Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность радиусом. Теорема гаусса

§1.4. Задачи для самостоятельного решения
1.4.1. Два положительных заряда q
1
и q
2
находятся в точках с радиус-векторами r
1
и r
2
. Найти величину отрицательного заряда и радиус-вектор r
3
точки, в которую его необходимо поместить, чтобы сила, действующая на каждый из этих трех зарядов, была равна нулю. Ответ 2
1 2
1 3
q
q
q
q
q
+
−
=
,
2 1
1 2
2 1
3
q
q
q
q
+
+
=
r
r
r
1.4.2. Три одинаковых одноименных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q противоположного знака нужно поместить в центр этого треугольника, чтобы результирующая сила, действующая на каждый заряд, была равна нулю Ответ
3
q
Q =
1.4.3. Тонкая непроводящая палочка длиной L = 0,08 м равномерно заряжена так, что её полный заряд равен q = 3,5·10
–7
Кл. Какой точечный заряд Q нужно поместить на расстоянии d = 0,06 мот середины палочки на её продолжении, чтобы на него действовала сила F = 0,12 H? Ответ 4
2 2
0
L
d
q
F
Q
≈ 7,6⋅10
–8
Кл. Тонкое полукольцо радиуса = 20смзаряжено равномерно зарядом q = 0,7 нКл. Найти модуль вектора напряженности электрического поля в центре кривизны этого полукольца. Ответ 0
2 2
R
q
E
ε
π
=
= 100 В/м.

47
1.4.5. Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса, по которому равномерно распределен заряд (–q ). Найти модуль вектора напряженности электрического поляна оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстоянии x >> R . Ответ 0
2 8
3
x
qR
E
πε
=
1.4.6. Система состоит из тонкого заряженного проводящего кольца радиуса R и очень длинной нити, равномерно заряженной с линейной плотностью τ, расположенной на оси кольца так, что один из её концов совпадает с центром кольца. Кольцо имеет заряд
q
. Найти силу взаимодействия кольца и нити. Ответ 0
R
q
F
πε
τ
=
1.4.7. Из равномерно заряженной плоскости вырезали круг радиуса и сдвинули его перпендикулярно плоскости на расстояние
L
. Найти напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси выреза посередине между кругом и плоскостью. Поверхностная плотность заряда на круге и плоскости одинаковая и равна σ. Ответ 4
2 2
2 2
2 0






−
+
ε
σ
=






R
L
L
L
E
1.4.8. Два длинных тонких провода расположенных параллельно на расстоянии d друг от друга, равномерно заряжены с линейной плотностью +τ и (–τ) соответственно. Определить напряженность электрического поля в точке, лежащей в плоскости симметрии на расстоянии h от плоскости, в которой лежат провода. Ответ 2
2 0
d
h
d
E
+
πε
τ
=
1.4.9. Шар радиуса R сферически симметрично заряжен по объему зарядом Q так, что ρ(r ) r
2
. Определить напряженность электрического поля в точках Аи В, если r
A
= 0,5R , a r
B
= 2R . Ответ 4
1 2
0
R
Q
E
A
πε
=
2 0
4 4
1
R
Q
E
B
πε
=
1.4.10. Имеются два сферических распределения зарядов с объ-
ёмными плотностями заряда +ρ и –ρ с центрами в точках О и О,

Сдвинутых относительно друг друга на вектора, такой, что
a
О
1
О
2
│R), где R – радиус сфер. Найти напряженность электрического поля в пространстве перекрытия зарядов. Ответ 3ε
ρ
=
1.4.11. Поверхностная плотность заряда на сфере радиуса R зависит от полярного угла ϑ как σ = σ
0 cos
ϑ, где σ
0
– положительная постоянная. Показать, что такое распределение заряда можно представить как результат малого сдвига друг относительно друга двух равномерно заряженных шаров радиуса R , заряды которых равны по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти вектор напряженности электрического поля внутри данной сферы. Ответ 0
3ε
σ
−
=
, где k – орт оси Z , от которой отсчитывается угол ϑ. Поле внутри данной сферы однородно.
1.4.12. Найти вектор напряженности электрического поля в центре шара радиуса R , объёмная плотность заряда которого ρ = ar, где а – постоянный вектора –радиус-вектор, проведенный из центра шара. Ответ 2
6ε
−
=
R
1.4.13. Шар радиуса R имеет положительный заряд, объёмная плотность которого зависит от расстояния r до его центра по закону
ρ





 −
ρ
=
R
r
1 0
, где ρ
0
– постоянная. Найти а) модуль вектора напряженности электрического поля внутри и вне шара как функцию расстояния r ; б) максимальное значение напряженности электрического поля
E
max и соответствующее ему расстояние Ответа)






−
ε
ρ
=
R
r
r
E
4 3
1 3
0 0
при r R,
2 0
3 0
12 r
R
E
ε
ρ
=
при r > R ;

Гл. Постоянное электрическое поле
49 б)
0 Е при
3 2
R
r
r
m
=
=
1.4.14. Пространство заполнено электрическим зарядом с объ-
ёмной плотностью
3 0
r
e
α
−
ρ
=
ρ
, где ρ
0
и α – положительные константы, а r – расстояние от центра данной системы. Найти модуль напряженности электрического поля как функцию r . Ответ
)
3 1
3 2
0 0
r
e
r
E
α
−
−
α
ε
ρ
=
1.4.15. Поле создано двумя равномерно заряженными концентрическими сферами с радиусами R
1
= 5 см и R
2
= 8 см. Заряды сфер соответственно равны q
1
= 2 нКл и = –1 нКл. Определить напряженность электрического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстоянии 1) r
1
= 3 см 2) r
2
= 6 см 3) r
3
=10 см. Ответ
;
0 1
=
E
2 2
1 0
2 4
1
r
q
E
πε
=
= 5 кВ/м;
2 3
2 1
0 3
4 1
r
q
q
E
+
πε
=
= 0,9 кВ/м.
1.4.16. Пространство между двумя концентрическими сферами си) заряжено с объёмной плотностью заряда ρ = Найти напряженность электрического поля во всём пространстве.
Ответ:
Е
= при r R
1
;
r
E






−
ε
α
=
r
R
r
1 2
0 при R
1
r R
2
;
r
E
3 1
2 0
r
R
R при r > R
2
1.4.17. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена неравномерно с поверхностной плотностью
σ = σ
0 cosφ, где φ – угол цилиндрической системы координат, отсчитываемый от заданного радиуса (оси X ) в плоскости перпендикулярного сечения цилиндра(рис.1.25 ). Найти модуль и направление вектора напряженности электрического поляна оси цилиндра Z .

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
50
Указание
Способ 1
. Выделить на поверхности цилиндра узкие полосы, параллельные осина которых плотность заряда будет постоянна (см. рис. Для нахождения электрического поля, создаваемого такой полосой на оси цилиндра, воспользоваться результатом базовой задачи 1.3.3 , где была найдена напряженность поля от бесконечного линейного заряда.
Способ 2
. Показать, что заданное распределение заряда можно представить как результат малого сдвига по оси Х относительно друг друга двух равномерно заряженных цилиндров одного радиуса, плотности зарядов которых равны по модулю и противоположны по знаку. Воспользовавшись этим представлением, найти вектор напряженности электрического поля внутри области пересечения цилиндров, воспользовавшись результатами задачи. Ответ 0
2ε
σ
−
=
x
E
.
1.4.18
. Точечный диполь с электрическим моментом р, ориентированный в положительном направлении оси Z , находится вначале координат. Для точки S , отстоящей от диполя на расстояние r , найти проекцию вектора напряженности электрического поля Е и проекцию Е на плоскость, перпендикулярную оси Z . В каких точках Ер Ответ 2
0 1
cos
3 4
r
p
E
z
−
ϑ
πε
=
,
;
cos sin
3 4
3 Ер в точках,лежащих на поверхности конуса с осью вдоль Z и углом полураствора ϑ, для которого cos
1 3
ϑ =
(ϑ
1
= 54,7°), в этих точках
2 4
1 3
0
r
p
E
E
πε
=
=
⊥
+
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
–
ϕ Е
x
z Рис. Цилиндрическая поверхность с неравномерно распределенным зарядом (задача 1.4.17 )

Гл. Постоянное электрическое поле
51
1.4.19 . В центре полукольца радиуса находится точечный заряд –q . Полукольцо имеет полный заряд +q , распределенный по закону τ(ϑ) с, где τ – линейная плотность заряда, ϑ – угол между радиусом-вектором рассматриваемой точки и осью симметрии системы Z (рис. 1.26). В дипольном приближении найти напряженность электрического поляна осина расстоянии от системы >> R ). Ответ 0
8 Литература к главе 1
1. Матвеев АН Электричество и магнетизм. М Оникс 21 век, 2005, §§ 1-3, 5-7, 12,13.
2. Сивухин Д.В . Общий курс физики. Электричество. М Физ- матлит, 2006, §§ 1 – 9.
3. Калашников С.Г . Электричество. М Физматлит, 2003.
§§ 8-15.
4. Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М Физматлит,
2003, §§ 1- 4, 13.
z
q
–q
x
R
ϑ Рис. Система из точечного заряда и неравномерно заряженного полукольца (задача
1.4.19

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
52 Глава 2 РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ПОТЕНЦИАЛ
§2.1 Теоретический материал Работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q из точки 1 в точку 2 определяется линейным интегралом) где L
12
– траектория движения заряда, dl – бесконечно малое перемещение вдоль траектории. Если контур замкнутый, то для интеграла используется символ
∫
;
в этом случае предполагается, что выбрано направление обхода контура. Электростатическое поле потенциально при перемещении точечного заряда по любому замкнутому контуру работа равна нулю. При произвольном перемещении заряда из точки 1 в точку 2 работа не зависит от траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек 1 и 2. Благодаря этому работу поля можно представить в виде
A
12
= q [φ(r
1
) – φ(r
2
)],
(2.2) где скалярная функция φ(r ) называется электростатическим потенциалом. Эта функция непрерывна во всем пространстве и имеет конечные первые производные. Потенциал является энергетической характеристикой электростатического поля, его можно определить через потенциальную энергию W (r ) пробного заряда q в электростатическом поле
φ(r ) Потенциал в точке r численно равен потенциальной энергии единичного положительного точечного заряда, находящегося в этой точке. Физический смысл имеет только разность потенциалов двух точек, поэтому потенциал, как и потенциальная энергия, оп

53 ределен с точностью до произвольной постоянной, связанной с выбором начала его отсчета. Нормировка потенциала – придание однозначности потенциалу путем приписывания ему определенного значения в какой- либо точке. Обычно используют один из двух наиболее удобных способов нормировки
1) если заряды занимают ограниченную область пространства, то принимают равным нулю значение потенциала в бесконечно удаленной точке
2) если проводящее тело каким-то образом соединено с Землей заземление, то его потенциал равен потенциалу Земли (потенциал Земли можно положить равным нулю. В модельных задачах, где заряды занимают бесконечные области (например, бесконечная заряженная плоскость, нить, цилиндр и т.д.), выбор нулевой точки потенциала произволен и определяется соображениями симметрии и удобством записи результата. Потенциал поля точечного заряда q равен
φ(r ) =
r
q
0 4
1
πε
,
(2.3) где r – расстояние от заряда q до точки наблюдения (потенциал в точке, бесконечно удалённой от заряда принимается равным нулю. Потенциал поля системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в рассматриваемой точке каждым из зарядов (принцип суперпозиции для потенциалов.
∑
∑
πε
=
ϕ
=
ϕ
i
i
i
i
i
r
q
0 4
1
,
(2.4) где r
i
– расстояние от точки, в которой вычисляется потенциал, до i - ого заряда. Потенциал поля точечного диполя равен
φ(r ) =
3 0
4 1
r
pr
πε
(2.5) начало координат взято в точке нахождения диполя. Потенциал поля непрерывного распределения зарядов если все заряды расположены в конечной области пространства и потенциал нормирован на нуль в бесконечности, то

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
54
φ =
∫
′
−
′
πε
r
r
r )
4 1
0
dq
,
(2.6) где r ′
′′′ – радиус-вектор заряда dq , r – вектор, проведенный из точки, в которой вычисляется потенциал, до заряда dq (r ′
′′′) в бесконечно малой окрестности точки r ′
′′′. Интегрирование производится по всем объемам, содержащим распределенные с плотностью ρ заряды
(dq (r ′
′′′) = ρ(r ′′′′)dV ), по всем поверхностям, несущим поверхностные заряды σ (dq (r ′
′′′) = σ(r ′′′′)dS ), и по всем линиям, на которых находятся распределенные с линейной плотностью τ заряды (dq (r ′
′′′) = τ(r ′′′′))dl. Циркуляцией произвольного вектора A по замкнутому контуру L называется линейный интеграл
∫
L
dl
A
. (2.7) Ротором вектора A называется вектор, проекция которого на положительное направление нормали n равна пределу отношения циркуляции вектора А по физически бесконечно малому контуру к площади ∆S , ограниченной этим контуром
∫
∆
=
→
∆
L
S
n
d
S
l
A
A
1
lim rot
0
(2.8) Положительное направление нормали n согласуется сна- правлением обхода контура L правилом правого винта. В декартовой системе координат сортами ротор можно представить в виде векторного произведения rot A = [∇ A ]=
z
y
x
A
A
A
z
y
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
k
j
i
,
(2.9) где символический дифференциальный векторный оператор ∇ (набла) определен в §1.1. главы 1. В декартовых координатах он имеет вид Формула Стокса циркуляция вектора A по произвольному контуру L равна потоку ротора вектора A через любую поверхность, опирающуюся на контур L :

Гл. 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал
55
∫
L
dl
A
=
∫
S
d S
A
rot
(2.10) Теорема о циркуляции вектора E (интегральная формулировка потенциальности электростатического поля в любом электростатическом поле циркуляция вектора E по любому замкнутому контуру равна нулю
∫
L
dl
E
=0.
(2.11) Дифференциальная формулировка потенциальности электростатического поля в любом электростатическом поле в любой точке) Градиентом скалярной функции φ назывaeтся вектор grad
φ = ∇ϕ =
z
y
x
∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ
∂
+
∂
ϕ
∂
k
j
i
(2.13) Этот вектор направлен перпендикулярно к поверхности φ = const в сторону возрастания φ, а его модуль равен производной от функции
φ поэтому направлению. Два полезных математических тождества div rot A ≡ 0 для любой векторной функции A (r );
(2.14) rot grad φ ≡ 0 для любой скалярной функции φ(r ).
(2.15) Эквипотенциальная поверхность – поверхность, на которой потенциал остается постоянным. Линии напряженности поля перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностями направлены в сторону убывания потенциала. Связь потенциала с напряженностью поля
E = – grad φ.
(2.16) Обратная операция – нахождение разности потенциалов из заданной напряженности поля
ϕ
2
– ϕ
1
∫
−
=
2
)
1
l
d
E
,
(2.17) где интегрирование идет по любой траектории, соединяющей точки
1 и 2.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
56 Дифференциальное уравнение для потенциала (уравнение Пуассона)
∆φ = –
0
ε
ρ
,
(2.18) где ∆ – оператор Лапласа. В декартовой системе координат оператор Лапласа является суммой вторых производных по всем координатам) В сферической системе координат (r , ϑ, ϕ) оператор Лапласа имеет вид






ϑ
∂
∂
θ
+
ϑ
∂
∂
+
ϕ
∂
∂
ϑ
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
ctg sin
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2
r
r
r
r
(2.20) В областях, где заряды отсутствуют, уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа
∆φ = 0. (2.21)

27.1. Определить напряженность электрического поля, создаваемую бесконечной тонкой плоской поверхностью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда s.

27.2. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность радиусом R равномерно заряжена электрическим зарядом с поверхностной плотностью s. Определить напряженность электрического поля внутри поверхности и снаружи.

27.3. Сферическая поверхность радиусом R равномерно заряжена электрическим зарядом Q . Определить напряженность электрического поля внутри сферы и снаружи.

27.4. Шар радиусом R равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда r. Определить напряженность электрического поля внутри шара и снаружи.

27.5. Плоский бесконечный слой толщиной h равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда r (рис.). Определить зависимость напряженности электрического поля в зависимости от расстояния x до среднего сечения слоя.

27.6. Две концентрические сферы с радиусами R 1 и R 2 (R 1 < R 2) заряжены равномерно зарядами Q 1 и Q 2 . Определить напряженность электрического поля на расстоянии r от центра системы, если: а ) r < R , б ) R 1 < r < R 2 ; в ) r > R 2 .

27.7. Две бесконечные плоские равномерно заряженные параллельные пластины дают напряженности электрического поля в точках A и B E A и E B соответственно (рис.). Найти поверхностные плотности зарядов пластин s 1 и s 2 .

27.8. Две бесконечные плоские параллельные поверхности заряжены равномерно с одинаковой поверхностью заряда s. Найти разность потенциалов между точками A и B (рис.). Геометрические размеры указаны на рисунке.

27.9. Найти плотность электрического заряда в атмосфере, если на поверхности Земли напряженность электрического поля равна E 1 = 100 В/м, а на высоте h = 1,5 км – Е 2 = 25 В/м. Считать, что плотность заряда постоянна, а вектор напряженности направлен вертикально вверх.

27.10. Две концентрические сферы находятся одна в другой. Внутреннюю сферу нагрели и она начала излучать электроны. В секунду вылетает n электронов со скоростью v . Через какое время заряды сфер перестанут изменяться, если радиус внутренней сферы равен r , а радиус внешней на Dr больше. Dr << r .

27.11. В бесконечном плоском слое толщины h вырезана сферическая полость диаметром h (рис.). Определить напряженность электрического поля в точках A и B , если слой равномерно заряжен с объемной плотностью заряда r.

27.12. В равномерно заряженном шаре радиусом R имеется сферическая полость радиусом r , центр которой находится от центра шара на расстоянии a (рис.). Определить напряженность электрического поля внутри полости. Объемная плотность заряда шара равна r.

27.13. Мыльный пузырь сообщается с атмосферой и имеет электрический заряд q , равномерно распределенный по его поверхности. Определить радиус пузыря, если коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора равен s.

27.14. Найти разность потенциалов между точками A и B, создаваемую двумя бесконечными плоскими взаимно перпендикулярными равномерно заряженными поверхностями (рис.). Поверхностные плотности заряда равны: s 1 = 2×10 –7 Кл/м 2 , s 2 = 4,2×10 –7 Кл/м 2 . a = 7 см, b = 5 см.

27.15. С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? Поверхностная плотность заряда граней s, длина ребра грани куба l .

27.16. На плоский слой, заряженный равномерно по объему положительным зарядом с плотностью r, падают положительно заряженные частицы с зарядом q и кинетической энергией W (рис.). Определить толщину слоя, если известно, что максимальный угол падения, при котором частицы могут пролететь слой, равен a .

27.17. Две плоские параллельные пластины расположены очень близко друг к другу и заряжены равномерно одинаковым по модулю и противоположным по знаку зарядом. Напряженность электрического поля в точке A , находящейся далеко от края пластин, равна E o (рис.). Какова напряженность поля в точке B , находящейся на срезе пластин, если известно, что силовая линия, проходящая через точку B , составляет с плоскостью пластин угол a.

Ответы:

27.2. При r < R E = 0; при r > R .

27.3. При r < R E = 0; при r > R .

27.4. При r < R ; при r > R .

(347 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

27.1. Определить напряженность электрического поля, создаваемую бесконечной тонкой плоской поверхностью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда σ ? [смотрите ответ в общем файле]

27.2. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность радиусом R равномерно заряжена электрическим зарядом с поверхностной плотностью σ . Определить напряженность электрического поля внутри поверхности и снаружи

27.3. Сферическая поверхность радиусом R равномерно заряжена электрическим зарядом Q . Определить напряженность электрического поля внутри сферы и снаружи. [смотрите ответ в общем файле]

27.4. Шар радиусом R ρ . Определить напряженность электрического поля внутри шара и снаружи. [смотрите ответ в общем файле]

27.5. Плоский бесконечный слой толщиной h равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда ρ (рис.). Определить зависимость напряженности электрического поля в зависимости от расстояния x до среднего сечения слоя. [смотрите ответ в общем файле]

27.6. Две концентрические сферы с радиусами R 1 и R 2 (R 1 < R 2 ) заряжены равномерно зарядами Q 1 и Q 2 . Определить напряженность электрического поля на расстоянии r от центра системы, если: а) r < R , б) R 1 < r < R 2 ; в) r > R 2 . [смотрите ответ в общем файле]

27.7. Две бесконечные плоские равномерно заряженные параллельные пластины дают напряженности электрического поля в точках A и B E A и E B соответственно (рис.). Найти поверхностные плотности зарядов пластин σ 1 и σ 2 . [смотрите ответ в общем файле]

27.8. Две бесконечные плоские параллельные поверхности заряжены равномерно с одинаковой поверхностью заряда σ . Найти разность потенциалов между точками A и B (рис.). Геометрические размеры указаны на рисунке. [смотрите ответ в общем файле]

27.9. Найти плотность электрического заряда в атмосфере, если на поверхности Земли напряженность электрического поля равна E 1 = 100 В/м , а на высоте h = 1,5 км — Е 2 = 25 В/м . Считать, что плотность заряда постоянна, а вектор напряженности направлен вертикально вверх. [≅ −4.43×10 −13 Кл/м 3 ]

27.11. В бесконечном плоском слое толщины h вырезана сферическая полость диаметром h (рис.). Определить напряженность электрического поля в точках A и B, если слой равномерно заряжен с объемной плотностью заряда ρ . [смотрите ответ в общем файле]

27.14. Найти разность потенциалов между точками A и B, создаваемую двумя бесконечными плоскими взаимно перпендикулярными равномерно заряженными поверхностями (рис.). Поверхностные плотности заряда равны: σ 1 = 2×10 −7 Кл/м 2 , σ 2 = 4,2×10 −7 Кл/м 2 . a = 7 см , b = 5 см . [≅ 1.1 кВ]

27.15. С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? Поверхностная плотность заряда граней σ , длина ребра грани куба l . [смотрите ответ в общем файле]

27.16. На плоский слой, заряженный равномерно по объему положительным зарядом с плотностью ρ , падают положительно заряженные частицы с зарядом q и кинетической энергией W (рис.). Определить толщину слоя, если известно, что максимальный угол падения, при котором частицы могут пролететь слой, равен a . [смотрите ответ в общем файле]

27.17. Две плоские параллельные пластины расположены очень близко друг к другу и заряжены равномерно одинаковым по модулю и противоположным по знаку зарядом. Напряженность электрического поля в точке A, находящейся далеко от края пластин, равна E o (рис.). Какова напряженность поля в точке B, находящейся на срезе пластин, если известно, что силовая линия, проходящая через точку B, составляет с плоскостью пластин угол α . [смотрите ответ в общем файле]

Тема: Электростатика
(мин 5 задач)
1. Вычислить отношение электростатической и гравитационной сил взаимодействия
между двумя электронами, между двумя протонами. При каком значении удельного
заряда q/m частицы эти силы оказались бы равными по модулю в случае взаимодействия
одинаковых частиц?
2. Два небольших одинаково заряженных шарика, каждый массы m, подвешены к одной
точке на шелковых нитях длины l. Расстояние между шариками x << l. Найти скорость
утечки зарядов dq/dt с каждого шарика, если скорость их сближения меняется по закону v
= a/√𝑥, где a — постоянная.
3. Два положительных заряда q1 и q2 находятся в точках с радиус-векторами r1 и r2. Найти
отрицательный заряд q3 и радиус-вектор r3 точки, в которую его надо поместить, чтобы
сила, действующая на каждый из этих трех зарядов, была равна нулю.
4. Тонкое проволочное кольцо радиуса r имеет электрический заряд q. Каково будет
приращение силы, растягивающей проволоку, если в центр кольца поместить точечный
заряд q0?
5. Положительный точечный заряд 50 мкКл находится на плоскости xy в точке с радиусвектором r0 = 2i + 3j, где i и j — орты осей x и y. Найти модуль и направление вектора
напряженности электрического поля E в точке с радиус-вектором
r = 8i - 5j. Здесь r0 и r в метрах.
6. В вершинах квадрата с диагональю 2l находятся точечные заряды q и -q, как показано
на рис. 3.1. Найти модуль вектора напряженности электрического поля в точке, отстоящей
на расстояние x от центра квадрата и расположенной симметрично относительно вершин
квадрата.

Тема: Напряженность поля распределённого заряда
(мин 5 задач)
7. Кольцо радиуса r из тонкой проволоки имеет заряд q. Найти модуль напряженности
электрического поля на оси кольца как функцию расстояния l до его центра. Исследовать
полученную зависимость при l >> r. Определить максимальное значение напряженности и
соответствующее расстояние l. Изобразить примерный график функции E (l).
8. Точечный заряд q находится в центре тонкого кольца радиуса R, по которому
равномерно распределен заряд -q. Найти модуль вектора напряженности электрического
поля на оси кольца в точке, отстоящей от центра кольца на расстояние x, если x >> R.

9. Система состоит из тонкого заряженного проволочного кольца радиуса R и очень
длинной равномерно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из ее
концов совпадает с центром кольца. Последнее имеет заряд q. На единицу длины нити
приходится заряд λ. Найти силу взаимодействия кольца и нити.
10. Равномерно заряженная нить, на единицу длины которой приходится заряд λ, имеет
конфигурации, показанные на рисунке (а) и (б). Считая, что радиус закругления R
значительно меньше длины нити, найти модуль вектора напряженности электрического
поля в точке О.

Б)
11. Сфера радиуса r заряжена с поверхностной плотностью σ = ar, где a — постоянный
вектор, r — радиус-вектор точки сферы относительно ее центра. Найти вектор
напряженности электрического поля в центре сферы.
12. Найти вектор напряженности электрического поля в центре шара радиуса R, объемная
плотность заряда которого ρ = ar, где a — постоянный вектор,
r — радиус-вектор, проведенный из центра шара.
13. Две длинные параллельные друг другу нити равномерно заряжены так, что на единицу
длины каждой из них приходится заряд λ. Расстояние между нитями равно l. Найти
максимальное значение напряженности электрического поля в плоскости симметрии этой
системы, расположенной между нитями.
14. Напряженность электрического поля зависит только от координат x и y по закону Е = a

Тема: Поле распределенного заряда. Теорема Гаусса. Диполь
(мин 8 задач)
15. Равномерно заряженная очень длинная нить, расположенная по оси круга радиуса R,
упирается одним своим концом в его центр. Заряд нити на единицу длины равен λ. Найти
поток вектора E через площадь круга.
16. Шар радиуса R равномерно заряжен с объемной плотностью ρ. Найти поток вектора
напряженности электрического поля через сечение шара, которое образовано плоскостью,
отстоящей от центра шара на расстояние r0 << R.
17. Напряженность электрического поля зависит только от координат x и y по закону Е = a
(xi + уj)/(х2 + у2), где а — постоянная, i и j — орты осей x и y. Найти поток вектора Е через
сферу радиуса R с центром в начале координат.
18. Бесконечно длинная цилиндрическая поверхность круглого сечения заряжена
а)

Равномерно по длине с поверхностной плотностью
, где φ - полярный угол
цилиндрической системы координат, ось z которой совпадает с осью данной поверхности.
Найти модуль и направление напряженности электрического поля на оси z.

19. Система состоит из шара радиуса R, заряженного сферически симметрично, и
окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью ρ = α/r, где α —
постоянная, r — расстояние от центра шара. Найти заряд шара, при котором модуль
вектора напряженности электрического поля вне шара не будет зависеть от r. Чему равна
эта напряженность? Диэлектрическая проницаемость шара и окружающей среды
предполагается равной единице.
20. Внутри шара, заряженного равномерно с объемной плотностью ρ, имеется
сферическая полость. Центр полости смещен относительно центра шара на величину a.
Найти напряженность E поля внутри полости, полагая диэлектрическую проницаемость
равной единице.
21. Внутри бесконечно длинного круглого цилиндра, заряженного равномерно с объемной
плотностью ρ, имеется круглая цилиндрическая полость. Расстояние между осями
цилиндра и полости равно а. Найти напряженность Е электрического поля в полости.
Диэлектрическую проницаемость считать равной единице.
22. Найти напряженность электрического поля в области пересечения двух шаров,
равномерно заполненных разноименными по знаку зарядами с объемной плотностью ρ и ρ, если расстояние между центрами шаров характеризуется вектором a.

23. Показать, что потенциал поля диполя с электрическим моментом p может быть

24. Точечный диполь с электрическим моментом p, ориентированный в положительном

25. Точечный электрический диполь с моментом p находится во внешнем однородном

Найти ее радиус.
26. Две параллельные тонкие нити равномерно заряжены с линейной плотностью λ и -λ.

электрического поля на расстоянии r >>

27. Два коаксиальных кольца, каждое радиуса R, из тонкой проволоки находятся на малом
расстоянии l друг от друга (l << R) и имеют заряды q и -q. Найти потенциал и
напряженность электрического поля на оси системы как функции координаты x (рис. 3.6).
Изобразить на одном рисунке примерные графики полученных зависимостей.
Исследовать эти функции при |x| >> R.

28. Система состоит из заряда q>0, равномерно распределенного по полуокружности
радиуса ау в центре которой находится точечный заряд -q Найти:
а) электрический дипольный момент этой системы;
б) модуль напряженности электрического поля на оси х системы на расстоянии г>> а от
нее.

29. Диполь с электрическим моментом p находится на расстоянии r от длинной нити,
заряженной равномерно с линейной плотностью λ. Найти силу F, действующую на
диполь, если вектор p ориентирован:
а) вдоль нити;
б) по радиус-вектору r;
в) перпендикулярно к нити и радиус-вектору r.

30. Найти силу взаимодействия двух молекул воды, отстоящих друг от друга на
расстояние l = 10 нм, если их электрические моменты ориентированы вдоль одной и той
же прямой. Момент каждой молекулы p = 0,62*10-29 Кл*м.
Тема: Диполь. Потенциал. Связь E и φ
(мин 7 задач)
31. Показать, что потенциал поля диполя с электрическим моментом p может быть
представлен как φ = pr/4πε0r3, где r — радиус-вектор. Найти с помощью этого выражения
модуль вектора напряженности электрического поля диполя как функцию r и ϑ.

32. Точечный диполь с электрическим моментом p, ориентированный в положительном
направлении оси z, находится в начале координат. Найти проекции вектора
напряженности электрического поля Ez и Е⊥ (на плоскость, перпендикулярную к оси z в
точке S (см. рис. 3.4)). В каких точках E ⊥ p?

33. Точечный электрический диполь с моментом p находится во внешнем однородном
электрическом поле, напряженность которого равна E0, причем p E0. В этом случае
одна из эквипотенциальных поверхностей, охватывающих диполь, является сферой.
Найти ее радиус.
34. Две параллельные тонкие нити равномерно заряжены с линейной плотностью λ и -λ.
Расстояние между нитями равно l. Найти потенциал и модуль вектора напряженности
электрического поля на расстоянии r >> l под углом ϑ к вектору l (рис. 3.5).

+
35. Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого имеет вид φ =
ar, где a — постоянный вектор, r — радиус-вектор точки поля.

36. Определить вектор напряженности электрического поля, потенциал которого зависит
от координат x, y по закону:
а) φ = a (x2 - y2);
б) φ = axy, где a — постоянная. Изобразить примерный вид этих полей с помощью
силовых линий (в плоскости x, y).
37. Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид
φ = a(x2 + y2) + bz2, где а и b — постоянные. Найти модуль и направление вектора
напряженности поля. Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности в случаях:
а) a > 0, b > 0; б) a > 0, b < 0?
38. Потенциал электрического поля имеет вид φ = α(ху - 𝑧 2), где α - постоянная. Найти
проекцию напряженности электрического поля в точке М {2,2,-3} на направление вектора
а = i + 3k .
39. Найти потенциал φ (х, у) электростатического полей:
а) Е = a (yi + xj);
б) Е = 2ахуi + а (x2 — y2)j;
в) Е = ayi + (ах + bz)j + byk, где a и b — постоянные, i, j, k — орты осей х, у, z.
40. Между двумя большими параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на
расстояние d, находится равномерно распределенный объемный заряд. Разность
потенциалов пластин равна Δφ. При каком значении объемной плотности ρ заряда
напряженность поля вблизи одной из пластин будет равна нулю? Какова будет при этом
напряженность поля у другой пластины?
41. Потенциал поля внутри заряженного шара зависит только от расстояния до его центра
по закону φ = ar2 + b, где a и b — постоянные. Найти распределение объемного заряда ρ (r)
внутри шара.
42. Потенциал поля в некоторой области пространства зависит только от координаты x
как φ = -ax3+ b, где a и b — некоторые постоянные. Найти распределение объемного
заряда ρ (x).
Тема: Проводники в электрическом поле
(мин 10 задач)
43. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей безграничной плоскости.

44. Небольшой шарик висит над горизонтальной проводящей плоскостью на
изолирующей упругой нити жесткости k. После того как шарик зарядили, он опустился
на х см, и его расстояние до проводящей плоскости стало равным L. Найти заряд шарика.
45. Тонкая бесконечно длинная нить имеет заряд λ на единицу длины и расположена

равно l. Найти:

46. Очень длинная прямая нить ориентирована перпендикулярно к безграничной

А) в точке О;

47. Точечный заряд q находится на расстоянии l от безграничной проводящей плоскости.
Какую работу необходимо совершить, чтобы медленно удалить этот заряд на очень
большое расстояние от плоскости?
48. Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет заряд q. Кольцо расположено
параллельно безграничной проводящей плоскости на расстоянии l от последней. Найти:
а) поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично
относительно кольца;
б) напряженность и потенциал электрического поля в центре кольца.
49. Два точечных заряда, q и -q, расположены на расстоянии l друг от друга и на
одинаковом расстоянии l/2 от безграничной проводящей плоскости. Найти: модуль
вектора электрической силы, действующей на каждый заряд.
50. Найти потенциал φ незаряженной проводящей сферы, вне которой на расстоянии l от
ее центра находится точечный заряд q.
51. Три разноименных точечных заряда расположены в вершинах
квадрата с диагональю L = 50 см, как показано на рисунке, где точка О
- центр квадрата, AOB - прямой угол, образованный двумя
проводящими полуплоскостями. Найти силу, действующую на заряд q, если q = 11 мкКл.
52. Точечный заряд q находится на расстоянии r от центра О незаряженного сферического
слоя проводника, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно R1 и
R2. Найти потенциал φ0 в точке О, если r < R1.
53. Точечный заряд q находится между двумя проводящими взаимно перпендикулярными
полуплоскостями. Расстояние заряда до каждой полуплоскости равно l=5 см. Найти
модуль силы, действующей на заряд.
54. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер, причём на внутренней
сфере радиуса a находится положительный заряд q1. Какой заряд q2 следует поместить на
внешнюю сферу радиуса b, чтобы потенциал внутренней сферы оказался равным нулю?
Как будет зависеть при этом потенциал φ от расстояния r до центра системы? Изобразить
примерный график этой зависимости.
55. Точечный диполь с электрическим моментом p находится на расстоянии l от
бесконечной проводящей плоскости. Найти силу, действующей на диполь, если вектор p
перпендикулярен плоскости.
56. Четыре большие металлические пластины расположены на малом расстоянии d друг от
друга, как показано на рисунке. Крайние пластины соединены проводником, а на
внутренние пластины подана разность потенциалов Δφ. Найти:
а) значения напряженности электрического поля между соседними пластинами;
б) суммарный заряд, приходящийся на единицу площади каждой пластины.

57. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей безграничной плоскости.
Определить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости, как
функцию расстояния r от основания перпендикуляра, опущенного из заряда на плоскость.

58. Две безграничные проводящие пластины 1 и 2 расположены на расстоянии l друг от
друга. Между пластинами на расстоянии х от пластины 1 находится точечный заряд q.
Найти заряды, наведенные на каждой из пластин.
59. Тонкая бесконечно длинная нить имеет заряд λ на единицу длины и расположена
параллельно безграничной проводящей плоскости. Расстояние между нитью и плоскостью
равно l. Найти:
а) модуль вектора силы, действующей на единицу длины нити;
б) распределение поверхностной плотности заряда σ (x) на плоскости, где x — расстояние
от плоскости, перпендикулярной к проводящей поверхности и проходящей через нить.
60. Найти электрическую силу, которую испытывает заряд, приходящийся на единицу
поверхности произвольного проводника, если поверхностная плотность заряда равна σ.
61. Очень длинная прямая нить ориентирована перпендикулярно к безграничной
проводящей плоскости и не доходит до этой плоскости на расстояние l. Нить заряжена
равномерно с линейной плотностью λ. Пусть точка О — след нити на плоскости. Найти
поверхностную плотность индуцированного заряда на плоскости:
а) в точке О;
б) в зависимости от расстояния r до точки О.
62. Металлический шарик радиуса R = 1,5 см имеет заряд q = 10 мкКл. Найти модуль
вектора результирующей силы, которая действует на заряд, расположенный на одной
половине шарика.
63. Тонкое проволочное кольцо радиуса R имеет заряд q. Кольцо расположено
параллельно безграничной проводящей плоскости на расстоянии l от последней. Найти
поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично
относительно кольца.
64. Незаряженный проводящий шар радиуса R поместили во внешнее однородное
электрическое поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный
заряд с поверхностной плотностью σ = σ0 cos θ, где σ0 — постоянная, θ — полярный угол.
Найти модуль вектора результирующей электрической силы, которая действует на
индуцированный заряд одного знака.
65. Найти потенциал φ незаряженной проводящей сферы, вне которой на расстоянии l=30
см от ее центра находится точечный заряд q=0.50мкКл.
66. В воде электрическое поле напряжённостью E = 1 кв/см2 создаёт поляризацию,
эквивалентную правильной ориентации только одной из N молекул. Найти число
молекул N, если электрический момент молекулы воды po = 0,62 × 10−29 Кл. м.
67. Неполярная молекула с поляризуемостью β находится на большом расстоянии l от
полярной молекулы с электрическим моментом p. Найти модуль вектора силы
взаимодействия этих молекул, если вектор p ориентирован вдоль прямой, проходящей
через обе молекулы.
68. Точечный заряд q=3.4нКл находится на расстоянии r=2,5 см от центра О
незаряженного сферического слоя проводника, внутренний и наружный радиусы которого
равны соответственно R1 =5 см и R2=8 см. Найти потенциал в точке О.