В непрерывной имитационной модели состояние системы представляется с помощью непрерывно изменяющихся зависи­мых переменных. Для того чтобы отличать непрерывно изме­няющиеся переменные от дискретно изменяющихся, будем первые называть переменными состояния . Непрерывная имита­ционная модель создается путем задания уравнений для сово­купности переменных состояния, динамическое поведение ко­торых имитирует реальную систему.

Модели непрерывных систем часто определяются в терми­нах производных переменных состояния. Это объясняется тем, что иногда легче задать выражение для определения скорости изменения переменной состояния, чем сделать это непосред­ственно для самой переменной. Уравнения такого вида, вклю­чающие производные переменных состояния, называются диф­ференциальными уравнениями. Пусть, например, в процессе разработки модели мы составили следующее дифференциальное уравнение для переменной состояния по времени :

Первое уравнение определяет скорость изменения как функ­цию от и , второе уравнение - начальное условие для пере­менной состояния. Цель имитационного эксперимента опре­делить реакцию переменной состояния в зависимости от ими­тационного времени.

В некоторых случаях возможно определение аналитического выражения для переменной состояния , заданного уравнением для . Однако на практике в большинстве случаев анали­тическое выражение для не известно. В результате мы долж­ны получить реакцию путем интегрирования по времени, используя уравнение следующего вида:

Каким образом выполняется интегрирование, зависит от того, использует ли разработчик аналоговый или цифровой компью­тер. В 50-х и 60-х годах аналоговые компьютеры были основным средством реализации непрерывных моделей. Аналоговые компьютеры представляют переменные состояния в модели с помощью электрических цепей. Динамическая структура сис­темы моделируется с помощью таких элементов, как резисто­ры, конденсаторы и усилители. Основной недостаток аналого­вых компьютеров состоит в том, что от характеристик этих элементов зависит точность результатов. Кроме того, в анало­говом компьютере мало логических контрольных функций и отсутствуют те возможности хранения данных, которые име­ются в цифровом компьютере.

Ряд непрерывных имитационных языков был разработан для цифровых компьютеров. Несмотря на то, что цифровой компьютер является дискретным устройством, практически любая переменная, значение которой ограничивается только размером слова компьютера, может рассматриваться как не­прерывная.

Цифровой компьютер с большой скоростью и точностью вы­полняет основные математические операции, такие, как сложе­ние, умножение и логическое тестирование. Выполнение же интегрирования требует применения числовых методов интегри­рования. При использовании этих методов независимая пере­менная (обычно время) разделяется на части, называемые шагами. Значения переменных состояния, требующие интегри­рования, получаются путем аппроксимации производных этих переменных по времени. Точность получаемых значений зави­сит от порядка аппроксимационного метода и размера шага: более высокую точность дают аппроксимации высокого порядка и наименьшие размеры шагов. Так как аппроксимации высокого порядка и небольшие размеры шага требуют больше вычисле­ний, то существует зависимость между точностью вычислений переменной состояния и затрачиваемым при этом машинным временем.

Методы моделирования систем

Постановка любой задачи заключается в том, чтобы перевести её словесное, вербальное описание в формальное. В случае относительно простых задач такой переход осуществляется в сознании человека, который не всегда даже может объяснить, как он это сделал. Если полученная формальная модель (математическая зависимость между величинами в виде формулы, уравнения, системы уравнений) опирается на фундаментальный закон или подтверждается экспериментом, то этим доказывается её адекватность отображаемой ситуации, и модель рекомендуется для решения задач соответствующего класса.

По мере усложнения задач получение модели и доказательство её адекватности усложняется. Вначале эксперимент становится дорогим и опасным (например, при создании сложных технических комплексов, при реализации космических программ и т.д.), а применительно к экономическим объектам эксперимент становится практическим нереализуемым, задача переходит в класс проблем принятия решений, и постановка задачи, формирование модели, т.е. перевод вербального описания в формальное, становится важной составной частью процесса принятия решения. Причём эту составную часть не всегда можно выделить как отдельный этап, завершив который, можно обращаться с полученной формальной моделью так же, как с обычным математическим описанием, строгим и абсолютно справедливым. Большинство реальных ситуаций проектирования сложных технических комплексов и управления экономикой необходимо отображать классом самоорганизующихся систем, модели которых должны постоянно корректироваться и развиваться.

При этом возможно изменение не только модели, но и метода моделирования, что часто является средством развития представления ЛПР о моделируемой ситуации. Иными словами, перевод вербального описания в формальное, осмысление, интерпретация модели и получаемых результатов становятся неотъемлемой частью практически каждого этапа моделирования сложной развивающейся системы.

Часто для того чтобы точнее охарактеризовать такой подход к моделированию процессов принятия решений, говорят о создании «механизма» моделирования, «механизма» принятия решений (например, «хозяйственный механизм», «механизм проектирования и развития предприятия» и т.п.).

Возникающие вопросы – как формировать такие развивающиеся модели или «механизмы»? как доказывать адекватность моделей? – и являются основным предметом системного анализа.

Для решения проблемы перевода вербального описания в формальное в различных областях деятельности стали развиваться специальные приёмы и методы. Так, возникли методы типа «мозговой атаки», «сценариев», экспертных оценок, «дерева целей» и т.п.

В свою очередь, развитие математики шло по пути расширения средств постановки и решения трудноформализуемых задач. Наряду с детерминированными, аналитическими методами классической математики возникла теория вероятностей и математическая статистика (как средство доказательства адекватности модели на основе представительной выборки и понятия вероятности правомерности использования модели и результатов моделирования). Для задач с большей степенью неопределённости инженеры стали привлекать теорию множеств, математическую логику, математическую лингвистику, теорию графов, что во многом стимулировало развитие этих направлений. Иными словами, математика стала постепенно накапливать средства работы с неопределённостью, со смыслом, который классическая математика исключала из объектов своего рассмотрения.

Таким образом, между неформальным, образным мышлением человека и формальными моделями классической математики сложился как бы «спектр» методов, которые помогают получать и уточнять (формализовать) вербальное описание проблемной ситуации, с одной стороны, и интерпретировать формальные модели, связывать их с реальной действительностью, с другой. Этот спектр условно представлен на рис. 2.1, а.

Развитие методов моделирования, разумеется, шло не так последовательно, как показано на рис. 2.1, а. Методы возникали и развивались параллельно. Существуют различные модификации сходных методов. Их по-разному объединяли в группы, т.е. исследователи предлагали разные классификации (в основном – для формальных методов, что более подробно будет рассмотрено в следующем параграфе). Постоянно возникают новые методы моделирования как бы на «пересечении» уже сложившихся групп. Однако основную идею – существование «спектра» методов между вербальным и формальным представлением проблемной ситуации – этот рисунок иллюстрирует.

Первоначально исследователи, развивающие теорию систем, предлагали классификации систем и старались поставить им в соответствие определённые методы моделирования, позволяющие наилучшим образом отразить особенности того или иного класса. Такой подход к выбору методов моделирования подобен подходу прикладной математики. Однако в отличие от последней, в основу которой положены классы прикладных задач, системный анализ может один и тот же объект или одну и ту же проблемную ситуацию (в зависимости от степени неопределённости и по мере познания) отображать разными классами систем и соответственно различными моделями, как бы организовывая таким образом процесс постепенной формализации задачи, т.е. «выращивание» её формальной модели. Подход помогает понять, что неверно выбранный метод моделирования может привести к неверным результатам, к невозможности доказательства адекватности модели, к увеличению числа итераций и затягиванию решения проблемы.

Лабораторная работа №2

Моделирование непрерывных систем

При цифровом моделировании непрерывных систем необходимо обеспечить близость процессов в моделируемой непрерывной системе и в ее цифровой реализации. Несовпадение этих процессов связано с двумя причинами: 1) заменой непрерывного входного процесса цифровым и 2) использованием численных методов анализа.

При замене непрерывного процесса цифровым возникают ошибки из-за квантования по уровню (шумы квантования) и дискретизации по времени (ошибки восстановления непрерывного процесса по его дискретным отсчетам). Шумы квантования считаются случайным процессом с дисперсией h 2 /12, где h – величина шага квантования. При 16-разрядном двоичном представлении числа шаг квантования равен примерно одной 65-тысячной этого числа. Поэтому шумами квантования можно пренебречь. Восстановить непрерывный процесс по его дискретным отсчетам можно без ошибки согласно теореме Котельникова, если спектр этого процесса ограничен частотой f гр (S (f ) = 0 при f > f гр) и частота дискретизации f дискр ³ 2f гр. При функциональном моделировании систем частоту дискретизации обычно берут много больше f гр: f дискр = (10 – 20)f гр, где f гр = f в – верхняя частота спектра, т. е. частота, на которой спектр процесса спадает до достаточно малой величины.

Математическая модель непрерывной системы представляет собой или нелинейное дифференциальное уравнение (в системах компьютерной математики) или совокупность соединенных между собой линейных и нелинейных блоков (в системах визуального моделирования).

Разработано большое количество методов численного решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим, как производится численное решение на примере нелинейного дифференциального уравнения первого порядка вида du /dt = f (u , t ). Решение находится для дискретных значений аргумента, отличающихся на шаг интегрирования Dt . В одношаговых разностных методах для нахождения следующего значения u к = u (t к) требуется информация только об одном предыдущем шаге. Из одношаговых методов наибольшую известность получили методы Рунге-Кутта. В основу метода Рунге-Кутта первого порядка, называемого также явным методом Эйлера, положено разложение функции u (t ) в ряд Тейлора в окрестности точки (t k -1, u k -1), ограниченное двумя первыми членами ряда: u k = u k – 1 + Dt *u " k -1 , где u " k -1 = du (t )/dt при t = t r -1 . Так как du (t )/dt = f (u , t ), то u k =u k – 1 +Dt *f (u k – 1 ,t k –1). Видим, что при использовании этого метода считается, что в течение времени Dt функция u (t ) изменяется линейно и тангенс угла наклона прямой равен u " k -1 . Это, как показано ниже на рисунке, приводит к ошибке (сплошные линии).

Неявный (обратный) метод Эйлера основан на разложении функции u (t ) в ряд Тейлора в окрестности точки (t k , u k). Расчет ведется по выражению u k = u k – 1 + Dt *u " k = u k – 1 + Dt *f (u k ,t k). Решение находится тоже с ошибкой, хотя и другого знака (пунктирная линия на
рисунке). Ошибка увеличивается с увеличением шага Dt = t k - t k -1 . Для уменьшения этой ошибки при неизменном Dt используют методы Рунге-Кутта более высокого порядка. При большом шаге вычислительный процесс может стать неустойчивым.

VisSim является пакетом визуального моделирования, поэтому задать модель аналитически в виде нелинейного дифференциального уравнения нельзя. Нужно по дифференциальному уравнению составить функциональную схему, или графическую модель. Для дифференциального уравнения du /dt = f (u , t ) она составляется следующим образом. Сначала формируется f (u , t ) нелинейным блоком, на входы которого подаются t и u . Так как f (u , t ) является производной процесса u (t ), то сам процесс u (t ) получается интегрированием выходного процесса нелинейного блока. Получившаяся графическая модель показана на рисунке ниже.

Для линейных систем возможен другой путь расчета выходного процесса – с использованием интеграла свертки u вых (t ) = ∫ u вх (t - τ)g (τ)d τ. Для расчета u k используются численные методы вычисления интеграла с верхним пределом t = k Δt . В пакете VisSim именно он используется для расчета процесса на выходе линейных звеньев, задаваемых передаточными функциями. При этом рассчитанное значение выходного процесса в любой момент времени при скачкообразном входном процессе будет находиться на одной и той же линии переходной характеристики. От шага модельного времени зависит только количество рассчитанных точек переходной характеристики. Если входной процесс произволен, то шаг модельного времени в этом случае определяется из соображений допустимой ошибки при дискретизации процесса.

Нужно быть очень внимательным при выборе шага модельного времени, когда моделируются замкнутые системы. В этих системах текущее значение входного процесса сравнивается со значением выходного процесса, рассчитанного по предыдущим значениям входного процесса. Это экстраполированное значение не должно значительно отличаться от входного процесса. В противном случае возникают большие ошибки моделирования, а при большом шаге процесс может стать неустойчивым. Чтобы результаты моделирования были удовлетворительными, можно пользоваться следующим правилом: за интервал, равный шагу модельного времени, переходная характеристика должна изменяться на величину, много меньшую установившегося значения. На практике шаг моделирования надо брать таким, чтобы при его уменьшении процессы в модели практически не изменялись.

Выполнение работы

1. Исследование ошибок численного решения дифференциального уравнения.

1.1 Составить графическую модель для дифференциального уравнения согласно заданию:

Уравнение	du /dt = at 2 + bu			du /dt = at (1 + bu )			du /dt = at 2 + but

1.2. Собрать на рабочем столе VisSim составленную модель. Запомните, что различные методы численного интегрирования реализуются только для моделей, в которые входят интеграторы, обозначаемые как 1/S (Blocks → Integration → integrator). Интегратор можно реализовать и по-другому – как линейное устройство, задаваемое передаточной функцией (Blocks → Linear System → transferFunction), если установить в числителе (Numenator) – 1, а в знаменателе (Denominator) – 1_0. Но для такого интегратора, охваченного обратной связью, реализуется только метод Эйлера. Для удобства изображения линии обратной связи использовать указатель (Blocks → Annotation → wirePozitioner). Его нужно перевернуть (Edit → Rotate 180).

1.2. Задать условия моделирования (Simulate → Simulation Setup): в окне Simulation Setup задать шаг Step Size – 0.0001, время моделирования Range End – 2.1. В области Integration Algoritm активировать метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Запустить моделирование. Считаем, что полученное решение близко к точному. Замерить значения процесса при t = 1 с и 2 с (с точностью до четвертой значащей цифры после запятой). Для более точного измерения использовать “лупу”. Для этого надо выполнить следующие действия: нажать и удерживать клавишу Ctrl; с помощью указателя мыши выделить требуемую область осциллограммы; отпустить клавишу мыши; отпустить клавишу Ctrl. Для считывания координат использовать перекрестие (Правой клавишей мыши щелкнуть на Plot; в раскрывшемся окне левой кнопкой мыши щелкнуть на Read Coordinates). Если требуется возвратиться к исходному масштабу, проделать следующие действия: нажать и удерживать клавишу Ctrl; навести указатель мыши на окно; щелкнуть правой кнопкой мыши (или двойной щелчок левой); отпустить клавишу Ctrl.

Постановка любой задачи заключается в том, чтобы перевести ее словесное, вербальное описание в формальное.

В случае относительно простых задач такой переход осуществляется в сознании человека, который не всегда даже может объяснить, как он это сделал. Если полученная формальная модель (математическая зависимость между величинами в виде формулы, уравнения, системы уравнений) опирается на фундаментальный закон или подтверждается экспериментом, то этим доказывается ее адекватность отображаемой ситуации, и модель рекомендуется для решения задач соответствующего класса.

Адекватность (модели решаемой задаче) - правомерность применения модели для исследования решаемой задачи, отображения проблемной ситуации. В более узком смысле под адекватностью модели понимают ее соответствие моделируемому объекту или процессу. При этом следует иметь в виду, что полного соответствия модели объекту быть не может. Имеется в виду доказательство соответствия модели и объекта по наиболее существенным свойствам объекта.

Адекватность модели при разработке и исследовании технических систем доказывается экспериментом.

По мере усложнения задач получение модели и доказательство ее адекватности усложняется. Вначале эксперимент становится дорогим и опасным (например, при создании сложных технических комплексов, при реализации космических программ и т.д.), а применительно к экономическим объектам эксперимент становится практически нереализуемым, задача переходит в класс проблем принятия решений, и постановка задачи, формирование модели, т.е. перевод вербального описания в формальное, становится важной составной частью процесса принятия решения. Причем эту составную часть не всегда можно выделить как отдельный этап, завершив который, можно обращаться с полученной формальной моделью так же, как с обычным математическим описанием, строгим и абсолютно справедливым. Большинство реальных ситуаций проектирования сложных технических комплексов и управления экономикой необходимо отображать классом самоорганизующихся систем (см. юниту 1), модели которых должны постоянно корректироваться и развиваться. При этом возможно изменение не только модели, но и метода моделирования, что часто является средством развития представления ЛПР о моделируемой ситуации.

Иными словами, перевод вербального описания в формальное, осмысление, интерпретация модели и получаемых результатов становятся неотъемлемой частью практически каждого этапа моделирования сложной развивающейся системы. Часто для того чтобы точнее охарактеризовать такой подход к моделированию процессов принятия решений, говорят о создании как бы «механизма» моделирования, «механизма» принятия решений (например, «хозяйственный механизм», «механизм проектирования и развития предприятия» и т.п.).

Возникающие вопросы - как формировать такие развивающиеся модели или «механизмы»? как доказывать адекватность моделей? - являются основным предметом системного анализа.

Для решения проблемы перевода вербального описания в формальное в различных областях деятельности стали развиваться специальные приемы и методы. Так, возникли методы типа «мозговой атаки», «сценариев», экспертных оценок, «дерева целей» и т.п.

В свою очередь, развитие математики шло по пути расширения средств постановки и решения трудноформализуемых задач.

Наряду с детерминированными, аналитическими методами классической математики возникла теория вероятностей и математическая статистика как средство доказательства адекватности модели на основе представительной (репрезентативной) выборки и понятия вероятности, правомерности использования модели и результатов моделирования.

Для задач с большей степенью неопределенности инженеры стали привлекать теорию множеств, математическую логику, математическую лингвистику, теорию графов, что во многом стимулировало развитие этих направлений.

Иными словами, математика стала постепенно накапливать средства работы с неопределенностью, со смыслом, который классическая математика исключала из объектов своего рассмотрения.

Таким образом, между неформальным, образным мышлением человека и формальными моделями классической математики сложился как бы «спектр» методов, которые помогают получать и уточнять (формализовать) вербальное описание проблемной ситуации, с одной стороны, и интерпретировать формальные модели, связывать их с реальной действительностью - с другой. Этот спектр условно представлен на рис. 2.1, а .

Рис. 2.1. Методы моделирования систем

Развитие методов моделирования, разумеется, шло не так последовательно, как показано на рисунке. Методы возникали и развивались параллельно. Существуют различные модификации сходных методов. Их по-разному объединяли в группы, т.е. исследователи предлагали разные классификации (в основном для формальных методов). Постоянно возникают новые методы моделирования как бы на «пересечении» уже сложившихся групп. Однако основная идея - существование «спектра» методов между вербальным и формальным представлением проблемной ситуации - показана на этом рисунке.

Первоначально исследователи, развивающие теорию систем, предлагали классификации систем и старались поставить им в соответствие определенные методы моделирования, позволяющие наилучшим образом отразить особенности того или иного класса.

Такой подход к выбору методов моделирования подобен подходу прикладной математики. Однако в отличие от последней, в основу которой положены классы прикладных задач, системный анализ может один и тот же объект или одну и ту же проблемную ситуацию (в зависимости от степени неопределенности и по мере познания) отображать разными классами систем и соответственно различными моделями, организуя таким образом процесс постепенной формализации задачи, т.е. «выращивание» ее формальной модели. Подход помогает понять, что неверно выбранный метод моделирования может привести к неверным результатам, к невозможности доказательства адекватности модели, к увеличению числа итераций и затягиванию решения проблемы.

Существует и другая точка зрения. Если последовательно менять методы приведенного на рис. 2.1, а «спектра» (не обязательно используя все), то можно постепенно, ограничивая полноту описания проблемной ситуации (что неизбежно при формализации), но, сохраняя наиболее существенные с точки зрения цели (структуры целей) компоненты и связи между ними, перейти к формальной модели.

Такая идея реализовалась, например при создании программного обеспечения ЭВМ и автоматизированных информационных систем путем последовательного перевода описания задачи с естественного языка на язык высокого уровня (язык управления заданиями, информационно-поисковый язык, язык моделирования, автоматизации проектирования), а с него - на один из языков программирования, подходящий для данной задачи (PL/1, ЛИСП, ПАСКАЛЬ, СИ, PROLOG и т.п.), который, в свою очередь, транслируется в коды машинных команд, приводящих в действие аппаратную часть ЭВМ.

В то же время, анализ процессов изобретательской деятельности, опыта формирования сложных моделей принятия решений показал, что практика не подчиняется такой логике, т.е. человек поступает иначе: он попеременно выбирает методы из левой и правой частей «спектра», приведенного на рис. 2.1, а.

Поэтому удобно как бы «переломить» этот «спектр» методов примерно в середине, где графические методы смыкаются с методами структуризации, т.е. разделить методы моделирования систем на два больших класса: методы формализованного представления систем - МФПС и методы, направленные на активизацию использования интуиции и опыта специалистов или более кратко - методы активизации интуиции специалистов - МАИС .

Возможные классификации этих двух групп методов приведены на рис. 2.1, б .

Такое разделение методов находится в соответствии с основной идеей системного анализа, которая состоит в сочетании в моделях и методиках формальных и неформальных представлений, что помогает в разработке методик, выборе методов постепенной формализации отображения и анализа проблемной ситуации.

Отметим, что на рис. 2.1, б в группе МАИС методы расположены сверху вниз примерно в порядке возрастания возможностей формализации, а в группе МФПС - сверху вниз возрастает внимание к содержательному анализу проблемы и появляется все больше средств для такого анализа. Такое упорядочение помогает сравнивать методы и выбирать их при формировании развивающихся моделей принятия решений, при разработке методик системного анализа.

Классификации МАИС и особенно МФПС могут быть разными. На рис. 2.1, б приведена классификация МФПС, предложенная Ф.Е. Темниковым.

Необходимо отметить, иногда для наименования групп МАИС и МФПС используют термины качественные и количественные методы. Однако, с одной стороны, методы, отнесенные к группе МАИС, могут использовать и формализованные представления (при разработке сценариев могут применяться статистические данные, проводиться некоторые расчеты; с формализацией связаны получение и обработка экспертных оценок, методы морфологического моделирования); а, с другой стороны, в силу теоремы Геделя о неполноте, в рамках любой формальной системы, сколь бы полной и непротиворечивой она не казалась, имеются положения (соотношения, высказывания), истинность или ложность которых нельзя доказать формальными средствами этой системы, а для преодоления неразрешимой проблемы нужно расширять формальную систему, опираясь на содержательный, качественный анализ. Поэтому были предложены названия групп методов МАИС и МФПС, что представляется более предпочтительным.

Результаты Геделя были получены для арифметики, самого формального направления математики, и позволили предположить, что процесс логического, в том числе математического доказательства, не сводится к использованию только дедуктивного метода, что в нем всегда присутствуют неформальные элементы мышления. В дальнейшем исследования этой проблемы математиками и логиками показали, что «доказательства вовсе не обладают абсолютной, не зависящей от времени строгостью и являются только культурно опосредованными средствами убеждения».

Иными словами, строгого разделения на формальные и неформальные методы не существует. Можно говорить только о большей или меньшей степени формализации или, напротив, большей или меньшей опоре на интуицию, здравый смысл.

Специалист по системному анализу должен понимать, что любая классификация условна. Она лишь средство, помогающее ориентироваться в огромном числе разнообразных методов и моделей. Поэтому разрабатывать классификацию нужно обязательно с учетом конкретных условий, особенностей моделируемых систем (процессов принятия решений) и предпочтений лиц, принимающих решение (ЛПР), которым можно предложить выбрать классификацию.

Следует также оговорить, что новые методы моделирования часто создаются на основе сочетания ранее существовавших классов методов.

Так, комплексированные методы (комбинаторика, топология) начинали развиваться параллельно в рамках линейной алгебры, теории множеств, теории графов, а затем оформились в самостоятельные направления.

Существуют также новые методы, базирующиеся на сочетании средств МАИС и МФПС. Эта группа методов представлена на рис. 2.1 в качестве самостоятельной группы методов моделирования, обобщенно названной специальными методами.

Наибольшее распространение получили следующие специальные методы моделирования систем.

Имитационное динамическое моделирование, предложенное Дж. Форрестером (США) в 50-х гг. XX в., использует удобный для человека структурный язык, помогающий выражать реальные взаимосвязи, отображающие в системе замкнутые контуры управления, и аналитические представления (линейные конечно-разностные уравнения), позволяющие реализовать формальное исследование полученных моделей на ЭВМ с использованием специализированного языка DYNAMO.

Идея ситуационного моделирования предложена Д.А. Поспеловым, развита и реализована на практике Ю.И. Клыковым и Л.С. Загадской (Болотовой). Это направление базируется на отображении в памяти ЭВМ и анализе проблемных ситуаций с применением специализированного языка, разрабатываемого с помощью выразительных средств теории множеств, математической логики и теории языков.

Структурно-лингвистическое моделирование . Подход возник в 70-е гг. XX в. в инженерной практике и основан на использовании для реализации идей комбинаторики структурных представлений разного рода, с одной стороны, и средств математической лингвистики, с другой. В расширенном понимании подхода в качестве языковых (лингвистических) средств используются и другие методы дискретной математики, языки, основанные на теоретико-множественных представлениях, на использовании средств математической логики, математической лингвистики, семиотики.

Теория информационного поля и информационный подход к моделированию и анализу систем. Концепция информационного поля предложена А.А. Денисовым и основана на использовании для активизации интуиции ЛПР законов диалектики, а в качестве средства формализованного отображения - аппарата математической теории поля и теории цепей. Этот подход для краткости в последующем назван информационным,поскольку в его основе лежит отображение реальных ситуаций с помощью информационных моделей.

Метод постепенной формализации задач и проблемных ситуаций с неопределенностью путем поочередного использования средств МАИС и МФПС. Этот подход к моделированию самоорганизующихся (развивающихся) систем был первоначально предложен на базе концепции структурно-лингвистического моделирования , но в последующем стал основой практически всех методик системного анализа.

Классификация методов моделирования, подобная рассмотренной, помогает осознанно выбирать методы моделирования и должна входить в состав методического обеспечения работ по проектированию сложных технических комплексов, по управлению предприятиями и организациями. Она может развиваться, дополняться конкретными методами, т.е. аккумулировать опыт, накапливаемый в процессе проектирования и управления.

Общие сведения

При цифровом моделировании непрерывных систем необходимо обеспечить близость процессов в моделируемой непрерывной системе и в ее цифровой модели. Несовпадение этих процессов связано с двумя причинами: 1) заменой непрерывного входного процесса цифровым и 2) использованием численных методов анализа. Ошибки, связанные с заменой непрерывного процесса цифровым, были рассмотрены в предыдущей лабораторной работе. Остановимся на второй причине.

Математическая модель непрерывной системы представляет собой или нелинейное дифференциальное уравнение или совокупность соединенных между собой линейных и нелинейных блоков. В зависимости от принятой математической модели используются различные подходы к формированию цифровой модели.

Численное решение дифференциальных уравнений

Разработано большое количество методов численного решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим, как производится численное решение на примере нелинейного дифференциального уравнения первого порядка

du /dt = f (u,x,t ). (5.1)

Здесь x = x (t ) – независимая функция (входной процесс), u = u (t ) – решение уравнения (выходной процесс).

Численное решение находится для дискретных значений аргумента t , отличающихся на шаг интегрирования Dt . В одношаговых разностных методах для нахождения следующего значения u к = u (t к) требуется информация только об одном предыдущем шаге. Из одношаговых методов наибольшую известность получили методы Рунге-Кутта. В основу метода Рунге-Кутта первого порядка, называемого также явным или прямым методом Эйлера, положено разложение функции u (t A (t k -1, u k -1):

u (t ) = S 0 + S 1 (t – t k - 1) + S 2 (t – t k - 1) 2 + …, (5.2)

где S 0 = u (t k - 1) = u k - 1 ,

S i = (1/i !)du (t )/dt при t = t k – 1 .

В методах Эйлера (и Рунге-Кутта тоже) ограничиваются только двумя первыми членами разложения в ряд. Запишем значение u k = u (t k ), приняв в выражении (5.2) t = t k и ограничившись двумя первыми членами ряда:

u k = u k - 1 + S 1 (t k – t k - 1) = u k - 1 + S 1 Δt

Учитывая, что производная du (t )/dt равна правой части дифференциального уравнения (5.1), имеем S 1 = f (u k – 1 , x k – 1 , t k – 1) и окончательно получим:

u k = u k - 1 + Δt f (u k – 1 , x k – 1 , t k – 1). (5.3)

Это выражение является приближенным решением дифференциального уравнения (5.1) прямым методом Эйлера. Оно рекуррентное и позволяет найти значение выходного процесса u k по значениям выходного и входного процессов в предыдущем такте.

На рис. 5.1 а ) проиллюстрировано решение прямым методом Эйлера.

а )	б )
Рис. 5.1

Видим, что при использовании этого метода используется линейная экстраполяция и тангенс угла наклона экстраполирующей прямой равен производной функции u (t ) в точке А . Экстраполированное значение u k отличается от точного на величину ошибки.

Неявный (обратный) метод Эйлера основан на разложении функции u (t ) в ряд Тейлора в окрестности точки В (u k , t k) (см. рис. 5.1 б ):

u (t ) = u k + S 1 (t – t k ) + S 2 (t – t k ) 2 + …,

Приняв в этом выражении t = t k – 1 и ограничившись двумя первыми членами ряда, получим

u k – 1 = u k – Δt f (u k , x k , t k ).

u k = u k – 1 + Δt f (u k , x k , t k ). (5.4)

Искомое значение процесса u k входит и в левую, и в правую части уравнения, и если не удается найти u k в явном виде, то приходится использовать приближенные методы решения этого уравнения.

Применим методы Эйлера для расчета переходной характеристики интегрирующей цепи. Передаточная функция интегрирующей цепи:

K (p ) = 1/(1 + pT ).

Отсюда дифференциальное уравнение в операторной форме:

(pT + 1)y = x

и в канонической форме:

Tdy /dt + y = x .

Перепишем его в виде (5.1):

dy /dt = (1/T )(x – y ).

Запишем рекуррентную формулу для прямого метода Эйлера в соответствии с (5.3)

y k = y k – 1 + (Δt /T )(x k – 1 – y k – 1), (5. 5)

y k = (1 – Δt /T ) y k – 1 + Δt /T x k – 1 .

Формула для обратного метода Эйлера запишется в соответствии с (5,4)

y k = y k – 1 + (Δt /T )(x k – y k ).

Так кА уравнение линейное, то значение y k вычисляется в явной форме:

y k = (y k – 1 + (Δt /T )x k )/(1 + Δt /T ). (5. 6)

Методы Эйлера обладают низкой точностью. В более точных методах используются различные способы определения угла наклона экстраполирующей прямой, чтобы она прошла ближе к точному решению. Хорошей точностью обладает метод Рунге-Кутта четвертого порядка, который обычно и используется. Программы для численного решения дифференциальных уравнений имеются практически в любом пакете прикладных программ, в том числе и в LabVIEW.

Для вычислений по формулам (5.5) и (5.6) используем структуру Formula Node. Внутри этой структуры запишем точное выражение для переходной характеристики:

z = 1 – e - i Δt / T ,

и выражения для переходной характеристики, полученные прямым методом Эйлера:

y = y 1 + (Δt /T )(1 – y 1)

и обратным методом Эйлера:

v = (v 1 + (Δt /T ))/(1 + Δt /T )

при нулевых начальных условиях: y(0) = 0, v(0) = 0.

В этих выражениях использованы различные обозначения для выходных переменных и принято x = 1(t ) = 1, так как t > 0.

На рис. 5.2 показана эта структура. В формулах Δt обозначена как dt .

Рис. 5.2	Рис. 5.3

Напомним, что для образования входных и выходных терминалов нужно щелкнуть ПКМ на границе структуры в предполагаемом месте терминала и в раскрывшемся меню выбрать Add Input или Add Output.

Для формирования массивов выходных переменных структура Formula Node помещается внутрь структуры For Loop, при этом задержанные на интервал дискретизации отсчеты выходных переменных y 1 и v 1 получаются с помощью регистра сдвига (рис. 5.3).

Прямой метод Эйлера при большом интервале дискретизации может дать неустойчивое решение. Это случится, если отклонение решения от входного процесса x k – 1 – y k – 1 (см формулу (5.5)) даст такое значение y k . что отклонение на следующем шаге x k – y k будет той же величины, что и предыдущее, но обратным по знаку. Решение будет колебательным незатухающим.

К графическому индикатору

Рис. 5.4

В предыдущих лабораторных работах развертка графического индикатора Graph осуществлялась автоматически в соответствии с типом данных, подаваемых на вход графического индикатора. В этой работе мы сформируем данные так, чтобы по горизонтальной оси откладывалось время. Для этого надо сформировать кластер, куда кроме массива данных будет входить информация о времени. Используем ВП Bundle (Объединить), который находится в подпалитре Cluster (Кластер). На его входы element подаются (см. рис. 5.4): на верхний – время начала развертки – 0; на средний – интервал дискретизации – Δt; на нижний – массив данных

Замена непрерывной передаточной функции дискретной

Если математическая модель системы представляется в виде соединения линейных и нелинейных блоков, то для описания линейных блоков чаще всего используется передаточная функция K (p ). В этом случае цифровую модель непрерывного линейного блока можно получить, заменив непрерывную передаточную функцию K (p ) дискретной K (z ).

Для этого можно использовать связь между непрерывными и дискретными изображениями, устанавливаемую дискретным преобразованием Лапласа (Z -преобразованием). В таблице 5.1 приведена эта связь для передаточных функций, используемых в данной лабораторной работе.

Таблица 5.1

K (p )	1 p	p 2	(1 + pT )
K (z )	Δt z (z – 1)	(Δt ) 2 z (z – 1) 2	(Δt /T )z (z – e - Δt /T )

Заметим, что здесь комплексная переменная z определяется как z = e p Δt и является оператором опережения на интервал дискретизации. Соответственно z -1 – это оператор задержки на интервал дискретизации.

Другой путь предусматривает непосредственный переход от комплексной переменной p к комплексной переменной z заменой операции аналогового интегрирования 1/p операцией дискретного интегрирования. При дискретном описании аналогового интегрирования можно оперировать только с значениями входного и выходного процессов в моменты дискретизации. На рис. 5.5 показано, как это можно сделать, используя численное интегрирование по методу прямоугольников и по методу трапеций.

Значение выходного процесса y k интегратора в момент времени t = k Δt отличается от предыдущего значения y k -1 на величину площади S под кривой x (t ) (заштрихованная фигура на рис. 5.5 а ).

y k = y k- 1 + S	y k = y k- 1 + Δt x k- 1	y k = y k- 1 + Δt x k	y k = y k - 1 + +Δt (x k + x k - 1)/2
а )	б )	в )	г )
Рис. 5.5

По методу прямоугольников площадь можно определить по разному в зависимости от того, какую величину принять за высоту прямоугольника: x k - 1 или x k (рис. 5.5 б и рис. 5.5 в ). На рис. 5.5 г ) показано, как вычисляется эта площадь по методу трапеций. Рекуррентные формулы для интегрирования приведены под рисунками.

По этим формулам можно записать дискретные передаточные функции. Поясним это на примере интегрирования по методу трапеций:

y k = y k - 1 + Δt (x k + x k - 1)/2.

Перенесем y k - 1 в левую часть и возьмем от полученного выражения Z -преобразование. Учитывая, что запаздывание на интервал дискретизации в области оригиналов соответствует умножению на z -1 в области изображений, получим:

Y (z ) – z - 1 Y (z ) = (Δt /2)(X (z ) + z - 1 X (z )).

Дискретная передаточная функция – это отношение Z -изображений выходной и входной переменных, поэтому

K (z ) = Y (z )/X (z ) = (Δt /2)(1 + z -1)/(1 – z -1) = (Δt /2)(z + 1)/(z – 1).

В таблице 5.2 приведены выражения дискретных передаточных функций для различных методов численного интегрирования для одного и двух интеграторов.

Таблица 5.2

K (p )	K (z )
Метод прямоугольников (1)	Метод прямоугольников (2)	Метод трапеций
p	Δt z – 1	Δt z z – 1	Δt (z + 1) 2 (z – 1)
p 2	(Δt ) 2 (z +1) 2(z – 1) 2	(Δt ) 2 z (z – 1) 2	(Δt ) 2 (z 2 + 4z + 1) 6(z – 1) 2

Видим, что одно и то же аналоговое устройство может описываться отличающимися дискретными передаточными функциями.

В таблице 5.1 была приведена дискретная передаточная функция интегрирующей цепи (для которой К (р ) = 1/(1 + рТ )), полученной применением Z -преобразования. Найдем другие варианты дискретной передаточной функции интегрирующей цепи, отличающиеся методами численного интегрирования.

При использовании метода прямоугольников (1) в передаточную функцию K (p ) = 1/(1 + pT ) вместо р нужно подставить (z – 1)/Δt . Тогда получим

	Δt /T z – (1 – Δt /T )

K (z ) = 1/(1 + (z – 1)T /Δt ) = .

Аналогично можно получить дискретные передаточные функции и для других методов численного интегрирования. Они представлены в таблице 5.3. Принято обозначение Δt /T = α

Таблица 5.3

Этим передаточным функциям соответствуют следующие рекуррентные формулы.

Для Z -преобразования

y k = e - α y k – 1 + αx k . (5.7)

Для численного интегрирования по методу прямоугольников (1)

y k = (1 – α)y k – 1 + αx k - 1 .

Полученная формула совпадает с формулой для прямого метода Эйлера

Для численного интегрирования по методу прямоугольников (2)

y k = (1/(1 + α))y k – 1 + (α/(1 + α))x k . (5.8)

и по методу трапеций

y k = ((2 – α)/(2 + α))y k – 1 + (α/(2 + α))(x k + x k – 1). (5.9)

В лабораторной работе производится оценка ошибок цифрового моделирования для каждого из этих методов.

Моделирование линейных замкнутых систем

Нужно быть очень внимательным при выборе интервала дискретизации, когда моделируются замкнутые системы. В этих системах текущее значение входного процесса сравнивается со значением выходного процесса, рассчитанного по предыдущим значениям входного процесса. Это экстраполированное значение не должно значительно отличаться от входного процесса. В противном случае возникают большие ошибки моделирования, а при большом интервале дискретизации процесс может стать неустойчивым. Выбор интервала дискретизации нужно связывать с полосой пропускания замкнутой системы. Проводя аналогию с теоремой Котельникова, можно потребовать, чтобы Δf 0,1 Δt = 5 – 10, где Δf 0,1 – полоса пропускания замкнутой системы по уровню 0,1.

Запишем дискретную передаточную функцию разомкнутой системы, заменяя интеграторы по методу прямоугольников (2). Для этого преобразуем передаточную функцию разомкнутой системы (5.10), поделив числитель и знаменатель на р 2:

К р (р ) = .

Используя соотношения, приведенные в таблице (5.2), получим:

	К (Δt ) 2 z /(z – 1) 2 Т + Δt z /(z – 1)		b 1 z z 2 + a 1 z + a 2

К р (z ) = = , (5.11)

где b 1 = K (Δt ) 2 /(T + Δt ), a 1 = - (2T + Δt )/(T + Δt ), a 2 = T /(T + Δt ).

Для моделирования устройства с передаточной функцией (5.11) используется БИХ-фильтр, коэффициенты числителя которого (Forward Coefficients) представляются массивом из двух элементов (0,b 1), а коэффициенты знаменателя – массивом из трех элементов (1, a 1 ,a 2). Специфика использования БИХ-фильтра заключается в том, что неизвестен целиком входной массив Х , а известен только текущий элемент, а следующий элемент рассчитывается с учетом значения текущего элемента выходного массива фильтра. В LabVIEW существует такой фильтр – IIR Filter PtByPt (IIR Filter Point By Point – БИХ-фильтр точка за точкой).

Рис. 5.6

Вычисления БИХ-фильтром IIR Filter PtByPt производятся в цикле For Loop (рис. 5.6). В этом же цикле генерируется единичное входное воздействие. Автоматическое появление в цепи обратной связи регистра сдвига обусловлено тем, что рассчитанное значение выходного процесса используется для сравнения с входным только в следующем интервале дискретизации, то есть с запаздыванием на интервал дискретизации. В результате вычислений формируется массив переходной характеристики.

Для точного расчета переходной характеристики воспользуемся ВП ODE Linear nth Order Numeric – “Решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка в численном виде” (рис.5.7).

Рис. 5.7

ВП находит решение в виде суммы экспонент и вычисляет его для заданных точек. Поэтому решение точное.

Вход А представляет собой массив коэффициентов дифференциального уравнения в порядке увеличения степени производной. Коэффициент при производной самой высокой степени считается равным 1 и не требует ввода.

На вход Х0 подается массив начальных условий – начальные значения решения и его n – 1 -й производных.

Вход “число точек” задает число равноудаленных по времени точек между начальным и конечным временем

Выход Х содержит массив значений решения в равномерно расположенных по оси времени точках. Значение времени в этих точках выводится в массиве Times.

Дифференциальное уравнение замкнутой системы запишем по передаточной функции замкнутой системы:

	К р (р ) 1 + К р (р )		К Тр 2 + р + К

К з (р ) = = , (5.12)

Дифференциальное уравнение замкнутой системы

Td 2 y /dt 2 + dy /dt + Ky = Kx

Запишем однородное дифференциальное уравнение, учитывая, что коэффициент при высшей производной должен быть равен 1

d 2 y /dt 2 + (1/Т )dy /dt + (K /Т )y = 0

Для компьютерного решения этого уравнения нужно задать массив А = (К /Т , 1/Т ). Чтобы получить переходную характеристику, нужно задать массив Х = (- 1, 0) и к решению прибавить 1.

Полностью блок-схема программы моделирования замкнутой системы приведена на рис. 5.8.

k K T k dt

Рис. 5.8

Контрольные вопросы

1. В каком виде записывается нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка для численного решения?

2. Как записывается разложение функции в ряд Тейлора?

3. Поясните графически решение дифференциального уравнения прямым методом Эйлера.

4. Как записывается рекуррентная формула для численного решения нелинейного дифференциального уравнения первого порядка прямым методом Эйлера?

5. Поясните графически решение дифференциального уравнения обратным методом Эйлера.

6. Как записывается рекуррентная формула для численного решения нелинейного дифференциального уравнения первого порядка обратным методом Эйлера?

7. Запишите дифференциальное уравнение интегрирующей цепи в форме, удобной для решения методом Эйлера.

8. Запишите рекуррентную формулу для численного решения дифференциального уравнения интегрирующей цепи прямым методом Эйлера.

9. Запишите рекуррентную формулу для численного решения дифференциального уравнения интегрирующей цепи обратным методом Эйлера.

10. Какие два пути используются при замене непрерывной передаточной функции дискретной передаточной функцией?

11. Запишите рекуррентную формулу для численного интегрирования по методу прямоугольников (1).

12. Запишите рекуррентную формулу для численного интегрирования по методу прямоугольников (2).

13. Запишите рекуррентную формулу для численного интегрирования по методу трапеций.

14. Выведите дискретную передаточную функцию интегратора по методу прямоугольников (1).

15. Выведите дискретную передаточную функцию интегратора по методу прямоугольников (2).

16. Выведите дискретную передаточную функцию интегратора по методу трапеций.

17. Почему одно и то же аналоговое устройство может описываться отличающимися дискретными передаточными функциями?

18. Какая структура используется для вычислений по рекуррентным формулам?

19. Откуда при моделировании берется значение y k – 1 , необходимое для расчета y k ?

20. Как образовать терминалы для ввода и вывода переменных в структуре Formula Node?

21. Почему при моделировании замкнутой системы используется ВП IIR Filter PtByPt, а не ВП IIR Filter?

22. Почему при соединении выхода БИХ-фильтра с его входом в цепи обратной связи автоматически появляется регистр сдвига?

23. Для чего используется ВП ODE Linear nth Order Numeric?

24. Для чего используется ВП Bundle (Объединить)?

Программа работы

1.Вызвать пакет LabVIEW. Открыть New VI.

2. Численное решение дифференциального уравнения интегрирующей цепи методами Эйлера.

2.1. Сформировать лицевую панель создаваемого ВП. На лицевую панель вывести цифровые элементы управления “Постоянная времени Т”, “Интервал дискретизации dt”, “Множитель развертки k”. Поместить на лицевую панель графический индикатор Graph. Разместить под графическим индикатором палитру элементов управления графиком (Graph Palette) и панель редактирования курсора (вывести два курсора разного цвета).

2.2. В окно BD поместить структуру Formula Node. Поместить внутри нее программу расчета переходной характеристики интегрирующей цепи по точной формуле и по формулам для прямого и обратного методов Эйлера (рис. 5.2). На границе структуры поместить терминалы для всех входных и выходных величин. Размер структуры взять таким, чтобы в ней можно было разместить еще четыре строчки.

2.3. Поместить структуру Formula Node внутрь структуры For Loop. Задать число итераций равным (T*k/dt). На границах структуры For Loop поместить терминалы регистров сдвига для переменных y и v, чтобы получить задержанные значения y1 и v1. Установить нулевые начальные условия (рис. 5.3).

2.4. Подсоединить к терминалам dt и Т структуры Formula Node выходы соответствующих элементов управления.

2.5. Одномерные массивы выходных величин z, y и v объединить в многомерный массив, используя функцию Build Array.

2.6. Сформировать кластер, используя функцию Bundle (рис.5.4). К верхнему входу element подсоединить 0, к среднему – dt, к нижнему массив с выхода ВП Build Array. Убедиться в отсутствии ошибок в собранной блок-диаграмме.

2.7. Задать постоянную времени в соответствии с выполняемым вариантом.

Вариант
Т , с	0.1	0.4	0.8	0,2	0,5	0,9	0,3	0,6	1,0	0,7

Интервал дискретизации dt взять в 20 раз меньше постоянной времени Множитель развертки – 5 – 10. Запустить моделирование. Убедиться в близости всех решений.

2.8 Исследовать влияние интервала дискретизации на ошибку решения дифференциального уравнения методами Эйлера. Вывести вертикальную линию курсора на время, равное 2Т. Закрепить один курсор на точном решении (белый график): щелчок ЛКМ на кнопке в панели редактирования курсоров. В раскрывшемся меню выбрать Plot 0. Второй курсор поочередно закреплять на Plot 1 и Plot 2. Проделать замеры ошибок для прямого и обратного методов Эйлера для интервалов дискретизации равных 0,05Т; 0,1Т; 0,2Т; 0,5Т; Т; 2Т. При каком интервале дискретизации решение прямым методом Эйлера становится неустойчивым? Объясните, почему.

3. Моделирование интегрирующей цепи заменой непрерывной передаточной функции дискретной передаточной функцией

3.1. Поместить Разработанную блок-диаграмму в структуру Case Structure так, чтобы вся блок-диаграмма кроме элементов управления и графического индикатора с формирователем кластера оказалась внутри структуры. Напомним работу с этой структурой. Переключение вариантов произведем с помощью строковой переменной. Активизировать FP. Поместить на лицевую панель переключатель вариантов: Controls → All Controls → Ring & Enum → Enum. Озаглавить его “Варианты”. Активизировать BD. Подсоединить выход узла “Варианты” к терминалу селектора вариантов . В переключателе вариантов (на верхней границе структуры) вместо True и False появятся цифры 1 и 0. Заметим, что собранный в п.2 генератор соответствует цифре 1. Назвать варианты: щелкнуть ПКМ на узле Enum; в появившемся меню выбрать опцию Properties. В раскрывшемся окне Enum Properties открыть закладку Edit Items. В области Items набрать названия вариантов: “Передаточные функции” (ему присваивается символ 0) и “Дифференциальное уравнение” (символ 1). Подтвердить установку – ОК.

3.2. Скопировать всю схему варианта “Дифференциальное уравнение” и вставить ее в вариант “Передаточные функции”. Восстановить все нарушенные соединения.

3.3. Моделирование будем проводить по рекуррентным формулам (5.7) – (5.9). Перепишем их, обозначив переменные другими буквами.

y k = e - α y k – 1 + αx k ,

v k = (1/(1 + α))v k – 1 + (α/(1 + α))x k ,

w k = ((2 – α)/(2 + α))w k – 1 + (α/(2 + α))(x k + x k – 1)

Напомним, что α = dt/T.

Внести изменения в записи внутри структуры Formula Node в соответствии с рис. 5.9.

Рис. 5.9

Поместить терминалы на границе структуры для вновь введенных переменных. Ввести для новых переменных регистры сдвига в структуре For Loop.

Четыре выходных массива z, y, v и w объединить функцией Build Array. Убедиться в отсутствии ошибок.

3.4. Замерить ошибки для этих трех методов, используя курсоры для того же значения постоянной времени Т, что и в п.2 для значений интервала дискретизации dt, равного 0,1Т и 0,5Т для того же момента времени 2Т.

3.5. Сравнить исследованные в п.2 и п.3 методы по точности, приведя необходимые графики.

4. Моделирование замкнутой системы.

4.1. Добавить в переключатель вариантов “Варианты” к имеющимся двум еще один, назвав его “Замкнутая система”. Для этого щелкнуть ПКМ по узлу Варианты (Enum), в раскрывшемся меню выбрать Properties, в окне Enum Properties открыть закладку Edit Items. В области Items набрать указанное название варианта. Ему автоматически присвоится цифра 2. Щелкнуть ПКМ по границе структуры Case. В раскрывшемся меню выбрать Add Case for Every Value (Добавить варианты для каждого значения).

4.2. На лицевой панели поместить цифровой элемент управления, назвав его “Коэффициент передачи”

4.3. Собрать блок-схему программы по рис. 5.8. Количество итераций N такое же, как и в предыдущих вариантах.

4.6. Убедиться в отсутствии ошибок. Задать значения К и Т в соответствии с выполняемым вариантом

Вариант
К
Т, с	0,05	0,033	0,02	0,012	0,008	0,04	0,025	0,017	0,01	0,007

4.7. Исследовать влияние интервала дискретизации на ошибку моделирования приняв за показатель точности величину первого выброса в переходной характеристике h m , а отношение Dh m /h m – за относительную ошибку моделирования. Здесь Dh m – разность между h m при выбранном шаге моделирования и точном значении h m . За точное значение h m принять его значение при Δt = 0,0001

Результаты измерений свести в таблицу:

Лабораторная работа №6