Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиально различных способов создания колебательных систем незатухающих колебаний. Остановимся более подробно на рассмотрении незатухающих колебаний под действием внешней периодической силы . Такие колебания называются вынужденными. Продолжим изучение движения гармонического маятника (рис. 6.9).
Помимо рассмотренных ранее сил упругости и вязкого трения, на шарик действует внешняя вынуждающая периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону
частота, которой может отличаться от собственной частоты колебаний маятника ω o . Природа этой сил в данном случае нам не существенна. Создать такую силу можно различными способами, например, сообщить шарику электрический заряд и поместить его во внешнее переменное электрическое поле. Уравнение движения шарика в рассматриваемом случае имеет вид
Разделим его на массу шарика и используем прежние обозначения параметров системы. В результате получим уравнение вынужденных колебаний :
где f o = F o /m − отношение амплитудного значения внешней вынуждающей силы к массе шарика. Общее решение уравнения (3) достаточно громоздко и, конечно, зависит от начальных условий. Характер движения шарика, описываемого уравнением (3), понятен: под действием вынуждающей силы возникнуть колебания, амплитуда которых будет возрастать. Этот переходный режим достаточно сложен и зависит от начальных условий. По прошествии некоторого промежутка времени колебательный режим установится, их амплитуда перестанет изменяться. Именно установившийся режим колебаний , во многих случаях представляет основной интерес. Мы не будем рассматривать переход системы к установившемуся режиму, а сконцентрируем внимание на описании и изучении характеристик этого режима. При такой постановке задачи нет необходимости задавать начальные условия, так как интересующий нас установившийся режим не зависит от начальных условий, его характеристики полностью определяются самим уравнением. С аналогичной ситуацией мы сталкивались при изучении движения тела под действием постоянной внешней силы и силы вязкого трения
По прошествии некоторого времени тело движется с постоянной установившейся скоростью v = F o /β , которая не зависит от начальных условий, и полностью определяется уравнением движения. Начальные условия определяют режим, переходный к установившемуся движению. На основании здравого смысла разумно предположить, что в установившемся режиме колебаний шарик будет колебаться с частотой внешней вынуждающей силы. Поэтому решение уравнения (3) следует искать в гармонической функции с частотой вынуждающей силы. Для начала решим уравнение (3), пренебрегая силой сопротивления
Попробуем найти его решение в виде гармонической функции
Для этого вычислим зависимости скорости и ускорения тела от времени, как производные от закона движения
и подставим их значения в уравнение (4)
Теперь можно сократить на cosωt . Следовательно, это выражение обращается в верное тождество в любой момент времени, при выполнении условия
Таким образом, наше предположение о решении уравнения (4) в виде (5) оправдалось: установившийся режим колебаний описывается функцией
Отметим, что коэффициент A согласно полученному выражению (6) может быть, как положительным (при ω < ω o ), так и отрицательным (при ω > ω o ). Изменение знака соответствует изменению фазы колебаний на π (причина такого изменение будет выяснена чуть позже), поэтому амплитудой колебаний является модуль этого коэффициента |A| . Амплитуда установившихся колебаний, как и следовало ожидать, пропорциональна величине вынуждающей силы. Кроме того, эта амплитуда сложным образом зависит от частоты вынуждающей силы. Схематический график этой зависимости показан на рис. 6.10
Рис. 6.10 Резонансная кривая
Как следует из формулы (6) и хорошо видно на графике, при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы амплитуда резко возрастает. Причина такого возрастания амплитуды понятна: вынуждающая сила «во время» подталкивает шарик, при полном совпадении частот установившейся режим отсутствует − амплитуда возрастает до бесконечности. Конечно, на практике такого бесконечного возрастания наблюдать невозможно: во-первых , это может привести к разрушению самой колебательной системы, во-вторых , при больших амплитудах колебаний нельзя пренебрегать силами сопротивления среды. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы называется явлением резонанса . Приступим теперь к поиску решения уравнения вынужденных колебаний с учетом силы сопротивления
Естественно, что и в этом случае решение следует искать в виде гармонической функции с частотой вынуждающей силы. Легко заметить, что поиск решения в форме (5) в данном случае не приведет к успеху. Действительно, уравнение (8), в отличие от уравнения (4), содержит скорость частицы, которая описывается функцией синуса. Поэтому, временная часть в уравнении (8) не сократится. Следовательно, решение уравнения (8) следует представить в общей форме гармонической функции
в которой два параметра A o и φ необходимо найти с помощью уравнения (8). Параметр A o является амплитудой вынужденных колебаний, φ − сдвиг фаз между изменяющейся координатой и переменной вынуждающей силой. Используя тригонометрическую формулу для косинуса суммы, функцию (9) можно представить в эквивалентной форме
которая также содержит два параметра B = A o cosφ и C = −A o sinφ , подлежащих определению. Используя функцию (10), запишем явные выражения для зависимостей скорости и ускорения частицы от времени
и подставим в уравнение (8):
Перепишем это выражение в виде
Для того чтобы равенство (13) выполнялось в любой момент времени необходимо, чтобы коэффициенты при косинусе и синусе были равны нулю. На основании этого условия получаем два линейных уравнения для определения параметров функции (10):
Решение этой системы уравнений имеет вид
На основании формулы (10) определяем характеристики вынужденных колебаний: амплитуду
сдвиг фаз
При малом затухании эта зависимость имеет резкий максимум при приближении частоты вынуждающей силы ω к собственной частоте системы ω o . Таким образом, и в этом случае возможно возникновения резонанса, поэтому построенные зависимости часто называют резонансной кривой. Учет слабого затухания показывает, что амплитуда не возрастает до бесконечности, ее максимальное значение зависит от коэффициента затухания − с возрастанием последнего максимальная амплитуда быстро убывает. Полученная зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы (16) содержит слишком много независимых параметров ( f o , ω o , γ ) для того, чтобы построить полное семейство резонансных кривых. Как и во многих случаях, эту зависимость можно существенно упростить, перейдя к «безразмерным» переменным. Преобразуем формулу (16) к следующему виду
и обозначим
− относительная частота (отношение частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы);
− относительная амплитуда (отношение амплитуды колебаний к величине отклонения A o = f/ω o 2 при нулевой частоте);
− безразмерный параметр, определяющий величину затухания. Используя эти обозначения, функция (16) существенно упрощается
так как содержит всего один параметр − δ . Однопараметрическое семейство резонансных кривых, описываемых функцией (16 б) может быть построено, особенно легко с помощью компьютера. Результат такого построения показан на рис. 629.
рис. 6.11
Отметим, что переход к «обычным» единицам измерения может быть проведен элементарным изменением масштаба осей координат. Следует отметить, что частота вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, также зависит от коэффициента затухания, слегка убывая с ростом последнего. Наконец, подчеркнем, что увеличение коэффициента затухания приводит к существенному увеличению ширины резонансной кривой. Возникающий сдвиг фаз между колебаниями точки и вынуждающей силой также зависит от частоты колебаний и коэффициента их затухания. Более подробно с ролью этого сдвига фаз мы познакомимся при рассмотрении преобразования энергии в процессе вынужденных колебаний.
частота свободных незатухающих колебаний совпадает с собственной частотой, частота затухающих колебаний немного меньше собственной, а частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы, а не собственной частотой.
Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденными называются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.
Рис.6.12. Контур с вынужденными электрическими колебаниями
Рассмотрим процессы, протекающие в электрическом колебательном контуре (рис.6.12 ), присоединенном к внешнему источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону
,
где m – амплитуда внешней ЭДС,
– циклическая частота ЭДС.
Обозначим через U C напряжение на конденсаторе, а через i - силу тока в контуре. В этом контуре кроме переменной ЭДС (t ) действует еще ЭДС самоиндукции L в катушке индуктивности.
ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения силы тока в контуре
.
Для вывода дифференциального уравнения вынужденных колебаний возникающих в таком контуре используем второе правило Кирхгофа
.
Напряжение на активном сопротивлении R найдем по закону Ома
.
Cила электрического тока равна заряду протекающему за единицу времени через поперечное сечение проводника
.
Следовательно
.
Напряжение U C на конденсаторе прямо пропорционально заряду на обкладках конденсатора
.
ЭДС самоиндукции можно представить через вторую производную от заряда по времени
.
Подставляя напряжения и ЭДС во второе правило Кирхгофа
.
Разделив обе части этого выражения на L и распределив слагаемые по степени убывания порядка производной, получим дифференциальное уравнение второго порядка
.
Введем следующие обозначения и получим
–коэффициент
затухания,
–циклическая
частота собственных колебаний контура.
.
(1)
Уравнение (1) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Такого типа уравнения описывают поведение широкого класса колебательных систем (электрических, механических) под влиянием внешнего периодического воздействия (внешней ЭДС или внешней силы).
Общее решение уравнения (1) складывается из общего решения q 1 однородного дифференциального уравнения (2)
(2)
и любого частного решения q 2 неоднородного уравнения (1)
.
Вид общего решения однородного уравнения (2) зависит от величины коэффициента затухания . Нас будет интересовать случай слабого затухания << 0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
где B и 0 – постоянные, задаваемые начальными условиями.
Решение (3) описывает затухающие колебания в контуре. Входящие в (3) величины:
–циклическая
частота затухающих колебаний;
–амплитуда
затухающих колебаний;
–фаза
затухающих колебаний.
Частное решение уравнения (1) ищем в виде гармонического колебания, происходящего с частотой, равной частоте внешнего периодического воздействия – ЭДС, и отстающего по фазе на от него
где
– амплитуда вынужденных колебаний,
зависящая от частоты.
Подставим (4) в (1) и получим тождество
Чтобы сравнить фазы колебаний, используем тригонометрические формулы приведения
.
Тогда наше уравнение перепишется в виде
Представим колебания в левой части полученного тождества в виде векторной диаграммы (рис .6.13)..
Третье
слагаемое, соответствующее колебаниям
на емкости С
,
имеющее фазу (
t
–
)
и амплитуду
,
изобразим горизонтальным вектором,
направленным вправо.
Рис.6.13. Векторная диаграмма
Первое
слагаемое левой части, соответствующие
колебаниям на индуктивности L
,
изобразится на векторной диаграмме
вектором, направленным горизонтально
влево (его амплитуда
).
Второе
слагаемое, соответствующие колебаниям
на сопротивлении R
,
изобразим вектором, направленным
вертикально вверх (его амплитуда
),
т. к. его фаза на/2
отстает от фазы первого слагаемого.
Так
как сумма трех колебаний слева от знака
равно дает гармоническое колебание
,
то векторная сумма на диаграмме (диагональ
прямоугольника) изображает колебание
с амплитудой
и фазой
t
,
которая на
опережает фазу колебаний третьего
слагаемого.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора можно найти амплитуду A ( )
(5)
и tg как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
.
(6)
Следовательно, решение (4) с учетом (5) и (6) примет вид
.
(7)
Общее решение дифференциального уравнения (1) является суммой q 1 и q 2
.
(8)
Формула
(8) показывает, что при воздействии на
контур периодической внешней ЭДС в нем
возникают колебания двух частот, т.е.
незатухающие колебания с частотой
внешней ЭДС
и затухающие колебания с частотой
.
Амплитуда затухающих колебаний
со временем становится пренебрежимо
малой, и в контуре остаются только
вынужденные колебания, амплитуда которых
не зависит от времени. Следовательно,
установившиеся вынужденные колебания
описываются функцией (4). То есть в контуре
возникают вынужденные гармонические
колебания, с частотой, равной частоте
внешнего воздействия, и амплитудой
,
зависящей от этой частоты (рис.
3а
)
по закону (5). При этом по фазе вынужденное
колебание отстает на
от вынуждающего воздействия.
Продифференцировав выражение (4) по времени, найдем силу тока в контуре
где
– амплитуда силы тока.
Запишем это выражение для силы тока в виде
,
(9)
где
–сдвиг
по фазе между током и внешней ЭДС
.
В соответствии с (6) и рис. 2
.
(10)
Из этой формулы следует, что сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС зависит, при постоянном сопротивлении R , от соотношения между частотой вынуждающей ЭДС и собственной частотой контура 0 .
Если < 0 , то сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .
Если > 0 , тогда > 0. Колебания силы тока отстают от колебаний ЭДС по фазе на угол .
Если = 0 (резонансная частота ), то = 0, т. е. сила тока и ЭДС колеблются в одинаковой фазе.
Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды колебаний при совпадении частоты внешней, вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы.
При резонансе = 0 и период колебаний
.
Учитывая, что коэффициент затухания
,
получим выражения для добротности при резонансе Т = Т 0
,
с другой стороны
.
Амплитуды напряжений на индуктивности и емкости при резонансе можно выразить через добротность контура
,
(15)
.
(16)
Из
(15) и (16) видно, что при
=
0 ,
амплитуда напряжения на конденсаторе
и индуктивности в Q
раз больше амплитуды внешней ЭДС. Это
свойство последовательного RLC
контура используется для выделения
радиосигнала определенной частоты
из спектра радиочастот при перестройке
радиоприемника.
На практике RLC контура связаны с другими контурами, измерительными приборами или усилительными устройствами, вносящими дополнительное затухание в RLC контур. Поэтому реальная величина добротности нагруженного RLC контура оказывается ниже величины добротности, оцениваемой по формуле
.
Реальная величина добротности может быть оценена как
Рис.6.14. Определение добротности по резонансной кривой
,
где f – ширина полосы частот, в которых амплитуда составляет 0,7 от максимального значения (рис. 4).
Напряжения на конденсаторе U C , на активном сопротивлении U R и на катушке индуктивности U L достигают максимума при различных частотах, соответственно
,
,
.
Если затухание мало 0 >> , то все эти частоты практически совпадают и можно считать что
.
Вынужденными колебаниями называют такие колебания, которые возникают в системе при действии на нее внешней вынуждающей периодически изменяющейся силы, называемой вынуждающей.
Характер (зависимость от времени) вынуждающей силы может быть различным. Это может сила, меняющаяся по гармоническому закону. Например, звуковая волна, источником которой является камертон, попадает на барабанную перепонку или мембрану микрофона. На перепонку начинает действовать гармонически меняющаяся сила давления воздуха.
Вынуждающая сила может носить характер толчков или коротких импульсов. Например, взрослый раскачивает ребенка на качелях, периодически толкая их в тот момент, когда качели приходят в одно из крайних положений.
Наша задача – выяснить, как реагирует колебательная система на воздействие периодически изменяющейся вынуждающей силы.
§ 1 Вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону
F сопрх = - rv x и вынуждающая сила F вын = F 0 sin wt .
Второй закон Ньютона запишется в виде:
Решение уравнения (1) ищут в виде
, где - это решение уравнения (1), если бы в нем не было правой части. Видно, что без правой части уравнение превращается в известное нам уравнение затухающих колебаний, решение которого мы уже знаем. За достаточно большое время свободные колебания, которые возникнут в системе при выведении ее из положения равновесия, практически затухнут, и в решении уравнения останется только второе слагаемое. Будем искать это решение в виде
Сгруппируем слагаемые иначе:
Это равенство должно выполняться в любой момент времени t, что возможно только, если коэффициенты при синусе и косинусе равны нулю.
Итак,тело, на которое действует вынуждающая сила, меняющаяся по гармоническому закону, совершает колебательное движение с частотой вынуждающей силы.
Разберем подробнее вопрос об амплитуде вынужденных колебаний:
1 Амплитуда установившихся вынужденных колебаний не меняется с течением времени. (Сравните с амплитудой свободных затухающих колебаний).
2 Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы.
3 Амплитуда зависит от трения в системе (А зависит от d, а коэффициент затухания d, в свою очередь, зависит от коэффициента сопротивления r). Чем больше трение в системе, тем амплитуда вынужденных колебаний меньше.
4 Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы w. Как? Исследуем функцию А(w).
 |
При w = 0 (постоянная сила действует на колебательную систему) смещение тела неизменно с течением времени (надо иметь в виду то, что это относится к установившемуся состоянию, когда собственные колебания уже практически затухли).
· При w ® ¥, то, как нетрудно видеть, амплитуда А стремится к нулю.
· Очевидно, что при какой-то частоте вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний примет наибольшее значение (для данного d). Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при определенном значении частоты вынуждающей силы носит название механического резонанса.
Интересно, что добротность колебательной системы в этом случае показывает во сколько раз резонансная амплитуда превышает смещение тела от положения равновесия под действием постоянной силы F 0 .
Мы видим, что и резонансная частота, и резонансная амплитуда зависят от коэффициента затухания d. С уменьшением d к нулю резонансная частота возрастает и стремится к частоте собственных колебаний системы w 0 . При этом резонансная амплитуда возрастает и при d = 0 обращается в бесконечность. Разумеется, на практике амплитуда колебаний бесконечной быть не может, так как в реальных колебательных системах всегда действуют силы сопротивления. Если система имеет малое затухание, то приближенно можно считать, что резонанс наступает при частоте собственных колебаний.:
где в рассматриваемом случае - это сдвиг по фазе между вынуждающей силой и смещением тела от положения равновесия.
Нетрудно видеть, что сдвиг по фазе между силой и смещением зависит от трения в системе и частоты внешней вынуждающей силы . Эта зависимость показана на рисунке. Видно, что при < тангенс принимает отрицательные значения, а при > - положительные.
Зная зависимость от угла , можно получить зависимость от частоты вынуждающей силы .
При частотах внешней силы, существенно меньших собственной, смещение отстает по фазе от вынуждающей силы незначительно. При увеличении частоты внешней силы это запаздывание по фазе растет. При резонансе (если невелико) сдвиг по фазе становится равным . При >> колебания смещения и силы происходят в противофазе. Такая зависимость может показаться на первый взгляд странной. Чтобы понять этот факт, обратимся к энергетическим преобразованиям в процессе вынужденных колебаний.
§ 2 Энергетические превращения
Как мы уже знаем, амплитуда колебаний определяется полной энергией колебательной системы. Ранее было показано, что амплитуда вынужденных колебаний остается неизменной с течением времени. Это значит, что полная механическая энергия колебательной системы с течением времени не меняется. Почему? Ведь система не замкнута! Две силы - внешняя периодически меняющаяся и сила сопротивления – совершают работу, которая должна менять полную энергию системы.
Попробуем разобраться, в чем дело. Мощность внешней вынуждающей силы может быть найдена следующим образом:
Видим, что мощность внешней силы , подпитывающей колебательную систему энергией, пропорциональна амплитуде колебаний .
Счет работы силы сопротивления энергия колебательной системы должна уменьшаться, переходя во внутреннюю. Мощность силы сопротивления:
Очевидно, что мощность силы сопротивления пропорциональна квадрату амплитуды . Изобразим обе зависимости на графике.
Чтобы колебания были установившимися (амплитуда не менялась с течением времени), работа внешней силы за период должна компенсировать потери энергии системой за счет работы силы сопротивления. Точка пересечения графиков мощностей как раз соответствует этому режиму. Представим, что в силу каких-то причин амплитуда вынужденных колебаний уменьшилась. Это приведет к тому, что мгновенная мощность внешней силы окажется больше мощности потерь. Это приведет к росту энергии колебательной системы, и амплитуда колебаний восстановит прежнее значение.
Аналогичным образом можно убедиться, что при случайном увеличении амплитуды колебаний мощность потерь превысит мощность внешней силы, что приведет к уменьшению энергии системы, и, следовательно, к уменьшению амплитуды.
Вернемся к вопросу о сдвиге по фазе между смещением и вынуждающей силой при резонансе. Мы уже показали, что смещение отстает, а, значит, сила опережает смещение, на . С другой стороны, проекция скорости в процессе гармонических колебаний всегда опережает координату на . Это означает, что при резонансе внешняя вынуждающая сила и скорость колеблются в одной фазе. А значит они сонаправлены в любой момент времени! Работа внешней силы в этом случае всегда положительна, она вся идет на пополнение колебательной системы энергией.
§ 3 Несинусоидальное периодическое воздействие
Вынужденные колебания осциллятора возможны при любом периодическом внешнем воздействии, а не только синусоидальном. При этом установившиеся колебания, вообще говоря, не будут синусоидальными, но они будут представлять собой периодическое движение с периодом, равным периоду внешнего воздействия.
Внешнее воздействие может представлять собой, например, последовательные толчки (вспомните, как взрослый человек «раскачивает» ребенка, сидящего на качелях). Если период внешних толчков совпадает с периодом собственных колебаний, то в системе может наступать резонанс. Колебания при этом будут почти синусоидальными. Сообщаемая системе при каждом толчке энергия идет пополнение полной энергии системы, теряемой за счет трения. Понятно, что при этом возможны варианты: если сообщаемая при толчке энергия равна или превышает потери на трение за период, то колебания будут либо установившимися, либо их размах будет возрастать. Это хорошо видно на фазовой диаграмме.
Очевидно, что резонанс возможен и в том случае, когда период следования толчков будет кратен периоду собственных колебаний. Такое невозможно при синусоидальном характере внешнего воздействия.
С другой стороны, даже при совпадении частоты толчков с собственной частотой резонанс может не наблюдаться. Если только потери на трение за период превышают энергию, полученную системой во время толчка, то полная энергия системы будет уменьшаться, а колебания будут затухать.
§ 4 Параметрический резонанс
Внешнее воздействие на колебательную систему может сводиться к периодическому изменению параметров самой колебательной системы. Возбуждаемые таким образом колебания называются параметрическими, а сам механизм – параметрическим резонансом .
Прежде всего, попытаемся ответить на вопрос: можно ли раскачать уже имеющиеся в системе малые колебания, периодически изменяя определенным образом какой-либо ее параметр.
В качестве примера рассмотрим раскачивание человека на качелях. Сгибая и выпрямляя ноги в «нужные» моменты, он фактически изменяет длину маятника. В крайних положениях человек приседает, тем самым чуть-чуть опускает центр тяжести колебательной системы, в среднем положении человек выпрямляется, поднимая центр тяжести системы.
Чтобы понять, почему при этом человек раскачивается, рассмотрим предельно упрощенную модель человека на качелях – обычный небольшой маятник, то есть небольшой грузик на легкой и длинной нити. Чтобы имитировать поднимание и опускание центра тяжести, пропустим верхний конец нити через маленькое отверстие и будем вытягивать нить в те моменты, когда маятник проходит положение равновесия, и настолько же опускать нить, когда маятник проходит крайнее положение.
Работа силы натяжения нити за период (с учетом того, что подъем груза и его опускание производится два раза за период и что Dl << l ):
 |
 |
Обратите внимание, что в скобках стоит не что иное, как утроенная энергия колебательной системы. Кстати, это величина положительная, следовательно, работа силы натяжения (наша работа) положительная, она приводит к увеличению полной энергии системы, а значит, к раскачке маятника.
Интересно, что относительное изменение энергии за период не зависит от того, слабо раскачивается маятник или сильно. Это очень важно, и вот почему. Если маятник «не подкачивать» энергией, то за каждый период он будет терять за счет силы трения определенную часть своей энергии, и колебания будут затухать. А чтобы размах колебаний увеличивался, необходимо, чтобы приобретаемая энергия превышала потерянную на преодоление трения. И это условие, оказывается, одно и то же – как при маленькой амплитуде, так и при большой.
Например, если за один период энергия свободных колебаний уменьшается на 6%, то для того, чтобы колебания маятника длиной 1 м не затухали, достаточно в среднем положении уменьшать его длину на 1 см, а в крайнем – на столько же увеличивать.
Возвращаясь к качелям: если вы начали раскачиваться, то нет необходимости приседать все глубже и глубже – приседайте все время одинаково, и будете взлетать все выше и выше!
*** Опять добротность!
Как мы уже сказали, для параметрической раскачки колебаний необходимо выполнение условия DЕ > А трения за период.
Найдем работу силы трения за период
 |
Видно, что относительная величина подъема маятника для его раскачки определяется добротностью системы.
§ 5 Значение резонанса
Вынужденные колебания и резонанс широко используются в технике, особенно в акустике, электротехнике, радиотехнике. Резонанс, в первую очередь, используется тогда, когда из большого набора колебаний разной частоты хотят выделить колебания определенной частоты. Резонанс используется и при изучении очень слабых периодически повторяющихся величин.
Однако, в ряде случаев резонанс – нежелательное явление, так как может привести к большим деформациям и разрушениям конструкций.
§ 6 Примеры решения задач
Задача 1 Вынужденные колебания пружинного маятника под действием внешней синусоидальной силы.
К пружине жесткостью k = 10 Н/м подвесили груз массой m = 10 г и поместили систему в вязкую среду с коэффициентом сопротивления r = 0,1 кг/с. Сравните собственную и резонансную частоту системы. Определите амплитуду колебаний маятника при резонансе под действием синусоидальной силы с амплитудой F 0 = 20 мН.
Решение:
1 Собственная частота колебательной системы – это частота свободных колебаний в отсутствии трения. Собственная циклическая частота равна , частота колебаний 
.
2 Резонансная частота – это частота внешней вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Резонансная циклическая частота равна 
, где - коэффициент затухания, равный .
Таким образом, резонансная частота равна 
. Нетрудно видеть, что резонансная частота меньше собственной! Также видно, что чем меньше трение в системе (r) , тем ближе резонансная частота к собственной.
3 Резонансная амплитуда равна
.
Задача 2 Резонансная амплитуда и добротность колебательной системы
К пружине жесткостью k = 10 Н/м подвесили груз массой m = 100 г и поместили систему в вязкую среду с коэффициентом сопротивления
r = 0,02 кг/с. Определите добротность колебательной системы и амплитуду колебаний маятника при резонансе под действием синусоидальной силы с амплитудой F 0 = 10 мН. Найдите отношение резонансной амплитуды к статическому смещению под действием постоянной силы F 0 = 20 мН и сравните это отношение с добротностью.
Решение:
1 Добротность колебательной системы равна , где - логарифмический декремент затухания.
Логарифмический декремент затухания равен 
.
Находим добротность колебательной системы .
2 Резонансная амплитуда равна
.
3 Статическое смещение под действием постоянной силы F 0 = 10 мН равно 
.
4 Отношение резонансной амплитуды к статическому смещению под действием постоянной силы F 0 равно
Нетрудно видеть, что это отношение совпадает с добротностью колебательной системы
Задача 3 Резонансные колебания балки
Под действием веса электромотора консольная бака, на которой он установлен, прогнулась на . При каком числе оборотов якоря мотора может возникнуть опасность резонанса?
Решение:
1 Корпус двигателя и балка, на которой он установлен, испытывают периодические толчки со стороны вращающегося якоря мотора и, следовательно, совершают вынужденные колебания с частотой следования толчков.
Резонанс будет наблюдаться при совпадении частоты следования толчков с собственной частотой колебания балки с мотором 
. Необходимо найти собственную частоту колебаний системы балка – мотор.
2 Аналогом колебательной системы балка – мотор может служить вертикальный пружинный маятник, масса которого равна массе мотора. Собственная частота колебаний пружинного маятника равна . Но жесткость пружины и масса мотора не известны! Как быть?
3 В положении равновесия пружинного маятника сила тяжести груза уравновешивается силой упругости пружины 
4 Находим вращения якоря двигателя, т.е. частоту следования толчков
Задача 4 Вынужденные колебания пружинного маятника под действием периодических толчков.
Гиря массой m = 0,5 кг подвешена к спиральной пружине жесткостью k = 20 Н/м. Логарифмический декремент затухания колебательной системы равен . Гирю хотят раскачать короткими толчками, действуя на гирю силой F = 100 мН в течение времени τ = 0,01 с. Какой должна быть частота следования ударов, чтобы амплитуда гири была наибольшей? В какие моменты и в каком направлении следует толкать гирю? До какой амплитуды удастся раскачать гирю таким способом?
Решение:
1 Вынужденные колебания могут происходить при любом периодическом воздействии. При этом установившееся колебание будет происходить с частотой следования внешнего воздействия. Если период внешних толчков совпадает с частотой собственных колебаний, то в системе наступает резонанс – амплитуда колебаний становится наибольшей. В нашем случае для наступления резонанса период следования толчков должен совпасть с периодом колебаний пружинного маятника.
Логарифмический декремент затухания мал, следовательно, мало трение в системе, и период колебаний маятника в вязкой среде практически совпадает с периодом колебаний маятника в вакууме:
2 Очевидно, направление толчков должно совпадать со скоростью гири. В этом случае работа внешней силы, пополняющей систему энергией, будет положительной. И колебания будут раскачиваться. Энергия, получаемая системой в процессе удара
будет наибольшей при прохождении грузом положения равновесия, ибо в этом положении скорость маятника максимальна.
Итак, наиболее быстро система раскачается при действии толчков в направлении движения груза при прохождении им положения равновесия.
3 Амплитуда колебаний прекращает расти, когда энергия, сообщаемая системе в процессе удара, будет равна потерям энергии на трение за период: .
Энергию потерь за период найдем через добротность колебательной системы
где Е – полная энергия колебательной системы, которая может быть рассчитана как .
Подставляем вместо энергии потерь энергию, получаемую системой в процессе удара:
.
Максимальная скорость в процессе колебаний равна 
. С учетом этого получаем .
§7 Задания для самостоятельного решения
Тест «Вынужденные колебания»
1 Какие колебания называются вынужденными?
А) Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил;
Б) Колебания, возникающие в системе после внешнего толчка;
2 Какие из перечисленных колебаний является вынужденным?
А) Колебание груза, подвешенного к пружине, после однократного его отклонения от положения равновесия;
Б) Колебание диффузора громкоговорителя во время работы приемника;
В) Колебание груза, подвешенного к пружине, после однократного удара по грузу в положении равновесия;
Г) Вибрация корпуса электрического двигателя в процессе его работы;
Д) Колебания барабанной перепонки человека, слушающего музыку.
3 На колебательную систему с собственной частотой действует внешняя вынуждающая сила, меняющаяся по закону 
. Коэффициент затухания в колебательной системе равен . По какому закону изменяется координата тела с течением времени?
В) Амплитуда вынужденных колебаний будет оставаться неизменной, так как потери энергии системой на трение будут восполняться прибылью энергии за счет работы внешней вынуждающей силы.
5 Система совершает вынужденные колебания под действием синусоидальной силы. Укажите все факторы, от которых зависит амплитуда этих колебаний.
А) От амплитуды внешней вынуждающей силы;
Б) Наличия у колебательной системы энергии в момент начала действия внешней силы;
В) Параметров самой колебательной системы;
Г) Трения в колебательной системе;
Д) Существования в системе собственных колебаний в момент начала действия внешней силы;
Е) Времени установления колебаний;
Ж) Частоты внешней вынуждающей силы.
6 Брусок массой m совершает вынужденные гармонические колебания по горизонтальной плоскости с периодом T и амплитудой A. Коэффициент трения μ. Какую работу совершает внешняя вынуждающая сила за время, равное периоду T?
А) 4μmgA; Б) 2μmgA; В) μmgA; Г) 0;
Д) Ответ дать не возможно, так как не известна величина внешней вынуждающей силы.
7 Составьте правильное утверждение
Резонансом называется явление…
А) Совпадения частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы;
Б) Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний.
Резонанс наблюдается при условии
А) Уменьшении трения в колебательной системе;
Б) Увеличении амплитуды внешней вынуждающей силы;
В) Совпадении частоты внешней силы с собственной частотой колебательной системы;
Г) При совпадении частоты внешней силы с резонансной частотой.
8 Явление резонанса может наблюдаться в…
А) В любой колебательной системе;
Б) В системе, совершающей свободные колебания;
В) В автоколебательной системе;
Г) В системе, совершающей вынужденные колебания.
9 На рисунке представлен график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Резонанс наступает на частоте…
10 Три одинаковых маятника, находящиеся в различных вязких средах, совершают вынужденные колебания. На рисунке показаны резонансные кривые для этих маятников. Какой из маятников испытывает наибольшее сопротивление со стороны вязкой среды в процессе колебаний?
А) 1; Б) 2; В) 3;
Г) Ответ дать не возможно, поскольку амплитуда вынужденных колебаний кроме частоты внешней силы зависит еще и от ее амплитуды. Об амплитуде внешней вынуждающей силы в условии ничего не говорится.
11 Период собственных колебаний колебательной системы равен Т 0 . Каким может быть период следования толчков, чтобы амплитуда колебаний резко увеличилась, то есть в системе возник резонанс?
А) Т 0 ; Б) Т 0 , 2 Т 0 , 3 Т 0 ,…;
В) Раскачать качели можно толчками любой частоты.
12 Ваш младший брат сидит на качелях, вы раскачиваете его кратковременными толчками. Каким должен быть период следования толчков, чтобы процесс происходил наиболее эффективно? Период собственных колебаний качелей Т 0 .
А) Б) 
В)
Г) Раскачать качели можно толчками любой частоты.
13 Ваш младший брат сидит на качелях, вы раскачиваете его кратковременными толчками. В каком положении качелей следует производить толчок и в каком направлении толкать, чтобы процесс происходил наиболее эффективно?
А) Толкать в крайнем верхнем положении качелей в направлении положения равновесия;
Б) Толкать в крайнем верхнем положении качелей в направлении от положения равновесия;
В) Толкать в положении равновесия в направлении движения качелей;
Г) Толкать можно в любом положении, но обязательно в направлении движения качелей.
14 Казалось бы, стреляя из рогатки в мост в такт его собственным колебаниям и сделав очень много выстрелов, его можно сильно раскачать, однако это вряд ли удастся. Почему?
А) Масса моста (его инертность) велика по сравнению с массой «пули» из рогатки, мост не сможет прийти в движение под действием таких ударов;
Б) Сила удара «пули» из рогатки настолько мала что, мост не сможет прийти в движение под действием таких ударов;
В) Энергия, сообщаемая мосту за один удар много меньше потерь энергии на трение за период.
15 Вы несете ведро с водой. Вода в ведре раскачивается и выплескивается. Что можно сделать, чтобы этого не происходило?
А) Размахивать рукой, в которой находится ведро, в такт с ходьбой;
Б) Изменить скорость движения, оставив неизменной длину шагов;
В) Периодически останавливаться и ждать, когда колебания воды успокоятся;
Г) Следить за тем, чтобы в процессе движения рука с ведром располагалась строго вертикально.
Задачи
1 Система совершает затухающие колебания с частотой 1000 Гц. Определите частоту v 0 собственных колебаний, если резонансная частота
2 Определите, на какую величину Dv резонансная частота отличается от собственной частоты v 0 = 1000 Гц колебательной системы, характеризующейся коэффициентом затухания d = 400с -1 .
3 Груз массы 100 г, подвешенный на пружине жесткости 10 Н/м, совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,02 кг/с. Определите коэффициент затухания, резонансную частоту и амплитуду. Амплитудное значение вынуждающей силы 10 мН.
4 Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частотах w 1 = 400 с -1 и w 2 = 600 с -1 равны между собой. Определите резонансную частоту.
5 Грузовики въезжают по грунтовой дороге на зерновой склад с одной стороны, разгружаются и выезжают со склада с той же скоростью, но с другой стороны. С какой стороны склада выбоины на дороге идут чаще, чем с другой? Как по состоянию дороги определить, с какой стороны склада въезд, а какой выезд? Ответ обосновать
Достигает наибольшего зна-чения, когда частота вынуждающей силы равна собственной час-тоте колебательной системы.
Отличительной особенностью вынужденных колебаний явля-ется зависимость их амплитуды от частоты изменения внешней силы . Для изучения этой зависимости можно воспользоваться установкой, изображенной на рисунке:
На кривошипе с ручкой укреплен пружинный маятник. При равномерном вращении руч-ки на груз через пружину передается действие периодически изменяющейся силы. Изменяясь с частотой, равной частоте враще-ния ручки, эта сила заставит груз совершать вынужденные колебания. Если вращать ручку кривошипа очень медленно, то груз вместе с пружиной будет перемещаться вверх и вниз так же, как и точка подвеса О . Амплитуда вынужденных колебаний при этом будет невелика. При более быстром вращении груз начнет колебаться сильнее, и при частоте вращения, равной собственной частоте пружинного маятника (ω = ω соб ), амплитуда его колебаний достигнет максимума. При дальнейшем увеличении частоты вра-щения ручки амплитуда вынужденных колебаний груза опять станет меньше. Очень быстрое вращение ручки оставит груз почти неподвижным: из-за своей инертности пружинный маятник, не успевая следовать изменениям внешней силы, будет просто дро-жать на месте.
Явление резонанса можно продемонстрировать и с нитяными маятниками. Подвесим на рейке массивный шар 1 и несколько ма-ятников, имеющих нити разной длины. Каждый из этих маятников имеет свою собственную частоту колебаний, которую можно определить, зная длину нити и ускорение свободного падения.
Теперь, не трогая легких маятников, выведем шар 1 из положения равновесия и отпустим. Качания массивного шара вызовут периодические колебания рейки, вследствие которых на каждый из легких маятников начнет действовать периодически изменяющаяся сила упругости. Частота ее изменений будет равна частоте колебаний шара. Под действием этой силы маятники начнут совершать вынужденные колебания. При этом маятники 2 и 3 останутся почти неподвижными. Маятники 4 и 5 будут колебаться с немного большей амплитудой. А у маятника б , имеющего такую же длину нити и, следовательно, собственную частоту колебаний, как у шара 1, амп-литуда окажется максимальной. Это и есть резонанс.
Резонанс возникает из-за того, что внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями тела, все время совершает положительную работу. За счет этой работы энергия колеблющегося тела увеличивается, и амплитуда колебаний возрастает.
Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при ω = ω соб называется резонансом .
Изменение амплитуды колебаний в зависимости от частоты при одной и той же амплитуде внешней силы, но при различных коэффициентах трения и, изображено на рисунке ниже, где кривой 1 соответствует минималь-ное значение и, кривой 3 — максимальное.
Из рисунка видно, что о резонансе имеет смысл говорить, если зату-хание свободных колебаний в системе мало. Иначе амплитуда вынужден-ных колебаний при ω = ω 0 мало отличается от амплитуды колебаний при других частотах.
Явление резонанса в жизни и в технике.
Явление резонанса может играть как положительную, так и отрицательную роль.
Известно, например, что тяжелый «язык» большого колокола может раскачать даже ребенок, но при условии, что будет тянуть за веревку в такт со свободными колебаниями «языка».
На применении резонанса основано действие язычкового частотомера. Этот прибор представляет собой набор укрепленных па общем основании упругих пластин различной длины. Собствен-ная частота каждой пластины известна. При контакте частотомера с колебательной системой , частоту которой нужно определить, с наибольшей амплитудой начинает колебаться та пластина, частота которой совпадает с измеряемой частотой. Заметив, какая пластина вошла в резонанс, мы определим частоту колебаний системы.
С явлением резонанса можно встретиться и тогда, когда это совершенно нежелательно. Так, на-пример, в 1750 г. близ города Анжера во Франции через цепной мост длиной 102 м шел в ногу отряд солдат. Частота их шагов совпала с частотой свободных колебаний моста. Из-за этого размахи ко-лебаний моста резко увеличились (наступил резонанс), и цепи оборвались. Мост обрушился в реку.
В 1830 г. по той же причине обрушился подвесной мост около Манчестера в Англии, когда по нему маршировал военный отряд.
В 1906 г. из-за резонанса разрушился Египетский мост в Петербурге, по которому проходил кавалерийский эскадрон.
Теперь для предотвращения подобных случаев войсковым частям при переходе через мост приказывают «сбить ногу», идти не строевым, а вольным шагом.
Если же через мост проезжает поезд, то, чтобы избежать резонанса, он проходит его либо на медленном ходу, либо, наоборот, на максимальной скорости (чтобы частота ударов колес о стыки рельсов не оказалась равной собственной частоте моста).
Собственной частотой обладает и сам вагон (колеблющийся на своих рессорах). Когда частота ударов его колес на стыках рельсов оказывается ей равной, вагон начинает сильно раскачиваться.
Явление резонанса встречается не только на суше, но и в море, и даже в воздухе. Так, например, при некоторых частотах гребного вала в резонанс входили целые корабли. А на заре разви-тия авиации некоторые авиационные двигатели вызывали столь сильные резонансные колебания частей самолета, что он разваливался в воздухе.
До сих пор мы рассматривали собственные колебания, т. е. колебания, происходящие в отсутствие внешних воздействий. Внешнее воздействие было нужно лишь для того, чтобы вывести систему из состояния равновесия, после чего она предоставлялась самой себе. Дифференциальное уравнение собственных колебаний вообще не содержит следов внешнего воздействия на систему: это воздействие отражается лишь в начальных условиях.
Установление колебаний. Но очень часто приходится сталкиваться с колебаниями, которые происходят при постоянно присутствующем внешнем воздействии. Особенно важен и в то же время достаточно прост для изучения случай, когда внешняя сила имеет периодический характер. Общей чертой вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической внешней силы, является то, что спустя некоторое время после начала действия внешней силы система полностью «забывает» свое начальное состояние, колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Начальные условия проявляются только в период установления колебаний, который обычно называют переходным процессом.
Синусоидальное воздействие. Рассмотрим вначале наиболее простой случай вынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы, изменяющейся по синусоидальному закону:
Рис. 178. Возбуждение вынужденных колебаний маятника
Такое внешнее воздействие на систему можно осуществить различными способами. Например, можно взять маятник в виде шарика на длинном стержне и длинную пружину с малой жесткостью и прикрепить ее к стержню маятника недалеко от точки подвеса, как показано на рис. 178. Другой конец горизонтально расположенной пружины следует заставить двигаться по закону ? с помощью кривошипно-шатунного механизма, приводимого в движение электромотором. Действующая
на маятник со стороны пружины вынуждающая сила будет практически синусоидальна, если размах движения левого конца пружины В будет много больше амплитуды колебаний стержня маятника в точке закрепления пружины С.
Уравнение движения. Уравнение движения для этой и других подобных систем, в которых наряду с возвращающей силой и силой сопротивления на осциллятор действует вынуждающая внешняя сила, синусоидально изменяющаяся со временем, можно записать в виде
Здесь левая часть в соответствии со вторым законом Ньютона, является произведением массы на ускорение. Первый член в правой части представляет собой возвращающую силу, пропорциональную смещению из положения равновесия. Для подвешенного на пружине груза это упругая сила, а во всех других случаях, когда ее физическая природа иная, эту силу называют квазиупругой. Второе слагаемое есть сила трения, пропорциональная скорости, например сила сопротивления воздуха или сила трения в оси. Амплитуду и частоту со раскачивающей систему вынуждающей силы будем считать постоянными.
Разделим обе части уравнения (2) на массу и введем обозначения
Теперь уравнение (2) принимает вид
В отсутствие вынуждающей силы правая часть уравнения (4) обращается в нуль и оно, как и следовало ожидать, сводится к уравнению собственных затухающих колебаний.
Опыт показывает, что во всех системах под действием синусоидальной внешней силы в конце концов устанавливаются колебания, которые также происходят по синусоидальному закону с частотой вынуждающей силы со и с постоянной амплитудой а, но с некоторым сдвигом по фазе относительно вынуждающей силы. Такие колебания называются установившимися вынужденными колебаниями.
Установившиеся колебания. Рассмотрим вначале именно установившиеся вынужденные колебания, причем для простоты пренебрежем трением. В этом случае в уравнении (4) не будет члена, содержащего скорость:
Попробуем искать решение соответствующее установившимся вынужденным колебаниям, в виде
Вычислим вторую производную и подставим ее вместе с в уравнение (5):
Чтобы это равенство было справедливо в любой момент времени, коэффициенты при слева и справа должны быть одинаковы. Из этого условия находим амплитуду колебаний а:
Исследуем зависимость амплитуды а от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 179. При формула (8) дает Подставив сюда значения видим, что постоянная во времени сила просто смещает осциллятор в новое положение равновесия, сдвинутое от старого на Из (6) следует, что при смещение
как, очевидно, и должно быть.
Рис. 179. График зависимости
Фазовые соотношения. По мере роста частоты вынуждающей силы от 0 до установившиеся колебания происходят в фазе с вынуждающей силой а их амплитуда постоянно увеличивается, сначала медленно, а по мере приближения со к - все быстрее и быстрее: при амплитуда колебаний неограниченно возрастает
При значениях со, превосходящих частоту собственных колебаний формула (8) дает для а отрицательное значение (рис. 179). Из формулы (6) ясно, что при колебания происходят в противофазе с вынуждающей силой: когда сила действует в одну сторону, осциллятор смещен в противоположную. При неограниченном увеличении частоты вынуждающей силы амплитуда колебаний стремится к нулю.
Амплитуду колебаний во всех случаях удобно считать положительной, чего легко добиться, вводя сдвиг фаз между вынуждающей
силой и смещением:
Здесь а по-прежнему дается формулой (8), а сдвиг фазы равен нулю при и равен при Графики зависимости от частоты вынуждающей силы показаны на рис. 180.
Рис. 180. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
Резонанс. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы имеет немонотонный характер. Резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте осциллятора называется резонансом.
Формула (8) дает выражение для амплитуды вынужденных колебаний в пренебрежении трением. Именно с этим пренебрежением связано обращение амплитуды колебаний в бесконечность при точном совпадении частот Реально амплитуда колебаний в бесконечность, конечно же, обращаться не может.
Это означает, что при описании вынужденных колебаний вблизи резонанса учет трения принципиально необходим. При учете трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе получается конечной. Она будет тем меньше, чем больше трение в системе. Вдали от резонанса формулой (8) можно пользоваться для нахождения амплитуды колебаний и при наличии трения, если оно не слишком сильное, т. е. Более того, эта формула, полученная без учета трения, имеет физический смысл только тогда, когда трение все же есть. Дело в том, что само понятие установившихся вынужденных колебаний применимо только к системам, в которых есть трение.
Если бы трения совсем не было, то процесс установления колебаний продолжался бы бесконечно долго. Реально это означает, что полученное без учета трения выражение (8) для амплитуды вынужденных колебаний будет правильно описывать колебания в системе только спустя достаточно большой промежуток времени после начала действия вынуждающей силы. Слова «достаточно большой промежуток времени» означают здесь, что уже закончился переходный процесс, длительность которого совпадает с характерным временем затухания собственных колебаний в системе.
При малом трении установившиеся вынужденные колебания происходят в фазе с вынуждающей силой при и в противофазе при как и в отсутствие трения. Однако вблизи резонанса фаза меняется не скачком, а непрерывно, причем при точном совпадении частот смещение отстает по фазе от вынуждающей силы на (на четверть периода). Скорость изменяется при этом в фазе с вынуждающей силой, что обеспечивает наиболее благоприятные условия для передачи энергии от источника внешней вынуждающей силы к осциллятору.
Какой физический смысл имеет каждый из членов в уравнении (4), описывающем вынужденные колебания осциллятора?
Что такое установившиеся вынужденные колебания?
При каких условиях можно использовать формулу (8) для амплитуды установившихся вынужденных колебаний, полученную без учета трения?
Что такое резонанс? Приведите известные вам примеры проявления и использования явления резонанса.
Опишите сдвиг по фазе между вынуждающей силой и смещением при разных соотношениях между частотой со в вынуждающей силы и собственной частотой осциллятора.
Чем определяется длительность процесса установления вынужденных колебаний? Дайте обоснование ответа.
Векторные диаграммы. Убедиться в справедливости приведенных выше утверждений можно, если получить решение уравнения (4), описывающее установившиеся вынужденные колебания при наличии трения. Поскольку установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающей силы со и некоторым сдвигом по фазе то решение уравнения (4), соответствующее таким колебаниям, следует искать в виде
При этом скорость и ускорение, очевидно, тоже будут изменяться со временем по гармоническому закону:
Амплитуду а установившихся вынужденных колебаний и сдвиг фазы удобно определять с помощью векторных диаграмм. Воспользуемся тем обстоятельством, что мгновенное значение любой изменяющейся по гармоническому закону величины можно представить как проекцию вектора на некоторое заранее выбранное направление, причем сам вектор равномерно вращается в плоскости с частотой со, а его неизменная длина равна
амплитудному значению этой осциллирующей величины. В соответствии с этим сопоставим каждому члену уравнения (4) вращающийся с угловой скоростью вектор, длина которого равна амплитудному значению этого члена.
Поскольку проекция суммы нескольких векторов равна сумме проекций этих векторов, то уравнение (4) означает, что сумма векторов, сопоставляемых членам, стоящим в левой части, равна вектору, сопоставляемому величине стоящей в правой части. Чтобы построить эти векторы, выпишем мгновенные значения всех членов левой части уравнения (4), учитывая соотношения
Из формул (13) видно, что вектор длины сопоставляемый величине опережает на угол вектор сопоставляемый величине Вектор длины сопоставляемый члену х, опережает на вектор длины т. е. эти векторы направлены в противоположные стороны.
Взаимное расположение этих векторов для произвольного момента времени показано на рис. 181. Вся система векторов вращается как целое с угловой скоростью со против часовой стрелки вокруг точки О.
Рис. 181. Векторная диаграмма вынужденных колебаний
Рис. 182. Вектор сопоставляемый внешней силе
Мгновенные значения всех величин получаются проецированием соответствующих векторов на заранее выбранное направление Вектор, сопоставляемый правой части уравнения (4), равен сумме векторов, изображенных на рис. 181. Это сложение показано на рис. 182. Применяя теорему Пифагора, получаем
откуда находим амплитуду установившихся вынужденных колебаний а:
Сдвиг фазы между вынуждающей силой и смещением как видно из векторной диаграммы на рис. 182, отрицателен, так как вектор длины отстает от вектора Поэтому
Итак, установившиеся вынужденные колебания происходят по гармоническому закону (10), где а и определяются формулами (14) и (15).
Рис. 183. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы
Резонансные кривые. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы Исследуем зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы. При малом затухании у эта зависимость имеет очень резкий характер. Если то при стремлении со к частоте свободных колебаний амплитуда вынужденных колебаний а стремится к бесконечности, что совпадает с полученным ранее результатом (8). При наличии затухания амплитуда колебаний в резонансе уже не обращается в бесконечность, хотя и значительно превышает амплитуду колебаний под действием внешней силы той же величины, но имеющей частоту, далекую от резонансной. Резонансные кривые при разных значениях постоянной затухания у приведены на рис. 183. Для нахождения частоты резонанса сорез, нужно найти, при каком со подкоренное выражение в формуле (14) имеет минимум. Приравнивая производную этого выражения по со нулю (или дополняя его до полного квадрата), убеждаемся, что максимум амплитуды вынужденных колебаний имеет место при
1(А) Колебательное движение точки описывается уравнением х = 30соs(10πt + π/3) (см). Найдите начальную фазу и координату точки в момент времени (t = 0).
1) 15 см; π/3 3) 30 см; 10π
2) 26 см; π/3 4) 30 см; π/3
2(А) Гармоническое колебание точки описывается уравнением х =3соs(12πt + π/2) (м). Определите частоту колебаний и циклическую частоту.
1) 0,17 Гц; 12π рад/с 3) 6 Гц; 6π рад/с
2) 6 Гц; 12π рад/с 4) 12 Гц; 12π рад/с
3(А) На рисунке показан график колебаний одной из точек струны. Согласно графику, период этих колебаний равен… x,см
3) 3×10 -3 с t∙10 - 3 ,с
4(А)
На рисунке и изображена зависимость амплитуды установившихся колебаний маятника от частоты вынуждающей силы (резонансная кривая). Отношение амплитуды установившихся колебаний маятника на резонансной частоте к амплитуде колебаний на
частоте 0,5 Гц равно
5(А) Амплитуда вынужденных колебаний при увеличении частоты изменения вынуждающей силы от резонансной до бесконечности
1) непрерывно возрастает с увеличением частоты;
2) непрерывно убывает с увеличением частоты;
3) сначала возрастает, достигает максимума, затем убывает;
4) сначала убывает, достигает минимума, затем возрастает.
6(А) Как изменится период колебаний пружинного маятника, если жесткость пружины увеличить в 4 раза?
1) увеличится в 4 раза 2) уменьшится в 4 раза
3) увеличится в 2 раза 4) уменьшится в 2 раза
7(А) Период колебаний крыльев шмеля составляет 5 мс. Сколько взмахов крыльями сделает шмель при полете за 1 мин?
1) 12 2) 200 3) 12000 4) 200000
8(А) За какую часть периода математический маятник проходит путь от положения равновесия до высшей точки траектории?
1) 1/8 2) 1/6 3) 1/4 4) 1/2
9(А) Груз, подвешенный на легкой пружине жесткостью 400 Н/м, совершает свободные гармонические колебания. Пружину какой жесткости надо взять, чтобы период колебаний этого груза стал в 2 раза больше?
1) 100 Н/м 3) 800 Н/м
2) 200 Н/м 4) 1600 Н/м
10(А) Скорость распространения продольной волны в первой среде в два раза больше, чем ее скорость во второй среде. Что произойдет с частотой и длиной волны при ее переходе из первой среды во вторую?
1) длина волны и частота уменьшатся в 2 раза
2) длина волны уменьшится в 2 раза, а частота не изменится
3) длина волны увеличится в 2 раза, а частота не изменится
4) длина волны не изменится, а частота уменьшится в 2 раза.
11(А) Расстояние до преграды, отражающей звук, равно 68 м. Через какое время человек услышит эхо? Скорость звука в воздухе 340 м/с.
1) 0,2 с 2) 0,4 с 3) 2,5 с 4) 5 с
12(В) Груз массой 0,2 кг колеблется на пружине жесткостью 500 Н/м с амплитудой 4 см. Найдите кинетическую энергию тела в точке с координатой х = 2 см.
13(В) При увеличении длины маятника на 10 см его период увеличился на 0,1 с. Найти начальный период колебаний.
14(В)
В бегущей поперечной волне скорость частицы А
направлена вверх. В
каком направлении
движется волна?
15(В) Что произойдет с характеристиками колебательного движения пружинного маятника, если его массу увеличить в 2 раза, а жесткость оставить прежней? К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу.
| А | Б | В |
А) полная энергия 1) увеличится
Б) период колебаний 2) уменьшится
В) частота колебаний 3) не изменится
16(С) Математический маятник с длиной нити 80 см находится в самолете, движущемся горизонтально. Период колебаний маятника равен 1,6 с. Каково ускорение самолета?
