Все мы неоднократно слышали выражение «держать в ежовых рукавицах». Смысл выражения большинству из нас понятен – это означает обращаться с кем-то строго и жестко, держать на «коротком поводке» и не допускать слабины. И вероятно, многим из нас приходила в голову ассоциация с рукавицами, сделанными из ежей, точнее из их шкурок – разумеется, ощущение, когда тебя держат в рукавицах, полных колючек, вряд ли можно назвать свободным и приятным…
Но каково же происхождение этого выражения? И существовал ли когда-нибудь такой предмет, как ежовые рукавицы, откуда этот образ и перекочевал в этот фразеологический оборот, и если да, то как они выглядели?
В конце первой половины ХХ века, после эпохи печально известного сталинского правления было распространено мнение, что выражение это пошло от наркома НКВД по фамилии Ежов, который прославился своей жесткостью и репрессиями в 30-х годах. Этот образ был дополнительно закреплен в народном сознании плакатом художника Ефимова, который так и назывался: «Ежовые рукавицы». На этом плакате был изображен нарком, держащих в колючих (значит, все-таки из ежей?) рукавицах чудовище в виде многоголовой гидры – в ней были олицетворены «враги режима» троцкисты и бухаринцы.
Но на самом деле это выражение намного старше сталинских репрессий. Известно оно было с гораздо более давних времен, и неоднократно встречалось в классической русской литературе – выражение «держать в ежовых рукавицах» можно найти в произведениях и Пушкина, и Чехова, и Тургенева. Употреблялось оно в значении, близком к значению современному – то есть «прижать к ногтю», не давать послабления и возможности вырваться из-под строгого контроля. В словарях XVIII века имеется пословица: «Ежовыми рукавицами да за мягкое тело приниматься», при этом смысл ее был близок к озвученному выше, хоть и не имелось в виду наказание.
Откуда же произошел образ, используемый в выражении? И как все-таки выглядели те самые ежовые рукавицы?
Дело в том, что в подвалах домов и амбарах крестьян нередко заводились мыши (что неудивительно, так как именно там крестьяне хранили свои запасы). Для борьбы с ними использовались не только кошки, но и другие хищники, охотящиеся на мышей, а именно ежи. Но кошка животное домашнее, прирученное, но вот как заманить в нужное помещение ежа? Взять его в голые руки проблематично, как раз по причине его колючей шкуры. Что же тогда делать? Именно для этого и были нужны ежовые рукавицы, или так называемые голицы. Они делались из очень толстой кожи и не имели подкладки. Вот такими-то рукавицами и можно взять ежа, свернувшегося в колючий клубок, и отнести его в амбар или подвал к новым охотничьим угодьям. А потом, когда он блестяще выполнит свою миссию и справится с мышиной напастью, этими же рукавицами отнести его на волю.
Так что при изготовлении ежовых рукавиц ни один ежик не пострадал!
Держать в ежовых рукавицах
кого
. Разг. Экспрес. Строго, сурово обращаться с кем-либо. Я был под началом Кольки Маслова, мальчишки одинаково шустрого как в учёбе, так и в озорстве; лишь по странной случайности малый этот был в стороне от драчунов, видно, строгий батька держал сына в ежовых рукавицах
(М. Алексеев. Драчуны).
Фразеологический словарь русского литературного языка. - М.: Астрель, АСТ . А. И. Фёдоров . 2008 .
Смотреть что такое "Держать в ежовых рукавицах" в других словарях:
Держать в ежовых рукавицах - РУКАВИ А, ы, ж. Предмет одежды, закрывающий всю кисть и большой палец отдельно. Меховые рукавицы. Брезентовые рукавицы (рабочие). Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
держать в ежовых рукавицах - См. теснить... Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999 … Словарь синонимов
держать в ежовых рукавицах - держать кого либо в строгом повиновении, очень строго и сурово обходиться с кем либо. Ежовые рукавицы (голицы) – рабочие кожаные рукавицы без подкладки и меха, они предназначались для ловли ежей. Еще в XVIII веке выражение ежовые рукавицы… … Справочник по фразеологии
Держать в ежовых рукавицах - кого. Разг. Обходиться с кем л. строго, сурово; воспитывать кого л. в большой строгости. ДП, 219; БТС, 252; ФСРЯ, 396; БМС 1998, 507; ЗС 1996, 227; СРГК 3, 173; Ф 1, 157; СОСВ, 67 …
держать в ежовых рукавицах - см. ежовый … Словарь многих выражений
держать(кого) в ежовых рукавицах - Ср. Он постоянно следил за мною, точно я была способна на все преступления и меня следовало держать в ежовых рукавицах. Тургенев. Несчастная. 17. Ср. Я жестоко ошибаюсь, если он, наученный опытом и едва спасшись от погибели, неумолимо не держал… … Большой толково-фразеологический словарь Михельсона
Держать в ежовых рукавах - кого. Новг. То же, что держать в ежовых рукавицах (РУКАВИЦА). НОС 2, 85 … Большой словарь русских поговорок
Держать(кого) в ежовых рукавицах - Держать (кого) въ ежовыхъ рукавицахъ. Ср. Онъ постоянно слѣдилъ за мною, точно я была способна на всѣ преступленія и меня слѣдовало держать въ ежовыхъ рукавицахъ. Тургеневъ. Несчастная. 17. Ср. Я жестоко ошибаюсь, если онъ, наученный опытомъ, и… … Большой толково-фразеологический словарь Михельсона (оригинальная орфография)
держать кого-л. в ежовых рукавицах - разг. Обходиться с кем л. строго, сурово … Словарь многих выражений
в ежовых рукавицах - <в ежовые рукавицы> Разг. Неизм. Строго, сурово, в большой строгости. Чаще с глаг. несов. вида: держать… как? в ежовых рукавицах; брать… в ежовые рукавицы. Нужно разве, чтобы они крестьяне вечно были перед глазами Чичикова и чтоб он держал… … Учебный фразеологический словарь
Книги
- Доброе слово и револьвер менеджера , Константин Мухортин. Цитата Увольняя сотрудника бурно, "как в кино", можно подложить свинью и себе, и компании. По статистике, "обиженный" сотрудник (как и клиент) распространяет в пять разбольше негативной…
Русский язык чрезвычайно богат фразеологическими оборотами и эмоционально окрашенной лексикой. Наша словесность в ярких красках даст любому явлению или живому существу точное определение. Так и к жестокому обращению нашлась меткая ассоциация − ежовые рукавицы. Но правильно ли мы воспринимаем это понятие и что на самом деле имели в виду наши предки? Давайте узнаем.
Откуда взялись ежовые рукавицы?
Своими корнями данный фразеологизм уходит в далекое прошлое. Во времена крестьянства, когда, помимо жилища, у русского человека был пристроен еще и амбар с зерновыми культурами, перед ним стояла острая проблема: как сделать так, чтобы урожай остался цел и невредим? Нашествия мышей становились для агрария настоящей проблемой. Самым эффективным приемом против прожорливых грызунов были хищные животные − как минимум коты. Так причем тут ежи?
В нашем быту коты частично утратили функцию отлова кого-либо, ибо хозяева приносят им пищу на блюдечке с голубой каемочкой. А ежи и вовсе кажутся дикими, неручным животными. Но изобретательные крестьяне использовали живых ежей в целях вылова мышей в своих угодьях. Чтобы поймать такой ценный для хозяйства экземпляр, селянам требовалось защитное обмундирование. Так были придуманы голицы − тот самый прототип рукавиц. Их изготавливали из очень толстой кожи, подкладка предусмотрена не была.
С ежовыми рукавицами крестьянину было под силу быстро справиться с колючими иголками. Ежи прекрасно выполняли свою функцию мышеловов. Поэтому этот метод избавления от мышей пользовался популярностью. Итак, эти грубые рукавички были нужны для решения наболевшего бытового вопроса, а устойчивым выражением они стали лишь много лет спустя.
Легенда о Ежове
Новая жизнь этого словосочетания началась в Советском Союзе, во времена правления Сталина. Был такой народный комиссар в печально известном НКВД − Николай Ежов. Сообразно своему положению в государственном аппарате он славился жестоким, безжалостным характером. Художник Ефимов даже выпустил сатирический плакат. На нем Ежов был изображен в колючих рукавицах, держащим в руках трехглавого змея. Чудище было олицетворением врагов государства − приспешников Троцкого и Бухарина.
Таким образом, выражение радикально изменило свое значение. Из рукавиц для ловли ежей в сознании людей они превратились в рукавицы из ежей. Ранее выражение "ежовые рукавицы" использовали в классической литературе такие авторы, как Пушкин, Тургенев, Чехов, в его изначальном понимании. Но язык развивается, не стоит на месте, поэтому время и история порой меняют его до неузнаваемости.
Ежовые рукавицы: значение в современности
В повседневной жизни каждому наверняка не раз приходилось использовать фразу "держать в ежовых рукавицах". Значение фразеологизма понятно даже школьнику − это строгое и жестокое обращение к кому-либо. Часто его применяют по отношению к деспотичному начальству или даже к шаловливым детям, которые так и норовят нарушить родительские правила. Какая же ассоциация возникает у человека в этот момент? Правильно, он представляет себе игольчатые варежки, которыми в буквальном смысле можно укрепить свой авторитет (с помощью грубой силы, разумеется).
Изначально ежи были совсем ни при чем. Такие рукавицы относились к галантерейным изделиям из кожи. Хоть и не для красоты их надевали, а в сугубо практичных целях. Ну а сейчас защитники животных, скорее всего, были бы возмущены таким обращением с бедными ежами. Хорошо, что это всего лишь безобидная игра слов. Коме улыбки, она не способна вызвать у собеседника никаких других эмоций.
Антоним для фразеологизма
У крылатой фразы "ежовые рукавицы" есть несколько антонимичных ей. Это вполне закономерно, что со временем к каждому устойчивому выражению люди находят полностью противоположные. Приемом антитезы также пользуются писатели и люди всех профессии, которые так или иначе касаются изучения русского языка. Какие же антонимы можно подобрать к данному фразеологизму? Самый простой вариант − души не чаять в ком-то или в чем-то. Это значит безгранично любить и ласково относиться к кому-то. Так что противоположное мнение можно выразить с помощью именно этого выражения.
Фразеологизмы-синонимы
Фразеологизм "в ежовых рукавицах" имеет также несколько подобных себе по значению. К одному из них можно отнести устойчивое выражение "держать в черном теле". Его смысл заключается в том, чтобы удерживать кого-то в абсолютном повиновении или плохо обращаться. Возникла эта фраза в тюркском языке. Этот народ повсеместно занимался коневодством. У них было принято не кормить лошадей досыта, чтобы они не теряли свою физическую форму. В этом смысле фразу следует трактовать как "черное мясо" − мясо без жира.
Близким по значению также является фразеологизм "держать на коротком поводке". Это значит, что не следует давать кому-либо слишком много свободы.
Дорогие читатели! Увы и ах, но обстоятельства по-прежнему не позволяют мне встречаться с вами так часто, как хотелось бы. Я, Надя Бохан, благодарю вас за внимание и говорю вам «до встречи!». Передаю бразды правления новому автору и надеюсь, он будет держать их в ежовых рукавицах. А почему в ежовых, и что это за рукавицы, он вам сам и расскажет.
Тайну происхождения обыкновенных рукавиц мы уже открыли, попытаемся на сей раз разведать родословную «ежовых рукавиц», их применение и прочее.
На первый взгляд, всё достаточно прозрачно – наверняка, это рукавицы, изготовленные из ежей. Воображение живо рисует отважного портняжку, которому пришла в голову безумная идея пошить из шкурок маленьких безобидных и даже полезных (с точки зрения садоводов-огородников) фырчащих животных одежду для рук. Очевидно, однако, что никакой ценности, кроме эстетической и воспитательной, такие рукавицы не представляют. Тем не менее, эта чудовищная догадка о швеце, не слыхавшем о Гринписе, не так далека от истины. В толковом словаре Даля утверждается, что из игольчатых шкурок шились специальные намордники для подросших телят, чтобы корова не давалась им сосать.
А при чём тут рукавички?
Вспомним род князей Голицыных. Своей фамилией они обязаны широко известным в узких кругах голицам. Так назывались рабочие верхонки из грубой кожи без шерстяных или меховых подкладок. Облачившись в них, можно безболезненно для себя делать почти всё что угодно: хоть ежей ловить. Этому нехитрому занятию с их помощью преимущественно и предавались. Ну, а голицы оттого прозвище получили – «ежовые рукавицы».
Фразеологический оборот «взять кого-то в ежовые рукавицы» родился из малоизвестной русской поговорки «ежовыми рукавицами да за мягкое тело приниматься» и не менее малоизвестной русской пословицы «Ежёвая голица – учить мастерица». В XIX веке с лёгких рук писателей, которых мы привыкли называть нашим всем, он стал часто использоваться в литературе, что, натурально, принесло ежовым рукавицам их славу.
Помните неудачную попытку Петруши Гринёва без зазрения совести обмануть престарелого немца-генерала в «Капитанской дочке»?
– Теперь о деле... К вам моего повесу... гм... «держать в ежовых рукавицах»... Что такое ешёвы рукавиц? Это должно быть русска поговорк... Что такое «дершать в ешёвых рукавицах»? – повторил он, обращаясь ко мне.
– Это значит, – отвечал я ему с видом как можно более невинным, – обходиться ласково, не слишком строго, давать побольше воли, держать в ежовых рукавицах.
– Гм, понимаю... «и не давать ему воли»... нет, видно ешёвы рукавицы значит не то...
Ровно через сто лет, в тридцатых годах двадцатого столетия словосочетание «ежовые рукавицы» приобрело чрезвычайно зловещий смысл. По иронии судьбы, НКВД СССР в то время возглавлял Николай Ежов.
На плакате художник Б. Ефимов изобразил самого комиссара, крепко держащего за горло гадину с головами «троцкистско-бухаринско-рыковских шпионов, вредителей, диверсантов».
Примечательно, что после того, как главный наркомвнуделец в 1939 году оказался на месте своих жертв, ежовые рукавицы не переименовали в «бериевые».
Содержание урокаСложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей бывает двух видов:
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
- Сложение дробей с разными знаменателями
Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Сложить дроби и .
В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:
Пример 3 . Сложить дроби и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:
Пример 4.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.
Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
Сложение дробей с разными знаменателями
Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.
А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.
Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.
Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1 . Сложим дроби и
В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6
НОК (2 и 3) = 6
Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.
Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.
Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:
Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:
Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).
Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).
Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:
Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.
Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:
- Найти НОК знаменателей дробей;
- Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
- Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
- Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
Пример 2.
Найти значение выражения 
.
Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.
Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей
Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4
Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби
Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:
Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители
Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:
Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:
Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.
Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть
У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:
Получили ответ
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей бывает двух видов:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Вычитание дробей с разными знаменателями
Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.
Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения .
Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 3.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:
Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Найти значение выражения:
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь возвращаемся к дробям и
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:
Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Получили ответ
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы
Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:
Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):
Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.
Пример 2.
Найти значение выражения 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Найдём НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:
Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:
В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.
Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.
Итак, находим НОД чисел 20 и 30:
Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10
Получили ответ
Умножение дроби на число
Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.
Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .
Умножим числитель дроби на число 1
Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы
Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:
Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножим числитель дроби на 4
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы
А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:
Умножение дробей
Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.
Пример 1. Найти значение выражения .
Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:
Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:
Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:
И взять от этих трех кусочков два:
У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:
Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:
Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Пример 3. Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.
Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:
Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15
Представление целого числа в виде дроби
Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:
Обратные числа
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:
Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:
Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:
Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.
Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.
Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.
Деление дроби на число
Допустим, у нас имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?
Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.
Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.
Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.
Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.
Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.
Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на
