Это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Преобразования бывают одномерные, двумерные и даже трёхмерные.
Прямое преобразование:
Обратное преобразование:
Обозначения:
§ N - количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;
§ - измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами , которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;
§ - N комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;
§ - обычная (вещественная) амплитуда k-го синусоидального сигнала;
§ arg(X k ) - фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент комплексного числа);
§ k - частота k-го сигнала, равная , где T - период времени, в течение которого брались входные данные.
Из последнего видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от N колебаний за период до одного колебания за период. Поскольку частота дискретизации сама по себе равна N отсчётов за период, то высокочастотные составляющие не могут быть корректно отображены - возникает муаров эффект. Это приводит к тому, что вторая половина из N комплексных амплитуд, фактически, является зеркальным отображением первой и не несёт дополнительной информации.
Рассмотрим некоторый периодический сигнал x (t ) c периодом равным T. Разложим его в ряд Фурье:
Проведем дискретизацию сигнала так, чтобы на периоде было N отсчетов. Дискретный сигнал представим в виде отсчетов: x n = x (t n ), где , тогда эти отсчеты через ряд Фурье запишутся следующим образом:
Используя соотношение: , получаем:
где 
Таким образом, мы получили обратное дискретное преобразование Фурье.
Умножим теперь скалярно выражение для x n на и получим:
Здесь использованы: а) выражение для суммы конечного числа членов (экспонент) геометрической прогрессии, и б) выражение символа Кронекера как предела отношения функций Эйлера для комплексных чисел. Отсюда следует, что:
Эта формула описывает прямое дискретное преобразование Фурье .
В литературе принято писать множитель в обратном преобразовании, и поэтому обычно пишут формулы преобразования в следующем виде:
Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчётов в вектор спектральных отсчётов той же длины. Таким образом, преобразование может быть реализовано как умножение квадратной матрицы на вектор:
Исследуем
особенности спектрального представления
дискретного сигнала, который задан на
отрезке
своими отсчётами
,
взятыми соответственно в моменты
времени
;
полное число отсчётов
(
-
интервал дискретизации).
Методика изучения таких дискретных сигналов состоит в том, что полученная выборка отсчётных значений мысленно повторяется бесконечное число раз. В результате сигнал становится периодическим.
Сопоставив такому сигналу некоторую математическую модель можно воспользоваться разложением в ряд Фурье и найти соответствующие амплитудные коэффициенты. Совокупность этих коэффициентов образует спектр дискретного периодического сигнала.
Воспользуемся моделью в виде последовательности дельта-импульсов. Тогда исходное колебание будет выражено формулой:
(5.1)
Где
– выборочные значения аналогового
сигнала.
-
дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
(5.4)
Основные свойства ДПФ
1. ДПФ- линейное преобразование т.е. сумме сигналов отвечает сумма их ДПФ
2.
Число различных коэффициентов
,
вычисляемых по формуле (5.4), равно числу
N
за период; при
коэффициент
3.
Коэффициент
(постоянная составляющая) является
средним значением всех отсчётов:
5.
Пусть отсчётные значения
– вещественные числа. Тогда коэффициенты
ДПФ, номера которых располагаются
симметрично относительно /2,
образуют сопряжённые пары:
Задача
дискретного спектрального анализа
может быть поставлена и по-иному.
Допустим, что коэффициенты
,
образующие ДПФ, заданы. Положим в формуле
(5.2)
и
учтём, что суммируется лишь конечное
число членов ряда, которые отвечают
гармоникам, содержащимся в спектре
исходного сигнала.
Таким образом, получаем формулу для вычисления отсчётных значений
(5.5)
Очевидно, что (5.5) представляет собой формулу обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) .
11 Алгоритм быстрого преобразования Фурье. Число вычислительных операций. Сравнение дискретного и быстрого преобразования Фурье.
=0,
1, 2,…,( /2)-1
(5.7)
Учтём, что последовательности коэффициентов, относящихся к чётной и нечётной частям входного массива, являются периодическими с периодом N/2:
Кроме
того, входящий в формулу (5.7) множитель
при
можно преобразовать так:
Отсюда находим выражение для второй половины множества коэффициентов ДПФ
(5.8)
Формулы (5.7) и (5.8) лежат в основе алгоритма БПФ. Далее вычисления строят по итерационному принципу: последовательности отсчётов с чётными и нечётными номерами вновь разбивают на две части. Процесс продолжают до тех пор, пока не получается последовательность, состоящая из единственного элемента. ДПФ этого элемента совпадает с ним самим.
Число
операций, необходимых для вычисления
БПФ оценивается как
.
Выигрыш в скорости вычислений по сравнению с традиционным ДПФ достигает сотен и даже тысяч при достаточных длинах входных массивов.
12.. Z - преобразование и его свойства. Применение Z - преобразования.
При анализе и синтезе дискретных и цифровых устройств Z-преобразование играет такую же роль, как интегральные преобразования Фурье по отношению к непрерывным сигналам.
Пусть
–
числовая последовательность, конечная
или бесконечная, содержащая отсчётные
значения некоторого сигнала. Поставим
ей в однозначное соответствие сумму
ряда по отрицательным степеням комплексной
переменнойZ:
(5.9)
Эта
сумма называется Z-преобразованием
последовательности
.
Свойства дискретных последовательностей
чисел можно изучать, исследуя ихZ-преобразования
обычными методами математического
анализа.
Данное
выражение имеет смысл при |Z|>
.
Обратное Z- преобразование
Пусть
x(z)
– функция комплексной переменной Z.
Замечательное свойство Z-преобразование
состоит в том, что функция x(z)
определяет всю бесконечную совокупность
отсчётов (
).
Действительно,
умножим обе части ряда (5.9) на множитель
:
Интегралы от всех слагаемых правой части обратятся в нуль, за исключением слагаемого с номером m, поэтому:
(5.11)
Данное выражение носит название обратное Z-преобразование.
Важнейшие свойства Z -преобразования:
1.
Линейность
.
Если
и
- некоторые дискретные сигналы, причём
известны соответствующиеZ-преобразования
x(z)
и y(z),
то сигналу
будет отвечать преобразованиепри любых постоянных
и
.
Доказательство проводится путём
подстановки суммы в формулу (5.9).
2.
Z
-преобразование
смещённого сигнала
.
Рассмотрим дискретный сигнал
,
получающийся из дискретного сигнала
путём сдвига на одну позицию в сторону
запаздывания, т.е. когда
.
Непосредственно вычисляяZ-преобразование,
получаем следующий результат:
Таким
образом, символ
служит оператором единичной задержки
(на один интервал дискретизации) вZ-области.
3. Z -преобразование свёртки . Пусть x(z) и y(z) – непрерывные сигналы, для которых определена свёртка:
(5.13)
Применительно
к дискретным сигналам по аналогии с
(5.13) принято вводить дискретную свёртку
– последовательность чисел общий член
которой:
Подобную дискретную свёртку называют линейной
Вычислим Z-преобразование дискретной свёртки:
(5.15)
Итак, свёртке двух дискретных сигналов отвечает произведение Z-преобразований.
Из предыдущего раздела о дискретизации непрерывных сигналов следует, что реальные сигналы могут быть описаны выборками как в спектральной, так и во временной области. И дискретный спектр, и дискретный сигнал полностью описывают исходный непрерывный (континуальный) сигнал. Однако чтобы найти дискретный спектр по заданному дискретному сигналу, надо проделать трудоемкие расчеты: сначала по дискретному сигналу восстановить непрерывный сигнал, затем с помощью преобразования Фурье найти непрерывный спектр, затем его дискретизировать. Аналогичную процедуру необходимо проделать для обратного преобразования. Непосредственный переход от дискретного сигнала к дискретному спектру и наоборот возможен с использованием дискретного преобразования Фурье.
Рассмотрим непрерывный сигнал конечной длительности с числом степеней свободы, равным Для этого сигнала можно записать разложение в ряд Котельникова:
С помощью обычного преобразования Фурье найдем спектр этого сигнала:
Непосредственное вычисление интеграла в этой формуле - процедура трудоемкая. Однако это нетрудно сделать другим способом.
Рассмотрим спектр который определяется выражением
Применив к нему обратное преобразование Фурье, получим, что ему соответствует временная функция
Очевидно, справедливо и обратное соотношение
Применяя теорему о запаздывании, можно записать
Подставляя (3.2) в (3.1), получим окончательное выражение для спектра
Чтобы перейти к дискретному преобразованию Фурье, значения спектра в выражении (3.3) нужно вычислять не для всех значений частоты, а для дискретных (выборочных):
В результате получим окончательную формулу для дискретного преобразования Фурье
Свойства дискретного преобразования Фурье во многом аналогичны свойствам обычного преобразования Фурье. Отметим только одно специфическое свойство, которое
можно назвать периодичностью дискретного преобразования Фурье.
Рассмотрим значение определяемое формулой (3.4) для где целое число:
Таким образом, дискретное преобразование Фурье является периодической функцией частоты с периодом, равным Это свойство аналогично свойству периодичности спектра дискретизированных сигналов, которое рассматривалось в гл. 2.
Перейдем теперь к выводу обратного дискретного преобразования Фурье, позволяющего определять выборки сигнала по выборкам спектра. Для этого воспользуемся обычным обратным преобразованием Фурье
Спектральную плотность сигнала запишем в виде ряда Котельникова
и подставим в интеграл обратного преобразования Фурье
Интеграл в выражении аналогичен вычисленному ранее интегралу (3.2). Пользуясь этой аналогией, запишем
Подставляя (3.6) в (3.5), получим выражение для временной функции
Полагая в соотношении получим формулу для определения значений дискретного сигнала т. е. приходим к обратному дискретному преобразованию Фурье
где А принимает значения от 0 до
Иногда для удобства записи, используя свойство периодичности дискретного преобразования Фурье, изменяют пределы суммирования в выражении (3.8) и обратное дискретное преобразование Фурье записывают в виде
Для иллюстрации применим дискретное преобразование Фурье к дискретизированному треугольному импульсу (рис. описываемому пятью выборочными значениями
Подставим это выражение дискретного сигнала в формулу дискретного преобразования Фурье (3.4)
Для сравнения найдем спектральную плотность исходного треугольного импульса:
Легко видеть, что дискретный спектр (3.11) неточно описывает спектральную плотность треугольного импульса (3.12). Значения несколько отличаются от соответствующих значений спектра треугольного импульса (рис. 3.1, б).
Теперь подставим дискретные значения спектра (3.11) в выражение для обратного дискретного преобразования Фурье (3.8):
Несмотря на отличие значений дискретного спектра от значений непрерывного, полученный результат полностью совпадает с формулой исходного дискретного сигнала (3.11).
Рассмотренный пример показывает, что дискретное преобразование Фурье не всегда точно описывает спектр исходного непрерывного сигнала, подобно тому, как
Рис. 3.1. Дискретное преобразование Фурье дискретизированного треугольного импульса
дискретизированный сигнал не всегда точно описывает исходный непрерывный сигнал. Однако связь между дискретным сигналом и его дискретным преобразованием Фурье всегда носит взаимно однозначный характер и формулу прямого и обратного преобразований Фурье являются строгими при любом числе дискретных значений. Поэтому аппарат дискретных преобразований Фурье имеет самостоятельное значение и может быть применен к любым числовым последовательностям.
В этом случае формулы дискретного преобразования Фурье должны быть несколько изменены, так как для абстрактной числовой последовательности значения интервала дискретизации и длительности сигнала не имеют смысла. Поэтому коэффициент перед суммой в формуле (3.4) опускают, заменяют на отсчетные значения сигнала и спектра обозначают через и формулу дискретного преобразования Фурье записывают в виде
При этом обратное дискретное преобразование Фурье имеет вид
Значения вычисленные по формуле (3.14), отличаются от выборочных значений спектра непрерывного колебания в раз. Для определения выборочных значений надо значения вычисленные по формуле (3.14), умножить на величину интервала дискретизации по времени :
Покажем, что преобразования (3.14), (3.15) являются взаимно обратными. Для этого возьмем произвольную числовую последовательность с помощью дискретного преобразования Фурье (3.14) найдем последовательность и применим к ней обратное дискретное преобразование
Фурье (3.15). Получившуюся при этом последовательность обозначим
Поменяем порядок суммирования и несколько преобразуем это выражение:
Внутренняя сумма выражения (3,16) равна нулю, если и равна если Следовательно, при т. е. числовые последовательности совпадают друг с другом. Таким образом, при последовательном применении к любой числовой последовательности прямого и обратного дискретного преобразования Фурье получают в результате ту же последовательность.
Проиллюстрируем это положение простейшими примерами.
1. Рассмотрим простейший дискретный сигнал, состоящий из одного отсчетного значения, равного а. Подставляя эту простейшую последовательность в формулу дискретного преобразования Фурье (3.14), получим Таким образом, дискретное преобразование Фурье отдельного числового значения равно этому же значению.
Другое важное применение дискретного преобразования Фурье - вычисление сигнала на выходе фильтра с заданной частотной характеристикой. Если задан входной сигнал то для него можно вычислить дискретное преобразование Фурье Если теперь умножим на частотную характеристику фильтра, то получим дискретное преобразование Фурье выходного сигнала: После этого с помощью обратного дискретного преобразования Фурье можно найти сигнал на выходе фильтра.
Если входной сигнал имеет большую длительность, его обработку с помощью дискретного преобразования Фурье можно производить по частям. Для этого берут первые N отсчетов входного сигнала, вычисляют их дискретное преобразование Фурье и после умножения на частотную характеристику фильтра с помощью обратного дискретного преобразования Фурье вычисляют первые N отсчетов выходного сигнала. После этого аналогичным путем обрабатывают следующие N отсчетов входного сигнала и т. д. Для повышения точности обработки сигнала обрабатываемые серии отсчетов могут частично перекрываться.
Преимуществом такого метода обработки сигналов является отсутствие каких-либо ограничений на вид частотной характеристики фильтра. Например, частотная характеристика может быть идеальной прямоугольной формы, что невозможно реализовать с помощью обычных фильтров.
Обработку сигналов с помощью дискретного преобразования Фурье нельзя назвать цифровой фильтрацией в полном смысле слова. Обычные цифровые фильтры, работающие в реальном масштабе времени, производят обработку сигнала непрерывно по мере его поступления, а вычисление выходного сигнала с помощью дискретного преобразования Фурье может быть произведено лишь после того, как станет известным полностью входной сигнал или хотя бы первая серия из N его отсчетов. Поэтому при использовании дискретного преобразования Фурье выходной сигнал может быть получен только с некоторым
запаздыванием по отношению к входному сигналу. Однако в ряде практических применений такое запаздывание выходного сигнала не играет существенной роли, и тогда обработка сигналов с использованием дискретного преобразования Фурье оказывается целесообразной.
Введение
На лабораторном занятии были изучены возможности по дискретному тригонометрическому преобразованию (ДТП) со следующих точек зрения:
1. Проверили свойство обратимости заданного ДТП.
2. Исследовали линейность предложенного ДТП.
3. Изучили особенности повтора спектра у проверяемого ДТП.
4. Определили наличие симметричного отражения спектра у ДТП, а именно
4.1. наличие центральной симметрии,
4.2. наличие осевой (вертикальной) симметрии.
5. Рассмотрели влияние фазовых сдвигов сигнала на результирующее ДТП.
6. Проверили наличие свойства подобия для заданного преобразования.
7. Исследовали возможность фильтрации сигналов с помощью заданного ДТП.
8. Проверили экспериментально сохранение энергии исследуемым ДТП.
9. Обнаружили связь данного ДТП с дискретным преобразованием Фурье.
Так же были рассмотрены различные входные сигналы для более представительного анализа.
Наиболее известным среди дискретных функциональных преобразований является дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье определяет линейчатый спектр дискретизованной периодической функции времени. Обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру. Эти преобразования обычно сокращенно называют соответственно ДПФ и ОДПФ.
ДПФ служит для анализа периодических функций, и его можно получить исходя из теории рядов Фурье. Пусть x0(t) - непрерывная периодическая функция с периодом Р и частотой f0 = 1/P так что
Функцию x0(t) можно разложить в ряд Фурье:
где коэффициенты разложения Х0(n) заданы формулой
Обычно x0(t) является действительной функцией, и тогда Х0(n) - комплексные (но это ограничение не обязательно). Поскольку мы рассматриваем x0 как функцию времени, то Х0(n) можно назвать комплексным спектром x0(t). По действительной и мнимой частям X0(n).можно найти амплитуду и фазу составляющих, образующих колебание x0(t).
Рассмотрим дискретизацию периодической функции x0(t). Для того чтобы эту функцию можно было дискретизовать однозначно, в ее спектре не должно быть составляющих с частотой, выше некоторой частоты f1 т. е.
где n1 - целое значение n, задающее частоту f1.
На фиг. 1 показаны такой ограниченный спектр и колебание, которому он соответствует.
интервал дискретизации Т равен
так что число отсчетов на период будет
Фиг. 1. Периодическая функция x0(t) с ограниченной полосой частот и ее спектр X0(n).
1В результате дискретизации получаем периодическое, нормализованное относительно Т колебание вида
Это колебание определено на интервале, равном его периоду, т. е.
Поскольку x(t/T) – периодическая функция для расчета коэффициентов ряда Фурье используется соотношение (2)
(Замена Р на /V в делителе и пределах интегрирования соответствует переходу к нормализованной переменной.) Подставляя выражение (3), получаем
Известно, что
Окончательно с учетом того, что по определению
Соотношение, связывающее x(k) с Х(n), может быть получено непосредственно из формулы (1), если подставить t=kT и учесть, что при ограниченной ширине спектра функции x0(t) сумма содержит конечное число членов. Итак,
Следует заметить, что x(k) -периодическая функция, т. е.
и аналогично
Тот факт, что спектр является периодическим, объясняется периодичностью спектра любой дискретизованной функции, а его дискретный характер связан с тем, что сама дискретизуемая функция также периодическая.
Итак, при дискретизации периодической функции x0(t) соотношение (4) позволяет по выборкам x0(t) найти спектр Х(n), который на интервале 0 ≤ n ≤ N - 1 в точности равен спектру Х0(n) исходной периодической функции. Функция x(k) и ее спектр графически представлены на фиг. 2. Поскольку соотношение (5.4) получено на основании теоремы отсчетов, оно является точным и экономичным (при расчетах) эквивалентом исходного интегрального соотношения (2) и может быть использовано для вычисления коэффициентов разложения на ЭВМ. Соотношения (4) и (5) будем называть дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) и обратным дискретным преобразованием Фурье (ОДПФ) соответственно. Заметим, что переменная n меняется здесь от нуля до N-1. Получаемый спектр можно интерпретировать следующим образом. Первые (N/2-1) точек Х(n) -соответствуют (N/2 - 1) спектральным линиям Х0(n) на положительных частотах, как показано на фиг. 5.3, а последние (N/2-1) точек Х(n) соответствуют (N/2-1) спектральным линиям на отрицательных частотах.
Пара преобразований, заданная соотношениями (4) и (5), встречается и в другом виде. Например, множитель 1 / N и знак минус у экспоненты могут быть записаны как в прямом, так и в обратном преобразовании, общий смысл при этом не меняется.
Естественно, спектр в этом случае нельзя непосредственно отождествлять с тем, который определен формулой (2). Иногда оба преобразования приводятся с одинаковыми множителями (1 / N)1/2.
Фиг. 2. Дискретизированная периодическая функция x(k) и ее периодический спектр Х(n).
Фиг. 3. Соотношение между коэффициентами ряда Фурье и ДПФ.
Свойства ДПФ
Некоторые свойства ДПФ играют в практических вопросах обработки сигналов важную роль.
Линейность
Если xр(n) и ур(n) - периодические последовательности (с периодом в N отсчетов каждая), а Хр(k) и Yp(k) - их ДПФ, то дискретное преобразование Фурье последовательности хр(n) + + ур(n) равно Хр(k) + Yp(k). Это положение справедливо и для последовательностей конечной длины.
Сдвиг
Если последовательность хр(n) периодическая с периодом в N отсчетов, а ее ДПФ равно Хр(k), то ДПФ периодической последовательности вида хр(n-n0) будет равно.
Фиг. 4. К определению ДПФ сдвинутой последовательности.
При анализе последовательностей конечной длины необходимо учитывать специфический характер временного сдвига последовательности. Так, на фиг. 4, а изображена конечная последовательность х (п) длиной в N отсчетов. Там же крестиками изображены отсчеты эквивалентной периодической последовательности хр(n), имеющей то же ДПФ, что и х(n). Чтобы найти ДПФ сдвинутой последовательности х(n - n0), причем n0 < N, следует рассмотреть сдвинутую периодическую последовательность Хр(n - n0) и в качестве эквивалентной сдвинутой конечной последовательности (имеющей ДПФ j принять отрезок последовательности хр(n - n0) в интервале 0 ≤ n ≤ N - 1. Таким образом, с точки зрения ДПФ последовательность х(n – n0) получается путем кругового сдвига элементов последовательности х(n) на n0 отсчетов
Свойства симметрии
Если периодическая последовательность хр(n) с периодом в./V отсчетов является действительной, то ее ДПФ Хр(k) удовлетворяет следующим условиям симметрии:
Аналогичные равенства справедливы и для конечной действительной последовательности х(n), имеющей N-точечное ДПФ X(k). Если ввести дополнительное условие симметрии последовательности хp(n), т. е. считать, что
то окажется, что Хр(k) может быть только действительной.
Поскольку чаще всего приходится иметь дело с действительными последовательностями, то, вычислив одно ДПФ, можно получить ДПФ двух последовательностей, используя свойства симметрии (6). Рассмотрим действительные периодические последовательности хр(n) и ур(n) с периодами в N отсчетов и N-точечными ДПФ Хр(k) и Yp(k) соответственно. Введем комплексную последовательность zp(n) вида
Ее ДПФ равно
Выделяя действительную и мнимую части равенства (10), получим
Действительные части Хр(k) и Yp(k) симметричны, а мнимые - антисимметричны, поэтому их легко разделить, используя операции сложения и вычитания:
Итак, вычисляя одно N-точечное ДПФ, удается преобразовать сразу две действительные последовательности длиной по N отсчетов. Если эти последовательности являются еще и симметричными, то число операций, необходимых для получения их ДПФ, можно сократить еще больше.
Похожая информация.
