Что значит разбери предложение. Разбор предложения по частям речи онлайн. Подлежащее

Лекция 57

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале , т.е.
, может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней бесконечный степеннойряд Тейлора

если в этом интервале выполняется условие
, где
- остаточный член формулы Тейлора,.

При
получаем так называемыйряд Маклорена :.

Если в некотором интервале, содержащем точку , при любомвыполняется неравенство
, где
- положительная постоянная, то
и функция
разложима в ряд Тейлора.

Приведем разложения в ряд Тейлора следующих функций:

8) биномиальный ряд:

Это последнее разложение применимо в следующих случаях:

при
если

при
если
.

В общем случае разложение функций в степенные ряды основано на использовании рядов Тейлора или Маклорена. На практике степенные ряды многих функций можно найти формально, используя ряды (1-8) или формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Иногда при разложении полезно пользоваться почленным дифференцированием или интегрированием рядов. В интервале сходимости ряды сходятся к соответствующим функциям.

1.Разложить по степеням разности
функцию
.

Решение. Для того, чтобы воспользоваться формулой Тейлора при
, найдем:

и т.д.

Следовательно,

2.Разложить
в ряд по степеням
.

Решение. Воспользуемся равенством
. Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом
и знаменателем
. Отсюда получаем

Так как
, то

3. Разложить в ряд Маклорена функцию

Решение. Разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей:

Поскольку

то

Так как ряд
сходится при
, а ряд
сходится при
, то ряд
сходится к данной функции при
.

4.Разложить в степенной ряд функцию
.

Решение. Найдем значения функции и ее производных при

Так как
, то при фиксированномимеет место неравенство
при любом. Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Тейлора:

В данном случае

Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении
заменитьна
.

5. Разложить в степенной ряд функцию

.

Решение. В разложении

заменяем на
, получаем

6. Разложить
в ряд по степеням
.

Решение. В разложении

заменяем на
, получаем

7. Разложить в степенной ряд функцию
.

Решение. Заметим, что
.Рассмотрим ряд

Данный ряд сходится при
, значит, его можно почленно интегрировать на любом отрезке
. Следовательно,

, т.е получили ряд, сходящийся к данной функции при

8. Разложить по степеням
многочлен

9. Разложить по степеням
функцию
и найти область сходимости полученного ряда.

Ответ:

10. Разложить по степеням
функцию
и найти область сходимости этого ряда.

11. Разложить по степеням
функцию
. Найти область сходимости этого ряда.

Ответ

Разложить в ряд Маклорена функцию
. Указать область сходимости полученного ряда к этой функции.

12.
. Ответ:

13.
Ответ:
.

14.
. Ответ:
.

15.
. Ответ:

16.
Ответ:
.

17.
. Ответ:
.

18.
Ответ:

19.
.Ответ:
.

6.16. Применение степенных рядов в приближённых вычислениях

Вычисление значений функции . Пусть дан степенной ряд функции
. Задача вычисления значения этой функции заключается в отыскании суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным числом членов ряда, находим значение функции с точностью, которую можно установить путем оценивания остатка числового ряда либо остаточного члена
формул Тейлора или Маклорена. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакочередующегося ряда используется оценка
, где
- первый из отброшенных членов ряда.

Пример 1. Вычислить с точностью до 0,0001 значение ln1,1.

Решение.

Для вычисления приближённых значений функции с заданной точностью удобно пользоваться рядами в том случае, когда соответствующий ряд является знакочередующимся; для знакочередующегося сходящегося ряда легко оценить погрешность приближённого значения суммы – она меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

Возьмём ряд для функции ln(1+x):

Который сходится к ln(1+x) в интервале (-1,1], и, полагая, x=0,1 , получим ряд для вычисления ln1,1 с любой точностью.

Абсолютное значение четвёртого члена этого ряда меньше 0,0001. Поэтому, согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, для вычисления приближённого значения ln1,1 с точностью до 0,0001 достаточно взять сумму трёх первых членов ряда

Точность: 0,001.

В прикладных задачах важна оценка погрешности приближения.

Определение: Точность вычисления не превышает первого из отброшенных элементов ряда.

1.Оценить погрешность приближенного равенства

Решение. Погрешность этого приближенного равенства определяется суммой членов, следующих после
в разложении:

Заменив каждый из сомножителей
,… меньшей величиной
, получим неравенство

Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, получим:

, т.е.

2.Вычислить
с точностью до 0,00001.

Решение. Используя разложение в ряд, получаем

Определим число так, чтобы погрешность приближенного равенства

не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной в предыдущем примере. Полагаем
, тогда:

т.е.
.

Путем подбора определим, при каком значении будет выполняться неравенство
. Пусть
, тогда
, т.е.
. Пусть
, тогда
, т.е.
. Принимаем
..

Вычисляем каждое слагаемое с точностью до 0,000001, для того чтобы при суммировании не получить погрешность, превышающую 0,00001. Окончательно получаем
.

3. Вычислить
с точностью до 0,00001.

Решение. Имеем

Получен знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям сходимости признака Лейбница, поэтому допускаемая погрешность по абсолютной величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Нетрудно видеть, что
, поэтому первый из отброшенных членов равен
и
. Вычисляем сумму и получаем
.

4. Пользуясь разложением
в ряд, вычислить
с точностью до 0,0001 .

Решение. .

Достаточно взять три члена ряда, так как Тогда

5. Вычислить
с точностью до 0,0001.

в ряд, полагая
. Имеем

Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый член меньше 0,0001. Итак

6. Вычислить
с точностью до 0,001.

Решение. Так как является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде суммы двух слагаемых:
. Тогда

Четвертый член меньше
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить. Итак,, т.е.
.

7. Вычислить
с точностью до 0,0001.

Решение. Воспользуемся разложением
в ряд:

или , откуда

Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции.

8.
. Ответ: 3,017.

9.
Ответ: 0,340.

10.
. Ответ: 0,84147.

11.
. Ответ: 1,3956.

12.
,
. Ответ: 1,140.

13.
Ответ: 0,302.

14.
Ответ: 0,464.

15.
Ответ: 1,0986.

16.
,
Ответ: 0,999.

17.
Ответ: 0,3679.

Вычисление интегралов . Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервала сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы.

18. Вычислить
с точностью

Решение. Воспользуемся разложением . Заменив в немна, получим ряд.

Данный ряд сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно,

поскольку уже третий член полученного знакочередующегося ряда меньше

19. Найти интеграл
в виде степенного ряда и указать область его сходимости.

Решение. Воспользуемся разложением , получим ряд для подынтегральной функции

Он сходится на всей числовой прямой, и, следовательно, его можно почленно интегрировать:

Поскольку при интегрировании степенного ряда его интервал сходимости не изменяется, то полученный ряд сходится также на всей числовой прямой.

Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до
.

20.
. Ответ: 0,070.

21.
. Ответ: 0,223.

22.
. Ответ: 0,162.

23.
. Ответ: 0,480.

24.
. Ответ: 0,054.

25.
. Ответ: 0,484.

26.
. Ответ: 0,487.

27.
. Ответ: 0,156.

28.
. Ответ: 0,059.

29.
Ответ: 0,103.

Приближенное решение дифференциальных уравнений .

В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена.

При решении задачи Коши
, используется ряд Тейлора
, где, а остальные производные
находятся путем последовательного дифференцирования уравнения
и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.

Решение задачи Коши
для дифференциального уравнения можно также искать в виде разложения в степенной ряд

с неопределенными коэффициентами
.

30. Найти пять первых членов разложения в степенной ряд решения
, если
.

Решение. Из данного уравнения находим, что
. Дифференцируем исходное уравнение:

и т.д. Подставляя найденные значения производных в ряд Тейлора, получаем

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.

Правила ввода функций :

Если для некоторого значения х r n →0 при n →∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции

Логарифмические функции
, -1
Биномиальные ряды
.

Пример №1 . Разложить в степенной ряд функцию f(x)= 2 x .
Решение . Найдем значения функции и ее производных при х =0
f(x) = 2 x , f(0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2 x ln2, f"(0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2 x ln 2 2, f""(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) (0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞<x <+∞.

Пример №2 . Написать ряд Тейлора по степеням (х +4) для функции f(x)= e x .
Решение . Находим производные функции e x и их значения в точке х =-4.
f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;
f"(x) = е x , f"(-4) = е -4 ;
f""(x) = е x , f""(-4) = е -4 ;
…
f (n) (x) = е x , f (n) ( -4) = е -4 .
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -∞<x <+∞.

Пример №3 . Разложить функцию f(x) =lnx в ряд по степеням (х- 1),
(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х =1).
Решение . Находим производные данной функции.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(-1) n-1 (n-1)!
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1 . Действительно,

Ряд сходится, если ½х- 1½<1, т.е. при 0<x <2. При х =2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Пример №4 . Разложить в степенной ряд функцию .
Решение . В разложении (1) заменяем х на -х 2 , получаем:
, -∞

Пример №5 . Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение . Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:

подставляя вместо х в формулу –х, получим:

Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание .
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а ). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а ) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t =х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример №5а . Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.
Решение. Сначала найдем 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
на элементарные:

Дробь 3/(1-3x) можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем 3x, если |3x| < 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

с областью сходимости |x| < 1/3.

Пример №6 . Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.
Решение . Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х =3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
=
Полученный ряд сходится при или –3

Пример №7 . Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции ln(x+2) .
Решение .

Ряд сходится при , или -2 < x < 5.

Пример №8 . Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x =2.
Решение . Сделаем замену t=х-2:

Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим π / 4 t, получим:

Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Таким образом,
, (-∞

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:

Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х , принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:

Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x) . Для этого применяют следующие приемы:

если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена .
если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: ax).

Пример №1 . Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.
Решение . Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем

Пример №2 . Вычислить с точностью до 0,0001.
Решение . Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.

так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Пример №3 . Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 sin (x) x с точностью до 10 -5 .
Решение . Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:

Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.

Пример №4 . Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 e x 2 с точностью до 0,001.
Решение .
. Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
≈0.0001<0.001. Следовательно, .