Это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать частные дифференциальные уравнения и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Преобразования бывают одномерные, двумерные и даже трёхмерные.
Прямое преобразование:
Обратное преобразование:
Обозначения:
§ N - количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;
§ - измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами , которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;
§ - N комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;
§ - обычная (вещественная) амплитуда k-го синусоидального сигнала;
§ arg(X k ) - фаза k-го синусоидального сигнала (аргумент комплексного числа);
§ k - частота k-го сигнала, равная , где T - период времени, в течение которого брались входные данные.
Из последнего видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от N колебаний за период до одного колебания за период. Поскольку частота дискретизации сама по себе равна N отсчётов за период, то высокочастотные составляющие не могут быть корректно отображены - возникает муаров эффект. Это приводит к тому, что вторая половина из N комплексных амплитуд, фактически, является зеркальным отображением первой и не несёт дополнительной информации.
Рассмотрим некоторый периодический сигнал x (t ) c периодом равным T. Разложим его в ряд Фурье:
Проведем дискретизацию сигнала так, чтобы на периоде было N отсчетов. Дискретный сигнал представим в виде отсчетов: x n = x (t n ), где , тогда эти отсчеты через ряд Фурье запишутся следующим образом:
Используя соотношение: , получаем:
где 
Таким образом, мы получили обратное дискретное преобразование Фурье.
Умножим теперь скалярно выражение для x n на и получим:
Здесь использованы: а) выражение для суммы конечного числа членов (экспонент) геометрической прогрессии, и б) выражение символа Кронекера как предела отношения функций Эйлера для комплексных чисел. Отсюда следует, что:
Эта формула описывает прямое дискретное преобразование Фурье .
В литературе принято писать множитель в обратном преобразовании, и поэтому обычно пишут формулы преобразования в следующем виде:
Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчётов в вектор спектральных отсчётов той же длины. Таким образом, преобразование может быть реализовано как умножение квадратной матрицы на вектор:
Мы рассмотрели две формы преобразования Фурье:
1) Преобразование Фурье в непрерывном времени с непрерывным изменением частоты
2) преобразование Фурье в дискретном времени с непрерывным изменением частоты.
Но в реальной ситуации временные последовательности всегда имеют конечную длительность. Кроме того, значительно большие возможности для обработки данных появляются, если использовать не аналоговые, а дискретные преобразователи Фурье, которые и частотные характеристики представляют в виде конечных числовых последовательностей. При этом возрастает как качество обработки информации, так и скорость ее обработки за счет того, что существуют эффективные способы вычисления таких преобразований в дискретном виде и, как следствие, возможность обработки массивов большего размера. Способ представления сигналов в виде конечных цифровых последовательностей, в результате обработки которых также получается некоторая конечная цифровая последовательность и составляет сущность цифровой обработки сигналов. Основой цифровой обработки сигналов является особая форма преобразования Фурье, называемая дискретным преобразованием Фурье (ДПФ ). Как увидим ниже ДПФ есть преобразование Фурье временной последовательности конечной длины, являющееся само по себе конечной последовательностью, а не непрерывной функцией, и соответствует равноудаленным по частотам выборкам преобразования Фурье сигнала. Кроме своей теоретической важности, ДПФ играет центральную роль при обработке сигналов вследствие существования эффективного алгоритма его вычисления, так называемого быстрого преобразования Фурье (БПФ ) .
Введем ДПФ, основываясь на преобразовании Фурье в дискретном времени (2). Поскольку теперь мы имеем дело с конечной последовательностью (длиной N), то положим, что временная последовательность x(n)=0 при n<0 и при n>N-1. Как будет видно из дальнейшего, дискретизация частотного интервала, т.е. вычисление Фурье-образа только в кратных значениях частот приведет также к периодическому продолжению исходной временной последовательности по оси времени. Чтобы опять избежать наложения, пользуясь аналогией с временной дискретизацией, дискретизуем ось частот с интервалом, где NT -полный временной интервал задания исходной функции. Тогда значение частоты на k-ом частотном отсчете, а k изменяется от 0 до N-1(т.к. , согласно теореме дискретизации). Таким образом, число отсчетов по частоте равно также N.
Если это сделано, то преобразование Фурье (2) примет вид:
- 7.2 Ортогональность системы комплексных экспонент на множестве равноотстоящих точек.
Чтобы перейти от прямого преобразования Фурье к обратному,
докажем ортогональность комплексных экспонент
(или что тоже самое, систем синусов и косинусов) на множестве равноотстоящих N точек.
Обозначая разность n-n’ за m , получим в правой части (4) геометрическую прогрессию со знаменателем, при этом отметим очевидное равенство. Находя по известной формуле сумму этой геометрической прогрессии, получим
При этом мы использовали тот факт, что
в случае m=0,±N, ±2N,....
Как будет показано ниже, эти значения и приводят к эффекту наложения или подмены частот, появляющемуся при равномерной дискретизации функции.
Отметим, что приведенная система экспонент ортогональна на системе любых отсчитанных подряд N точек, независимо от выбора начальной. Действительно, взяв за начальную точку с индексом -l делая замену переменной суммирования k’=k+l, получим:
т.к. , а при остальных k значение суммы равно нулю.
7.3 Обратное дискретное преобразование Фурье
Перейдем к получению обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ) .
Умножим обе части выражения ДПФ (3) на и просуммируем по k от 0 до N-1.
При этом мы учли, что поскольку суммирование по k ведется в пределах от 0 до N-1, то, согласно (5) сумма будет отлична от нуля только при n-n’=0 т.е. при n=n’. Переобозначив n’ на n и выразив из (6) x(n) , получим выражение для ОДПФ, которое совместно с выражением (3) для ДПФ дает дискретную форму преобразования Фурье:
Т.к. при выборе постоянных множителей у прямого и обратного преобразований Фурье должно соблюдаться условие постоянства их произведения, то для упрощения записи отбросим множитель T у прямого и 1/T у обратного преобразования, что приведет к следующей форме ДПФ:
Введя для комплексной экспоненты обозначение, дискретное преобразование Фурье представим в виде:
Последняя форма будет выглядеть еще проще в матричном представлении:
где элементами матрицы T являются комплексные экспоненты, а матрицы Т’ .
Очевидна связь между матрицами T и Т’:
Выпишем для примера матрицы прямого и обратного преобразования Фурье для одно, двух, трех, четырехточечных последовательностей.
Сделаем несколько важных замечаний относительно дискретного преобразования Фурье.
- 1. Поскольку система экспонент ортогональна на дискретном множестве N точек, независимо от выбора начальной точки этого множества, то начальное значение индексов суммирования в (7) и (9) могут быть любыми, лишь бы разность между начальными и конечными значениями была равна N.
- 2. Последовательности x(n) и X(k), определяемые формулами 7 или 9, вне множества 0....N-1 являются N-периодическими, т.е.
где р-любое число, n и k -целое в промежутке от 0 до N-1. Это свойство является следствием N-периодичности экспонент (8): Так, например, для ОДПФ получим
3. Согласно предыдущему замечанию, X(-k)=X(n-k).
Действительно,
Т.е. X(-1)=X(N-1);X(-2)=X(N-2) и т.д.
Таким образом, второй половине преобразования Фурье, т.е. значениям X(k) при k>N/2 соответствуют отрицательные частоты.
Чтобы увидеть непрерывный аналог преобразования Фурье, рассчитанного дискретным способом, когда n и k изменяются от 0 до N-1, нужно “ разрезать” дискретный образ Фурье в точке N/2 и часть X(k), соответствующую k>N/2 поставить перед первой половиной. При этом чтобы перейти к реальным значениям частот при формировании оси частот нужно умножать частотный отсчет k на величину частотного интервала в герцах. Таким образом, значение частоты на k-ом отсчете равно.
то x 3 (n)~X 3 (k), где X 3 (k)=X 1 (k)+X 2 (k).
Если последовательности x 1 (n) и x 2 (n) имеют разную длину, соответственно N 1 и N 2 , то длина N 3 =max(N 1 ,N 2).
Последовательность меньшей длительности следует дополнить нулями.
- 2. Свойство сдвига.
- 2.1 Сдвиг во временной области.
Если x(n)~X(k) , то x(n-h)~W -kh X(k)
Доказательство:
Используя определение прямого ДПФ в виде (9б) и делая замену переменной суммирования n-h =r или n=r+h, получим:
2.2 Сдвиг в частотной области.
Если x(n)~X(k) , то x(n)W nf ~ X(k-f)
Доказательство этого свойства, аналогичное предыдущему, основано на определении ОДПФ (7б) или (9б).
3. Свойство комплексной сопряженности
Если x(n), где n=0,1,2,..N-1- п
оследовательность действитель- *
ных чисел,а N-четное,и x(n)~X(k) , то X(N/2+r)=X (N/2-r), где
Доказательство:
1) Коэффициенты ДПФ последовательности 8-ми действительных чисел соответственно равны X(0)=5, X(1)=i, X(2)=1+i,X(3)=2+3i,X(4)=2.
Найти значения коэффициентов X(k), k=5,6,7.
Ответ: Согласно свойству (3) X(5)=2+3i,X(6)=1+i,X(7)=i.
2) Показать, что ДПФ N-точечной последовательности
{x(n)}={А,А,...А} есть последовательность N-точечная последовательность {X(k)}={NА,0,0...)}.
Согласно определению прямого ДПФ (7а) и свойству ортогональности экспонент (4)
7.5Теорема Парсеваля. Спектр мощности
Теорема Парсеваля для конечной временной последовательности имеет вид:
Величину
мы назвали спектром мощности.
В силу свойства 3 комплексной сопряженности, спектр мощности будет симметричным относительно k=N/2. Т.к. значения N/2 соответствуют отрицательным частотам, не имеющим физического смысла, то весь смысл спектра мощности как вклада в общую мощность конкретных частот, содержится в первой половине спектра, соответствующего положительным частотам, т.е. значениям 0 Важной особенностью спектра мощности является ее инвариантность к сдвигам N-периодической временной последовательности x(n). Действительно, т.к. согласно свойству сдвига 2.1 x(n-h) ~ W -kh X(k), то C помощью спектра мощности определяется амплитудный спектр: Амплитудный спектр также инвариантен к сдвигам временной последовательности x(n) т.к. p(k) как и Р(k) симметрична относительно k=N/2. Т.к. образ Фурье X(k) даже для действительной последовательности есть комплексная величина, то чтобы сохранить всю информацию об исходной временной последовательности, наряду с амплитудным спектром нужно вычислить фазовый спектр, который определяется следующим образом: где I(k) и R(k) - действительная и мнимая части X(k). Согласно свойству 3 комплексной сопряженности R(N/2+r)=R(N/2-r), a I(N/2+r)=-I(N/2-r). Поэтому фазовый спектр оказывается нечетной Функцией относительно k=N/2 т.е. Ф(N/2+r)=-Ф(N/2-r). Из (14), а также из выражения для ДПФ (7а-9а) следует фундаментальное свойство фазового спектра, заключающееся в инвариантности его относительно умножения на константу. Если известны амплитудный (13) и фазовый (14) спектры сигнала, позволяющие совместно рассчитать образ Фурье то с помощью ОДПФ (7б-9б) можно восстановить исходный сигнал. 7.6 Дискретная свертка
. Определим свертку двух дискретных последовательностей x(n) и y(n), каждая длины N ка к следующую сумму При этом может оказаться, что аргумент n-r будет вне пределов . В зависимости от того, как определим в этом случае значение x(n-r) или y(n-r) получим разные типы сверток: циклическую и линейную. Если такие значения находятся из свойства N-периодичности (цикличности) последовательностей x(n) и y(n), то полученная свертка называется циклической.
При этом говорят, что индекс n-i понимается по модулю N, что как раз и означает, если i-n=k+pN, то x(i-n)=x(k),y(i-n)=y(k). Чтобы отметить этот факт, аргумент n-i заключают в двойные скобки, помечая их одновременно нижним индексом N: Следующий рисунок иллюстрирует сущность циклической свертки, Рис.1 Циклическая свертка. Члены последовательности y(i) располагаются в обратном порядке по отношению к x(i) порядке, причем напротив y(i) располагается x(0). Одно значение h(i) получается суммированием всех попарных произведений противостоящих значений.
Отметим еще один важный факт, касающийся дискретной циклической свертки. В силу N-периодичности последовательностей x(n) и y(n) и свертка их будет также периодична с периодом N. Действительно Отметим, что если свертываемые последовательности имеют разную длину, то более короткую следует дополнить нулями до длины более длинной, и результирующая свертка будет иметь ту же длину. Если положить, что вне пределов 0....N-1 последовательности x(n) и y(n) равны нулю, и, следовательно x(i-n) и y(i-n) равны нулю при отрицательных значениях То полученная форма свертки называется линейной.
На рис.2 иллюстрируется, как вычисляется линейная свертка. Рис.2 Линейная свертка. Индексы последовательности y(i) возрастают в направлении убывания индексов последовательности x(i). Одно значение h(i) получается суммированием всех попарных произведений пересекающихся противостоящих значений.
При этом, в отличие от циклической, можно производить свертку последовательностей различной длины. Длина линейной свертки будет равна N 1 +N 2 -1. Действительно, для вычисления n-го элемента линейной свертки находятся произведения элементов сворачиваемых последовательностей, сумма индексов которых равна n. Поэтому минимальный индекс линейной свертки равен 0, а максимальный - N 1 -1+N 2 -1=N 1 +N 2 -2 и количество элементов N 1 +N 2 +1. Вычисление линейной свертки последовательностей длины N 1 и N 2 можно свести к вычислению циклической свертки, если дополнить обе последовательности до длины N 1 +N 2 -1 добавлением нулей. Пример 1: Вычислить линейную свертку последовательностей {x(n)}={1 2 3 4} и {y(n)}={5 4 3 2 1 }. Ответ: Пример 2: Вычислить циклическую свертку последовательностей: {x(n)}={1,2,-1,3} и {y(n)}={-1,1,4,1}. h(0)=x(i)y(-i)=x(0)y(0)+x(1)y(-1)+x(2)y(-2)+x(3)y(-3)= x(0)y(0)+x(1)y(3)+x(2)y(2)+ h(1)=x(i)y(1-i)=x(0)y(1)+x(1)y(0)+x(2)y(-1)+x(3)y(-2)= x(0)y(1)+x(1)y(0)+x(2)y(3) h(2)= x(r)y(2-r) = x(0)y(2)+x(1)y(1)+x(2)y(0)+ x(3)y(-1) = x(0)y(2)+x(1)y(1)+x(2)y(0)+ x(3)y(3) = 10 h(3)= x(r)y(3-r) = x(0)y(3)+x(1)y(2)+x(2)y(1)+ x(3)y(0) = При этом учтено, что согласно свойству периодичности 4-х точечной последовательности y(n) с периодом N=4, y(-l)=y(4-l). Пример 3: Вычислить циклическую и линейную свертки последовательностей: {x(n)}={1,1,1,1} и {y(n)}={1,1,1,1}. Теорема 1
. x(n)*y(n)~X(k)Y(k). (14) Другими словами, свертка временных последовательностей x(n) и y(n) длины N эквивалентна умножению их образов ДПФ. Доказательство: Используя определение прямого ДПФ (9a), дискретной свертки (12) и свойства сдвига ДПФ 2.1, получим: Теорема 2.
x(n)~X(k) , y(n)~Y(k), где n,k=0,1,.....N-1. x(n)y(n)~X(k)*Y(k). (15) Доказательство: При этом мы воспользовались определением прямого и обратного ДПФ (7-9), свойством ортогональности комплексных экспонент на системе равноотстоящих точек (4), а также определением свертки. 7 .8 Двумерное дискретное преобразование Фурье.
Дискретное преобразование Фурье можно обобщить на случай многих измерений, причем наиболее полезным оказывается обобщение на случай двух измерений, поскольку оно широко применяется при обработке изображений. Двумерное ДПФ определяется следующим образом: Массив данных образует матрицу размером,т.е. Рассмотрим в выражении (16) внутреннюю сумму, которая определяется как Из этого выражения следует, что правая часть представляет собой ДПФ каждого столбца данных . Поэтому введем обозначение Коэффициенты в (20) можно записать в форме матрицы размером В результате подстановки (20) в (16) имеем Это означает, что коэффициенты получаются путем вычисления ДПФ каждой строки матрицы , определенной выражением (21). В результате получается множество из коэффициентов, которые могут быть записаны в виде матрицы Из этих рассуждений следует, что двумерное ДПФ можно рассматривать как кратное использование одномерного ДПФ. Введение
На лабораторном занятии были изучены возможности по дискретному тригонометрическому преобразованию (ДТП) со следующих точек зрения: 1. Проверили свойство обратимости заданного ДТП. 2. Исследовали линейность предложенного ДТП. 3. Изучили особенности повтора спектра у проверяемого ДТП. 4. Определили наличие симметричного отражения спектра у ДТП, а именно 4.1. наличие центральной симметрии, 4.2. наличие осевой (вертикальной) симметрии. 5. Рассмотрели влияние фазовых сдвигов сигнала на результирующее ДТП. 6. Проверили наличие свойства подобия для заданного преобразования. 7. Исследовали возможность фильтрации сигналов с помощью заданного ДТП. 8. Проверили экспериментально сохранение энергии исследуемым ДТП. 9. Обнаружили связь данного ДТП с дискретным преобразованием Фурье. Так же были рассмотрены различные входные сигналы для более представительного анализа. Наиболее известным среди дискретных функциональных преобразований является дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Дискретное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье определяет линейчатый спектр дискретизованной периодической функции времени. Обратное дискретное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию времени по ее спектру. Эти преобразования обычно сокращенно называют соответственно ДПФ и ОДПФ. ДПФ служит для анализа периодических функций, и его можно получить исходя из теории рядов Фурье. Пусть x0(t) - непрерывная периодическая функция с периодом Р и частотой f0 = 1/P так что Функцию x0(t) можно разложить в ряд Фурье: где коэффициенты разложения Х0(n) заданы формулой Обычно x0(t) является действительной функцией, и тогда Х0(n) - комплексные (но это ограничение не обязательно). Поскольку мы рассматриваем x0 как функцию времени, то Х0(n) можно назвать комплексным спектром x0(t). По действительной и мнимой частям X0(n).можно найти амплитуду и фазу составляющих, образующих колебание x0(t). Рассмотрим дискретизацию периодической функции x0(t). Для того чтобы эту функцию можно было дискретизовать однозначно, в ее спектре не должно быть составляющих с частотой, выше некоторой частоты f1 т. е. где n1 - целое значение n, задающее частоту f1. На фиг. 1 показаны такой ограниченный спектр и колебание, которому он соответствует. интервал дискретизации Т равен так что число отсчетов на период будет Фиг. 1. Периодическая функция x0(t) с ограниченной полосой частот и ее спектр X0(n). 1В результате дискретизации получаем периодическое, нормализованное относительно Т колебание вида Это колебание определено на интервале, равном его периоду, т. е. Поскольку x(t/T) – периодическая функция для расчета коэффициентов ряда Фурье используется соотношение (2) (Замена Р на /V в делителе и пределах интегрирования соответствует переходу к нормализованной переменной.) Подставляя выражение (3), получаем Известно, что Окончательно с учетом того, что по определению Соотношение, связывающее x(k) с Х(n), может быть получено непосредственно из формулы (1), если подставить t=kT и учесть, что при ограниченной ширине спектра функции x0(t) сумма содержит конечное число членов. Итак, Следует заметить, что x(k) -периодическая функция, т. е. и аналогично Тот факт, что спектр является периодическим, объясняется периодичностью спектра любой дискретизованной функции, а его дискретный характер связан с тем, что сама дискретизуемая функция также периодическая. Итак, при дискретизации периодической функции x0(t) соотношение (4) позволяет по выборкам x0(t) найти спектр Х(n), который на интервале 0 ≤ n ≤ N - 1 в точности равен спектру Х0(n) исходной периодической функции. Функция x(k) и ее спектр графически представлены на фиг. 2. Поскольку соотношение (5.4) получено на основании теоремы отсчетов, оно является точным и экономичным (при расчетах) эквивалентом исходного интегрального соотношения (2) и может быть использовано для вычисления коэффициентов разложения на ЭВМ. Соотношения (4) и (5) будем называть дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) и обратным дискретным преобразованием Фурье (ОДПФ) соответственно. Заметим, что переменная n меняется здесь от нуля до N-1. Получаемый спектр можно интерпретировать следующим образом. Первые (N/2-1) точек Х(n) -соответствуют (N/2 - 1) спектральным линиям Х0(n) на положительных частотах, как показано на фиг. 5.3, а последние (N/2-1) точек Х(n) соответствуют (N/2-1) спектральным линиям на отрицательных частотах. Пара преобразований, заданная соотношениями (4) и (5), встречается и в другом виде. Например, множитель 1 / N и знак минус у экспоненты могут быть записаны как в прямом, так и в обратном преобразовании, общий смысл при этом не меняется. Естественно, спектр в этом случае нельзя непосредственно отождествлять с тем, который определен формулой (2). Иногда оба преобразования приводятся с одинаковыми множителями (1 / N)1/2. Фиг. 2. Дискретизированная периодическая функция x(k) и ее периодический спектр Х(n). Фиг. 3. Соотношение между коэффициентами ряда Фурье и ДПФ. Свойства ДПФ
Некоторые свойства ДПФ играют в практических вопросах обработки сигналов важную роль. Линейность
Если xр(n) и ур(n) - периодические последовательности (с периодом в N отсчетов каждая), а Хр(k) и Yp(k) - их ДПФ, то дискретное преобразование Фурье последовательности хр(n) + + ур(n) равно Хр(k) + Yp(k). Это положение справедливо и для последовательностей конечной длины. Сдвиг
Если последовательность хр(n) периодическая с периодом в N отсчетов, а ее ДПФ равно Хр(k), то ДПФ периодической последовательности вида хр(n-n0) будет равно. Фиг. 4. К определению ДПФ сдвинутой последовательности. При анализе последовательностей конечной длины необходимо учитывать специфический характер временного сдвига последовательности. Так, на фиг. 4, а изображена конечная последовательность х (п) длиной в N отсчетов. Там же крестиками изображены отсчеты эквивалентной периодической последовательности хр(n), имеющей то же ДПФ, что и х(n). Чтобы найти ДПФ сдвинутой последовательности х(n - n0), причем n0 < N, следует рассмотреть сдвинутую периодическую последовательность Хр(n - n0) и в качестве эквивалентной сдвинутой конечной последовательности (имеющей ДПФ j принять отрезок последовательности хр(n - n0) в интервале 0 ≤ n ≤ N - 1. Таким образом, с точки зрения ДПФ последовательность х(n – n0) получается путем кругового сдвига элементов последовательности х(n) на n0 отсчетов Свойства симметрии
Если периодическая последовательность хр(n) с периодом в./V отсчетов является действительной, то ее ДПФ Хр(k) удовлетворяет следующим условиям симметрии: Аналогичные равенства справедливы и для конечной действительной последовательности х(n), имеющей N-точечное ДПФ X(k). Если ввести дополнительное условие симметрии последовательности хp(n), т. е. считать, что то окажется, что Хр(k) может быть только действительной. Поскольку чаще всего приходится иметь дело с действительными последовательностями, то, вычислив одно ДПФ, можно получить ДПФ двух последовательностей, используя свойства симметрии (6). Рассмотрим действительные периодические последовательности хр(n) и ур(n) с периодами в N отсчетов и N-точечными ДПФ Хр(k) и Yp(k) соответственно. Введем комплексную последовательность zp(n) вида Ее ДПФ равно Выделяя действительную и мнимую части равенства (10), получим Действительные части Хр(k) и Yp(k) симметричны, а мнимые - антисимметричны, поэтому их легко разделить, используя операции сложения и вычитания: Итак, вычисляя одно N-точечное ДПФ, удается преобразовать сразу две действительные последовательности длиной по N отсчетов. Если эти последовательности являются еще и симметричными, то число операций, необходимых для получения их ДПФ, можно сократить еще больше. Похожая информация. Современную технику связи невозможно представить без спектрального анализа. Представление сигналов в частотной области необходимо как для анализа
их характеристик, так и для анализа блоков и узлов приемопередатчиков систем радиосвязи. Для преобразования сигналов в частотную область применяется
прямое преобразование Фурье. Обобщенная формула прямого преобразования Фурье записывается следующим образом: Как видно из этой формулы для частотного анализа производится вычисление корреляционной зависимости между сигналом, представленным во временной
области и комплексной экспонентой с заданной частотой. При этом по формуле Эйлера комплексная экспонента разлагается на реальную и мнимую часть: Сигнал, представленный в частотной области можно снова перевести во временное представление при помощи обратного преобразования Фурье. Обобщенная
формула обратного преобразования Фурье записывается следующим образом: В формуле прямого преобразования Фурье используется интегрирование по времени от минус бесконечности до бесконечности. Естественно это является
математической абстракцией. В реальных условиях мы можем провести интегрирование от данного момента времени, который мы можем обозначить за 0, до
момента времени T. Формула прямого преобразования Фурье при этом будет преобразована к следующему виду: В результате существенно меняются свойства преобразования Фурье
. Спектр сигнала вместо непрерывной функции становится дискретным рядом
значений
. Теперь минимальной частотой и одновременно шагом частотных значений спектра сигнала становится: Только функции sin и cos c частотами k/T
будут взаимно ортогональны, а это является непременным условием преобразования Фурье. Набор первых
функций разложения в ряд Фурье приведен на рисунке 1. При этом длительность функций совпадает с длительностью анализа T
. Теперь спектр сигнала будет выглядеть так, как это показано на рисунке 2. В данном случае формула вычисления прямого преобразования Фурье (4) преобразуется к следующему виду: Формула обратного преобразования Фурье для случая определения спектра на ограниченном отрезке времени будет выглядеть следующим образом: Подобным образом можно определить формулу прямого преобразования Фурье для цифровых отсчетов сигнала. Учитывая, что вместо непрерывного сигнала
используются его цифровые отсчеты, в выражении (6) интеграл заменяется на сумму. В данном случае длительность анализируемого сигнала определяется
количеством цифровых отсчетов N
. Преобразование Фурье для цифровых отсчетов сигнала называется дискретным преобразованием Фурье
и
записывается следующим образом: Теперь рассмотрим как изменились свойства дискретного преобразования Фурье (ДПФ) по сравнению с прямым преобразованием Фурье на ограниченном
интервале времени. Когда мы рассматривали дискретизацию аналогового сигнала, мы выяснили, что спектр входного сигнала должен быть ограничен по
частоте. Это требование ограничивает количество дискретных составляющих спектра сигнала. Первоначально может показаться, что мы можем ограничить
спектр сигнала частотой f
д /2, что соответствует количеству частотных составляющих K = N
/2 . Однако это не так.
Несмотря на то, что спектр сигнала для действительных отсчетов сигнала для положительных частот и отрицательных частот симметричен относительно 0,
отрицательные частоты могут потребоваться для некоторых алгоритмов работы со спектрами, например, для . Еще больше отличие получается при выполнении дискретного преобразования Фурье над комплексными отсчетами
входного сигнала. В результате для полного описания спектра цифрового сигнала требуется N
частотных отсчетов (k = 0, ..., N/2
). Линейная фильтрация изображений может осуществляться как в пространственной,
так и в частотной области. При этом считается, что "низким"
пространственным частотам соответствует основное содержание изображения -
фон и крупноразмерные объекты, а "высоким" пространственным частотам -
мелкоразмерные объекты, мелкие детали крупных форм и шумовая компонента. Традиционно для перехода в область пространственных частот используются
методы, основанные на $\textit{преобразовании Фурье}$. В последние годы все большее применение находят
также методы, основанные на $\textit{вейвлет-преобразовании (wavelet-transform)}$. Преобразование Фурье позволяет представить практически любую функцию или
набор данных в виде комбинации таких тригонометрических функций, как синус и
косинус, что позволяет выявить периодические компоненты в данных и оценить
их вклад в структуру исходных данных или форму функции. Традиционно
различаются три основные формы преобразования Фурье: интегральное
преобразование Фурье, ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье. Интегральное преобразование Фурье переводит
вещественную функцию в пару вещественных функций или одну комплексную
функцию в другую. Вещественную функцию $f(x)$ можно разложить по ортогональной системе
тригонометрических функций, то есть представить в виде $$
f\left(x \right)=\int\limits_0^\infty {A\left(\omega \right)}
\cos \left({2\pi \omega x} \right)d\omega
-\int\limits_0^\infty {B\left(\omega \right)} \sin \left({2\pi \omega x} \right)d\omega ,
$$ где $A(\omega)$ и $B(\omega)$ называются интегральными косинус- и синус-преобразованиями: $$
A\left(\omega \right)=2\int\limits_{-\infty }^{+\infty } {f\left(x
\right)} \cos \left({2\pi \omega x} \right)dx;
\quad
B\left(\omega \right)=2\int\limits_{-\infty }^{+\infty } {f\left(x
\right)} \sin \left({2\pi \omega x} \right)dx.
$$ Ряд Фурье представляет периодическую функцию $f(x)$,
заданную на интервале $$, в виде бесконечного ряда по синусам и
косинусам. То есть периодической функции $f(x)$ ставится в соответствие
бесконечная последовательность коэффициентов Фурье $$
f\left(x \right)=\frac{A_0 }{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty {A_n } \cos \left({\frac{2\pi xn}{b-a}}
\right)+\sum\limits_{n=1}^\infty {B_n \sin \left({\frac{2\pi
xn}{b-a}} \right)} ,
$$ $$
A_n =\frac{2}{b-a}\int\limits_a^b {f\left(x \right)} \cos \left({\frac{2\pi nx}{b-a}} \right)dx;
\quad
B_n =\frac{2}{b-a}\int\limits_a^b {f\left(x \right)} \sin \left({\frac{2\pi nx}{b-a}} \right)dx.
$$ Дискретное преобразование Фурье переводит конечную
последовательность вещественных чисел в конечную последовательность
коэффициентов Фурье. Пусть $\left\{ {x_i } \right\}, i= 0,\ldots, N-1 $ - последовательность вещественных
чисел - например, отсчеты яркости пикселов по строке изображения. Эту
последовательность можно представить в виде комбинации конечных сумм вида $$
x_i =a_0 +\sum\limits_{n=1}^{N/2} {a_n } \cos \left({\frac{2\pi ni}{N}} \right)+\sum\limits_{n=1}^{N/2} {b_n \sin \left({\frac{2\pi
ni}{N}} \right)} ,
$$ $$
a_0 =\frac{1}{N}\sum\limits_{i=0}^{N-1} {x_i } ,
\quad
a_{N/2} =\frac{1}{N}\sum\limits_{i=0}^{N-1} {x_i } \left({-1} \right)^i,
\quad
a_k =\frac{2}{N}\sum\limits_{i=0}^{N-1} {x_i \cos \left({\frac{2\pi ik}{N}}
\right)},
$$ $$
b_k =\frac{2}{N}\sum\limits_{i=0}^{N-1} {x_i \sin \left({\frac{2\pi ik}{N}} \right)},
\quad
i\le k Основное отличие между тремя формами преобразования Фурье заключается в том,
что если интегральное преобразование Фурье определено по всей области
определения функции $f(x)$, то ряд и дискретное преобразование Фурье
определены только на дискретном множестве точек, бесконечном для ряда Фурье
и конечном для дискретного преобразования. Как видно из определений преобразования Фурье, наибольший интерес для систем
цифровой обработки сигналов представляет дискретное преобразование Фурье.
Данные, получаемые с цифровых носителей или источников информации,
представляют собой упорядоченные наборы чисел, записанные в виде векторов
или матриц. Обычно принимается, что входные данные для дискретного преобразования
представляют собой равномерную выборку с шагом $\Delta $, при этом величина
$T=N\Delta $ называется длиной записи, или основным периодом. Основная
частота равна $1/T$. Таким образом, в дискретном преобразовании Фурье
производится разложение входных данных по частотам, которые являются целым
кратным основной частоты. Максимальная частота, определяемая размерностью
входных данных, равна $1/2 \Delta $ и называется $\it{частотой Найквиста}$. Учет частоты Найквиста
имеет важное значение при использовании дискретного преобразования. Если
входные данные имеют периодические составляющие с частотами, превышающими
частоту Найквиста, то при вычислении дискретного преобразования Фурье
произойдет подмена высокочастотных данных более низкой частотой, что может
привести к ошибкам при интерпретации результатов дискретного преобразования. Важным инструментом анализа данных является также $\it{энергетический спектр}$. Мощность сигнала на
частоте $\omega $ определяется следующим образом: $$
P \left(\omega \right)=\frac{1}{2}\left({A \left(\omega \right)^2+B \left(\omega \right)^2} \right) .
$$ Эту величину часто называют $\it{энергией сигнала}$ на частоте $\omega $. Согласно теореме
Парсеваля общая энергия входного сигнала равна сумме энергий по всем
частотам. $$
E=\sum\limits_{i=0}^{N-1} {x_i^2 } =\sum\limits_{i=0}^{N/2} {P \left({\omega _i } \right)} .
$$ График зависимости мощности от частоты называется энергетическим спектром
или спектром мощности. Энергетический спектр позволяет выявлять скрытые
периодичности входных данных и оценивать вклад определенных частотных
компонент в структуру исходных данных. Кроме тригонометрической формы записи дискретного преобразования Фурье
широко используется $\it{комплексное представление}$. Комплексная форма записи преобразования Фурье широко
используется в многомерном анализе и в частности при обработке изображений. Переход из тригонометрической в комплексную форму осуществляется на
основании формулы Эйлера $$
e^{j\omega t}=\cos \omega t+j\sin \omega t,
\quad
j=\sqrt {-1} .
$$ Если входная последовательность представляет собой $N$ комплексных чисел, то
ее дискретное преобразование Фурье будет иметь вид $$
G_m =\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N-1} {x_n } e^{\frac{-2\pi jmn}{N}},
$$ а обратное преобразование $$
x_m =\sum\limits_{n=1}^{N-1} {G_n } e^{\frac{2\pi jmn}{N}}.
$$ Если входная последовательность представляет собой массив вещественных
чисел, то для нее существует как комплексное, так и синусно-косинусное
дискретное преобразование. Взаимосвязь этих представлений выражается
следующим образом: $$
a_0 =G_0 ,
\quad
G_k =\left({a_k -jb_k } \right)/2,
\quad
1\le k\le N/2;
$$ остальные $N/2$ значений преобразования являются комплексно сопряженными и не
несут дополнительной информации. Поэтому график спектра мощности дискретного
преобразования Фурье симметричен относительно $N/2$. Простейший способ вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) -
прямое суммирование, оно приводит к $N$ операциям на каждый коэффициент. Всего
коэффициентов $N$, так что общая сложность $O\left({N^2} \right)$. Такой
подход не представляет практического интереса, так как существуют гораздо
более эффективные способы вычисления ДПФ, называемые быстрым преобразованием
Фурье (БПФ), имеющее сложность $O (N\log N)$.
БПФ применяется только к последовательностям, имеющим длину (число
элементов), кратную степени 2. Наиболее общий принцип, заложенный в алгоритм
БПФ, заключается в разбиении входной последовательности на две
последовательности половинной длины. Первая последовательность заполняется
данными с четными номерами, а вторая - с нечетными. Это дает возможность
вычисления коэффициентов ДПФ через два преобразования размерностью $N/2$. Обозначим $\omega _m =e^{\frac{2\pi j}{m}}$, тогда $G_m =\sum\limits_{n=1}^{(N/2)-1} {x_{2n} } \omega
_{N/2}^{mn} +\sum\limits_{n=1}^{(N/2)-1} {x_{2n+1} }
\omega _{N/2}^{mn} \omega _N^m $. Для $m < N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. Дискретное преобразование Фурье для двумерного массива чисел размера
$M\times N$ определяется следующим образом: $$
G_{uw} =\frac{1}{NM}\sum\limits_{n=1}^{N-1} {\sum\limits_{m=1}^{M-1} {x_{mn}
} } e^{{-2\pi j\left[ {\frac{mu}{M}+\frac{nw}{N}} \right]} },
$$ а обратное преобразование $$
x_{mn} =\sum\limits_{u=1}^{N-1} {\sum\limits_{w=1}^{M-1} {G_{uw} } }
e^{ {2\pi j\left[ {\frac{mu}{M}+\frac{nw}{N}}
\right]} }.
$$ В случае обработки изображений компоненты двумерного преобразования Фурье
называют $\textit{пространственными частотами}$. Важным свойством двумерного преобразования Фурье является возможность его
вычисления с использованием процедуры одномерного БПФ: $$
G_{uw} =\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N-1} { \left[
{\frac{1}{M}\sum\limits_{m=0}^{M-1} {x_{mn} e^{\frac{-2\pi jmw}{M}}} } \right] } e^{\frac{-2\pi jnu}{N}},
$$ Здесь выражение в квадратных скобках есть одномерное преобразование строки
матрицы данных, которое может быть выполнено с одномерным БПФ. Таким
образом, для получения двумерного преобразования Фурье нужно сначала
вычислить одномерные преобразования строк, записать результаты в исходную
матрицу и вычислить
одномерные преобразования для столбцов полученной
матрицы. При вычислении двумерного преобразования Фурье низкие частоты будут
сосредоточены в углах матрицы, что не очень удобно для дальнейшей обработки
полученной информации. Для перевода получения представления двумерного
преобразования Фурье, в котором низкие частоты сосредоточены в центре
матрицы, можно выполнить простую процедуру, заключающуюся в умножении
исходных данных на $-1^{m+n}$. На рис. 16 показаны исходное изображение и его Фурье-образ. Полутоновое изображение и его Фурье-образ (изображения получены в системе LabVIEW) Свертка функций $s(t)$ и $r(t)$ определяется как $$
s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_{-\infty }^{+\infty } {s(\tau)} r(t-\tau)d\tau .
$$ На практике приходится иметь дело с дискретной сверткой, в которой
непрерывные функции заменяются наборами значений в узлах равномерной сетки
(обычно берется целочисленная сетка): $$
(r\ast s)_j \cong \sum\limits_{k=-N}^P {s_{j-k} r_k }.
$$ Здесь $-N$ и $P$ определяют диапазон, за пределами которого $r(t) = 0$. При вычислении свертки с помощью преобразования Фурье используется свойство
преобразования Фурье, согласно которому произведение образов функций в
частотной области эквивалентно свертке этих функций во временн ой области. Для вычисления сверки необходимо преобразовать исходные данные в частотную
область, то есть вычислить их преобразование Фурье, перемножить результаты
преобразования и выполнить обратное преобразование Фурье, восстановив
исходное представление. Единственная тонкость в работе алгоритма связана с тем, что в случае
дискретного преобразования Фурье (в отличие от непрерывного) происходит
свертка двух периодических функций, то есть наши наборы значений задают
именно периоды этих функций, а не просто значения на каком-то отдельном
участке оси. То есть алгоритм считает, что за точкой $x_{N }$ идет не ноль, а
точка $x_{0}$, и так далее по кругу. Поэтому, чтобы свертка корректно
считалась, необходимо приписать к сигналу достаточно длинную
последовательность нулей. Линейные методы фильтрации относятся к числу хорошо структурированных
методов, для которых разработаны эффективные вычислительные схемы,
основанные на быстрых алгоритмах свертки и спектральном анализе. В общем
виде линейные алгоритмы фильтрации выполняют преобразование вида $$
f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta ,
$$ где $K(\zeta ,\eta)$ - ядро линейного преобразования. При дискретном представлении сигнала интеграл в данной формуле вырождается
во взвешенную сумму отсчетов исходного изображения в пределах некоторой
апертуры. При этом выбор ядра $K(\zeta ,\eta)$ в соответствии с тем или
иным критерием оптимальности может привести к ряду полезных свойств
(гауссовское сглаживание при регуляризации задачи численного
дифференцирования изображения и др.). Наиболее эффективно линейные методы обработки реализуются в частотной
области. Использование Фурье-образа изображения для выполнения операций фильтрации
обусловлено прежде всего более высокой производительностью таких операций.
Как правило, выполнение прямого и обратного двумерного преобразования Фурье
и умножение на коэффициенты Фурье-образа фильтра занимает меньше времени,
чем выполнение двумерной свертки исходного изображения. Алгоритмы фильтрации в частотной области основываются на теореме о свертке.
В двумерном случае преобразование свертки выглядит следующим образом: $$
G\left({u,v} \right)=H\left({u,v} \right)F\left({u,v} \right),
$$ где $G$ - Фурье-образ результата свертки, $H$ - Фурье-образ фильтра, а
$F$ - Фурье-образ исходного изображения. То есть в частотной области двумерная
свертка заменяется поэлементным перемножением образов исходного изображения
и соответствующего фильтра. Для выполнения свертки необходимо выполнить следующие действия. Связь между функцией фильтра в частотной и пространственной области можно
определить, используя теорему о свертке $$
\Phi \left[ {f\left({x,y} \right)\ast h(x,y)} \right]=F\left({u,v}
\right)H\left({u,v} \right),
$$ $$
\Phi \left[ {f\left({x,y} \right)h(x,y)} \right]=F\left({u,v} \right)\ast
H\left({u,v} \right).
$$ Свертка функции с импульсной функцией может быть представлена следующим
образом: $$
\sum\limits_{x=0}^M {\sum\limits_{y=0}^N {s\left({x,y} \right)}
} \delta \left({x-x_0 ,y-y_0 } \right)=s(x_0 ,y_0).
$$ Фурье-преобразование импульсной функции $$
F\left({u,v} \right)=\frac{1}{MN}\sum\limits_{x=0}^M
{\sum\limits_{y=0}^N {\delta \left({x,y} \right) } } e^{ {-2\pi
j\left({\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}}
\right)} }
=\frac{1}{MN}.
$$ Пусть $f(x,y) = \delta (x,y)$, тогда свертка $$
f\left({x,y} \right)\ast h(x,y)=\frac{1}{MN}h\left({x,y} \right),
$$ $$
\Phi \left[ {\delta \left({x,y} \right)\ast h(x,y)} \right]=\Phi
\left[ {\delta \left({x,y} \right)} \right]H\left({u,v}
\right)=\frac{1}{MN}H\left({u,v} \right).
$$ Из этих выражений видно, что функции фильтра в частотной и пространственной
областях взаимосвязаны через преобразование Фурье. Для данной функции
фильтра в частотной области всегда можно найти соответствующий фильтр в
пространственной области, применив обратное преобразование Фурье. То же верно
и для обратного случая. Используя данную взаимосвязь, можно определить
процедуру синтеза пространственных линейных фильтров.
{$\textit{Идеальный фильтр низких частот}$} $H(u,v)$ имеет вид
$$H(u,v) = 1, \quad \mbox{если }D(u,v) < D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. {$\textit{Идеальный высокочастотный фильтр}$} получается путем
инверсии идеального низкочастотного фильтра: $$
H"(u,v) = 1-H(u,v).
$$ Здесь происходит полное подавление низкочастотных компонент при сохранении
высокочастотных. Однако как и в случае идеального низкочастотного фильтра,
его применение чревато появлением существенных искажений. Для синтеза фильтров с минимальными искажениями используются различные
подходы. Одним из них является синтез фильтров на основе экспоненты. Такие
фильтры привносят минимальные искажения в результирующее изображение и
удобны для синтеза в частотной области. Широко используемым при обработке изображений является семейство фильтров на
основании вещественной функции Гаусса. $\textit{Низкочастотный гауссовский фильтр}$ имеет вид $$
h\left(x \right)=\sqrt {2\pi } \sigma Ae^{-2\left({\pi \sigma
x} \right)^2} \mbox{ и } H\left(u \right)=Ae^{-\frac{u^2}{2\sigma ^2}}
$$ Чем уже профиль фильтра в частотной области (чем больше $\sigma $), тем он
шире в пространственной. {$\textit{Высокочастотный гауссовский фильтр}$} имеет вид $$
h\left(x \right)=\sqrt {2\pi } \sigma _A Ae^{-2\left({\pi \sigma _A x}
\right)^2}-\sqrt {2\pi } \sigma _B Be^{-2\left({\pi \sigma _B x} \right)^2 },
$$ $$
H\left(u \right)=Ae^{-\frac{u^2}{2\sigma _A^2 }}-Be^{-\frac{u^2}{2\sigma
_B^2 }}.
$$ В двумерном случае {$\it{низкочастотный}$} фильтр гаусса
выглядит следующим образом: $$
H\left({u,v} \right)=e^{-\frac{D^2\left({u,v} \right)}{2D_0^2 }}.
$$ {$\it{Высокочастотный}$} гауссовский фильтр имеет вид $$
H\left({u,v} \right)=1-e^{-\frac{D^2\left({u,v} \right)}{2D_0^2 }}.
$$ Рассмотрим пример фильтрации изображения (рис. 1) в частотной области
(рис. 17 - 22). Заметим, что частотная фильтрация изображения может
иметь смысл как сглаживания ($\textit{низкочастотная фильтрация}$), так и выделения контуров и мелкоразмерных
объектов ($\textit{высокочастотная фильтрация}$). Как видно из рис. 17, 19, по мере нарастания "мощности" фильтрации в низкочастотной
составляющей изображения все сильнее проявляется эффект "кажущейся расфокусировки" или
$\it{размытия}$ изображения. В то же время в высокочастотную составляющую, где в начале
наблюдаются лишь контура объектов, постепенно переходит большая часть
информационного содержания изображения (рис. 18, 20 - 22). Рассмотрим теперь поведение высокочастотных и низкочастотных фильтров
(рис. 23 - 28)
в присутствии аддитивного гауссовского шума на изображении (рис. 7). Как видно из рис. 23, 25, свойства низкочастотных фильтров по
подавлению аддитивной случайной помехи аналогичны свойствам ранее
рассмотренных линейных фильтров - при достаточной мощности фильтра помехи
подавляются, однако платой за это является сильное размытие контуров и
"расфокусировка" всего изображения. Высокочастотная составляющая
зашумленного изображения перестает быть информативной, так как помимо
контурной и объектовой информации там теперь также полностью присутствует и
шумовая компонента (рис. 27, 28). Применение частотных методов наиболее целесообразно в случае, когда известны
статистическая модель шумового процесса или/и оптическая передаточная
функция канала передачи изображения. Учесть такие априорные данные удобно,
выбрав в качестве восстанавливающего фильтра обобщенный управляемый
(параметрами $\sigma$ и $\mu$) фильтр следующего вида: $$
F(w_1,w_2)=
\left[
{ \frac
{1}
{P(w_1,w_2)}
}\right]
\cdot
\left[
{\frac
{{\vert P(w_1,w_2) \vert }^2}
{\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2}
}\right].
$$ где $0 < \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. К достоинствам методов линейной фильтрации следует отнести их ясный
физический смысл и простоту анализа результатов. Однако при резком ухудшении
соотношения сигнал/шум, при возможных вариантах площадного зашумления и
наличии высокоамплитудного импульсного шума линейные методы предварительной
обработки могут оказаться недостаточными. В этой ситуации значительно более
мощными оказываются нелинейные методы.
(3)
(4)
, (5)
Рисунок 1. Функции разложения в ряд Фурье
Рисунок 2. Спектр функции x
(t
) при анализе на ограниченном интервале времени
(6)
(7)
Преобразование Фурье.
Комплексное представление преобразования Фурье.
Быстрое преобразование Фурье.
Двумерное преобразование Фурье.
Свертка с использованием преобразования Фурье.
Фильтрация изображений в частотной области.
