвольно. Действительно для всех указанных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Вейерштрасса. Таким образом, в области интеграл сходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и, и покажем,что интеграл:

сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так, чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое, что и на.Но тогда на справедливо неравенство

и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует, что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец, интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

Очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом, на интеграл

сходится равномерно, а, следовательно, гамма-функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство

Относительно интеграла можно повторить те же рассуждения и заключить, что

По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенство

Изучим теперь поведение - функции и построим эскиз ее графика. (см. Приложение 1)

Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее, поскольку , то при . При из формулы следует, что при .

Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

Положим для, что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0) . Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция .

Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. Приложение 1.)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .

4. Вычисление некоторых интегралов.

Формула Стирлинга

Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

где m > -1,n > -1.Полагая, что ,имеем

и на основании (2.8) имеем

В интеграле

Где k > -1,n > 0,достаточно положить

Интеграл

Где s > 0,разложить в ряд

где дзетта функция Римана

Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством

Разлагая, в ряд имеем

Переходя к выводу формулы Стирлинга, дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

(4.2)

Непрерывна на интервале (-1,) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как

И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию

Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

Формулу Стирлинга выведем из равенства

полагая ,имеем

полагая на конец,,получим

в пределе при т.е. при (см 4.3)

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

где ,при

для достаточно больших полагают

вычисление же производится при помощи логарифмов

если целое положительное число, то и (4.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

5. Примеры вычисления интегралов

Для вычисления необходимы формулы:

Г()

Вычислить интегралы

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация её логарифма. Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (для комплексных z):

Г(z+1)=(z+g+0.5) z+0.5 exp(-(z+g+0.5))

Эта формула похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности ε не превышает 2*10 -10 . Более того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: z > 0.

Для получения (действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции - логарифма, а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации Ln(Г(х) - логарифма гамма-функции - получается формула:

log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C 0 (C 1 +C 2 /(x+1)+C 3 /(x+2)+...+C 7 /(x+8))/x)

Значения коэффициентов C k - табличные данные (см. в программе).

Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.

Заключение

Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1. Специальные функции и их приложения:

Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов, М.,”Высшая школа”,1965

6.Асимптотика и специальные функции

Ф.Олвер, М.,Наука,1990.

7.Зоопарк чудовищ или знакомство со спецмальными функциями

О.М.Киселёв,

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 - График гамма-функции действительного переменного

Приложение 2 – График Гамма-функции

Таблица – таблица значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 3 – листинг программы, рисующий таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 4 – листинг программы, рисующей график гамма-функции

Реферат............................................................. ...................................3

Введение........................................................... ...................................4

Теоретическая часть…………………………………………………….5

Бета функция Эйлера…………………………………………….5

Гамма функция................................................. ...................................8

2.1. Определение………………………………………………...8

2.2. Интегральное представление………………………………8

2.3. Область определения и полюсы…………………………..10

2.4. Представление Ганкеля через интеграл по петле………..10

2.5. Предельная форма Эйлера………………………………...12

2.6. Формула для произведения………………………………..13

Производная гамма функции........................ ..................................15

Вычисление интегралов. Формула Стирлинга...........................18

Примеры вычислений интегралов................... ..................................23

Практическая часть…………………………………………………….24

Заключение....................................................... ..................................25

Список литературы……………………………………………..............26

Приложения……………………………………………………………..27

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

График гамма-функции действительного переменного

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

График Гамма-функции

ТАБЛИЦА

х	g(x)

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

#include

static double cof={

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

0.5395239384953e-5,

double GammLn(double x) {

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof/(x+6))/x);

lg=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;

double Gamma(double x) {

return(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

for(i=1;i<=8;i++)

x=x[i]+0.5;

g[i]=Gamma(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

#include

Double gam(double x, double eps)

Int I, j, n, nb;

Double dze={1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Double a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;

Printf (“вы ввели неправильные данные, попробуйте снова\n”); return -1.0;

If(a==0) return fc;

For (i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2.0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

For (n=1;n<=nb;n++)

For(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1.0);

S=s+si-log(1.0+a/n);

Double dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, “ ”);

YN0=getmaxy()-20;

Line(30, getmaxy ()-10,30,30);

Line(20, getmaxy ()-30, getmaxx ()-20, getmaxy ()-30);

}while (Y>30);

}while (X<700);

}while (X<=620);

}while (y>=30);

X=30+150.0*0,1845;

For9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

If(Y<30) continue;

X=30+150.0*308523;

Line (30,30,30,10);

Line(620,450,640,450);

Line(30,10,25,15);

Line(640,450,635,445);

Line(640,450,635,455);

Line(170,445,170,455);

Line(320,445,320,455);

Line(470,445,470,455);

Line(620,445,620,455);

Line(25,366,35,366);

Line(25,282,35,282);

Line(25,114,35,114);

Line(25,30,35,30);

Outtexty(20,465,"0");

Outtexty(165,465, "1";

Outtexty(315,465, "2";

Outtexty(465,465, "3";

Outtexty(615,465, "4";

Outtexty(630,465, "x";

Outtexty(15,364, "1";

Outtexty(15,280, "2";

Outtexty(15,196, "3";

Outtexty(15,112, "4";

Outtexty(15,30, "5";

46. Природа, происхождение и свойства гамма- и рентгеновского излучений. Механизмы взаимодействия гамма- и рентгеновских квантов с атомами вещества. Вероятность различных способов взаимодействия квантов с атомами в зависимости от энергии квантов.

Важнейшей характеристикой любого ионизирующего излучения явл. Его ионизирующая способность. Количественной мерой этой способности служит линейная плотность ионизации (ЛПИ). Она равняется числу пар ионов, создаваемых частицей (квантам) на единице пути в веществе. ЛПИ зависит от природы и энергии частицы и от свойств вещества. В литературе обычно указывается ЛПИ для стандартного вещества – сухого воздуха, а за единицу пути принимается один сантиметр. Легко понять, что повреждающее действие на организм тем больше, чем больше ЛПИ. Проходя через вещество кванты, постепенно теряют энергию, которая расходуется на ионизацию молекул и атомов. Скоростью потери энергии определяется проникающая способность данного ионизирующего излучения. За меру проникающей способности для частиц принимают расстояние, на к-м частица замедляется до энергии близкой к средней энергии теплового движения. Для квантов рентгеновских или гамма-лучей за меру проникающей способности принимают расстояние, на к-м мощность излучения падает в «е» раз. Чем больше ЛПИ, тем в данном веществе меньше проникающая способность излучения. Излучения с высокой ПС называются жесткими; если же ПС мала, такое излучение называют мягким. Но эти термины относительны. Альфа-частицы обладают очень малой ПС; даже в воздухе их пробег равен нескольким см. Более плотные вещества непроницаемы для альфа-частиц при толщине в доли мм. Поток альфа-частиц, падающих на человека, целиком поглощается в верхних слоях кожи. Из-за малой ПС альфа-частицы практически совершенно безопасны для человека при внешнем облучении. Но если альфа-активный изотоп попадет внутрь организма, то опасность будет очень велика, т.к. испускаемые изотопом внутри тканей частицы вызовут очень сильную ионизацию, повреждающую живые структуры. ПС бета-частиц примерно в 100 раз больше; в воздухе они проходят неск-ко м, в твердых средах – неск-ко мм (в зависимости от энергии). Рентгеновские лучи и гамма-кванты, имеющие малую ЛПИ, проникают глубоко даже в плотные среды. Гамма-кванты с высокой энергией могут проходить через слой земли или бетона в неск-ко метров.

Взаимодействие с вещ-м альфа- и бета-частиц

Отдельные альфа- и бетта-частицы могут проникнуть в ядра атомов и вызвать там те или иные ядерные реакции. Но подавляющее число частиц взаимодействует только с электронными оболочками. Имея большую массу, альфа-частицы практически не отклоняются от прямолинейной траектории при столкновении с электронами атома. Электроны же отрываются от атомов и молекул, т.е. происходит ионизация. Для определенного изотопа все альфа-частицы обладают приблизительно одной и той же энергией, поэтому все альфа-частицы данного изотопа имеют одинаковый пробег в вещ-ве. Бета-частицы легкие, поэтому они значительно изменяют направление своего движения при столкновении с атомом. Такой процесс называется рассеянием. Рассеянные бета-частицы летят во все стороны и могут явиться источником поражения людей, находящихся поблизости от тела, на к-е падает поток бета-частиц, даже если этот поток непосредственно на человека не попадает. Источником опасности может явиться тормозное рентгеновское излучение, возникающее при торможении ** в твердых веществах. Из-за существования тормозного излучения даже чистые бета-излучатели требуют при хранении или перевозке достаточно серьезной защиты. Наконец, в вещ-х с позитронной активностью происходит аннигиляция, т.е. при столкновении позитронов с электронами вещ-ва частицы превращаются в два гамма-кванта с энергией 0,51 МэВ каждый, поэтому все позитронно-активные изотопы явл. Одновременно источниками гамма-излучений.

Практически важные эффекты обусловленные рассеянием

А. Рассеянное излучение распростр. Во все стороны. Это требует принятия доп. Мер предосторожности. К примеру, при рентгеновском снимке прямой пучок лучей направлен вниз, однако рассеянное в теле больного излучение идет в стороны и вверх, что заставляет принимать меры по защите соседних и даже выше расположенных помещений. Точно так же гамма-излучение, создаваемое реактором подводной лодки, рассеивается в морской воде, и часть его возвращается в отсеки лодки, увеличивая радиационный фон.

Б. Если при измерении ионизирующих излучений измерительный прибор окажется рядом с массивными предметами или стенами, рассеянное в них излучение может существенно исказить результаты измерений.

В. Рассеянное излучение портит рентгеновское изображение. Отклонившиеся от первоначального направления кванты попадают в случайные места экрана или пленки, «засвечивая» ее и делая изображение менее четким и контрастным.

Для написания курсовой работы было использовано 7 источников.

Введение

Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

1. Бэта-функци я Эйлера

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

=(1.1)

Он представляет функцию от двух переменных параметров

и : функцию B . Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и

Интеграл (1.1) сходятся при

.Полагая получим: = -

т.e. аргумент

и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда получаем

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

при целых

= m,= n, имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1)

.Так как график функции

симметрична относительно прямой ,то

и в результате подстановки

, получаем

полагая в(1.1)

,откуда , получим

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до

и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

2. Гамма-функция

2.1 Определение

n! = 1·2·3·...·n.

Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n.

Рассмотрим разностное уравнение

2.2 Интегральное представление

Перейдем к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:

В этом случае правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:

Гамма-излучения представляют собой электромагнитные колебания очень большой частоты, распространяющиеся в пространстве со скоростью света. Эти излучения испускаются ядром в виде отдельных порций, называемых гамма-квантами или фотонами.

Энергия гамма-квантов лежит в пределах от 0,05 до 5 МэВ. Гамма-излучение с энергией менее 1 МэВ условно называют мягким излучением, а с энергией более 1 МэВ - жестким излучением.

Гамма-излучение не является самостоятельным видом излучения. Обычно гамма-излучение сопровождает бета-распад, реже альфа-распад. Выбрасывая альфа- или бета-частицы, ядро освобождается от избытка энергии, но может оставаться еще в возбужденном состоянии. Переход из возбужденного состояния в основное сопровождается излучением гамма-квантов, состав ядра при этом не изменяется.

В воздухе гамма-лучи распространяются на большие расстояния, измеряемые десятками и сотнями метров.

Проникающая способность гамма-лучей в 50-100 раз больше проникающей способности бета-частиц и в тысячи раз больше проникающей способности альфа-частиц.

Ионизация среды при прохождении через нее гамма-лучей производите: только вторичными электронами, которые возникают в результате взаимодействия гамма-квантов с атомами вещества. Ионизирующая способность гамма квантов определяется их энергией. В общем один гамма-квант дает столько и пар ионов, сколько их образует бета- или альфа- частица той же энергии. Однако вследствие меньшей поглощаемости гамма-лучей образуемые ими ионы распределяются на большем расстоянии. Поэтому удельная ионизирующая способность гамма-квантов в сотни раз меньше удельной ионизирующей способности бета-частиц, в тысячи раз меньше удельной ионизирующей способности альфа-частиц и составляет в воздухе несколько пар ионов на 1 см пути.

Вывод . Гамма-излучения обладают наибольшей проникающей способностью по сравнению с проникающей способностью остальных видов радиоактивных излучений. В то же время гамма-излучения обладают очень малой удельной ионизирующей способностью, составляющей в воздухе несколько пар ионов на 1 см пути гамма-квантов.

Нейтронное излучение и его основные свойства

Нейтронное излучение является корпускулярным излучением, возникающим в процессе деления или синтеза ядер.

Нейтроны оказывают сильное поражающее действие, так как они, не имея электрического заряда, легко проникают в ядра атомов, из которых состоят живые ткани, и захватываются ими.

Более 99% общего количества нейтронов при ядерном взрыве выделяется в течение 10 -14 с. Эти нейтроны называются мгновенными. Остальная часть (около 1%) нейтронов излучается позднее некоторыми осколками деления при их бета-распаде. Эти нейтроны называются запаздывающими.

Скорость распространения нейтронов доходит до 20000 км/ч. Время, необходимое для того, чтобы все нейтроны прошли расстояние от точки взрыва до места, где они представляют угрозу поражения, составляет около одной секунды после момента взрыва.

В зависимости от энергии нейтроны классифицируются следующим образом:

медленные нейтроны 0-0,1 кэВ;

нейтроны промежуточных энергий 0,1-20 кэВ;

быстрые нейтроны 20 кэВ-10 МэВ;

нейтроны высоких энергий свыше 10 МэВ.

Тепловые нейтроны - нейтроны, находящиеся в тепловом равновесии с окружающей средой (с энергией, не превышающей 1 эВ), включены в область медленных нейтронов.

Прохождение нейтронов через вещество сопровождается ослаблением их интенсивности. Это ослабление обусловливается взаимодействием нейтронов с ядрами атомов вещества.

Рентгеновское излучение

Рентгеновские лучи возникают при бомбардировке быстрыми электронами твердых мишеней. Рентгеновская трубка представляет собой эвакуированный баллон с несколькими электродами (рис. 1.2). Нагреваемый током катод К служит источником свободных электронов, испускаемых вследствие термоэлектронной эмиссии. Цилиндрический электрод Ц предназначен для фокусировки электронного пучка.

Мишенью является анод А, который называют также антикатодом. Его делают из тяжелых металлов (W, Си. Pt и т. д.). Ускорение электронов осуществляется высоким напряжением, создаваемым между катодом и антикатодом. Почти вся энергия электронов выделяется на антикатоде в виде теплоты (в излучение превращается лишь 1-3% энергии).

Попав в вещество антикатода, электроны испытывают сильное торможение и становятся источником электромагнитных волн.

При достаточно большой скорости электронов, кроме тормозного излучения (т. е. излучения, обусловленного торможением электронов), возбуждается также характеристическое излучение (вызванное возбуждением внутренних электронных оболочек атомов антикатода).

Интенсивность рентгеновского излученя может быть измерена как по степени фотографического действия, так и по ионизации, производимой им в газообразных средах, в частности в воздухе. *М интенсивнее излучение, тем большую ионизацию оно производит. По механизму взаимодействия с веществом рентгеновское излучения аналогично у-излучению. Длина волны рентгеновского излучения 10 -10 -10 -6 см, гамма-излучения -10-9 см и ниже.

В настоящее время рентгеновские лучи применяются в качестве контрольного средства. С помощью рентгеновских луче» контролируют качество сварки, однородность соответствующих изделий и т. п. В медицине рентгеновские лучи широко применяются для диагностики, а в некоторых случаях и в качестве средства, воздействующего на раковые клетки.

Лекция № 11 (можно сделать 2 лекции)

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей Как найти прямую пересечения двух плоскостей

Переподготовка увольняемых военнослужащих II